Model Antrian - titoadidewantoblog.files.wordpress.com · Pada tabel diatas terlihat terjadi banyak...

LOGO

Model Antrian

Tito Adi Dewanto S.TP tito math’s blog

titodewanto@yahoo.com

Menunggu dalam suatu antrian adalah hal yang paling sering terjadi

dalam kehidupan sehari-hari

Intro

Theatre 1

Siapapun yang pergi berbelanja atau ke bioskop telah mengalami ketidaknyamanan

dalam mengantri untuk membeli atau membayar tiket

Skip

Intro

Dengan memperhatikan hal ini, banyak perusahaan mengusahakan untuk mengurangi

waktu menunggu sebagai komponen utama dari perbaikan kualitas.

Skip

Intro

Umumnya, perusahaan dapat mengurangi waktu menunggu dan memberikan pelayanan yang lebih cepat dengan menambah jumlah pelayanan, seperti

jumlah teller pada bank atau jumlah kasir pada supermarket.

Skip

Intro

Namun, menambah kapasitas pelayanan memerlukan biaya dan dasar analisi waktu menunggu adalah

adanya trade-off antara biaya perbaikan pelayanan dan biaya yang berasal dari waktu menunggu pelanggan.

Next

Intro

Teori Antrian :

Menunggu giliran untuk

mendapatkan pelayanan dari

suatu fasilitas

Antrian terjadi karena

kemampuan pelayanan tidak

bisa mengimbangi kebutuhan

pelayanan

CONTOH SISTEM ANTRIAN

Sistem Garis tunggu atau

antrian Fasilitas

1. Lapangan terbang Pesawat menunggu di landasan

Landasan pacu

2. Bank Nasabah (orang) Kasir

3. Pencucian Mobil Mobil Tempat pencucian mobil

4. Bongkar muat barang Kapal dan truk Fasilitas bongkar muat

5. Sistem komputer Program komputer CPU, Printer, dll

6. Bantuan pengobatan darurat

Orang Ambulance

7. Perpustakaan Anggota perpustakaan Pegawai perpustakaan

8. Registrasi mahasiswa Mahasiswa Pusat registrasi

9. Skedul sidang pengadilan Kasus yang disidangkan Pengadilan

Nasabah

Ke -

Jam

Datang

Jam Pelayanan Waktu

Menganggur

(teller)

Waktu

Tunggu

(cust)

Panjang

Antrian Mulai Selesai

1 8.07 8.07 8.13 0 0 0

2 8.14 8.14 8.20 1’ 0 0

3 8.25 8.25 8.31 5’ 0 0

4 8.29 8.39 8.45 8’ 0 0

5 8.43 8.45 8.51 0 2’ 1

6 8.56 8.56 9.02 5’ 0 0

8

Tabel 1

Hubungan kedatangan, waktu menganggur, waktu tunggu dan panjang anterian dalam pelayanan nasabah TABANAS di Bank XYZ

Contoh 1.

Misal pelayanan terhadap nasabah TABANAS pada suatu bank

sebagai berikut : Kapasitas pelayanan rata-rata 10 kali setiap

jam berarti pelayanan memerlukan waktu 6 menit, sedangkan

kedatangan orang/nasabah setiap jam rata-rata 6 orang. Waktu

kedatangannya bersifat random dapat dilihat tabel sbb :

Nasabah

Ke -

Jam

Datang

Jam Pelayanan Waktu

Mengangg

ur

Waktu

Tunggu

Panjang

Antrian Mulai Selesai

1 8.07 8.07 8.16 0 0 0

2 8.14 8.16 8.25 0 0 1

3 8.25 8.25 8.34 0 0 0

4 8.29 8.39 8.48 5’ 0 0

5 8.43 8.48 8.57 0 2’ 1

6 8.56 8.57 9.06 0 1’ 1

9

Tabel 2

Pada tabel diatas terlihat terjadi banyak pengangguran petugas

(unit pelayanan) oleh karena itu untuk mengurangi pengangguran

kita kurangi petugas sehingga kapasitas pelayanan menjadi 9

menit tiap nasabah.

Yang kita cari adalah alternatif meminimalkan jumlah kedua biaya yaitu

biaya pengangguran fasilitas pelayanan dan biaya karena

meningkatnya waktu tunggu.

10

Pelayanan

Analisis Antrian

Rerata kedatangan ( Jumlah Rerata

dalam Antrian (nq )

Waktu Rerata dalam Sistem (tt )

Jumlah Rerata dalam Sistem (nt )

Waktu Tunggu Rerata dalam Antrian (tq )

Laju Pelayanan (

11

Grafik hubungan antara biaya, jumlah server dan kinerja

Jum

lah

Serv

er Biaya & jumlah

server Kinerja

Biaya Pelayanan

Optimal

Cost / biaya

12

Biaya Sistem Antrian

=1.0= 0.0

Bia

ya F

asi

lita

s P

ela

yan

an

Biaya Perkiraan Total

Biaya Waktu Tunggu Biaya

Pengadaan Layanan

Biaya Pelayanan

Optimal

*

13

Karakteristik Kedatangan

Ukuran Populasi Kedatangan

Tak terbatas (essentially infinite)

Terbatas (finite)

Pola kedatangan pada sistem

Terjadwal

Secara acak distribusi Poisson

!x

exP x

= !x

exP x

=

Komponen sistem antrian

1. Populasi masukan Berapa banyak pelanggan potensial yang masuk sistem antrian

2. Distribusi kedatangan Menggambarkan jumlah kedatangan per unit waktu dan dalam

periode waktu tertentu berturut-turut dalam waktu yang berbeda

3. Disiplin pelayanan Pelanggan yang mana yang akan dilayani lebih dulu : a. FCFS (first

come, first served) b. LCFS (last come, first served) c. Acak (SIRO) d. Prioritas (UGD)

4. Fasilitas Pelayanan mengelompokkan fasilitas pelayanan menurut jumlah yang tersedia

: a. Single-channel b. multiple-channel

5. Distribusi Pelayanan a. Berapa banyak pelanggan yang dapat dilayani per satuan waktu b. Berapa lama setiap pelanggan dapat dilayani

6. Kapasitas sistem pelayanan memaksimumkan jumlah pelanggan yang diperkenankan masuk

dalam sistem

6. Karakteristik sistem lainnya pelanggan akan meninggalkan sistem jika antrian penuh, dsb

Notasi dalam sistem antrian

nt = jumlah pelanggan dalam sistem

Pn = probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem

λ = jumlah rata-rata pelanggan yang datang persatuan waktu

µ = jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan waktu

Po = probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem

p = tingkat intensitas fasilitas pelayanan

nt = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dlm sistem

nq = jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam antrian

tt = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam sistem

tq = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama menunggu dalam antrian

1/µ = waktu rata-rata pelayanan

1/λ = waktu rata-rata antar kedatangan

S = jumlah fasilitas pelayanan

Ct = Biaya Total = S.Cs + nt.Cw

16

Konfigurasi Sistem Antrian

Single Channel, Single Phase System

Single Channel, Multiphase System

17

Konfigurasi Sistem Antrian

Multichannel, Single Phase System

Multichannel, Multiphase System

18

Disiplin Antrian

Bagaimana pelanggan diseleksi dari antrian untuk dilayani?

First Come First Served (FCFS)

Last Come First Served (LCFS)

Served in Random Order (SIRO)

Priority (jobs are in different priority classes)/UGD

Untuk kebanyakan model diasumsikan FCFS

Pemrograman Simulasi

19

Penamaan Antrian

X / Y / k (notasi Kendall)

X = distribusi kedatangan (iid)

Y = distribusi waktu pelayanan (iid)

M = distribusi eksponensial untuk waktu layanan dan kedatangan

Ek = distribusi Erlang k

G = general (antrian secara umum)

D = deterministic (layanan dan kedatangan konstan)

k = jumlah server

20

Model Antrian

1. M/M/1 atau M/M/I/I/I

2. M/M/s atau M/M/S/I/I

3. Model Waktu Pelayanan Konstan

4. G/G/k

5. Model Populasi Terbatas

21

Antrian M/M/1

22

Asumsi M/M/1

Laju kedatangan (distribusi Poisson)

Laju pelayanan (distribusi exponential)

Server tunggal (satu fasilitas pelayanan)

First-come-first-served (FCFS)

Panjang antrian tak terbatas

Jumlah pelanggan tak terbatas

SINGLE CHANNEL MODEL

Model yang paling sederhana yaitu model saluran tunggal atau sistem M/M/1

1. Populasi input tak terbatas 2. Distribusi kedatangan pelanggan potensial

mengikuti distribusi poisson 3. Disipliln pelayanan mengikuti FCFS 4. Fasilitas pelayanan terdiri dari saluran tunggal 5. Distribusi pelayanan mengikuti distribusi

poisson 6. Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas 7. Tidak ada penolakan maupun pengingkaran

24

Karakteristik Operasi M/M/1

Faktor Utilitas

Rerata Waktu Tunggu

Rerata Jumlah Pelanggan

=

=L

=

=

=

=tn

)(

2

=qn

)(

=qt

== sn

=

1tt

25

Karakteristik Operasi M/M/1

Persentasi Waktu Luang

Prob ada n Pelanggan dalam Sistem

Biaya Pengeluaran Total

=10P

1

=

k

knP

Total Cost = Waiting Cost + Service Cost

=10P

n

nP

=

1

Total Cost = Waiting Cost + Service Cost

=10P

Ct = Biaya Total = nt.Cw + S.Cs

26

Contoh 1

Sebuah bank memiliki 1 mesin ATM.

Kenyataanya :

Waktu rata-rata untuk melayani customer 50 detik

Rata-rata customer yang akan memakai atm 60 org/jam

Dirancang pembuatan mesin ATM yang baru.

Pihak bank ingin mengetahui probabilitas seorang customer pasti harus mengantri untuk memakai ATM

Penyelesaian :

=Tingkat kedatangan = 60 org/jam = 1 org/mnt

= tingkat layanan = 1 org/50 detik x 3600 detik /1 jam= 72 org/jam

Sehingga tingkat kesibukan = 60/72 = 0,833

Rata waktu tunggu dalam antrian = 0,0694 jam = 4,167menit

Artinya P(seorang customer harus mengantri) = 0,833

Lama menunggu rata-rata = 4,167 menit

Rata jumlah customer dalam antrian = 4,2 = 4 org

=

)(

=qt

)(

2

=qn

27

Contoh 2

Suatu toko variasi mobil memiliki data sbb: Selama 1 jam rata-rata ada 3 pembeli yang datang. Kapasitas pelayanan yang ada rata-rata setiap jam mampu melayani 8 langganan/pembeli.

Hitunglah :

A. Rata-rata jumlah langganan yang antri sebelum dilayani

B. Rata-rata jumlah langganan dalam sistem

C. Rata-rata lama langganan sebelum dilayani

D. Rata-rata lama langganan dalam sistem

E. Prob ada n langganan dalam sistem

F. Rata-rata banyak langganan yang sedang dilayani

G. Kalau biaya pelayanan setiap jam Rp 500 dan biaya karena langganan menunggu setiap jam Rp 100, maka hitunglah jumlah seluruhnya setiap jam.

28

=Tingkat kedatangan = 3 org/jam

= tingkat layanan = 8 org/jam

225,0)(

2

=

=

qnA

6,038

3=

=

=

tnB

075,0)38(8

3

)(=

=

=

qtC

2,038

11=

=

=

ttD

8

3==

F

G> E(Ct) = S.Cs + nt.Cw = 1.500 + 0,6.100=560

n

nPE

=

1

n 0 1 2 3 4 5 6 7 >8

P 0,625 0,324 0,088 0,012 0,005 0,002 0,001 0

Contoh 3 PT CIARD mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu operator. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi poisson yaitu 20 kendaraan per jam. Operator dapat melayani rata-rata 25 mobil per jam, dengan waktu pelayanan setiap mobil mengikuti distribusi probabilitas eksponensial. Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan operator tersebut (M/M/1), hitunglah :

1. Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan (p)

2. Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem

3. Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian

4. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu pelayanan)

5. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian

Mobil antri menunggu

pelayanan

s

1 pompa bensin

melayani 20 mobil per

jam

Kedatangan

mobil, 15 per

jam

Mobil Keluar

SPBU CIARD

Fasilitas

Pelayanan

Penyelesaian

λ = 20 dan µ = 25

1. Tingkat intenstas (kegunaan) pelayanan atau 80,025

20

μ

λ p ===

Angka tersebut menunjukkan bahwa operator akan

sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya.

Sedangkan 20% dari waktunya

(1 – p) yang sering disebut idle time akan digunakan

operator untuk istirahat, dll

2 atau,42025

20

λ-μ

λ nt =

==

480,01

80,0

p-1

p nt =

==

Angka tersebut menunjukkan bahwa operator dapat

mengharapkan 4 mobil yang berada dalam sistem

3 20,3125

400

)2025(25

)20(

λ)-μ(μ

λ nq

22

==

==

Angka tersebut menunjukkan bahwa mobil yang

menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3,20

kendaraan

4 menit 12atau jam 20,025

1

2025

1

λ-μ

1 tt ==

==

Angka tersebut menunjukkan bahwa waktu rata-rata

kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit

5 menit 9,6atau jam 16,0125

20

)2025(25

20

λ)-μ(μ

λ tq ==

==

Angka tersebut menunjukkan bahwa waktu rata-rata

kendaraan menunggu dalam antrian selama 9,6 menit

32

Antrian M/M/s

33

Asumsi M/M/s

Laju kedatangan of (distribusi Poisson)

Service rate of (distribusi exponential)

Dua/lebih server

First-come-first-served (FCFS)

Panjang antrian tak terbatas

Jumlah pelanggan tak terbatas

Laju pelayanan sama pada semua server

34

Karakteristik Operasi M/M/s

Faktor Utilitas/rata-rata banyaknya objek dalam

fasilitas pelayanan

Rerata Waktu Tunggu

Rerata Jumlah Pelanggan

.M=

= LLq

.M=

.M=

1= qt ttS

q

SSS

Pot ).(

)/(1)(!( 2

=

.S=

= qt nn

02.

)()!1(

)/(P

SSn

S

q

=

35

Karakteristik Operasi M/M/s

Persentasi Waktu Luang

=

= S

S

Sn

PS

S

n

n

!

1

!

1

1

1

0

0

36

Contoh 4

Sebuah supermaket memiliki 4 jalur keluar/pembayaran. Kedatangan customer dengan tingkatan 100 org/jam. Rata-rata 1 customer dilayani 2 menit.

Ingin diketahui :

Berapa jumlah customer berada dalam antrian !

Probabilitas customer tidak harus antri !

Penyelesaian :

M = 4

= 100 org/jam

= 30 org/jam 1 jam = ?? Org

1 org = 2 menit

1 jam = 60/2 = 30 org

Sehingga = 0,8331

Dari dan diperoleh nq = 3,29 org

.M=

= 02

.)()!1(

)/(P

SSn

S

t

= tq nn

37

SOAL UJIAN OPERATION RESEARCH

TEORI ANTRIAN

1. Pengertian Sistem Antrian adalah ……. A. Pelayanan kepada pelanggan

B. Pelayanan setiap pelanggan dating

C. Keseluruhaan dari layanan yang diberikan kepada pelanggan sejak ia datang sampai selesai dilayani.

D. Keseluruhan dari layanan sejak pelanggan datang. 2. Penyebab timbulnya antrian adalah ……

A. Orang yang perlu dilayani terlalu banyak

B. Fasilitas layanan sedikit C. Antri yang lama mendatangkan kepuasan

D. Kedatangan orang yang ingin dilayani persatuan waktu lebih tinggi dari lama pelayanan persatuan waktu.

38

3. ‘Traffic Intencity’ merupakan perbandingan rata-rata kedatangan dengan rata-rata kemampuan pelayanan. Formulanya adalah ….

A.

B.

C. /

D. / 4. Suatu toko variasi mobil memiliki data sebagai berikut : Selama 1 jam rata-

rata ada 3 pembeli yang datang. Kapasitas pelayanan yang ada rata-rata setiap jam mampu melayani 8 langganan. Traffic Intencity adalah …..

A. 3/8

B. 8/3

C. 24

D. 2 2/3

39

MASUKAN M S M S KELUARAN

•Lihat diagram berikut :

PHASE 1 PHASE 2

5. Model antrian diatas adalah ….. A. Multi Channel-Single Phase

B. Multi Channel-Multi Phase

C. Single Channel-Multi Phase

D. Single Channel-Single Phase

6. Tingkat pelayanan dalam suatu periode tertentu dalam antrian ……

A.

B. /

C. /

D.

7. Model distribusi kedatangan memiliki ketentuan jumlah …

A. Macam fasilitas pelayanan banyak

B. System lebih dari 1

C. Kapasitas antrian terbatas D. Masukan tidak terhingga

40

•Model antrian dibawah adalah …..

M

S

S

Masukan Keluaran

A. Multi Channel-Multi Phase

B. Single Channel-Multi Phase

C. Single Channel-Single Phase D. Multi Channel-Single Phase

9. Disiplin antrian secara acak tanpa memandang kedatangan disebut …. A. FCFS

B. LCFS

C. SIRO

D. Emergency First

8. Model antrian dibawah adalah …..

41

10. Toko jujur setiap jam dikunjungi 4 pembeli. Kapasitas pelayanan setiap jam di toko jujur adalah 6 orang. Hitung rata-rata waktu antrian sebelum dilayani…. A. 0,30

B. 0,31

C. 0,32

D. 0,33

11. Objek yang datang atau masuk ke dalam system yang memerlukan pelayanan disebut dengan …. A. Antri B. Antrian

C. Input D. Output

12. Struktur yang dipakai di Rumah Sakit adalah ….. A. Multi Channel-Single Phase

B. Multi Channel-Multi Phase

C. Single Channel-Multi Phase

D. Single Channel-Single Phase