View
218
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA im. Stanisława Staszica w Krakowie
Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki
Katedra Maszyn Elektrycznych
mgr inż. Waldemar Milej
Modele o parametrach zmiennych maszyn
indukcyjnych, ich własności i zastosowanie
Rozprawa doktorska
Promotor
dr hab. inż. Wiesław Jażdżyński prof. nz. AGH
2
Składam serdeczne podziękowania Panu
profesorowi Wiesławowi Jażdżyńskiemu
za poświęcony czas i pomoc meryto-
ryczną konieczną do powstania pracy.
Dziękuje także wszystkim, którzy swą
życzliwością wspierali mnie w tym czasie.
3
Spis treści
Wykaz oznaczeń i indeksów........................................................................................... 5
1. Wprowadzenie............................................................................................. 11 1.1. Teza i omówienie pracy. ............................................................................... 11 1.2. Modele maszyn elektrycznych...................................................................... 12 1.3. Zmienność parametrów schematu zastępczego. ........................................... 18 1.3.1. Zmienności parametrów gałęzi poprzecznej schematu zastępczego. ........... 19 1.3.2. Zmienność parametrów gałęzi podłużnej schematu zastępczego................. 24 1.3.3. Wpływ stanu pracy maszyny indukcyjnej na wartości parametrów jej
modelu. ......................................................................................................... 30 1.4. Procesy identyfikacji..................................................................................... 32
2. Wykonanie pomiarów silnika indukcyjnego. ........................................... 35 2.1. Opis układu napędowego i schematu pomiarowego..................................... 35 2.2. Pomiar biegu jałowego. ................................................................................ 37 2.3. Próba zwarcia................................................................................................ 40 2.4. Wybieg.......................................................................................................... 43 2.5. Rozruch......................................................................................................... 43 2.6. Pomiary cieplne. ........................................................................................... 47
3. Modele cieplne silnika indukcyjnego. ....................................................... 51 3.1. Modele obwodowe. [17, 18, 19, 43, 45, 46] ................................................. 51 3.1.1. Model cieplny dla próby nagrzewania prądem stałym. ................................ 52 3.1.2. Model cieplny dla próby zwarcia.................................................................. 53 3.1.3. Model cieplny dla rozruchu. ......................................................................... 57 3.2. Modele do polowych obliczeń cieplnych [42, 44]........................................ 60 3.2.1. Model silnika z uwzględnieniem symetrii. ................................................... 61 3.2.1.1. Wyniki próby nagrzewania dla modelu ćwiartki silnika. ............................. 65 3.2.1.2. Wyniki obliczeń dla próby zwarcia. ............................................................. 69 3.2.2. Uproszczony polowy model cieplny............................................................. 71 3.2.2.1. Uproszczony polowy model cieplny do jednej podziałki żłobkowej. .......... 71 3.2.2.2. Obliczenia dla próby nagrzewania................................................................ 73 3.2.2.3. Obliczenia dla próby zwarcia. ...................................................................... 75 3.2.2.4. Uproszczone modele cieplne silnika dla jednego żłobka stojana oraz jednego
żłobka wirnika............................................................................................... 78 3.3. Porównanie modeli obwodowych i polowych.............................................. 82
4. Elektromagnetyczne obliczenia polowe .................................................... 84 4.1. Obliczenia polowe dla biegu jałowego. ........................................................ 90 4.2. Obliczenia polowe dla próby zwarcia........................................................... 90 4.3. Próba wyjaśnienia różnic wynikających z obliczeń polowych..................... 92
4
5. Identyfikacja modeli silnika indukcyjnego............................................... 95 5.1. Model niestacjonarny i o parametrach stałych. ............................................ 95 5.2. Porównanie wyników identyfikacji dla biegu jałowego............................. 101 5.3. Porównanie wyników identyfikacji dla próby zwarcia............................... 103
6. Weryfikacja modeli................................................................................... 106 6.1. Weryfikacja modeli na podstawie charakterystyk roboczych. ................... 106 6.2. Weryfikacja modeli na podstawie zwarcia w stanie przejściowym. .......... 107 6.3. Weryfikacja modeli na podstawie rozruchu silnika.................................... 108
7. Wnioski i uwagi. ........................................................................................ 112
Literatura .................................................................................................................... 114
5
Wykaz oznaczeń i indeksów
- oznaczenia
B - wektor indukcji magnetycznej
B - indukcja magnetyczna
bδ - obliczeniowa podziałka biegunowa
Bδ - indukcja magnetyczna maksymalna przebiegu rzeczywistego w szczelinie
Bδx - indukcja magnetyczna w punkcie x
b1 - długość rzeczywistego otwarcia żłobka
B1 - amplituda podstawowej harmonicznej indukcji magnetycznej w szczelinie
b1n - długość otwarcia żłobka uwzględniająca nasycenie
b2 - szerokość podstawy sklepienia żłobka
Bds - amplitudy indukcji w zębach stojana
Beδ - zastępczą indukcję w szczelinie powietrznej
Bm - indukcja magnetyczna średnia w obszarze podziałki biegunowej τ
bn0 - szerokość strefy nasycającej się
bpr - szerokość pręta
Bys amplitudy indukcji w jarzmie stojana
bż - szerokość żłobka
c - ciepło właściwe
d - współczynnik cieplny rezystancji
D - wektor indukcji elektrycznej
E - wektor natężenia pola elektrycznego
Es - siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu fazowym stojana
f - częstotliwość
f1 - częstotliwość w obwodzie pierwotnym
FD - siły dyssypacji
fs - częstotliwość prądu uzwojenia stojana
FZ - siły zewnętrzne
g - strumień ciepła
H - wektor pola magnetycznego
h1 - wysokość rzeczywistego otwarcia żłobka
6
hpr - wysokość pręta
I - prąd fazowy
Iμ - prąd magnesujący
IN - prąd znamionowy
Is - prąd fazowy płynący w uzwojeniu stojana
Iz - zwarciowy prąd skuteczny
j - wektor gęstości prądu
j - gęstość prądu
j - jednostka urojona 1−
J - moment bezwładność
j0 - gęstość prądu w przewodzie przy równomiernym rozkładzie prądu
k - współczynnik przewodzenia ciepła
k0 - współczynnik efektywności wentylacji
kB - współczynnik kształtu krzywej pola
kc - współczynnik Cartera
kd - współczynniki wzrostu strat dla zębów
knz - współczynnik nasycenia głównego obwodu magnetycznego
kR - współczynnik wzrostu rezystancji wskutek wypierania prądu
ktsq - współczynnik technologiczny klatek odlewanych
kw1 - współczynnik uzwojenia dla harmonicznej rzędu 1
kX - współczynnik zmniejszania reaktancji wskutek wypierania prądu
ky - współczynniki wzrostu strat dla jarzma
l - długość
L - funkcjonał Lagrange’a
lFe - długość rdzenia
li - długość twornika
m - liczba faz
m - masa
mds - masa zębów
n - prędkość obrotowa
n - składowa normalna
nN - prędkość obrotowa znamionowa
p - liczba par biegunów
7
P - moc źródła ciepła
pFe - stratność blach przy indukcji 1 (T)
PFe - straty jałowe w rdzeniu
PFed - straty jałowe w zębach
PN - moc czynna znamionowa
Py - straty jałowe w jarzmie
Pz - zwarciowa moc czynna
q - współczynnik przenoszenia ciepła
Q - źródło ciepła
q’i - prędkość uogólniona
qi - współrzędna uogólniona
R’r - rezystancja uzwojenia wirnika sprowadzona na stronę stojana
R0 - rezystancja przy temperaturze 0ϑ
RFe - rezystancja reprezentująca straty w żelazie odpowiadająca jednej fazie
Rj - rezystancja obliczona dla temperatury jϑ
Rs - rezystancja uzwojenia fazowego stojana
RX0 - wartość rezystancji z równomiernym rozkładem gęstości prądu w przekroju
RXr - wartość rezystancji z uwzględnieniem wypierania prądu
Rz - rezystancja zwarcia
Rz0 - rezystancja zwarcia w chwili t0=0
Rzp - rezystancja zwarciowa z pomiarów
s - poślizg
S - pole powierzchni
Tel - elektryczny moment rozruchowy
Tk - koenergia kinetyczna system
U - napięcie
UN - znamionowe napięcie fazowe uzwojenia stojana
Us - napięcie fazowe uzwojenia stojana
V - objętość
Vmz1 - spadek napięcia magnetycznego zębów stojana
Vmz2 - spadek napięcia magnetycznego zębów wirnika
Vp - energia potencjalna
Xμ - reaktancja magnesująca
8
Xμ0 - nienasycona reaktancja magnesująca
Xμ0 - reaktancja strumienia głównego
Xσs - reaktancja rozproszenia uzwojenia stojana
X’σr - reaktancja rozproszenia uzwojenia wirnika sprowadzona na stronę stojana
Xsq - reaktancja od skosu żłobków
XX0 - wartość reaktancji z równomiernym rozkładem gęstości prądu w przekroju
XXr - wartość reaktancji z uwzględnieniem wypierania prądu
z1 - liczba zwojów jednej fazy uzwojenia pierwotnego połączonych szeregowo
α - współczynnik oddawania ciepła
αi - współczynnik rozkładu pola w szczelinie
αw - współczynnik wypierania prądu
δ - długość szczeliny powietrznej
Δϑ - przyrost temperatury
Δϑp - uśredniony przyrost temperatury silnika
Φ - strumień indukcji magnetycznej
ΦB - strumień indukcji magnetycznej
ΦD - strumień indukcji elektrycznej
γ - konduktywność
ϑ - temperatura
ϑ0 - temperatura początkowa
ϑj - temperatura końcowa
ϑp - uśredniona temperatura silnika
ϕN - znamionowy kąt przesunięcia fazowego między napięciem a prądem
κ - współczynnik nasycenia obwodu magnetycznego przez strumienie rozproszone
μ0 - przenikalność magnetyczna próżni
μFe - przenikalność magnetyczna żelaza
∇ - operator dywergencji
∇x - operator rotacji
νa - prędkość obrotowa wirnika
θ - przepływ prądu
θδ - przepływ na szczelinę powietrzną
9
θt - przepływ całkowity
ρ - gęstość
ρV - gęstość ładunku elektrycznego
σsq - współczynnik rozproszenia wywołanego skosem
τ - podziałka biegunowa
ω0 - pulsacja sieci zasilającej
ω0m - synchroniczna prędkość kątowa
ωr - prędkość kątowa wirnika
ωw - prędkość kątowa wirnika podczas próby wybiegu silnika
ξ - współczynnika wysokości pręta
- indeksy
j - dla próby biegu jałowego (indeks górny)
n - dla próby nagrzewania (indeks górny)
r - wirnik
r - dla rozruchu silnika (indeks górny)
s - stojan
z - dla próby zwarcia (indeks górny)
10
ROZDZIAŁ 1
WPROWADZENIE
11
1. Wprowadzenie.
1.1. Teza i omówienie pracy.
Silniki indukcyjne są najczęściej stosowanymi maszynami elektrycznymi
używanymi do przetwarzania energii elektrycznej na mechaniczną. Ocenia się, że
przeszło 50% całej energii elektrycznej wytwarzanej przez człowieka jest
przetwarzana w ten sposób. Każde usprawnienie konstrukcji czy działania skutkuje
poważnymi skutkami o znaczeniu środowiskowym i ekonomicznym. W przypadku
napędów regulowanych z silnikami indukcyjnymi wiarygodność modelu silnika ma
duże znaczenie, gdy ważną jest jakość regulacji i sterowania. Właściwy model jest
ważny również w przypadku, gdy wyniki symulacji z jego wykorzystaniem mają
być wykorzystane w praktyce.
Zjawiska fizyczne takie jak nasycenie elementów ferromagnetycznych,
wypieranie prądu w masywnych przewodnikach oraz nagrzewanie części
i elementów przewodzących są przyczyną, że modele, które ich nie uwzględniają,
dają mniej lub bardziej błędne wyniki. Najprostszym sposobem ominięcia
powyższych trudności jest wprowadzenie do modelu parametrów zależnych od
stanu pracy. Takie podejście zaproponowano np. w pracy [22] do opisu modelu
rozrusznika wiroprądowego współpracującego z silnikiem indukcyjnym
pierścieniowym. W efekcie powstał jednoklatkowy model silnika, którego schemat
zastępczy zawierał parametry zmienne w obwodzie wirnika zależne od nasycenia
i wypierania prądu. Kontynuacja tej idei m. innymi w pracach [17, 25] doprowadziła
do powstania modelu silnika, który uwzględniał wpływ wszystkich trzech zjawisk
fizycznych.
Jednym z celów niniejszej pracy jest zweryfikowanie wcześniejszych pomysłów
dotyczących uwzględnienia zjawisk cieplnych z wykorzystaniem techniki obliczeń
polowych. Przyjętą główną tezą pracy było, że modele obwodowe niestacjonarne są
skutecznym narzędziem analizy własności maszyn indukcyjnych pozwalającym
otrzymać wyniki obliczeń bardziej wiarygodne niż przy pomocy modeli
o parametrach stałych. Przyjęte w pracy modele niestacjonarne mają tą własność, że
w przypadku stałej prędkości silnika stają się modelami liniowymi. W niniejszej
rozprawie modele niestacjonarne są nazywane również „modelami o zmiennych
parametrach”.
12
W kolejnych punktach tego rozdziału określono obszar badań, którego dotyczy
praca, a także wskazano i pokrótce omówiono literaturę fachową, która dotyczy tego
obszaru.
Rozdział 2 jest poświęcony opisowi laboratoryjnego stanowiska badawczego
oraz testów eksperymentalnych w celu wyznaczenia wielkości potrzebnych do
identyfikacji i weryfikacji modelu. Zamieszczono wyniki opracowania danych
eksperymentalnych.
W rozdziale 3 analizowany jest wpływ nagrzewania uzwojeń silnika.
Zaproponowano i opisano modele obwodowe oraz polowe opisu zjawiska.
Wykonano z ich pomocą wyczerpujące obliczenia w celu uzyskania możliwie
prostej i wiarygodnej metody uwzględnienia zjawisk cieplnych w modelu
analizowanego silnika o parametrach zmiennych.
W rozdziale 4 przeprowadzono obliczenia elektromagnetyczne silnika
z wykorzystaniem programu do obliczeń polowych FLUX 2D. Uzyskane wyniki
porównano z pomiarem w celu oceny możliwości wykorzystania tej metody do
wyznaczania funkcji parametrów modelu niestacjonarnego.
W rozdziale 5 zdefiniowano w sposób formalny dynamiczny model
niestacjonarny silnika. Przeprowadzono jego identyfikację metodą regresji
nieliniowej. Zamieszczono wyniki identyfikacji.
Rozdział 6 zawiera informacje dotyczące weryfikacji opracowanego i badanego
modelu. Weryfikacja polega na porównaniu wyników symulacji i pomiarów w tych
stanach pracy silnika, które nie były brane pod uwagę w identyfikacji. W przypadku
próby zwarcia ze zmiennym napięciem ocenie poddano model dynamiczny
uwzględniający nasycenie obwodu magnetycznego i zjawiska cieplne. Ze względu
na znikome znaczenie (mała wysokość żłobka wirnika) pominięto wpływ zjawiska
wypierania prądu.
1.2. Modele maszyn elektrycznych.
Rola modeli w dziedzinie maszynach elektrycznych w zasadzie nie różni się od ich
znaczenia w innych dziedzinach nauki i techniki. Wyniki symulacji otrzymane przy
ich pomocy pozwalają oszacować zachowanie się istniejących lub projektowanych
maszyn bez potrzeby wykonania eksperymentów na rzeczywistym obiekcie.
W szczególności dotyczy to symulacji eksperymentów, które w warunkach
13
rzeczywistych są trudne lub niemożliwe do zrealizowania w interesujących stanach
pracy. Takie podejście stwarza również praktycznie nieograniczone możliwości
analizy zmian w przyszłym obiekcie. Pozwala to np. na skrócenie czasu, który w
przypadku projektowania jest potrzebny do budowy prototypu.
Wiarygodne wyniki analizy wymagają tworzenia dokładnych modeli
matematycznych. Powinny one opisywać zjawiska fizyczne zachodzące w badanych
urządzeniach (takich jak np: zjawiska elektromagnetyczne, mechaniczne czy
cieplne), które z punktu widzenia celu badań są istotne. Maszyna elektryczna jest
złożonym, nieliniowym obiektem fizycznym, czego efektem jest skomplikowany
model matematyczny. Często do celów obliczeniowych wprowadza się modele
uproszczone, w których pomija się zjawiska o mniejszym znaczeniu dla
analizowanych stanów pracy.
Istnieje wiele sposobów klasyfikacji modeli. W pracy zostaną pokrótce omówione:
• modele polowe i obwodowe,
• modele liniowe i nieliniowe,
• modele stacjonarne i niestacjonarne.
- Modele obwodowe i polowe.
Modele obwodowe zawierają elementy skupione takie jak źródła energii oraz takie
wielkości jak indukcyjności i pojemności reprezentujące konserwatywną część
systemu, czy też rezystancje reprezentujące w modelu zjawisko rozpraszania
energii. Wspomniane parametry są pewnymi wielkościami całkowymi
reprezentującymi w sposób syntetyczny własności generowania, magazynowania
i rozpraszania energii w jakimś obszarze. Jednym z najczęściej stosowanych
sposobów opisów przemiany energii jest wykorzystanie formalizmu Lagrange’a.
Proces tworzenia modelu polega na zdefiniowaniu pewnego funkcjonału energii
konserwatywnej części systemu zwanego funkcjonałem Lagrange’a, a następnie
zastosowaniu równań Eulera - Lagrange’a drugiego rodzaju w postaci rozszerzonej
dla systemu zawierającego również elementy niekonserwatywne:
14
ZDii
FFqL
qL
dtd
=+∂∂
−∂∂
' (1)
gdzie:
pk VTL −= - funkcjonał Lagrange’a reprezentujący konserwatywną część systemu,
kT - koenergia kinetyczna systemu,
pV - energia potencjalna,
ii qq ', - i-ta współrzędna i prędkość uogólniona,
ZF - siły zewnętrzne,
DF - siły dyssypacji.
DZ FF , są elementami niekonserwatywnej części systemu i reprezentują wymianę
energii z otoczeniem.
Efektem postępowania jest model matematyczny w postaci układu zwyczajnych
równań różniczkowych. Jeżeli współrzędne uogólnione były wybierane w taki
sposób, aby reprezentować stan energetyczny systemu, równania takie nazywa się
często równaniami stanu.
Istotnym problemem w maszynach indukcyjnych jest istnienie harmonicznych
przestrzennych i czasowych takich wielkości fizycznych jak np. napięcia, prądy,
indukcja magnetyczna, co skutkuje m. innymi powstaniem tak zwanych momentów
pasożytniczych synchronicznych i asynchronicznych [29, 55, 58]. Harmoniczne
czasowe są spowodowane odkształconymi napięciami zasilającymi, natomiast
harmoniczne przestrzenne są skutkiem użłobkowanej struktury wirnika i stojana.
Modele, które uwzględniają tylko podstawową harmoniczną czasową i przestrzenną
nazywane są modelami monoharmonicznymi. Najczęstszym założeniem
w przypadku analizy modeli wieloharmonicznych jest założenie stałej prędkości
obrotowej. W połączeniu z założeniem liniowości obwodu magnetycznego jest to
wystarczające do przedstawienia modelu wieloharmonicznego maszyny w postaci
układu równań liniowych, które przy wymuszeniach harmonicznych można
analizować z wykorzystaniem metody symbolicznej. Rozwiązanie liniowego układu
równań różniczkowych zwyczajnych sprowadza się wtedy do rozwiązania
zespolonego układu równań algebraicznych zespolonych, co jest znacznie prostsze
do rozwiązywania i analizy. Rozszerzenie modelu o uwzględnienie magnetycznej
15
nieliniowości skutkuje pojawieniem się m. innymi zbioru dodatkowych
harmonicznych prądów nieparzystego rzędu, których parametry są zależne od stanu
pracy maszyny. W ogólności przypadki takie można analizować prawie wyłącznie
metodami symulacyjnymi.
Podobną rolę, jaką w przypadku modeli obwodowych odgrywają równania
Lagrange’a, w modelach polowych pełnią równania Maxwella. Ich ogólna postać
różniczkowa jest [3, 14]:
tx
tx
V
∂∂
+=∇
=⋅∇∂∂
−=∇
=⋅∇
DjH
B
BE
D
0
ρ
(2)
natomiast całkowa:
∫
∫∫
∫∫
+=⋅
=⋅
−=⋅
⋅=⋅
LD
S
LB
V VS
dtdId
ddt
dd
dVd
Φ
Φ
ρ
lH
SB
lE
SD
0 (3)
Jeżeli do opisu modelu użyjemy równania Maxwella w postaci różniczkowej, to
dalsza analiza jest realizowana najczęściej metodami elementów skończonych lub
różnic skończonych. Wykorzystanie równania Maxwella w postaci całkowej
prowadzi do metody elementów brzegowych bazującej na teorii równań całkowych.
W odróżnieniu od modeli obwodowych związki pomiędzy wielkościami fizycznymi
w układzie są zdefiniowane w modelach polowych w każdym punkcie przestrzeni
przyporządkowanej maszynie.
Modele polowe są wykorzystywane od dość dawna tak do badania własności
maszyn indukcyjnych w stanach ustalonych i dynamicznych [9, 10] jak
wyznaczanie parametrów jego modeli obwodowych, np. [35, 67].
16
- Modele liniowe i nieliniowe.
Najprostszą, a zarazem dającą najszerszą możliwość analizy, jest postać liniowa
modelu. W przypadku tym równania definiujące model są liniową kombinacją
zmiennych i ich pochodnych względem czasu. Aby uzyskać taką formę równań,
w dziedzinie wirujących maszyn elektrycznych poszukuje się transformacji, w
wyniku których macierze indukcyjności, których elementy w ogólności zależą od
kąta obrotu, stają się macierzami o współczynnikach stałych. Jeżeli wspomniana
transformacja istnieje, to warunkiem koniecznym uzyskania liniowego układu
równań jest spełnienie założenia o stałej prędkości obrotowej i liniowości
magnetycznej obwodu.
Jeżeli powyższe nie zachodzi, model maszyny jest nieliniowy. Wyróżniamy dwa
typy nieliniowości, nieliniowość strukturalną i nieliniowość parametryczną. W
przypadku maszyn elektrycznych źródłem nieliniowości strukturalnych są składniki
równań zawierające iloczyny współrzędnych, ich pochodnych, lub funkcji
przestępnych, których argumentami są zmienne niezależne. Przykładem może być
siła elektromotoryczna rotacji przy zmiennej prędkości obrotowej w równaniu
napięciowym maszyny indukcyjnej.
Nieliniowość parametryczna powstaje, gdy wartość parametru modelu zależy od
zmiennych niezależnych. Przykładem nieliniowości parametrycznej jest
indukcyjność cewki z rdzeniem ferromagnetycznym o nieliniowej charakterystyce
magnesowania.
Szczególnie prostą postać modelu liniowego silnika indukcyjnego uzyskuje się przy
założeniach [25]:
• uzwojenie stojana jest trójfazowe,
• obwody elektryczne oraz struktura magnetyczna silnika są symetryczne tak
pod względem budowy jak własności materiałów aktywnych,
• wszystkie obwody magnetyczne są liniowe,
• rozkład pola magnetycznego w szczelinie powietrznej między stojanem
i wirnikiem jest sinusoidalny,
• strumień magnetyczny ma składową główną oraz rozproszenia,
• zmienne wirnika są sprowadzone do układu współrzędnych stojana –
zmienne te po transformacji będą oznaczone indeksem (’).
17
Przy powyższych założeniach w przypadku pracy maszyny w stanie ustalonym
z prędkością kątową rω model ma powszechnie znaną reprezentacje graficzną w
postaci schematu zastępczego:
Rs
Xμ RFe
Is
Es
R ’rs
Us
I ’r
XσsX ’σr
Iμ
Rys. 1 Schemat zastępczy silnika indukcyjnego.
gdzie:
sR - rezystancja uzwojenia fazowego stojana,
'rR - rezystancja fazowa uzwojenia wirnika sprowadzona na stronę stojana,
sXσ - reaktancja rozproszenia uzwojenia fazowego stojana,
'rXσ - reaktancja rozproszenia uzwojenia fazowego wirnika sprowadzona na stronę
stojana,
μX - reaktancja magnesująca,
FeR - rezystancja reprezentująca straty w żelazie dla jednej fazy,
sE - siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu fazowym stojana,
sU - napięcie fazowe uzwojenia stojana,
sI - prąd fazowy płynący w uzwojeniu stojana,
'rI .- prąd fazowy płynący w uzwojeniu wirnika sprowadzony na stronę stojana,
Iμ - prąd magnesujący
m
rms0
0
ωωω −
= - poślizg
m0ω - synchroniczna prędkość kątowa.
W przypadku modeli nieliniowych maszyn indukcyjnych postępowanie związane
z ich użyciem do analizy oraz z wyznaczaniem parametrów jest z reguły znacznie
18
bardziej złożone, co utrudnia ich zastosowanie w praktyce. Istnieje wiele prac
poświęconych temu zagadnieniu, np. [1, 2, 4, 5, 15, 26, 32, 56, 58, 63]. W wielu
pracach proponuje się postępowanie przybliżone, które obniża stopień złożoności
modelu nieliniowego.
- Modele stacjonarne i niestacjonarne.
Jeżeli jakiś parametr równania maszyny jest zależny od czasu w sposób jawny,
model taki będzie nazywany w pracy modelem niestacjonarnym. Modelami
stacjonarnymi będą nazywane te modele, dla których powyższy warunek nie
zachodzi.
Wykorzystanie idei modelu niestacjonarnego w znacznym stopniu upraszcza analizę
własności maszyn indukcyjnych uwzględniających zjawiska nasycenia obwodów
magnetycznych, efektu wypierania prądu, a także nagrzewania uzwojeń [17, 23, 25].
Praca jest poświęcona procedurze wyznaczania takiego modelu oraz badania jego
własności.
1.3. Zmienność parametrów schematu zastępczego.
W punkcie tym zostaną pokrótce omówione niektóre problemy związane
z zależnością parametrów modelu maszyny indukcyjnej od stanu pracy.
Znajomość modelu silnika indukcyjnego i jego parametrów ułatwia diagnostykę
i sterowanie rzeczywistym obiektem w różnych stanach pracy. Jednym z głównych
problemów na jakie można napotkać przy wyznaczaniu parametrów jest ich
zmienność, która wynika, np. dla indukcyjności, z wpływu nasycenia obwodów
magnetycznych, czy też dla rezystancji, z wpływu temperatury i efektu
naskórkowości. Metody wyznaczenia tych parametrów są opisane w literaturze. Tak
np. w [27] autor wykorzystuje idee zredukowania klasycznego modelu silnika,
w postaci schematu zastępczego typu „T”, do modelu, w którym indukcyjności
gałęzi podłużnej są reprezentowane poprzez jedną uśrednioną. Takie podejście jest
bardziej przyjazne z punktu widzenia przyszłych aplikacji dotyczących sterowania
rzeczywistym obiektem. Prezentowany w [27] model zredukowany jest od strony
wirnika, co oznacza, że wartość indukcyjności wirnika jest zawarta w stojanie
i w gałęzi poprzecznej schematu zastępczego.
19
1.3.1. Zmienności parametrów gałęzi poprzecznej schematu zastępczego.
Reaktancja magnesująca μX reprezentuje strumień główny silnika sprzęgający
uzwojenia stojana i wirnika. Zgodnie z rys. 1 wartość tej reaktancji jest równa:
μμ I
EX s= (4)
Wielkość sE jest wartością skuteczną siły elektromotorycznej indukowanej
w uzwojeniu stojana. Przyjmując jednoharmoniczny rozkład pola magnetycznego
w szczelinie powietrznej można określić [7] wartość skuteczną prądu
magnesującego μI jako:
11250
wkzm.pI
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=θπ
μ (5)
Zgodnie z prawem przepływu, jeżeli wartość θ jest przepływem obejmującym
jedną podziałkę biegunową stojana, to jest ona równa sumie spadków napięć
magnetycznych wzdłuż zamkniętego obwodu magnetycznego obejmującego ten
przepływ. Obwód ten ma elementy:
• szczelinę powietrzną (dwukrotnie),
• zęby stojana (dwukrotnie),
• zęby wirnika (dwukrotnie),
• rdzeń stojana,
• rdzeń wirnika.
W przypadku sinusoidalnego rozkładu pola w szczelinie wartość siły
elektromotorycznej sE jest związana ze strumieniem Φ zależnością:
Φπ ⋅⋅⋅⋅⋅= 1112 ws kzfE (6)
gdzie: iilB ατ ⋅⋅⋅=Φ 1
oraz π
α 2=i - współczynnik rozkładu pola w szczelinie.
20
Jeżeli rozkład pola nie jest sinusoidalny zależność (6) przyjmuje postać:
iiwBs lBkzfkE ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= τα11114 (7)
w której współczynnik kształtu krzywej pola Bk oraz współczynnik rozkładu pola
w szczelinie iα zależą od współczynnika nasycenia głównego obwodu
magnetycznego nzk zdefiniowanego jako:
c
mzmznz kB
VVk⋅⋅⋅⋅+⋅
⋅+=1
210 2
221δ
μ (8)
Współczynnik Cartera ck reprezentuje użłobkowaną strukturę stojana i wirnika.
Przebieg funkcji Bk i iα przedstawia rys. 2 [7].
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2knz
11.011.021.031.041.051.061.071.081.09
1.11.111.12
k B
0.625
0.65
0.675
0.7
0.725
0.75
0.775
0.8
0.825
0.85
αi
kB
αi
Rys. 2. Zależność współczynników kształtu Bk i zapełnienia podziałki
biegunowej iα od współczynnika nasycenia zębów nzk .
Próba wyznaczenia wartości parametru μX dla założonego stanu pracy maszyny
metodą obliczeniową jest związana z koniecznością rozwiązania złożonego układu
21
nieliniowych równań algebraicznych uwzględniających wszystkie elementy
wspomnianego wyżej obwodu magnetycznego. Biorąc pod uwagę skomplikowane
zależności definiujące spadki napięć magnetycznych w zębach i jarzmach stojana
i wirnika jest to proces złożony [13, 64], który musi być zrealizowany w przypadku
klasycznych obliczeń projektowych. Wartość parametru μX zależy od stanu
nasycenia obwodu magnetycznego, a tym samym od stanu pracy maszyny.
Zależność funkcyjna ( )sEX μ będzie wyznaczona w dalszej części pracy na drodze
obliczeniowo-pomiarowej poprzez zastosowanie odpowiedniej procedury
identyfikacji. Przykład takiej zależności przedstawia rys. 3 [13]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Es/UN
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Xμ/
Xμ0
Rys. 3. Zależność względnej reaktancji magnesowania od napięcia stojana
przykładowego silnika indukcyjnego.
22
B
B
B
B
B1
δ
δτ
δ
bx
X
m
x
Rys. 4. Przebieg indukcji magnetycznej w szczelinie powietrznej.
gdzie: B1 – amplituda podstawowej harmonicznej indukcji magnetycznej w szczelinie
Bm – indukcja magnetyczna średnia w obszarze podziałki biegunowej τ
(obliczeniowa),
Bδ – indukcja magnetyczna maksymalna przebiegu rzeczywistego,
Bδx– indukcja magnetyczna w punkcie x.
Rezystancja FeR na schemacie zastępczym silnika indukcyjnego (rys. 1)
reprezentuje straty mocy czynnej w rdzeniu FeP . Przyjmuje się, że są one sumą strat
podstawowych spowodowanych zjawiskami histerezy i prądów wirowych oraz strat
dodatkowych. Można zapisać, że:
Fe
sFe P
ER23⋅
= (9)
Najczęściej w klasycznych obliczeniach projektowych straty FeP reprezentują straty
biegu jałowego, a straty histerezowe i wiroprądowe oblicza się łącznie, dzieląc je na
straty w zębach:
23
3.12
50⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅= s
dsFedsdFedfBpmkP (10)
i w jarzmie:
3.1
2
50⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅= s
ysFeysyyfBpmkP (11)
gdzie:
dsm i ysm - masa zębów i jarzma stojana,
Fep - stratność blach przy indukcji 1 (T),
dsB i ysB - amplitudy indukcji w zębach i jarzmie stojana,
dk i yk - współczynniki wzrostu strat dla zębów i jarzma.
Współczynniki dk i yk uwzględniają czynniki (np. technologiczne), które
powiększają straty. Należą do nich:
• zgniot blach rdzenia na krawędziach wykroju,
• zwieranie blach wskutek zadziorów przy wykrawaniu i prasowaniu pakietu,
• obróbka mechaniczna rdzenia, niedoskonała izolacja blach, ich zwieranie
przez kadłub,
• spłaszczenie krzywej pola w szczelinie (powstawanie harmonicznych),
• straty w kadłubie,
• nierównomierny rozkład indukcji wzdłuż drogi w jarzmie.
Czasem przyjmuje się [13], że straty dodatkowe są w przybliżeniu równe stratom
podstawowym w zębach, pomnożone przez współczynnik Cartera.
Można przyjąć, że wielkością, która decyduje o wartościach parametrów μX oraz
FeR jest dla założonej stałej częstotliwości zasilania siła elektromotoryczna sE
indukowana w uzwojeniu fazowym stojana. Uzasadnia to zależność (6).
24
1.3.2. Zmienność parametrów gałęzi podłużnej schematu zastępczego.
Następujące trzy zjawiska fizyczne wpływają w sposób decydujący na wartości
parametrów gałęzi podłużnej schematu zastępczego:
a) zjawisko nagrzewania,
b) zjawisko naskórkowości,
c) zjawisko nasycenia elementów ferromagnetycznych.
Ad. a). Zmienna temperatura uzwojeń silnika jest przyczyną zmiany jej rezystancji.
Rezystancja może się zmienić tak na skutek zmiany temperatury otoczenia, jak na
skutek zmiany warunków chłodzenia czy też zmiany ilości ciepła dostarczanego
przez płynący prąd. W pracy przyjęte będzie założenie, że temperatura otoczenia
i warunki chłodzenia nie ulegają zmianie. Zgodnie z polskimi normami [51]
zależność pomiędzy rezystancją uzwojenia oraz jego temperaturą określa wzór:
- dla miedzi
00 235
235ϑϑ
+
+⋅= j
j RR (12)
- oraz dla aluminium
00 225
225ϑϑ
+
+⋅= j
j RR (13)
gdzie:
jR - rezystancja obliczona dla temperatury jϑ ,
0R - rezystancja przy temperaturze odniesienia 0ϑ
Zmiana temperatury rdzeni powoduje zmianę ich rezystywności, a to wpływa na
straty FeP .
Ad. b). Zjawisko naskórkowości występuje w przewodach elektrycznych, w których
płynie zmienny prąd. Intensywność tego zjawiska zależy od parametrów fizycznych
jak i geometrycznych uzwojenia. Jeżeli w maszynie indukcyjnej uzwojenie ma
25
stosunkowo niewielkie wymiary, co na przykład występuje w uzwojeniu stojana
małej maszyny, wpływ tego zjawiska jest niewielki i pomija się go. Zmniejszenie
wymiarów przewodu elementarnego uzwojenia stojana jest często celowym
zabiegiem projektanta dążącego do usunięcia przyczyn zmniejszenia sprawności
maszyny. Ze względu na wielkość maszyny indukcyjnej badanej w pracy
(PN=1.5kW), wpływ zjawiska naskórkowości na rezystancję uzwojenia stojana jest
pominięty.
W przypadku maszyn indukcyjnych klatkowych wpływ zjawiska naskórkowości na
rezystancje prętów klatki można pominąć tylko w przypadku małych lub bardzo
małych maszyn. Zjawisko polega na nierównomiernym rozkładzie gęstości prądu
w przekroju pręta (rys. 5) wskutek czego rezystancja pręta zwiększa się.
0 1 2 3 4 5j/j0
0
10
20
30
40
h pr (
mm
)
Rys. 5. Przykład rozkładu stosunkowej gęstości prądu w pręcie prostokątnym
w funkcji wysokości pręta dla częstotliwości 50 Hz (j0 – gęstość dla prądu
stałego).
Intensywność zjawiska zależy od takich czynników jak: częstotliwość prądu,
wymiary i kształty pręta, rezystywności i innych. Przykładowo podczas rozruchu
maszyny indukcyjnej częstotliwość prądu w uzwojeniu wirnika maleje ze wzrostem
prędkości obrotowej, wskutek czego wypieranie prądu w początkowej fazie
rozruchu jest największe, a przy pełnej prędkości praktycznie zanika. Zjawisko
wypierania prądu można badać metodami analitycznymi i numerycznymi [47, 64].
W jednej z metod analitycznych celem jest wyznaczenie impedancji przewodu
z niejednorodnym rozkładem prądu w przekroju, a zagadnienie rozwiązywane jest
dwuwymiarowo z założeniem jednakowego rozkładu pola wzdłuż żłobka.
26
Sprowadza się to do rozwiązania równania Helmholtza przy zadanych warunkach
brzegowych. Dla sinusoidalnych przebiegów czasowych ma ono postać [57]:
EE ⋅⋅=Δ 2wj α (14)
gdzie: γμωα ⋅⋅= 00w - współczynnik wypierania prądu,
1−=j
Po rozwiązaniu równania (14) znajomość wektora natężenia E jest wystarczająca do
obliczenia wydzielanego ciepła lub rezystancji.
Powyższa metoda jest skuteczna dla prostokątnych prętów, natomiast dla innych
kształtów pręta rozwiązania analityczne prowadzą do skomplikowanych wyrażeń.
Uproszczenie problemu do jednowymiarowego rozkładu pola reprezentuje tzw.
metoda „klasyczna”, pozwalająca na określenie stopnia intensywności zjawiska przy
pomocy dwóch współczynników Rk i Xk zdefiniowanych wzorami:
- dla rezystancji:
0X
XrR R
Rk = (15)
- dla reaktancji:
0X
XrX X
Xk = (16)
gdzie 0XR i 0XX są to wartości dla równomiernego rozkładem gęstości prądu
w przekroju, natomiast XrR i XrX są wartościami obliczonymi z uwzględnieniem
wypierania prądu.
Reaktancja XrX , jest w tym przypadku reaktancją żłobkową reaktancji rozproszenia
uzwojenia wirnika.
Wartości współczynników wypierania prądu można wyznaczyć uzależniając je od
współczynnika wysokości pręta ξ określonego wzorem:
27
γμωξ ⋅⋅⋅⋅= 0rż
prpr b
bh (17)
W przypadku pręta o przekroju prostokątnym współczynniki Rk i Xk mają
stosunkowo prostą postać.
( )( ) ξ
ξξ ξξ
ξξ
2cos5.02sin5.0
22
22
−+⋅+−⋅
⋅= ⋅−⋅
⋅−⋅
eeeekR (18)
( )( ) ξ
ξξ ξξ
ξξ
2cos5.02sin5.0
23
22
22
−+⋅−−⋅
⋅⋅
= ⋅−⋅
⋅−⋅
eeeek X , (19)
których przebieg zależności funkcyjnych przedstawia rysunek:
0 1 2 3 4 5ξ
0
1
2
3
4
5
k R
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
k X
kX
kR
Rys. 6. Współczynniki wypierania prądu dla pręta prostokątnego.
Zjawisko wypierania prądu można analizować również metodami numerycznymi.
Przykładem jest metoda przewodów elementarnych [57], która pręt w żłobku
traktuje jako sieć elektryczną o „n” gałęziach równoległych powiązanych ze sobą
sprzężeniami magnetycznymi, a linie pola zagęszcza się tak, aby gęstość prądu
28
w każdym z nich można było uznać za stałą. Z metody korzysta się w przypadku,
gdy kształt żłobka znacznie odbiega od kształtu prostokątnego.
Ad. c). Zjawisko nasycenia jest przyczyną zmniejszenia efektywnej przenikalności
magnetycznej materiałów ferromagnetycznych, co w przypadku obwodów
elektrycznych zawierających te materiały skutkuje zmniejszeniem odpowiadającej
reaktancji.
Obliczenie wpływu nasycenia na reaktancję rozproszenia wykonuje się w pierwszej
kolejności dla rozproszenia szczelinowego [57], to znaczy tej części strumienia
rozproszenia, która np. w przypadku uzwojenia stojana zamyka się wokół żłobków
stojana nie obejmując przepływu uzwojenia wirnika. Wartość przepływu tθ
powodującego rozproszenie w szczelinie przyjmuje się jako średnią algebraiczną
przepływu żłobka stojana i wirnika. Wprowadza się zastępczą indukcję δeB
w szczelinie powietrznej:
δθμδ ⋅
⋅=20
teB (20)
a następnie wprowadza się współczynnik κ nasycenia obwodu magnetycznego
przez strumienie rozproszone w postaci:
δμ
μθθ
κδ
δ
FeFe
Fe
et lBB
+===
(21)
przy czym pojęcie obwód magnetyczny dotyczy drogi strumienia odpowiadającej
średniej podziałce żłobkowej stojana i wirnika oraz dwukrotnego przejścia przez
szczelinę powietrzną.
Idea powyższego postępowania została zaproponowana po raz pierwszy przez
Normana [47]. W literaturze [13, 57] proponuje się aproksymować współczynnik κ
zależnością:
29
25.07
25.52 +
+=
δ
κeB
(22)
Poniższy rysunek przedstawia zależność współczynnika nasycenia od zastępczej
indukcji w szczelinie:
0 1 2 3 4 5 6Beδ
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
κ
Rys. 7. Zależność współczynnika nasycenia od indukcji zastępczej w szczelinie.
Współczynnik κ jest pośrednio związany z nasyceniem reaktancji żłobkowej.
Problem ten jest szeroko dyskutowany w literaturze dotyczącej projektowania.
Przykładowo w przypadku kształtu żłobka wirnika silnika badanego w pracy
b2
b1
b1n
bn0
h 1Δh
1
α0
αn
Rys. 8. Oznaczenia wymiarowe uwzględniające nasycenie rdzenia w pobliżu
otwarcia żłobka wirnika przy szczelinie powietrznej.
30
postępowanie sprowadza się do zwiększenia rzeczywistego otwarcia żłobka 1b do
wartości nb1 uwzględniającej nasycenie, gdzie np. wg [13]:
nn bbb 111 Δ+= (23)
( ) ( )κ−⋅−=Δ 1101 bbb nn (24)
( )120 431 bbbn −⋅⋅= (25)
oraz odpowiedniego zwiększenia wysokości otwarcia żłobka o wartość 1hΔ .
Zmienione wartości wymiarów otwarcia żłobka reprezentują wpływ nasycenia i są
wykorzystane przy obliczeniach przewodności, a następnie reaktancji żłobkowej.
Zjawisko nasycenia ma również wpływ na reaktancje od skosu. Dokładne obliczenie
tego wpływu jest skomplikowane i w przypadku modeli analitycznych możliwe do
uwzględnienia tylko na drodze obliczeń przybliżonych [13, 57].
Podobne rozumowanie jak w przypadku reaktancji rozproszenia wirnika obowiązuje
przy ocenie wpływu nasycenia na reaktancje rozproszenia uzwojenia stojana.
Należy zauważyć, że metoda oceny wpływu nasycenia na wartość reaktancji
rozproszenia przedstawiona powyżej ma związek z zasadą superpozycji i stąd ma
znaczenie wyłącznie przybliżone w praktyce, a dokładny wpływ tego zjawiska może
być określony wyłącznie na drodze odpowiednich obliczeń polowych
pozwalających na syntetyczne ujęcie zjawiska nasycenia.
1.3.3. Wpływ stanu pracy maszyny indukcyjnej na wartości parametrów jej modelu.
Obliczenia możliwe do przeprowadzenia już na etapie projektowania maszyny,
np. wg postępowania zasygnalizowanego w poprzednich rozdziałach, wskazują na
znaczny wpływ stanu pracy maszyny na wartości parametrów schematu
zastępczego. Sytuacja ta wynika głównie z dążności projektantów do
maksymalnego wykorzystania czynnych materiałów użytych do konstrukcji
maszyny.
31
W przypadku biegu jałowego prąd w uzwojeniu stojana jest minimalny, przez co
siła elektromotoryczna sE indukowana w uzwojeniach stojana osiąga wartość
maksymalną. Jest to równoznaczne z maksymalnym strumieniem w głównym
obwodzie magnetycznym, a to w efekcie końcowym jest przyczyną maksymalnego
nasycenia w tej części obwodu. Ma to swoje odbicie w wyraźnym zmniejszeniu
wartości reaktancji magnesującej μX , co ilustruje rys. 3. Duża wartość indukcji
magnetycznej w rdzeniach maszyny pociąga za sobą wyraźne zwiększenie strat
mocy czynnej w żelazie, co z kolei jest reprezentowane przez zależności (10-11),
a temu odpowiada zmiana rezystancji FeR zgodnie ze wzorem (9).
Drugim skrajnym stanem pracy maszyny jest stan zwarcia. Na skutek braku siły
elektromotorycznej rotacji w uzwojeniach stojana maszyna zachowuje się jak
transformator w stanie zwarcia. Przy znamionowym zasilaniu w uzwojeniach płyną
duże prądy, które w przypadku małych maszyn mogą przekroczyć nawet 8-krotnie
wartość znamionową. Powoduje to bardzo znaczne nasycenie strefy zębowej stojana
i wirnika. Zgodnie z wcześniejszymi uwagami ma to wpływ na reaktancje
rozproszenia uzwojeń powodując nawet kilkakrotne zmniejszenie ich wartości.
W tym stanie pracy w przypadku maszyn klatkowych o odpowiednio wysokich
żłobkach wirnika manifestuje się też zjawisko wypierania prądu. W większych
maszynach głębokożłobkowych może to spowodować kilkakrotny wzrost
rezystancji zastępczej uzwojenia wirnika.
Stanem pracy, w którym w sposób ciągły zmienia się wpływ zjawisk wypierania
i nasycenia jest rozruch maszyny. W przypadku pracy samotnej proces rozruchu jest
stosunkowo krótki, jednak w przypadku maszyn, szczególnie dużych,
zainstalowanych w napędach przemysłowych, np. kopalnianych, czas rozruchu
może wyraźnie wzrosnąć.
Wszystkie stany pracy charakteryzujące się występowaniem dużych prądów
powinny być reprezentowane przez modele, w których rezystancje zależą od
temperatury uzwojeń. Uzasadnieniem tej opinii może być fakt, że na przykład
w przypadku ciężkich rozruchów temperatura uzwojenia klatki wirnika może
wzrosnąć nawet o kilkaset stopni. Łatwo zauważyć, że w takim przypadku
rezystancja zastępcza uzwojenia może wzrosnąć ponad dwukrotnie. Ponieważ takie
wielkości jak poślizg krytyczny, moment i prąd zwarcia maszyny zależą wyraźnie
od wartości rezystancji, zjawiska nagrzewania uzwojenia nie można pominąć.
32
Podobne uwagi są słuszne w przypadku napędów regulowanych, ponieważ
w algorytmach sterowania wartość rezystancji uzwojenia wirnika ma istotny wpływ
na ich działanie.
Rozważania przeprowadzone w punktach 1.3.1-1.3.3. uzasadniają modyfikacje
modelu na rys. 1 dla stanu ustalonego do postaci zaproponowanej w [25]:
Rs( )ϑsjX (I )σs s
jXμ(E )s R (s, E )Fe s
Is
Es
R ’(s, )r ϑr
s
Us
jX ’(s, I )σr s
I ’rIμ
Rys. 9. Schemat zastępczy silnika indukcyjnego o parametrach zmiennych dla
stałej częstotliwości zasilania.
która uwzględnia wpływ stanu pracy maszyny na wartości parametrów modelu.
Rozważania w tym punkcie zostały przeprowadzone dla modelu jednoklatkowego.
Można zauważyć, że w przypadku innych modeli, np. wieloklatkowych opisane
zjawiska uzasadnią uzmiennienie parametrów również w tych modelach.
1.4. Procesy identyfikacji.
W odróżnieniu od modeli maszyny magnetycznie liniowych opisanych zwykle
przez zbiór ich parametrów, modele maszyn indukcyjnych uwzględniających
zjawiska nasycenia i wypierania prądu są opisywane z reguły przy pomocy funkcji
parametrów. To stwarza większe trudności w procedurze wyznaczania modeli.
Funkcje parametrów można wyznaczyć na drodze pomiarowej lub przy pomocy
obliczeń polowych. Postępowanie może być oddzielne dla parametrów gałęzi
poprzecznej i podłużnej schematu zastępczego, np. [27], lub w sposób syntetyczny
dla całego modelu.
Stosowane są metody obliczeń identyfikacyjnych polegających na zastosowaniu
metody najmniejszych kwadratów, metody największej wiarygodności, przy czym
33
wykorzystywane są tak algorytmy deterministyczne (gradientowa lub
bezgradientowa) jak genetyczne. Z reguły stosowane są metody optymalizacji
skalarnej, ale spotyka się również prace, w których wykorzystuje się optymalizację
wielokryterialną [23, 25]. Wiele szczególnych informacji dotyczących problemów
identyfikacji maszyn indukcyjnych można znaleźć w licznej literaturze fachowej,
np. [1, 12, 15, 26, 35, 38, 39, 65].
34
ROZDZIAŁ 2
WYKONANIE POMIARÓW SILNIKA INDUKCYJNEGO
35
2. Wykonanie pomiarów silnika indukcyjnego.
Celem wykonania pomiarów wybranych stanów pracy silnika indukcyjnego było
dostarczenie danych potrzebnych do identyfikacji i weryfikacji badanych modeli.
Zgodnie z procedurą przyjętą w rozprawie, a stosowaną już we wcześniejszych pracach
[21, 25], przeprowadzono próby:
• biegu jałowego,
• zwarcia,
• rozruchu i wybiegu,
• obciążenia.
Szczególną uwagę zwrócono na problem nagrzewania uzwojeń. W każdym
eksperymencie mierzono rezystancje uzwojenia stojana przed rejestracją i po jej
zakończeniu, co umożliwiło określić lub oszacować średnią temperaturę uzwojeń
silnika w czasie eksperymentu.
2.1. Opis układu napędowego i schematu pomiarowego.
Wszystkie pomiary wykonane zostały dla silnika indukcyjnego klatkowego
o poniższych danych katalogowych:
Silnik klatkowy typ Sg90L-4
PN=1.5 kW
UN=380 V
IN=3.7 A
cosϕN=0.797
nN=1420 obr./min.
Układ napędowy przedstawiony na rys. 10 umożliwił wykonanie pomiarów we
wszystkich potrzebnych stanach pracy silnika. Badany silnik był elementem
klasycznego układu Leonarda.
Zasilanie silnika realizowane było z autotransformatora o własnym układzie
napędowym rdzenia.
36
3M 3M
+ _ + _
Silnik badany
Rys. 10. Schemat układu napędowego.
W pomiarach wykorzystano system pomiarowy [21], który został opracowany
w czasie realizacji projektu badawczego KBN nr 4T10A03922 [24], którego autor
był wykonawcą. System składa się z:
• komputera PC z kartą pomiarową PCI 1710 firmy Advantech,
• zestawu pomiarowego złożonego z napięciowych i prądowych
przetworników LEM,
• impulsatora do pomiaru kąta obrotu z układem elektronicznym do obróbki
cyfrowej,
• programu do rejestracji danych w środowisku LabVIEW 6.0,
• pakietu programów w języku FORTRAN do obróbki danych pomiarowych.
Wyniki pomiarowe zostały zarejestrowane za pomocą przetwornika a/c i zapisane
na komputerze. Do karty pomiarowej doprowadzone zostały sygnały:
• napięć przewodowych RSU i TSU ,
• prądów RI i TI ,
• kąta obrotu z układu impulsatora i przetwornika c/a,
• napięcia i prądu stałego potrzebnych do wyznaczenia rezystancji.
37
Ogólny schemat pomiarowy przedstawia poniższy schemat:
W1
AsR
S
T
P1
W3
A2
**
*kKL
l
kKL
l
P2
A3
R
S
T
W2
UTS ITURS IR
Tr
A1
V1
Impulsator
URS
Pomiar kąta
ϕ
Stanowisko regulatora napięcia
UTS
Silnikbadany
*
PrzetwornikiLEM
{ {
Przetworniksygnału kąta
Rys. 11. Układ pomiarowy.
Dane pomiarowe były przetworzone z uwzględnieniem kompensacji błędów
statycznych i dynamicznych toru pomiarowego [21].
2.2. Pomiar biegu jałowego.
Celem pomiaru biegu jałowego silnika było uzyskanie danych potrzebnych do
założonego postępowania identyfikacyjnego. Jak wiadomo, dane te w decydującym
stopniu wpływają na parametry gałęzi poprzecznej schematu zastępczego (rys. 9).
Pomiar biegu jałowego wykonany został dla trzech różnych częstotliwości
napięcia zasilającego. I tak dla częstotliwości 50 Hz regulację zasilania realizowano
z autotransformatora o własnym układzie napędowym rdzenia, a dla częstotliwości
30 i 70 Hz do regulacji zasilania użyto generatora synchronicznego napędzanego
silnikiem prądu stałego. Mierzone były napięcie przewodowe, prąd liniowy oraz
moc czynna. Otrzymane wyniki przedstawione są w poniższych tabelach:
38
Tabela 1. Wyniki biegu jałowego:
a) dla częstotliwości 50 Hz.
URS [V] Iśr [A] P0 [W]
101 0.825 122.5
149 0.81 132
200.8 0.975 149
250 1.19 167.5
298 1.49 200
348 1.825 240
398.4 2.55 318
455.2 4.05 525
b) dla częstotliwości 30 Hz.
URS [V] Iśr [A] P0 [W]
60 0.675 60
92 0.725 67
121 0.925 79
150 1.16 92.5
184 1.525 119.5
220 2.125 172.5
242 2.78 235
248.4 3.1 270
c) dla częstotliwości 70 Hz.
URS [V] Iśr [A] P0 [W]
81 1.11 139.3
119.6 0.94 143.6
163.2 1.04 158.8
198 1.23 174.7
244.8 1.55 207.9
282 1.99 242.5
318.4 2.74 303.1
Na rys. 12 przedstawione zostały charakterystyki biegu jałowego w postaci
funkcji prądu oraz mocy biernej jednej fazy od napięcia zasilającego,
39
0 100 200 300 400 500napięcie międzyfazowe U0 (V)
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5sk
utec
zny
prąd
fazo
wy
I 0 (A
)
0 100 200 300 400 500napięcie międzyfazowe U0 (V)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
fazo
wa
moc
bie
rna
Q0 (
VA
r)
a) b)
Rys. 12. Charakterystyki skutecznego prądu fazowego 0I (a) i fazowej mocy
biernej (b) wyznaczone przy biegu jałowym silnika dla f=50 Hz.
a na rys. 13 - funkcje mocy czynnej wejściowej zmierzonej dla różnych
częstotliwości napięcia zasilającego.
0 100 200 300 400 500napięcie międzyfazowe U0 (V)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
wejśc
iow
a m
oc c
zynn
a (W
)
50 (Hz)30 (Hz)70 (Hz)
Rys. 13. Charakterystyki wejściowej mocy czynnej dla biegu jałowego.
40
Pomiar rezystancji uzwojenia fazy stojana przedstawiają wyniki:
a) w chwili rozpoczęcia testu: Ω= 75.4jsbR ,
b) w chwili zakończenia testu: Ω= 0.5jseR .
2.3. Próba zwarcia.
Wykonanie pomiaru polegało na zarejestrowaniu wspomnianych
wcześniej dwóch prądów i dwóch napięć liniowych. Napięcie zasilające
regulowane było w sposób ciągły, od wartości maksymalnej w dół, za
pomocą autotransformatora z własnym układem napędowym.
Poniższe wykresy przedstawiają zarejestrowane wielkości jednego z napięć
i prądów:
0 5 10 15 20 25czas (s)
-800
-400
0
400
800
napięc
ie m
iędz
yfaz
owe
(V)
0 5 10 15 20 25czas (s)
-40
-20
0
20
40
prąd
fazo
wy
(A)
a) b)
Rys. 14. Przebieg napięcia (a) i prądu (b) liniowego w czasie próby zwarcia.
Kolejne wykresy przedstawiają funkcje wartości skutecznych powyższego
napięcia i prądu liniowego
41
0 5 10 15 20 25czas (s)
050
100150200250300350400450
skut
eczn
e na
pięc
ie m
iędz
yfaz
owe
(V)
0 5 10 15 20 25czas (s)
0
4
8
12
16
20
24
28
skut
eczn
y prąd
fazo
wy
(A)
a) b)
Rys. 15. Funkcje wartości skutecznych napięcia (a) i prądu (b) liniowego stojana
w czasie próby zwarcia.
oraz funkcje mocy biernej i mocy czynnej wejściowej jednej fazy, które mogą
służyć jako wielkości odniesienia w procedurze identyfikacji modelu silnika
indukcyjnego.
0 5 10 15 20 25czas (s)
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
wejśc
iow
a m
oc c
zynn
a (W
)
0 5 10 15 20 25czas (s)
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
wejśc
iow
a m
oc b
iern
a (V
Ar)
a) b)
Rys. 16. Charakterystyka mocy biernej (a) oraz mocy czynnej (b) wejściowej
podczas próby zwarcia.
42
Dodatkowym pomiarem towarzyszącym próbie zwarcia był pomiar rezystancji
uzwojenia stojana przed i po eksperymencie, który wykonano metodą techniczną.
Potrzebne do tego napięcie i prąd były rejestrowane przy pomocy przetwornika a/c,
dzięki czemu zminimalizowano błąd oszacowania wartości rezystancji w chwilach
rozpoczęcia i zakończenia testu zwarcia.
Wykonanie próby zwarcia spowodowało wyraźne nagrzanie się uzwojeń
maszyny. W chwili odłączenia zasilania od uzwojeń stojana rozpoczął się proces
chłodzenia. Konieczna była aproksymacja funkcji rezystancji od chwili odłączenia
układu zasilania silnika do momentu rozpoczęcia pomiaru wielkości definiujących
rezystancje.
Rys. 17 przedstawia wynik tych działań:
0 2 4 6czas (s)
4.76
4.765
4.77
4.775
4.78
4.785
rezy
stan
cja
uzw
ojen
ia st
ojan
a (Ω
)
0 2 4 6 8czas (s)
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
6re
zyst
ancj
a uz
woj
enia
stoj
ana
(Ω)
a) b)
Rys. 17. Przebiegi czasowe zmierzonej rezystancji początkowej (a) i końcowej (b)
stojana metodą techniczną
Uzyskano wartości rezystancji jednej fazy stojana:
a) w chwili rozpoczęcia testu zwarcia: Ω= 4.773zsbR ,
b) w chwili zakończenia testu zwarcia: Ω= 5.926zseR .
43
2.4. Wybieg.
W celu określenia rozruchowego momentu elektrycznego na podstawie momentu
rozruchowego na wale wykonano test wybiegu silnika w celu uwzględnienia strat
mechanicznych. Wielkością rejestrowaną był kąt obrotu.
Na poniższym rysunku przedstawiono prędkość i przyspieszenie w czasie próby.
0 4 8 12 16 20czas (s)
0
50
100
150
200
250
300
pręd
kość
kąt
owa
(rad
/s)
0 50 100 150 200 250 300prędkość kątowa (rad/s)
-30
-25
-20
-15
-10
-5
przy
spie
szen
ie (1
/s2 )
a) b)
Rys. 18. Przebieg prędkości obrotowej w czasie (a) i przyspieszenia w funkcji
prędkości obrotowej (b) podczas wybiegu silnika badanego.
2.5. Rozruch.
Rozruch został przeprowadzony przy obniżonym napięciu zasilającym U=230V.
Ze względu na elastyczną sieć, napięcie na zaciskach silnika zmieniało się wraz
ze zmianą prądu. Pomiar wielkości napięć, prądów i sygnału napięciowego kąta
obrotowego wykonano przy pomocy systemu opisanego wcześniej.
Wynik rejestracji wielkości mierzonych jako funkcji czasu przedstawiają poniższe
rysunki.
44
0 0.4 0.8 1.2 1.6czas (s)
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
prąd
fazo
wy
(A)
0 0.4 0.8 1.2 1.6czas (s)
-400
-200
0
200
400
napięc
ie m
iędz
yfaz
owe
(V)
a) b)
Rys. 19. Przebieg napięcia (a) i prądu (b) liniowego podczas rozruchu.
Wielkości skuteczne tych wielkości są przedstawione na rys. 20
0 0.4 0.8 1.2 1.6czas (s)
0
2
4
6
8
10
12
skut
eczn
y prąd
fazo
wy
(A)
0 0.4 0.8 1.2 1.6czas (s)
210
215
220
225
230
235
skut
eczn
e na
pięc
ie fa
zow
e (V
)
a) b)
Rys. 20. Funkcje wartości skutecznych napięcia (a) i prądu (b) jednej fazy stojana
podczas rozruchu.
Przebiegi kąta i prędkości obrotowej uzyskane w wyniku obróbki sygnału
pomiarowego z impulsatora [21] są zamieszczone na rys. 21,
45
0 0.4 0.8 1.2 1.6czas (s)
0
20
40
60
80
100
120
140ką
t obr
otu
0 0.4 0.8 1.2 1.6czas (s)
0
40
80
120
160
pręd
kość
kąt
owa
(rad
/s)
a) b)
Rys. 21. Przebiegi w czasie podczas rozruchu zarejestrowanego kąta obrotu (a) i
obliczonej prędkości kątowej (b).
a czynna i bierna moc wejściowa jednej fazy stojana:
0 0.4 0.8 1.2 1.6czas (s)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
fazo
wa
moc
czy
nna
(W)
0 0.4 0.8 1.2 1.6czas (s)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
fazo
wa
moc
bie
rna
(VA
r)
a) b)
Rys. 22. Przebieg funkcji mocy biernej (a) i czynnej (b) wejściowej jednej fazy
stojana podczas rozruchu.
46
Wyniki na rys. 18 pozwalają oszacować przebieg funkcji elektrycznego momentu
rozruchowego na wale zgodnie z zależnością:
( ) ( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅= ω
ωωωω
dtd
dtdJT wr
el (26)
gdzie:
J - moment bezwładność wyznaczony wg procedury opisanej w [20],
dtd rω - pochodna funkcji prędkości wyznaczonej w próbie rozruchu silnika
badanego,
dtd wω - pochodna funkcji prędkości wyznaczonej w czasie wybiegu silnika
badanego.
0 20 40 60 80 100 120 140 160prędkość kątowa (rad/s)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
mom
ent
rozr
ucho
wy
(Nm
)
Rys. 23. Estymata elektrycznego momentu rozruchowego w funkcji prędkości
kątowej.
Dodatkowo wykonano pomiar rezystancji przed i po rozruchu wg procedury
opisanej w pkt. 2.3
47
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2czas (s)
4.6
4.64
4.68
4.72
4.76
rezy
stan
cja
uzw
ojen
ia st
ojan
a (Ω
)
0 0.4 0.8 1.2 1.6czas (s)
4.6
4.64
4.68
4.72
4.76
4.8
rezy
stan
cja
uzw
ojen
ia st
ojan
a (Ω
)
a) b)
Rys. 24. Przebiegi czasowe zmierzonej rezystancji początkowej (a) i końcowej (b)
uzwojenia stojana metodą techniczną.
Uzyskano wartości rezystancji jednej fazy stojana:
a) w chwili rozpoczęcia próby rozruchu: Ω= 4.717rsbR ,
b) w chwili zakończenia próby rozruchu: Ω= 724.4rseR .
2.6. Pomiary cieplne.
Do wykonania pomiaru nagrzewania uzwojeń stojana w silniku badanym
zmieniono konfiguracje połączeń uzwojeń fazowych łącząc je w szereg i zasilono je
z maszyny prądu stałego wg poniższego schematu.
U
V
W
X
Y
Z
A
V
3M
+ _
Rys. 25. Układ do pomiaru nagrzewania uzwojenia stojana.
48
Wielkościami mierzonymi w czasie rejestracji było napięcie i prąd płynący przez
uzwojenia. Wynikiem pomiaru są funkcje napięcia i prądu przedstawione na rys. 26.
Pomiar ten został wykorzystany do weryfikacji modeli cieplnych silnika.
0 100 200 300czas (s)
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
prąd
(A)
0 100 200 300czas (s)
60
62
64
66
68
napięc
ie (V
)
a) b)
Rys. 26. Przebieg napięcia (a) i prądu (b) podczas próby grzania.
Obliczona z wartości zmierzonych rezystancja uzwojeń połączonych szeregowo jest
przedstawiona na rys. 27. Pozwoliła ona na ocenę ich średniego stanu cieplnego
w każdej chwili czasowej eksperymentu,
0 100 200 300czas (s)
14
14.5
15
15.5
16
16.5
sum
a re
zyst
ancj
i (Ω
)
Rys. 27. Przebieg otrzymanej rezystancji uzwojeń stojana połączonych w szereg
podczas próby grzania.
49
a tym samym wykreślenie funkcji zmieniającej się temperatury uzwojeń w czasie
pomiaru wg (12):
0 50 100 150 200 250 300czas (s)
15202530354045505560
tem
pera
tura
uzw
ojeń
(°C
)
Rys. 28. Wyznaczona funkcja zmieniającej się średniej temperatury uzwojeń
stojana połączonych w szereg podczas próby grzania.
Uzyskano wartości rezystancji jednej fazy stojana:
a) w chwili rozpoczęcia próby nagrzewania: Ω= 4.754nsbR ,
b) w chwili t=30 (s) próby nagrzewania: Ω= 929.430nsR ,
c) w chwili zakończenia próby nagrzewania Ω= 368.5nseR
50
ROZDZIAŁ 3
MODELE CIEPLNE SILNIKA INDUKCYJNEGO
51
3. Modele cieplne silnika indukcyjnego.
Zjawisko nagrzewania w silniku elektrycznym przedstawione w punkcie 1.3.2 jest
wywołane stratami mocy czynnej, głównie w uzwojeniach stojana, wirnika i rdzeniach.
Straty elektryczne reprezentowane są poprzez rezystancje gałęzi podłużnej schematu
zastępczego (rys. 9), a wielkość tych strat zależy od prądów płynących przez uzwojenia.
Zjawisko to jest przyczyną między innymi zmiany temperatury, a tym samym zmiany
rezystancji uzwojeń.
Przedstawione poniżej modele cieplne silnika indukcyjnego mają na celu
wyznaczenie funkcji rezystancji uzwojeń w czasie wykonywania pomiaru.
W pierwszym podejściu do wyznaczenia tych funkcji utworzono obwodowy model
cieplny silnika klatkowego za pomocą pakietu Simulink znajdującego się w programie
Matlab.
W celu zwiększenia dokładności obliczeń i zweryfikowania modelu obwodowego
został utworzony cieplny model polowy. Do wykonania geometrii modelu i obliczeń
wykorzystano pakiet PDETool, który również znajduje się w Matlabie.
3.1. Modele obwodowe. [17, 18, 19, 43, 45, 46]
Analizowane były następujące trzy stany pracy silnika klatkowego:
• nagrzewanie uzwojenia stojana prądem stałym,
• zwarcie,
• rozruch.
Uzwojenia silnika są traktowane jako ciała cieplnie jednorodne o równomiernym
rozkładzie temperatury. Dopuszczone jest oddawanie ciepła do otoczenia.
Krótkie czasy niektórych procesów pozwalają na przyjęcie dodatkowego
założenia modelu o adiabatycznym charakterze zjawisk cieplnych w czasie tych
procesów.
Zmierzona wartość skuteczna prądu w pkt. 2.3 i 2.5 wprowadzana jest do modelu
jako wielkość wejściowa. Przebieg tych prądów wykorzystany jest do obliczenia
mocy czynnej potrzebnej do wyznaczenia ciepła w uzwojeniach.
Przyjęty model cieplny jest opisany ogólnym równaniem (27) przedstawiającym
nagrzewanie się uzwojenia silnika:
52
{ }ϑαϑΔ⋅⋅−Δ⋅
⋅=
Δ SPcmdt
d 1 (27)
gdzie: ϑ – temperatura ciała,
Δϑ – przyrost temperatury
c – ciepło właściwe,
m –jego masa,
P – moc źródła ciepła,
S – pole powierzchni, przez którą ciepło jest oddawane,
α – współczynnik oddawania ciepła.
3.1.1. Model cieplny dla próby nagrzewania prądem stałym.
Przyjęty model cieplny dla próby nagrzewania uzwojenia stojana przedstawia
równanie (28). Wyznaczenie parametrów Ss ⋅= αα i cmcm ⋅= polegało na
dopasowaniu ich wartości w celu uzyskania zadawalającego wyniku końcowego
tak, aby funkcja rezystancji otrzymana z obliczeń modelowych miała wartości
zbliżone do zmierzonej.
2
003 I
ddR
dtdc sm ⋅
++
⋅⋅=Δ⋅+Δ
⋅ϑϑϑαϑ (28)
gdzie: 0ϑ - jest temperaturą początkową
d- współczynnik cieplny rezystancji (dla miedzi przyjmuje wartość 235, a
dla aluminium 225)
I – prąd skuteczny w uzwojeniu.
W modelu uwzględniono funkcję wartości prądu (rys. 26b) zmierzonego podczas
próby nagrzewania. Porównanie wyników modelu cieplnego z wynikami
pomiarowymi przedstawia rys. 29, z którego wynika, że zaproponowany model
dobrze opisuje charakter zjawisk cieplnych.
53
0 5 10 15 20 25 30czas (s)
4.68
4.72
4.76
4.8
4.84
4.88
4.92
4.96
5
rezy
stan
cja
jedn
ej fa
zy st
ojan
a (Ω
)
pomiarmodel
0 5 10 15 20 25 30czas (s)
0
2
4
6
8
10
12
przy
rost
tem
pera
tury
Δϑ
s (°C
)
pomiarmodel
a) b)
Rys. 29. Porównanie otrzymanych funkcji rezystancji dla jednej fazy stojana (a)
i przyrostu temperatury (b) modelu z wynikami pomiarowymi.
Rys. 30 przedstawia schemat blokowy modelu obliczeniowego utworzonego
w pakiecie Simulink wg zależności (28) dla uzwojenia stojana:
2deta_s
1 Rs1
teta_s
teta_0
teta_0
u[1]^2
i^2 -K-
alfa_s_s
Rs
Product
1s
Integrator
-K-
Gain3
-K-
Gain2 -K-
Gain1
-K-
Gain
-C-
235/(235+teta_0)
-K-
1/(235+teta_0)
1i(t)
Rys. 30. Schemat blokowy do symulacji nagrzewania uzwojenia stojana.
3.1.2. Model cieplny dla próby zwarcia.
We wstępnym pierwszym etapie analizy utworzony został model, w którym silnik
potraktowany został jako całość bez podziału na stojan i wirnik. Obliczenia bazują
na zwarciowych danych pomiarowych, które są przedstawione na rys. 15 i rys. 16
54
(prąd zwarcia, moc zwarcia). Dodatkowo wyliczona została rezystancja zwarcia
w chwili początkowej t0 według równania:
( )( )0
20
0 3 tItPR
z
zz ⋅
= (29)
gdzie: Rz0 – rezystancja zwarcia w chwili t0=0,
Pz(t0), Iz(t0)– zmierzone wartości mocy czynnej i prądu skutecznego zwarcia
w chwili t0
Takie podejście pozwala wyznaczyć parametry równania (27) Ssz ⋅= αα
i cmcmz ⋅= potrzebne do obliczeń wyjściowego modelu cieplnego.
Po zastosowaniu metody regresji liniowej otrzymano równanie:
( ) bAAAc TT
sz
mz 1−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡α
(30)
gdzie: [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡Δ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ Δ= p
p
dtd
A ϑϑ
jest macierzą eksperymentu
Δϑp – funkcja zmienności temperatury wyznaczona z zależności [46]:
( ) ( )( )
( )( ) ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅= 11
20
0 tItI
tPtP
dt
z
z
z
zp Δ
ΔϑΔ (31)
[ ]zPb Δ= wektor zmierzonej mocy czynnej wejściowej
Tabela 2. Wartości wyznaczonych parametrów równania (27) wg (30).
αsz 19.1269
cmz 1452.874
Obliczone wartości liczbowe parametrów αsz i cmz podstawiono do modelu
cieplnego (27), a rozwiązanie Δϑ otrzymane z modelu zostało porównane z funkcją
Δϑp wyznaczoną przy pomocy pomiarów (rys. 31b).
55
0 5 10 15 20 25czas (s)
7.67.8
88.28.48.68.8
99.29.49.6
rezy
stan
cja
zwar
ciow
a R
z (Ω
)
Rz pomiarRz model
0 5 10 15 20 25czas (s)
0
10
20
30
40
50
60
przy
rost
tem
pera
tury
Δϑ
(°C
)
Δϑ pomiarΔϑ model
a) b)
Rys. 31. Porównanie otrzymanych funkcji rezystancji zwarciowej (a) i przyrostu
temperatury modelu (b) z wynikami pomiarowymi.
Z rys. 31 wynika, że zaproponowany model dobrze opisuje charakter zjawisk
cieplnych i może być wykorzystany do wyznaczenia modeli cieplnych stojana
i wirnika traktowanych jako niezależne układy.
Wartości współczynników cm i αs wyznaczane były metodą prób i błędów do
momentu uzyskania zadawalającego wyniku końcowego w taki sposób, aby funkcje
rezystancji stojana Rs oraz wirnika 'rR wynikające z rozwiązania (28) miały
wartości początkowe i końcowe równe zmierzonym. Postępowanie takie przyjęto
wobec braku innych informacji o procesie na tym etapie badań.
Model uwzględniał funkcję wartości skutecznej prądu (rys. 15) zmierzonego
podczas próby zwarcia jako wielkość wymuszającą.
W tabeli 3 przedstawiono wyznaczone wartości współczynników cm i αs dla
uzwojenia stojana i wirnika.
Tabela 3. Wartości współczynników αs i cm dla uzwojenia stojana i wirnika.
αss 0.122
cms 9.78
αsr 0.3
cmr 27.1
56
Uzyskane wyniki w postaci funkcji czasu rezystancji i temperatury uzwojeń stojana
i wirnika są przedstawione na rys. 32.
0 5 10 15 20 25czas (s)
3
4
5
6
7
rezy
stan
cja
uzw
ojen
ia R
s, R
' r (Ω
)
R'r
Rs
0 5 10 15 20 25czas (s)
0
10
20
30
40
50
60
70
przy
rost
tem
pera
tury
Δϑ
s, Δ
ϑr (
°C)
Δϑs
Δϑr
a) b)
Rys. 32. Przebiegi funkcji rezystancji uzwojeń (a) i ich przyrostu temperatury (b)
otrzymanych z rozwiązania modelu cieplnego.
Jako wielkości odniesienia w weryfikacji wyznaczonych modeli cieplnych
stojana i wirnika użyto przebieg rezystancji zwarciowej obliczony z zależności:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=
00 ϑ
ϑdd
RtR pzzp (32)
gdzie: Rzp – rezystancja zwarciowa z pomiarów
Rz0 – rezystancja zwarciowa w chwili t0=0
ϑp – uśredniona temperatura silnika wg rys. 29.
Na rys. 33 jest to krzywa Rz pomiar.
Następnie z wyników wyznaczonych za pomocą modelu cieplnego, w którym
uzwojenia stojana i wirnika traktowane są oddzielnie, została wyliczona funkcja
czasowa rezystancji zwarcia według równania (33).
57
( ) ( ) ( )tRtRtR rsz
'+= (33)
gdzie: Rz(t) – funkcja rezystancji zwarciowej z modelu,
Rs(t) – funkcja rezystancji stojana z modelu,
( )tRr' – funkcja rezystancji wirnika z modelu.
Porównanie rezystancji zwarciowych wyznaczonych powyższym sposobem
przedstawia rys. 33.
0 5 10 15 20 25czas (s)
7.6
8
8.4
8.8
9.2
9.6
rezy
stan
cja
zwar
ciow
a R
z (Ω
)
Rz pomiarRz model
Rys. 33. Porównanie rezystancji zwarciowej otrzymanej z modelu cieplnego dla
stojana i wirnika z pomiarem.
Schemat blokowy modelu obliczeniowego wg zależności (28) dla uzwojenia
stojana jest przedstawiony na rys. 30.
Dla uzwojenia wirnika został utworzony i wykorzystany w obliczeniach podobny
schemat blokowy.
3.1.3. Model cieplny dla rozruchu.
Proponowany model cieplny zdefiniowany w równaniu (27) odpowiada stanowi,
w którym wirnik silnika jest zablokowany. W przypadku rozruchu maszyny model
cieplny silnika rozbudowany został o człon, który uwzględnia chłodzenie
58
pochodzące od wentylacji wywołanej prędkością obrotową wirnika [30]. Ogólne
równanie dla tego przypadku zostało zdefiniowane poniżej:
[ ]{ }ϑαϑΔ⋅⋅+⋅⋅−Δ⋅
⋅=
ΔavkSP
cmdtd
011 (34)
gdzie: ϑ -temperatura ciała,
Δϑ - przyrost temperatury uzwojenia,
c – jego ciepło właściwe,
m –jego masa,
P – moc źródła ciepła,
S – pole powierzchni, przez którą ciepło jest oddawane,
k0 – współczynnik efektywności wentylacji,
α – współczynnik oddawania ciepła,
νa – prędkość obrotowa wirnika.
Współczynnik k0 związany z wentylacją od wirującego wirnika dla silnika
klatkowego został przyjęty na podstawie literatury [30], a wartości współczynników
cm i αs dla uzwojeń stojana i wirnika przyjęte zostały jak w pkt. 3.1.2 (tabela 3).
Można zauważyć, że jeżeli przyjmiemy prędkość va=0, to model cieplny opisany
równaniem (27) ma postać odpowiedniego modelu dla stanu zwarcia analizowanego
w pkt. 3.1.2.
Model uwzględniał funkcję wartości skutecznej prądu (rys. 20) zmierzonego
podczas rozruchu. Wynikiem rozwiązania modelu cieplnego (34) są przebiegi
funkcji rezystancji i przyrostu temperatury uzwojeń stojana i wirnika przedstawione
na rys. 34. Przebiegi przyrostów temperatury uzwojeń, dla których parametr 0=sα ,
oznacza założenie procesu adiabatycznego w modelu.
59
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2czas (s)
1
1.001
1.002
1.003
1.004w
zgle
dne
war
tosc
i Rs i
Rr
Rr
Rs
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2czas (s)
0
0.4
0.8
1.2
1.6
przy
rost
tem
pera
tury
Δϑ
s, Δ
ϑr (
°C)
Δϑs, αss=αss
Δϑr, αsr=αsr
Δϑr, αsr=0
Δϑs, αss=0
a) b)
Rys. 34. Funkcje rezystancji uzwojeń (a) i ich przyrosty temperatury (b) podczas
rozruchu.
Rys. 35 i rys. 36 przedstawiają schematy blokowe modelu obliczeniowego
wg zależności (33) dla uzwojenia stojana:
f(u)
n(t)i(t)
n(t)
Rr1
deta_r
Wirnik
simout
To Workspace
i(t)
n(t)
Rs1
deta_s
Stojan
ki
I2'/I1
f(u)
I(t)
Clock
Rys. 35. Model cieplny silnika z uwzględnieniem wentylacji od kręcącego się
wirnika.
60
2deta_s
1 Rs1
teta_s
teta_0
teta_0
u[1]^2
i^2
-K-
alfa_s_s1
-K-
alfa_s_s
Rs
Product1
Product
1s
Integrator
-K-
Gain3
-K-
Gain2 -K-
Gain1
-K-
Gain
-C-
235/(235+teta_0)
-K-
1/(235+teta_0)
2n(t)
1i(t)
Rys. 36. Model cieplny uzwojenia stojana z uwzględnieniem wentylacji od
kręcącego się wirnika (blok „stojan” na rys. 35).
3.2. Modele do polowych obliczeń cieplnych [42, 44].
Podejście do problemu symulacji zjawisk cieplnych silnika indukcyjnego tak jak
w pkt. 3.1. jest uproszczone i wymagało zweryfikowania proponowanych modeli.
Do tego celu utworzone zostały polowe modele cieplne silnika badanego, które
rozwiązywane są metodą polową przy pomocy cząstkowych równań
parabolicznych. Geometria oraz obliczenia polowe modeli wykonywane zostały
w oparciu o pakiet PDE Toolbox znajdujący się w programie Matlab 7.2. Pakiet ten
umożliwia obliczenia cieplne w dwuwymiarowym układzie współrzędnych.
Model cieplny zdefiniowany w równaniu (35) przedstawia nagrzewanie obszaru
jednorodnego w maszynie.
61
( ) Qkt
c =∇⋅⋅∇−∂∂
⋅⋅ ϑϑρ (35)
gdzie: ϑ - temperatura ciała ( C° ),
c – jego ciepło właściwe ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛°⋅ Ckg
J ,
ρ - gęstość ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
3mkg ,
k – współczynnik przewodzenia ciepła ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
°⋅ CmW ,
Q – źródło ciepła ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
3mW .
Model silnika został podzielony na obszary w taki sposób, aby każda
z wyodrębnionych części spełniała warunki ciała cieplnie jednorodnego.
W analizowanych modelach są to uzwojenia stojana i wirnika, pakiety blach stojana
i wirnika, szczelina powietrzna oraz warstwy izolacyjne między żłobkami
i rdzeniem.
3.2.1. Model silnika z uwzględnieniem symetrii.
Wykorzystując fakt, że silnik indukcyjny ma cztery bieguny, stojan ma
36 żłobków, a wirnik 28, pełny geometryczny model silnika został zredukowany
w obliczeniach polowych do jednej ćwiartki, na którą przypadało dziewięć żłobków
stojana i siedem żłobków wirnika. Model ten przedstawiony jest na rys. 37.
62
Rys. 37. Obliczeniowy model geometrii silnika (jedna ćwiartka).
Wykonanie geometrii modelu polegało na składaniu figur geometrycznych
i zapisaniu odpowiedniej formuły logicznej. Rys. 38 przedstawia wygląd ekranu
interfejsu graficznego, na którym przykładowo utworzony został jeden żłobek
wirnika.
Rys. 38. Geometria żłobka wirnika dla modelu obliczeniowego.
Na rys. 39 przedstawiony jest kompletny zestaw figur potrzebnych do utworzenia
modelu ćwiartki silnika. Po zapisaniu odpowiedniej formuły w miejscu oznaczonym
czerwoną ramką na rys. 39 można było przejść do kolejnego etapu, w którym można
było określić warunki brzegowe dla modelu.
63
Rys. 39. Kompletna geometria modelu obliczeniowego.
W modelu założono warunek brzegowy Neumana drugiego rodzaju w postaci:
( ) gqgradkn =⋅+⋅⋅ ϑϑ (36)
gdzie: ϑ - temperatura ciała ( )C° ,
n – składowa normalna,
k – współczynnik przewodzenia ciepła ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
°⋅ CmW ,
q – współczynnik przenoszenia ciepła ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
°⋅ CmW2 ,
g – strumień ciepła ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2mW .
64
Rys. 40. Warunki brzegowe dla modelu.
Na rys. 40 oznaczono cyframi 1-4 powierzchnie, dla których zdefiniowano warunki
brzegowe. Dla powierzchni 1, 2 i 3 w warunku Neumana założono brak oddawania
ciepła na zewnątrz. Natomiast dla zewnętrznej części pakietu oznaczonej cyfrą 4
dobrano parametry równania (36), tak aby ciepło z pakietu stojana mogło być
oddawane na zewnątrz.
Po zdefiniowaniu warunków brzegowych wyodrębniono obszary modelu, które
różniły się między sobą własnościami fizycznymi wynikającymi z użytego materiału
(żłobek stojana i wirnika, izolacja żłobkowa stojana, otaczająca powierzchnia
pakietów oraz szczelina powietrzna) i zdefiniowano dla nich parametry równania
cieplnego (35).
Kolejna ilustracja przedstawia wygenerowaną poprzez program przykładową siatkę
obliczeniową dla analizowanego modelu.
Przyjęcie do obliczeń tak gęstej siatki wynikało z geometrii modelu. Dla małych
elementów modelu, takich jak np. szczelina powietrzna i izolacja żłobkowa stojana
siatka jest odpowiednio zagęszczona, natomiast dla pozostałych elementów gęstość
siatki jest generowana przez program.
65
Rys. 41. Siatka obliczeniowa dla modelu ćwiartki silnika.
3.2.1.1. Wyniki próby nagrzewania dla modelu ćwiartki silnika.
Celem obliczeń polowych jest wyliczenie metodą iteracyjną średniej funkcji
rezystywności uzwojenia stojana przy założonej funkcji wymuszającej prądu stałego
wg rys. 26b.
W pierwszym podejściu do obliczeń przyjmuje się rezystywność uzwojeń jako
wartość stałą niezależną od czasu. Z otrzymanych wyników cieplnych obliczeń
polowych dla kolejnych kroków czasowych wylicza się średnią temperaturę dla
powierzchni żłobka stojana i wirnika, a następnie wg zależności (12 i 13) otrzymuje
się średnią rezystywność dla danego kroku obliczeń. Algorytm obliczenia średniej
rezystywności przedstawia rys. 42.
66
ρi=const
I=1
| - |<ρ ρ εi+1 i ρ
i=i+1
i>imax STOPN T
N T
ρ (t) - wg (12) i (13)i+1
maxt
rozwiązanie (35) (t)ϑ i
Rys. 42. Algorytm obliczania wartości średniej rezystywności.
Wyniki rozwiązania dla stałej rezystywności przedstawia iteracja 1 na rys. 43.
W kolejnych iteracjach do modelu polowego wprowadza się funkcję rezystywności
wyliczaną w poprzedzających obliczeniach.
67
0 10 20 30czas (s)
1.75E-008
1.76E-008
1.77E-008
1.78E-008
1.79E-008
1.8E-008
1.81E-008
1.82E-008
rezy
styw
ność
uzw
ojen
ia st
ojan
a ρ s
(Ωm
)
iteracja 1iteracja 2iteracja 3
Rys. 43. Funkcja średniej rezystywności uzwojenia stojana w kolejnych
iteracjach.
Jak widać z rys. 43, już po drugiej iteracji można zaobserwować zbieżność
procedury dla funkcji średniej rezystywności.
Wynikiem obliczeń polowych jest zmiana temperatury w czasie dla wydzielonych
obszarów jednorodnych. Poniżej przedstawione są wyniki obliczeń rozkładu
temperatury dla wybranych czasów symulacji podanych w sekundach (Time=0.1, 1,
2, 5, 10, 15, 20, 25 sek.).
68
Rys. 44. Wyniki obliczeń rozkładu temperatury dla próby nagrzewania.
69
3.2.1.2. Wyniki obliczeń dla próby zwarcia.
Procedura obliczeń funkcji średniej rezystywności uzwojeń stojana i wirnika jest
wykonana jak w pkt. 3.2.1.1. Wymuszeniem dla uzwojenia stojana jest funkcja
wartości skutecznej prądu przemiennego przedstawionego na rys. 15b, natomiast dla
uzwojenia wirnika funkcja wartości prądu została przyjęta zgodnie z procedurą
projektowania silnika [13].
0 5 10 15 20 25czas (s)
1.8E-008
1.9E-008
2E-008
2.1E-008
2.2E-008
2.3E-008
rezy
styw
ność
uzw
ojen
ia st
ojan
a ρ s
(Ωm
)
iteracja 1iteracja 2iteracja 3iteracja 4
0 5 10 15 20 25czas (s)
2.9E-008
3E-008
3.1E-008
3.2E-008
3.3E-008
3.4E-008
rezy
styw
ność
uzw
ojen
ia w
irnik
a ρ r
(Ωm
)
iteracja 1iteracja 2iteracja 3iteracja 4
a) b)
Rys. 45. Funkcje średniej rezystywności dla uzwojeń stojana (a) i wirnika (b)
w kolejnych iteracjach.
Jak widać z rys. 45, już po trzeciej iteracji funkcji średniej rezystywności można
uznać procedurę za zbieżną.
Wyniki zmiany temperatury w czasie obliczeń polowych dla wydzielonych
obszarów jednorodnych przedstawia rys. 46 dla wybranych czasów symulacji.
70
Rys. 46. Wyniki obliczeń modelu ćwiartki silnika dla próby zwarcia.
71
3.2.2. Uproszczony polowy model cieplny.
Obliczenia polowe dla modelu ćwiartki silnika są długotrwałe i pracochłonne.
Celem kolejnego etapu jest skrócenie czasu obliczeń poprzez utworzenie
w pierwszej kolejności modelu uproszczonego sprowadzonego do jednej podziałki
żłobkowej stojana, a następnie dwóch modeli, w których żłobek stojana i wirnika
potraktowano oddzielnie.
3.2.2.1. Uproszczony polowy model cieplny do jednej podziałki żłobkowej.
Model obliczeniowy silnika dla jednej podziałki żłobkowej odpowiadał podziałce
żłobkowej stojana i został wykonany dla jednego żłobka stojana, jednego żłobka
wirnika oraz odpowiadającej części pakietu blach. W rzeczywistym silniku
badanym podziałka żłobkowa stojana sτ jest mniejsza od podziałki żłobkowej
wirnika rτ (rys. 47a). W tym przypadku model, który ma być uproszczony do jednej
podziałki żłobkowej można dopasowywać na wiele sposobów przyjmując różne
kryteria.
Do analizy w pracy przyjęto model, w którym podziałka żłobkowa wirnika została
zmniejszona do podziałki żłobkowej stojana. W modelu tym pomniejszone zostały
proporcjonalnie wymiary geometryczne żłobka wirnika. Tak uproszczony model
przedstawiony jest na rys. 47b. Podejście to umożliwiło wykorzystanie warunków
symetrii w definicji warunków brzegowych.
72
τs
τr
τs
1
2
3
4
a) b)
Rys. 47. Modele: (a) rzeczywisty, (b) obliczeniowy sprowadzony do jednej
podziałki żłobkowej stojana.
W powyższym modelu wymiary żłobka wirnika oraz otaczającego wycinka
pakietu blach są zmniejszone, a więc aby wycinek wirnika odwzorowywał
rzeczywistość dodatkowo zmieniono parametry równania cieplnego (35) tak, aby
procesy cieplne w żłobku były takie same jak w żłobku wirnika o wymiarach
rzeczywistych. Zmniejszenie gabarytów wycinka wirnika równocześnie w osiach
x i y podyktowane zostały brakiem możliwości analizy anizotropii materiałowej
w wykorzystywanych obliczeniach polowych przy pomocy oprogramowania
Matlab.
W modelu przyjęto warunek brzegowy Neumana drugiego rodzaju podobnie jak
dla modelu z jedną ćwiartką silnika. I tak dla powierzchni 2-4 (rys. 47b) założono
brak możliwości oddawania ciepła na zewnątrz, a dla powierzchni oznaczonej cyfrą
1 dobrano parametry równania (36), tak aby ciepło mogło być oddawane z pakietu
stojana na zewnątrz. Odniesieniem były wyniki pomiarowe.
73
3.2.2.2. Obliczenia dla próby nagrzewania.
Rys. 48 przedstawia kolejne iteracje funkcji średniej rezystywności dla uzwojenia
stojana podczas próby nagrzewania wg procedury w pkt. 3.2.1.1.
0 5 10 15 20 25 30czas (s)
1.75E-008
1.76E-008
1.77E-008
1.78E-008
1.79E-008
1.8E-008
1.81E-008
1.82E-008
1.83E-008re
zyst
ywność
uzw
ojen
ia st
ojan
a ρ s (
Ωm
)
iteracja 1iteracja 2iteracja 3
Rys. 48. Funkcja średniej rezystywności dla uzwojenia stojana w kolejnych
iteacjach.
Wyniki obliczeń dla modelu uproszczonego do jednej podziałki żłobkowej stojana
dla wybranych czasów symulacji podanych w sekundach (Time= 0.1, 5, 10, 15, 20,
25 sek.) przedstawia rys. 49.
74
Rys. 49. Wyniki obliczeń dla próby nagrzewania modelu uproszczonego do jednej
podziałki żłobkowej stojana.
Porównanie modeli dla jednej ćwiartki silnika oraz jednej podziałki żłobkowej
stojana podczas próby nagrzewania przedstawia rys. 50.
75
0 5 10 15 20 25 30czas (s)
1.75E-008
1.76E-008
1.77E-008
1.78E-008
1.79E-008
1.8E-008
1.81E-008
1.82E-008
1.83E-008
rezy
styw
ność
stoj
ana
ρ s (Ω
m)
model ćwiartkamodel uproszczony
Rys. 50. Porównanie funkcji średniej rezystywności uzwojenia stojana otrzymanej
z analizowanych dwóch modeli polowych silnika
Można zaobserwować dobrą zgodność wyników sugerującą możliwość
wykorzystania modelu uproszczonego w dalszych badaniach zamiast modelu
ćwiartki silnika.
3.2.2.3. Obliczenia dla próby zwarcia.
W modelu polowym uproszczonym do jednej podziałki żłobkowej stojana dla
uzwojeń stojana i wirnika przyjęto funkcje wymuszające jak w pkt. 3.2.1.2.
Na rys. 51 przedstawione są funkcje rezystywności stojana i wirnika w kolejnych
iteracjach, a na rys. 52 wyniki rozwiązania obliczeń polowych dla wybranych
czasów symulacji podanych w sekundach (Time= 0.1, 5, 10, 15, 20, 25 sek.).
76
0 5 10 15 20 25czas (s)
1.8E-008
1.9E-008
2E-008
2.1E-008
2.2E-008
2.3E-008
rezy
styw
ność
uzw
ojen
ia st
ojan
a ρ s
(Ωm
)
iteracja 1iteracja 2iteracja 3iteracja 4
0 5 10 15 20 25czas (s)
2.9E-008
3E-008
3.1E-008
3.2E-008
3.3E-008
3.4E-008
rezy
styw
ność
uzw
ojen
ia w
irnik
a ρ r (
Ωm
)
iteracja 1iteracja 2iteracja 3iteracja 4
a) b)
Rys. 51. Funkcje średniej rezystywności modelu uproszczonego dla uzwojeń
stojana (a) i wirnika (b) w kolejnych iteracjach.
77
Rys. 52. Wyniki obliczeń modelu cieplnego dla jednej podziałki żłobkowej
stojana.
W celu zweryfikowania modelu uproszczonego do jednej podziałki żłobkowej
stojana wykonano obliczenia dla modelu ćwiartki silnika. Wynikiem są
przedstawione na rys. 53 funkcje rezystywności uzwojeń stojana i wirnika.
0 5 10 15 20 25czas (s)
2.9E-008
3E-008
3.1E-008
3.2E-008
3.3E-008
3.4E-008
rezy
styw
ność
uzw
ojen
ia w
irnik
a ρ r
(Ωm
)
model ćwiartkamodel uproszczony
0 5 10 15 20 25czas (s)
1.7E-008
1.8E-008
1.9E-008
2E-008
2.1E-008
2.2E-008
2.3E-008
rezy
styw
ność
uzw
ojen
ia st
ojan
a ρ s
(Ωm
)
model ćwiartkamodel uproszczony
a) b)
Rys. 53. Porównanie funkcji średniej rezystywności uzwojenia stojana (a)
i wirnika (b) otrzymanej z analizowanych dwóch modeli polowych
silnika.
78
Jak widać z powyższych ilustracji model uproszczony daje dobre wyniki, które
porównane zostały z modelem pełnym silnika i może być używany w dalszych
obliczeniach.
3.2.2.4. Uproszczone modele cieplne silnika dla jednego żłobka stojana oraz jednego żłobka wirnika.
Kolejnym uproszczeniem modelu cieplnego silnika są modele, w których żłobek
stojana i wirnika potraktowano jako oddzielne układy cieplnie niezależne. Funkcje
wymuszające oraz procedura obliczeń funkcji średniej rezystywności uzwojeń dla
tych modeli zostały przyjęte jak w pkt. 3.2.1.2.
Model cieplny dla jednej podziałki żłobkowej stojana składa się z jednego żłobka
stojana, odpowiedniej części pakietu stojana, warstwy izolacji żłobkowej oraz
szczeliny powietrznej (rys. 54a). Model cieplny dla jednej podziałki żłobkowej
wirnika przedstawia rys. 54b, w którym został przyjęty jeden żłobek wirnika,
odpowiednia część pakietu blach wirnika oraz szczelina powietrzna.
W modelach założono dla powierzchni 1-4 warunek brzegowy Neumana drugiego
rodzaju bez możliwości oddawania ciepła na zewnątrz.
a) b)
1
2
3
4
1
2
3
4
Rys. 54. Uproszczone obliczeniowe modele cieplne dla jednego żłobka stojana (a)
oraz jednego żłobka wirnika (b)
79
Funkcje rezystywności dla stojana i wirnika po ostatniej iteracji porównano dla
modelu (rys. 55):
• ćwiartki silnika,
• uproszczonego do jednej podziałki żłobkowej stojana,
• uproszczonego do jednego żłobka stojana,
• uproszczonego do jednego żłobka wirnika.
0 5 10 15 20 25czas (s)
2.9E-008
3E-008
3.1E-008
3.2E-008
3.3E-008
3.4E-008
rezy
styw
ność
uzw
ojen
ia w
irnik
a ρ r
(Ωm
)model ćwiartkamodel uproszczonymodel 1-żłobek
0 5 10 15 20 25czas (s)
1.7E-008
1.8E-008
1.9E-008
2E-008
2.1E-008
2.2E-008
2.3E-008
rezy
styw
ność
uzw
ojen
ia st
ojan
a ρ s (
Ωm
)
model ćwiartkamodel uproszczonymodel 1-żłobek
a) b)
Rys. 55. Porównanie funkcji średniej rezystywności uzwojenia stojana (a) i
wirnika (b) otrzymanej z analizowanych czterech modeli polowych
silnika.
W modelach o jednym żłobku stojana oraz jednym żłobku wirnika przyjęcie
warunków brzegowych Neumana bez możliwości oddawania ciepła na zewnątrz dla
wszystkich powierzchni modeli (rys. 54 a i b) spowodowała niewielką różnicę
otrzymanych funkcji rezystywności stojana i wirnika w porównaniu z poprzednimi
modelami.
Poprzez modyfikację warunku brzegowego Neumana na brzegu ze szczeliną
powietrzną powierzchni 4 w modelu z jednym żłobkiem stojana (rys. 54a) oraz dla
powierzchni 2 w modelu z jednym żłobkiem wirnika (rys. 54b) można uzyskać
wyniki symulacji dla tych modeli prawie tak dobrych jak dla pełnego modelu
cieplnego.
Na rys. 56 przedstawione są wyniki rozwiązania obliczeń polowych modelu
o jednym żłobku stojana dla wybranych czasów symulacji podanych w sekundach
(Time= 0.1, 5, 10, 15, 20, 25 sek.)
80
Rys. 56. Wyniki obliczeń modelu cieplnego dla jednego żłobka stojana.
To samo dla modelu z jednym żłobkiem wirnika jest przedstawione na rys. 57.
81
Rys. 57. Wyniki obliczeń modelu cieplnego dla jednego żłobka wirnika.
Przedstawione wyniki, w szczególności na rys. 55, uzasadniają celowość
posługiwania się modelem z jedną podziałką żłobkową stojana i zmodyfikowaną
podziałką żłobkową wirnika (rys. 47b), ponieważ otrzymane wyniki dla takiego
modelu są bliższe wynikom dla modelu pełnego (rys. 37) niż otrzymane przy
pomocy oddzielnych modeli jednego żłobka stojana (rys. 54a) i jednego żłobka
wirnika (rys. 54b).
82
3.3. Porównanie modeli obwodowych i polowych.
Otrzymane rozwiązania modeli obwodowych i polowych dla rezystancji
uzwojenia stojana (rys.58a) i wirnika (rys. 58b) porównano z wynikami
pomiarowymi.
0 5 10 15 20 25czas (s)
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
rezy
stan
cja
uzw
ojen
ia w
irnik
a R
' r (Ω
)pomiarmodel obwodowypolowe
0 5 10 15 20 25czas (s)
4.8
5
5.2
5.4
5.6
5.8
6
rezy
stan
cja
uzw
ojen
ia st
ojan
a R
s (Ω
)
pomiarmodel obwodowymodel polowy
a) b)
Rys. 58. Porównanie rezystancji uzwojeń modelu polowego i obwodowego dla
próby zwarcia.
W obliczeniach obwodowych rezystancja uzwojenia stojana jest wyliczana
w modelu cieplnym jako suma rezystancji uzwojenia w części żłobkowej oraz
w połączeniach czołowych. W przypadku obliczeń polowych rezystancja uzwojenia
jest sumą rezystancji części uzwojenia w żłobku (metoda polowa) oraz części
rezystancji uzwojenia połączeń czołowych otrzymanej z rozwiązania modelu
obwodowego silnika.
83
ROZDZIAŁ 4
ELEKTROMAGNETYCZNE OBLICZENIA POLOWE
84
4. Elektromagnetyczne obliczenia polowe
Obliczenia elektromagnetyczne z wykorzystaniem modelu polowego silnika
wykonane zostały za pomocą programu FLUX 2D. Program ma budowę modułową.
Licencja pozwala na dwuwymiarową analizę zagadnień elektromagnetycznych metodą
elementów skończonych.
Program posiada własny interfejs graficzny działający w środowisku Windows,
w którym kolejno:
• zamodelowano geometrię modelu,
• utworzono siatkę obliczeniową,
• zdefiniowano obwód elektryczny silnika indukcyjnego,
• dokonano przydziału własności fizycznych do poszczególnych obszarów,
• wykonano obliczenia,
• przeprowadzono analizę otrzymanych wyników.
Ogólnymi zaletami oprogramowania w tworzeniu modelu są możliwość sprzężenia
ruchu liniowego i obrotowego, sprzężenia z zewnętrznym obwodem elektrycznym,
wykonanie analizy wieloparametrycznej na etapie obliczeń i obróbki wyników, analizy
stanów statycznych nieustalonych, możliwość użycia wielu układów współrzędnych itp.
W pracy obliczenia były zrealizowane przy pomocy programu o ograniczonej
licencji, z dostępem do modułów: „Magneto Static”, „Steady AC magnetic”, „Transient
magnetic”.
Utworzenie geometrii modelu silnika jest proste dzięki możliwości
wprowadzania wymiarów w sposób parametryczny co pozwala w prosty sposób
zmieniać kształty oraz przeprowadzać analizę jedno i wieloparametryczną modelu.
Poniżej przedstawiony jest wygląd ekranu interfejsu graficznego oraz proponowany
model obliczeniowy silnika indukcyjnego.
85
Rys. 59. Interfejs graficzny programu FLUX 2D z proponowanym modelem
silnika.
Następnym krokiem było utworzenie obwodu elektrycznego, który reprezentuje
uzwojenia silnika badanego (rys. 60). Wymuszeniami w modelu są źródła napięciowe
V1, V2, V3 umieszczone w fazach obwodu elektrycznego stojana, natomiast prądy
płynące w uzwojeniach silnika są wyznaczane przez program.
86
Rys. 60. Model obwodu elektrycznego stojana silnika i jego klatki (blok Q1)
utworzony w FLUX 2D dla wymuszenia napięciowego.
Zadawanie własności fizycznych i materiałowych dla wyodrębnionych regionów
modelu (rys. 62a) wykonuje się w kolejnym podprogramie FLUXA. Rys. 61
przedstawia zdefiniowaną charakterystykę magnesowania materiału M530-50A, który
jest przydzielony obszarom reprezentującym pakiet blach silnika.
Rys. 61. Interfejs graficzny z charakterystyką magnesowania B(H) dla M530-50A.
87
Po zdefiniowaniu wielkości fizycznych i materiałowych program generuje siatkę
obliczeniową (rys. 62b), która powstaje za pomocą zdefiniowanych punktów gęstości
siatki (Mesh points) rozmieszczonych na liniach geometrii modelu. Parametry tych
punktów określają zagęszczenie struktury siatki. Program kontroluje poprawność
wygenerowanej siatki co zapewnia otrzymanie wyników z odpowiednią dokładnością.
Wybranie większego zagęszczenia siatki w szczelinie powietrznej spowodowane jest
dużą zmiennością gradientu gęstości energii magnetycznej w tym obszarze.
Rys. 62. Podział modelu silnika na obszary (a) oraz wygenerowania siatka
obliczeniowa (b).
Przeprowadzenie obliczeń dla modelu silnika wykonuje się za pomocą modułu Solver
2D (rys. 63), w którym można wybrać i zdefiniować zmienność wybranych parametrów
(jedno i wieloparametryczność). Otrzymane wartości zdefiniowanych parametrów w
wyniku obliczeń są automatycznie przenoszone do innych modułów programu.
a) b)
88
Rys. 63. Interfejs graficzny modułu Solver 2D do wykonywania obliczeń (zakładka „Options”).
Użytkownik może definiować parametry rozwiązania, w szczególności jego dokładność
i wybór metody.
Po wykonaniu obliczeń w module Solver 2D, dzięki wbudowanemu w oprogramowanie
post-procesorowi, można w prosty sposób przeglądać wyniki obliczeniowe oraz
przeprowadzać szczegółową analizę. Na rys. 64 przedstawiony jest przykład interfejsu
graficznego programu PostPro 2D,
89
Rys. 64. Przykład interfejsu graficznego modułu PostPro 2D do prezentacji i analizy wyników.
a na rys. 65a prezentacja rozkładu lini sił pola magnetycznego w pakietach stojana
i wirnika. Rys. 65b ilustruje rozkład indukcji magnetycznej dla biegu jałowego
w chwili t=0.
Rys. 65. Przykładowa prezentacja wyników wykonanych w PostPro 2D. Linie sił (a) i indukcja (b) w stanie ustalonym dla biegu jałowego w chwili t=0.
a) b)
90
4.1. Obliczenia polowe dla biegu jałowego.
Wynikiem obliczeń polowych za pomocą programu Flux 2D dla biegu jałowego
przy różnych częstotliwościach napięcia zasilającego przedstawia rys. 66. Jak widać
na poniższym rysunku, opracowany model polowy silnika dobrze odzwierciedla
zjawiska zachodzące w maszynie dla biegu jałowego.
Rozbieżność wyników dla małych wartości napięcia wynika z wpływu strat
mechanicznych w silniku rzeczywistym i jego braku w modelu.
0 100 200 300 400skuteczne napięcie fazowe (V)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
skut
eczn
y prąd
fazo
wy
(A)
pomiar 70 Hzobliczenia 70 Hzpomiar 50 Hzobliczenia 50 Hzpomiar 30 Hzobliczenia 30 Hz
Rys. 66. Porównanie wyników obliczeń polowych z pomiarowymi dla biegu
jałowego.
4.2. Obliczenia polowe dla próby zwarcia.
Obliczenia polowe dla próby zwarcia wykonane zostały dla temperatury
początkowej pϑ i końcowej kϑ uzwojenia stojana, które wynikały ze zmierzonej
rezystancji przed (rys. 17a) i po pomiarze (rys. 17b) zwarcia.
91
0 50 100 150 200 250 300skuteczne napięcie fazowe (V)
02468
10121416182022242628
skut
eczn
y pr
ad fa
zow
y (A
)
flux dla ϑp
flux dla ϑk
pomiar
0 50 100 150 200 250 300skuteczne napięcie fazowe (V)
0
4000
8000
12000
16000
20000
wejśc
iow
a m
oc c
zynn
a (W
)
flux dla ϑp
flux dla ϑk
pomiar
a) b)
Rys. 67. Otrzymane wyniki obliczeń polowych dla prądu fazowego stojana (a) oraz mocy czynnej wejściowej (b) w czasie zwarcia.
Z rys. 67 i rys. 68 wynika, że uwzględnienie zjawisk cieplnych w obliczeniach
polowych dla zwarcia powinno dać lepsze dopasowanie modelu silnika.
40 80 120 160 200 240 280skuteczne napięcie fazowe (V)
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
wejśc
iow
a m
oc b
iern
a (V
ar) flux dla ϑp
flux dla ϑk
0 100 200 300skuteczne napięcie fazowe (V)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
mom
ent z
war
ciow
y (N
m) flux dla ϑp
flux dla ϑk
a) b)
Rys. 68. Wyniki obliczeń polowych: wpływ temperatury na moment zwarciowy (a) i wejściową moc bierną (b) w czasie zwarcia.
92
4.3. Próba wyjaśnienia różnic wynikających z obliczeń polowych.
Z porównania wyników obliczeń polowych wykonanych za pomocą programu
Flux 2D i przedstawionych w pkt.4.2 z pomiarami silnika indukcyjnego dla zwarcia
otrzymano różnice (rys. 67), które wynikają z odstępstw między przyjętym do
obliczeń modelem, a rzeczywistym silnikiem indukcyjnym.
Jedną z przyczyn, które wpłynęły w znacznym stopniu na wyniki obliczeń jest
ograniczenie programu Flux 2D, który umożliwia obliczenia modeli silników tylko
bez skosu żłobków. Brak możliwości uwzględnienia skosu żłobków wirnika
występującego w badanym silniku spowodowało pominięcie w całkowitej reaktancji
rozproszenia klatki wirnika reaktancji pochodzącej od skosu żłobków. Można
oszacować wzorem (37) [13]:
tsqsqsq kXX ⋅⋅= σμ 0 (37)
gdzie: tsqk - współczynnik technologiczny klatek odlewanych,
- reaktancja dla strumienia głównego:
2
80 107540 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅⋅= −
pkN
kdlf.X wss
c
ss δμ (38)
- współczynnik rozproszenia wywołanego skosem:
21 sqsq k−=σ , sq
sq
sq
sink
α
α2
2 ⋅= (39)
W próbie zwarcia napięcie zmieniało się od wartości maksymalnej w dół. Gdyby nie
było powyższych przyczyn, to punkty pomiarowe na rys. 67 dla napięcia
maksymalnego powinny być minimalnie oddalone od krzywych obliczeniowych
dla temperatury początkowej pϑ , a dla napięcia minimalnego – od krzywej dla
temperatury kϑ . Wyniki na rys. 67 wskazują, że oczekiwania te są bliskie prawdy.
93
Można zauważyć, że powyższe rozważania dotyczące poszukiwania przyczyn
niedokładności modelu dotyczą elementów gałęzi podłużnej schematu zastępczego
silnika, czyli dotyczą tylko tych stanów pracy maszyny, w których jest ona aktywna.
Potwierdzeniem tej tezy jest zgodność wyników obliczeń z pomiarami dla biegu
jałowego silnika w pkt. 4.1 (rys. 66).
94
ROZDZIAŁ 5
IDENTYFIKACJA MODELI SILNIKA INDUKCYJNEGO
95
5. Identyfikacja modeli silnika indukcyjnego.
5.1. Model niestacjonarny i o parametrach stałych.
W identyfikacji modelu silnika asynchronicznego przyjęto model niestacjonarny
zaproponowany i analizowany w [25], rozszerzony o uwzględnienie zjawisk
cieplnych. Model ma taką własność, że dla stałej prędkości obrotowej staje się
modelem silnika magnetycznie liniowego reprezentowanym przez klasyczny
jednoklatkowy schemat zastępczy [25, 34]. Modyfikacja polega na tym, że parametry
modelu zależą od stanu pracy maszyny.
Dla modelu niestacjonarnego przyjęto założenia, które zostały przedstawione
w pkt. 1.2, oraz dodatkowo przyjęto następujące założenia dotyczące modelu nie
zmieniające ogólności rozważań:
• wszystkie parametry modelu mogą być funkcjami czasu,
• analizowane są quasi-stacjonarne stany pracy maszyny,
• układem odniesienia jest stojan,
• silnik jest zasilany symetrycznym, trójfazowym układem napięć fazowych
o amplitudzie VS i pulsacji ω0, tzn. ν ν0 0 0 0 0s r s ri i= = = =' ' ,
• zmiennymi stanu są strumienie skojarzone na sekundę zdefiniowane jako
Ψ i i= ⋅ω λ0 .
Przy powyższych założeniach równania stanu we współrzędnych d-q dla modelu
silnika klatkowego o zmiennych parametrach mają formę:
a) równania napięciowe
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅+⋅⋅
−
−⋅+⋅⋅
−
⋅−⋅+
⋅
⋅−⋅+
⋅
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
'
'
0
'
0
'00
''0
'0
'
10
10
010
001
00
dr
qr
ds
qs
ssrrr
rssrr
srrs
srrs
ds
qs
dtd
DXR
DXR
dtd
DXR
DXR
DXR
dtd
DXR
DXR
dtd
DXR
ψψψψ
ωωω
ωω
ω
ω
ω
νν
μ
μ
μ
μ
(37)
96
b) równanie momentu
( )Jp
ddt
p i i Tr ds qs qs ds⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅ ⋅ =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅ ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
⋅ ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅ ⋅ − ⋅ −2 1 3
2 200ω
ωψ ψ (38)
c) równanie cieplne – zgodnie z (27)
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ){ }r,sr,sr,sr,es
r,sr,s
r,s SPcmdt
dϑΔαΔ
ϑ⋅⋅−
⋅=
1 (39)
gdzie: Xi – reaktancje ( ii LX ⋅= 0ω )
( )
( )
tsinV
tcosVD
XXi
DXX
i
XXXD
XXX
XXX
Sds
Sqs
'drds
'rr
ds
'qrqs
'rr
qs
'rrss
'r
'rr
sss
0
0
2
ων
ων
ψψ
ψψ
μ
μ
μ
μσ
μσ
⋅−=
⋅=
⋅−⋅=
⋅−⋅=
−⋅=
+=
+=
Xσs, '
rXσ , Xμ – odpowiednio reaktancja rozproszenia stojana, wirnika, oraz
reaktancja magnesująca.
Model reprezentowany jest poprzez jednoklatkowy schemat zastępczy, przedstawiony
na rys. 9. Zakłada się, że parametry analizowanego modelu silnika są funkcjami czasu.
Funkcje parametrów są zdefiniowane [17] jak poniżej:
97
( ) ( )( ) ( )[ ]{ }( ) ( )[ ( )]( )
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]{ ( )][ }sakaIaaaI,sX
sakaka,sR
EaEaEaaEX
EaEaEaas/E,sR
IaaaIXkaR
Xss'
r
Rrrr'r
sXsXsXXs
srsrsrr.
sFe
sss
ssss
794108
765
33
2210
66
44
220
51432
1
111
1
13
11
−⋅−⋅⋅−⋅−⋅=
⋅⋅⋅+⋅⋅=
⋅+⋅+⋅+=
⋅+⋅+⋅+⋅+=
⋅⋅−⋅−⋅=⋅=
κ
ϑϑ
κϑϑ
σ
ϑ
μ
σ
ϑ
(40)
gdzie: 101 aa − - zmienne w procesie identyfikacji,
κ - krzywe Normana do opisu wpływu zjawiska nasycenia na reaktancje
rozproszenia (krzywa na rys. 7),
s – poślizg,
XR k,k - współczynniki wypierania prądu dla prętów wirnika tak jak w 1.3.
Ad. b (rys. 6),
0235
235
s
ssk
ϑϑ
ϑ ++
= ,
0225
225
r
rrk
ϑϑ
ϑ ++
=
Równania (40) są rozszerzeniem równań podanych w [25] polegającym na
uwzględnieniu wpływu temperatury na wartości rezystancji sR i 'rR . Wpływ ten
reprezentują funkcje ( )ssk ϑϑ i ( )rrk ϑϑ . Równania te były wykorzystane w pracy [17].
Parametry a1 – a10 mają interpretacje fizykalną. Np. a1, a5 – rezystancje uzwojeń
w chwili początkowej, a2, a8 – reaktancje rozproszeń nienasycone.
Zakłada się, że wielkości Is, Es, s, ( )ssk ϑϑ , ( )rrk ϑϑ w równaniach (40) są
funkcjami czasu. Współczynniki funkcji opisujących RFe i Xμ są wyznaczane przy
pomocy metody regresji liniowej zastosowanej w każdej iteracji procesu
optymalizacji w identyfikacji.
Zastosowano procedurę identyfikacyjną oraz oprogramowanie opisane w [25].
Zakłada się, że poszukiwane parametry modelu są wynikiem rozwiązania problemu
optymalizacji w postaci:
98
|Fmin:P VV a
MaX ℜ⊂∈a (41)
gdzie: a –zbiór poszukiwanych parametrów tak jak w (40),
aX - dopuszczalny obszar optymalizacji
F f f fV N N J J Z Z= ⋅ + ⋅ + ⋅α α α' ' ' - jest minimalizowaną funkcją celu będącą
zmodyfikowaną funkcją chi-kwadrat [25],
α α αN J Z' ' '+ + = 1 , α α αN J Z
' ' ', , ≥ 0 - współczynniki α α αN J Z' ' ', ,
reprezentujące priorytety odpowiadające stanom pracy silnika uwzględnionym
w identyfikacji, a zarazem parametry metody mnożników rozwiązania problemu
optymalizacji wielokryterialnej,
ZJN f,f,f - funkcje kryterialne odpowiednio dla stanu znamionowego, biegu
jałowego i rozruchu.
Każdy z rozważanych stanów pracy silnika jest reprezentowany w identyfikacji przez
odpowiednią funkcję kryterialną oznaczoną jako:
∑= ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅
⋅=
kN
jk
j,P
ej,
mj,
j,I
ej,s
mj,s
kk
PPIIN
f1
211
2
21
σσ (42)
gdzie: k – indeks wskazujący stan pracy silnika, Z,J,Nk = ,
Is ,I σ - ustalony prąd skuteczny stojana oraz jego błąd pomiarowy,
kN - liczba próbek dla k-tego stanu pracy silnika.
e – górny indeks oznaczający wartość zmierzoną
m – górny indeks oznaczający wartość obliczoną przy pomocy modelu.
W obliczeniach identyfikacyjnych przedstawiono wyniki dla modeli o stałych
i zmiennych parametrach schematu zastępczego silnika (rys. 9).
Dla modelu o zmiennych parametrach, parametry a2, a3, a4, a8 i a10 w równaniach (40)
są zmiennymi w procesie optymalizacji, natomiast parametry a1 i a5 reprezentujące
rezystancje uzwojenia stojana i wirnika założone zostały jako wartości stałe.
Zmienność temperatury uzwojeń w czasie pomiaru uwzględniono poprzez
wprowadzenie odpowiednich funkcji do procedury identyfikacji. Pominięcie
99
parametrów a6 i a7 w identyfikacji, które reprezentują wypieranie prądu w prętach
wynika z niewielkiej wysokości żłobka wirnika (14.93 mm).
Dodatkowo w optymalizacji przyjęto ograniczenia dla parametrów a8 i a10:
3103
282
22812281
a.aa.a.aa.⋅≤≤⋅
⋅≤≤⋅
Stałe liczbowe w powyższych ograniczeniach są wynikiem wcześniejszej analizy
obliczeń projektowych dla badanego silnika.
Natomiast w modelu o stałych parametrach zmiennymi optymalizacji są parametry a1,
a2, a5 i a8. Zostały przyjęte dla nich poniższe ograniczenia w procesie optymalizacji:
0703945204025604
8
5
2
1
.a.
.a.
.a..a.
≤≤≤≤≤≤≤≤
Powyższe ograniczenia definiują zbiór Xa w (41).
Wyniki rozwiązania problemu identyfikacyjnego zdefiniowanego w (41)
przedstawia, gdzie współczynniki równań (40) parametrów schematu zastępczego
silnika zostały zapisane dla modeli o stałych (Model const) i zmiennych (Model var)
parametrach.
100
Tabela 4. Wyniki rozwiązań problemu VP (41).
Model const Model var Wielkość przed
optymalizacją po optymalizacji
przed
optymalizacją po optymalizacji
a1 5.0 6.16 4.773 4.773
a2 3.0 3.555 1.0 3.697
a3 0 0 0.36 0.341
a4 0 0 0.74 0.986
a5 3.0 2.5 3.0333 3.0333
a6 0 0 0 0
a7 0 0 0 0
a8 5.0 3.0 1.0 6.654
a9 0 0 0 0
a10 0 0 0.76 0.75
aX0 - 101.8 - 88.435
aX1 - 0 - 0.54614
aX2 - 0 - -0.1786e-2
aX3 - 0 - -0.37158e-5
ar0 - 0.17535e-2 - 0.31059e-2
ar2 - 0 - -0.74233e-7
ar4 - 0 - 0.2280e-11
ar6 - 0 - -0.19134e-16
j,Iσ bieg jałowy – 0.03 A zwarcie – 0.3 A
j,Pσ bieg jałowy – 3 W zwarcie – 200 W
FV 11.469 2.7281 267.43 0.10806
W tabeli 4 umieszczona została wartość funkcji celu przed i po optymalizacji. Zasady
wyliczenia minimum funkcji celu przy spełnionych warunkach zbieżności
przedstawiono w [25].
101
Przedstawione wyniki dotyczą przypadku, gdy w identyfikacji są uwzględnione funkcje
kryterialne reprezentujące stan biegu jałowego oraz zwarcia silnika. Funkcje ( )ssk ϑϑ
i ( )rrk ϑϑ zostały wyznaczone przed identyfikacją na drodze pomiarowej [17, 18, 19,
43, 45, 46] i wprowadzone do procedury obliczeniowej.
Analizę porównawczą wyników identyfikacyjnych dla modeli z wynikami
pomiarowymi przedstawione zostały dla dwóch stanów pracy silnika:
• biegu jałowego,
• zwarcia.
Otrzymane wielkości obliczeniowe związane z analizowanym modelem o parametrach
zmiennych są wynikiem iteracyjnego rozwiązania schematu zastępczego na rys. 9.
5.2. Porównanie wyników identyfikacji dla biegu jałowego.
Poniżej zestawiono wyniki porównania rozwiązania dla modeli o stałych (model-
const) i zmiennych (model-var) parametrach z pomiarem. Rys. 69 przedstawia
przebiegi skutecznego prądu fazowego oraz fazowej mocy czynnej podczas biegu
jałowego.
0 100 200 300skuteczne napięcie fazowe (V)
0
100
200
300
400
500
fazo
wa
moc
czy
nna
(W)
pomiarmodel-varmodel-const
0 100 200 300skuteczne napięcie fazowe (V)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
skut
eczn
y prąd
fazo
wy
(A) pomiar
model-varmodel-const
a) b)
Rys. 69. Skuteczny prąd fazowy (a) oraz fazowa moc czynna (b) podczas biegu
jałowego.
102
Można zauważyć, że dopasowanie modelu o zmiennych parametrach do wyników
pomiarowych jest lepsze. Nieuwzględnienie wpływu nasycenia obwodu głównego
maszyny na wartość prądu i mocy wejściowej w modelu o stałych parametrach jest
przyczyną prawie liniowych przebiegów prądu i kwadratowej zależności od
napięcia dla mocy czynnej.
0 50 100 150 200 250siła elektromotoryczna fazowa (V)
20
40
60
80
100
120
140
reak
tanc
ja m
agne
sują
ca (Ω
)pomiarmodel-varmodel-const
0 50 100 150 200 250siła elektromotoryczna fazowa (V)
600700800900
100011001200130014001500160017001800
rezy
stan
cja
RFe
(Ω)
pomiarmodel varmodel-const
a) b)
Rys. 70. Rezystancja RFe (a) i reaktancja magnesująca μX (b) podczas testu biegu
jałowego.
Przedstawione na rys. 70 funkcje parametrów gałęzi poprzecznej schematu
zastępczego silnika w funkcji siły elektromagnetycznej potwierdzają zmienność
parametrów RFe i Xμ podczas próby biegu jałowego.
103
5.3. Porównanie wyników identyfikacji dla próby zwarcia.
Rys. 71 przedstawia charakterystyki zwarcia. Można zauważyć, że na rys. 71a
przebieg prądu dla modelu o stałych parametrach jest prawie liniowy. Przyczyną
tego jest brak uwzględnienia nasycenia obwodu rozproszenia, który jest
uwzględniony przez model o parametrach zmiennych.
0 50 100 150 200 250 300skuteczne napięcie fazowe (V)
0
5
10
15
20
25
30
skut
eczn
y pr
ad fa
zow
y (A
)
pomiarmodel-varmodel-const
0 50 100 150 200 250 300skuteczne napięcie fazowe (V)
0
4000
8000
12000
16000
wejśc
iow
a m
oc c
zynn
a (W
) pomiarmodel-varmodel-const
a) b)
Rys. 71. Skuteczny prąd fazowy (a) oraz wejściowa moc czynna (b) podczas
próby zwarcia.
Na rys. 72a przedstawione zostały funkcje parametrów gałęzi podłużnej schematu
zastępczego silnika (rys. 9), a na rys. 72b funkcje parametrów gałęzi poprzecznej
podczas próby zwarcia.
104
0 50 100 150 200 250 300skuteczne napięcie fazowe (V)
2
3
4
5
6
7re
zyst
ancj
e R s,
R'r i
reak
tanc
je X
σs, X
' σr si
lnik
a (Ω
)
Xσs
Rs
R'rX'σr
0 50 100 150 200 250 300skuteczne napięcie fazowe (V)
0
100
200
300
400
500
600
700
rezy
stan
cja
R Fe i r
eakt
ancj
a Xμ
(Ω)
XmiRfe
a) b)
Rys. 72. Parametry silnika podczas próby zwarcia.
Analiza wyników na rys. 70 i rys. 72 pozwala zauważyć, że przyjęcie stałych
parametrów schematu zastępczego dla każdego stanu pracy silnika może prowadzić
do błędnych wyników obliczeniowych symulacji (model-const). Przyjęcie
parametrów silnika jako funkcji (model-var) otrzymuje się dokładniejsze
dopasowanie modelu do wyników pomiarowych (rys. 69 i rys. 71).
105
ROZDZIAŁ 6
WERYFIKACJA MODELI
106
6. Weryfikacja modeli.
Dla celów weryfikacji modeli wykonano pomiary dla następujących stanów pracy
maszyny:
• obciążenie w stanie ustalonym,
• zwarcia traktowanego jako proces przejściowy
• rozruchu silnika.
W obliczeniach symulacji dynamiki wykorzystano istniejące oprogramowanie
w języku Fortran [25]. Było ono wykorzystywane również w pracy badawczej [24].
6.1. Weryfikacja modeli na podstawie charakterystyk roboczych.
Poniższe rysunki przedstawiają porównanie wyników obliczeń przy pomocy
wyznaczonych modeli z pomiarami. Można zauważyć, że rys. 73-75 przedstawiają
lepsze dopasowanie modelu o zmiennych parametrach do zmierzonego prądu
fazowego uzwojenia stojana silnika. Należy mieć na uwadze, że żaden punkt
charakterystyk roboczych, w szczególności znamionowy, nie był brany pod uwagę
w identyfikacji.
0 500 1000 1500 2000 2500moc czynna wyjściowa (W)
2
3
4
5
6
7
skut
eczn
y prąd
fazo
wy
(A)
pomiar-varmodel-varmodel-const
0 500 1000 1500 2000 2500moc czynna wyjściowa (W)
0
1000
2000
3000
4000
moc
czy
nna
wejśc
iow
a (W
) pomiar-varmodel-varmodel-const
a) b)
Rys. 73. Skuteczny prąd fazowy (a) oraz wejściowa moc czynna (b).
107
0 500 1000 1500 2000 2500moc czynna wyjściowa (W)
0.2
0.4
0.6
0.8
1co
sϕ
pomiar-varmodel-varmodel-const
0 500 1000 1500 2000 2500moc czynna wyjściowa (W)
0.2
0.4
0.6
0.8
spra
wność
pomiar-varmodel-varmodel-const
a) b)
Rys. 74. Współczynnik mocy ϕcos (a) oraz sprawność silnika (b).
0 500 1000 1500 2000 2500moc czynna wyjściowa (W)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
pośl
izg
pomiar-varmodel-varmodel-const
Rys. 75. Poślizg.
6.2. Weryfikacja modeli na podstawie zwarcia w stanie przejściowym.
Zmieniające się liniowo napięcie zwarcia, które uzyskano za pomocą
autotransformatora z własnym układem napędowym, pozwala na analizę
i weryfikację modeli w stanie przejściowym silnika dla próby zwarcia. Wynikiem
weryfikacji modeli jest przebieg prądu fazowego i mocy czynnej przedstawiony na
rys. 76 oraz funkcji parametrów schematu zastępczego na rys. 77.
108
0 5 10 15 20 25czas (s)
0
4
8
12
16
20
24
28sk
utec
zny
prąd
fazo
wy
(A) pomiar
model-constmodel-var
a)
0 5 10 15 20 25czas (s)
0
1000
2000
3000
4000
5000
moc
czy
nna
pobi
eran
a (W
)
pomiarmodel-constmodel-var
b)
Rys. 76. Skuteczny prąd fazowy (a) oraz fazowa moc czynna wejściowa (b) podczas próby zwarcia.
0 5 10 15 20 25 30skuteczny prąd fazowy (A)
2
3
4
5
6
7
reak
tanc
je X
σs, X
' σr s
ilnik
a (Ω
) Xσs-constXσs-varX'σr-constXσr-var
a)
0 40 80 120siła elektromotoryczna fazowa (V)
90
100
110
120
130
reak
tanc
ja X
μ (Ω
)
model-constmodel-var
b)
Rys. 77. Funkcje parametrów schematu zastępczego podczas zwarcia.
6.3. Weryfikacja modeli na podstawie rozruchu silnika.
Kolejnym stanem pracy silnika, w którym proponowane modele zostały
poddane analizie pomiarowej i weryfikacji jest rozruch silnika. Rys. 78 przedstawia
przebiegi symulacyjne prądu i napięcia podczas rozruchu silnika.
109
0 0.4 0.8 1.2czas (s)
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20prąd
(A)
0 0.4 0.8 1.2czas (s)
-200
-100
0
100
200
napięc
ie (V
)
a) b)
symulacja-obwiednia
pomiar
Rys. 78. Przebiegi prądu (a) oraz napięcia (b) pomiarowego i obwiedni otrzymanej z modelu podczas rozruchu.
Rys. 79a przedstawia porównanie względnych prędkości kątowych silnika,
rzeczywistej i otrzymanej z symulacji z wykorzystaniem modelu o zmiennych
parametrach. Na rys. 79b zestawiono przebiegi momentu elektrycznego
otrzymanego z pomiaru wg (26), a także wynik identyfikacji modelu o zmiennych
parametrach oraz symulacji z jego wykorzystaniem.
0 0.4 0.8 1.2czas (s)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
wzg
lędn
a pręd
kość
kąt
owa
pomiarsymulacja
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0poślizg
-4
0
4
8
12
16
20
mom
ent e
lekt
rycz
ny (N
m)
pomiarsymulacjaidentyfikacja
a) b)
Rys. 79. Przebiegi prędkości obrotowej (a) i momentu elektrycznego (b) w czasie rozruchu silnika.
110
0 0.4 0.8 1.2czas (s)
-4
0
4
8
12
16
20
mom
ent e
lekt
rycz
ny (N
m)
pomiarsymulacja
Rys. 80. Przebiegi momentu elektrycznego dla modelu o parametrach zmiennych w czasie rozruchu (zależności od czasu).
Można zauważyć różnice przebiegu momentów pomiarowego oraz pozostałych na rys. 79b. Problem ten był badany w [36]. Uzyskano wynik, że zbieżność pomiarów z obliczeniami uzyskuje się tylko dla symulacji stanów dynamicznych przy pomocy modelu polowego. W chwili obecnej przyczyna rozbieżności nie jest znana. Zgodnie z wnioskami w [36] do czasu jej ustalenia należy przyjąć, że wspomniane rozbieżności są cechą charakterystyczną modeli obwodowych, również o zmiennych parametrach.
111
ROZDZIAŁ 7
WNIOSKI I UWAGI
112
7. Wnioski i uwagi.
Przeprowadzono badania obliczeniowo-pomiarowe mające na celu stwierdzenie
przydatności modelu silnika indukcyjnego o zmiennych parametrach, inaczej
niestacjonarnego [25], do celów symulacji i analizy. Obliczenia były wykonane przy
pomocy modeli obwodowych i polowych, tak w zakresie zjawisk
elektromagnetycznych jak cieplnych. W rozdziale 6 były porównane wyniki otrzymane
dla modeli obwodowych o parametrach zmiennych oraz stałych. Przeprowadzone prace
i wyniki pozwalają uznać tezę pracy za udowodnioną. Wynika to między innymi
z wyników zamieszczonych w rozdziale 6.
W wyniku prac w rozdziale 3 został opracowany i zaproponowany m. innymi model
polowy silnika do analizy przejściowych zjawisk cieplnych, który łączy w sobie dwie
cechy: dokładności uzyskanych wyników i względną prostotę. Model ten obejmuje
obszar jednej niezmienionej podziałki żłobkowej stojana oraz zmodyfikowanej
podziałki żłobkowej wirnika sprowadzonej do stojana (pkt. 3.2.2.1). Uzyskano wyniki
symulacji przejściowych stanów cieplnych praktycznie nie różniących się od
otrzymanych dla pełnego modelu (rys. 50 i rys. 53).
Uzyskano i potwierdzono szereg wniosków szczegółowych, m. innymi:
1. Pomiarowe wielkości odniesienia w postaci wyników próby biegu jałowego
i zwarcia są wystarczające do uzyskania wiarygodnego modelu niestacjonarnego
silnika indukcyjnego (pkt. 6).
2. Opracowanie wiarogodnego modelu niestacjonarnego silnika indukcyjnego wymaga
uwzględnienia zjawisk cieplnych w czasie pomiarów wykorzystywanych
w identyfikacji.
3. Obwodowe modele niestacjonarne silników indukcyjnych pozwalają uwzględnić
zjawiska nasycenia obiektów magnetycznych, wypierania prądów oraz cieplne
w stanach dynamicznych i dostarczają wiarygodnych wyników w zakresie wartości
skutecznych prądów i napięć, mocy czynnej i średniego momentu elektrycznego.
4. Obwodowy model cieplny wykorzystany w [17] i niniejszym opracowaniu do
symulacji dynamiki pozwala uzyskać poprzez odpowiednią procedurę identyfikacji
wyniki praktycznie pokrywające się z pomiarem i wynikami obliczeń polowych
(rys. 58)
113
5. Wyniki elektromagnetycznych obliczeń polowych 2D mogą być wykorzystane do
wyznaczania funkcji parametrów modeli pod warunkiem zachowania ostrożności
przy wyborze wielkości odniesienia [36].
6. Zastosowana w rozdziale 5 procedura identyfikacji jest skutecznym narzędziem
wyznaczania niestacjonarnego modelu maszyny indukcyjnej.
7. Modele silników indukcyjnych o parametrach zmiennych są źródłem wyników
symulacji o znacznie większej wiarygodności od modeli o parametrach stałych;
modele te mają własności modeli uniwersalnych w przeciwieństwie do modeli
o parametrach stałych (rozdział 6).
Oryginalnym dorobkiem w rozprawie są w ogólności te jej elementy, w których nie
ma odwołań do prac innych autorów. W szczególności są to:
- wykonanie stanowiska laboratoryjnego, przeprowadzenie pomiarów
i opracowanie ich wyników (rozdział 2),
- opracowanie modeli obwodowych i polowych, algorytmów, wykonanie obliczeń
i analizy ich wyników dotyczących zagadnień cieplnych (środowisko MATLAB
– PDETOOL) (rozdział 3),
- opracowanie modelu polowego do obliczeń elektromagnetycznych, wykonanie
obliczeń (FLUX 2D) (rozdział 4).
W rozdziałach 5 i 6 wykorzystano w obliczeniach istniejące wcześniej
oprogramowanie (symulacja, identyfikacja) użyte do realizacji projektu badawczego
KBN nr 4T10A03922 [24], którego autor był jednym z wykonawców.
114
Literatura
1 Al. Miah H., Lagonotte P., Trigeassou J-C.: „Modelling and Recursive
Identification of Parameters of Saturated Induction Machines”, s. 3656-3661,
6th European Conference on „Power Electronics and Applications”, Sevilla
1995, Spain
2 Bargallo R., Llaverias J., Martin H.: „Contribution to Parameter Validation of
the Induction Motor with Saturation. Transient Behaviour and PWM Supply”,
s. 1533-1537, Intern. Conf. on Electrical Machines (ICEM’98), 1998 Istanbul
3 Bolkowski S., Stabrowski M., Skoczylas J., Sroka J., Sikora J., Wincenciak S.:
„Komputerowe metody analizy pola elektromagnetycznego”, Warszawa WNT
1993
4 Bouillault F.,Razek A.: „Dynamic model for eddy current calculation in
saturated electric machines”, s. 2639-2642, IEEE transaction on Magnetics,
vol. 19, no. 6, 1983
5 Brown J.E., Kovacs K.P., Vas P.: „A method of including the effects of main
flux path saturation in the generalized equations of A.C. machines”, s. 96-103,
IEEE Transaction on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-102, No. 1,
1983
6 Dems M., Komeza K.: „The Comparison Study of Different Models Used for
Calculation of the Transient Processes of an Induction Motor During
Frequensy and Soft Starting”, s. 63, Intern. Conf. on Electrical Machines
(ICEM’06), 2006 Chania – Crete Island, Greece
7 Dubicki B.: „Maszyny elektryczne – Silniki indukcyjne”, tom III, PWN
Warszawa 1964
8 Dubicki B.: „Maszyny elektryczne – Uzwojenia prądu zmiennego”, tom II,
PWN Warszawa 1953
9 Fuchs E.F., Chang L.H., Appelbaum J.: „Magnetizing current, iron losses and
forces of three-phase induction machines at sinusoidal and nonsinusoidal
terminal voltages”, s. 303-312, Part I: Analysis, IEEE Transaction on Power
Apparatus and Systems, Vol. PAS-103, No. 11, 1984
10 Fuchs E.F., Roesler D.J., Chang L.H.: „Magnetizing current, iron losses and
forces of three-phase induction machines at sinusoidal and nonsinusoidal
115
terminal voltages”, s. 313-325, Part II: Results, IEEE Transaction on Power
Apparatus and Systems, Vol. PAS-103, No. 11, 1984
11 Gajda J.: „Mierzalność modeli złożonych obiektów przemysłowych”,
Wydawnictwa AGH, seria „Elektrotechnika”, nr 18, Kraków 1991.
12 Ganji A., Guillaume P., Pintelon R., Lataire P.: „Induction motor dynamic and
static inductance identification using a broadband excitation technique”,
s. 15-20, IEEE Transaction on Energy Conversion, vol. 13, 1998
13 Głowacki A.: „Obliczenia elektro-magnetyczne silników indukcyjnych
trójfazowych”, Warszawa WNT 1993
14 Goworkow W. A.; tł. Dziedzic J.: „Pola elektryczne i magnetyczne”,
Warszawa WNT 1962
15 Hickiewicz J., Macek-Kamińska K., Wach P.: „Simulations investigations and
parameters estimation of induction machines model considering saturation of
leakage inductances”, Intern. Conf. on Electrical Machines (ICEM’88), Pisa,
1988
16 Hinkkanen M., Repo A. K., Luomi J.: „Influence of Magnetic Saturation on
Induction Motor Model Selection”, s. 61, Intern. Conf. on Electrical Machines
(ICEM’06), 2006 Chania – Crete Island, Greece
17 Jażdżyński W., Milej W.: „Determining an Improved Dynamic Model of a
System: Induction Motor and Direct-Current Machine”, Intern. Conf. on
Electrical Machines (ICEM’04), 2004 Cracow, Poland
18 Jażdżyński W., Milej W.: „Identyfikacja niestacjonarnego modelu silnika
indukcyjnego z uwzględnieniem zjawisk cieplnych”, s. 483-492 (Mater.
XXXVIII Międzynarodowego Sympozjum Maszyn Elektrycznych SME’2002,
Cedzyna-Kielce, 18-21.06.2002).
19 Jażdżyński W., Milej W.: „Wpływ kryterium identyfikacji modelu silnika
indukcyjnego na jej wyniki”, Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, seria
Elektryka, 2001, s. 73-80 (Mater. XXXVII Międzynarodowego Sympozjum
Maszyn Elektrycznych SME’2001, Ustroń Zawodzie, 19-22.06.2001).
20 Jażdżyński W., Milej W.: „Wyznaczanie modelu dynamicznego maszyny prądu
stałego”, s. 378, (Mater. XLI Międzynarodowego Sympozjum Maszyn
Elektrycznych SME’2005, Opole-Jarnołtówek, 14-17.06.2005).
116
21 Jażdżyński W.: „A low-budget measurement system and ist application to
identification of electrical machine models”, s. 57, (Mater. XXXIX
Międzynarodowego Sympozjum Maszyn Elektrycznych SME’2003, Gdańsk-
Jurata, 9-11.06.2003).
22 Jażdżyński W.: „A Model for the Simulation od Dynamic States in the System
of Slip-Ring Induction Motor and Eddy-Current Starter”, s. 261-262,
Proceedings of AMSE International Conference on „Applied Modelling and
Simulation”, AMS’81, Lyon 1981
23 Jażdżyński W.: „A Procedure for Determining Variable Parameters of
Induction Motor Models”, s. 139-142, Proceedings of IASTED International
Conference on „Applied Informatics”, Annecy, 1994
24 Jażdżyński W.: „Identyfikacja niestacjonarnego modelu maszyny indukcyjnej
przy pomocy optymalizacji wielokryterialnej”, Sprawozdanie merytoryczne
z wykonania projektu badawczego nr 4T10A03922, AGH, Kraków 2003
(niepublikowane)
25 Jażdżyński W.: „Projektowanie maszyn elektrycznych oraz identyfikacja ich
modeli z wykorzystaniem optymalizacji wielokryterialnej”, Wydawnictwa
AGH, seria „Rozprawy i Monografie”, nr 28, Kraków 1995
26 Keyhani A., Tsai H.: „IGSPICE simulation of induction machines with
saturable inductances”, s.118-125, IEEE Transaction on Energy Conversion,
vol. 4, 1989
27 Keyhani A., Wanzhe L., Proca B.: „Modeling and Parameter Identification of
electric Machines” w „Handbook of Automotive Power Electronics and Motor
Drives”, Boca Raton, CRC Press Taylor & Francis 2005
28 Khenfer N., et al.: „Identyfication of Parameters of Asynchronous Machines.
Experimental Methods and Results”, s. 283-287, Proceedings of ICEM,
Manchester 1992
29 Kluszczyński K., Miksiewicz R.: „Momenty pasożytnicze w indukcyjnych
silnikach klatkowych”, Warszawa – Gliwice PTETiS 1993
30 Kopyłow J.P.: „Projektirowanie elektriczeskich maszin”, Moskwa, Energia,
1980.
31 Kostowski E.: „Przepływ ciepła”, WPŚ-Gliwice 1995
117
32 Kovacs K.P.: „On the theory of cyryndrical rotor A.C. machines, including
main flux saturation”, s. 754-761, IEEE Transaction on Power Apparatus and
Systems, Vol. PAS-103, No. 4, 1984
33 Kozłowski H. S., Turowski E.: „Silniki indukcyjne : projektowanie,
konstruowanie, wytwarzanie”, WN-T-Warszawa 1961.
34 Krause P.C.: „Analisis of Electric Machinery”, McGraw-Hill, 1986
35 Kudła J., Burlikowski W.: „Pomiarowa weryfikacja parametrów maszyn
indukcyjnych klatkowych wyznaczonych metodami polowymi (MES)”, s. 63-
80, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, seria „Elektryka”, nr 159, Gliwice
1997
36 Kudła J., Jażdżyński W.: „A Problem of Torque Accuracy in Models of a
Squirrel-Cage InductionMachine”, Intern. Conf. on Electrical Machines
(ICEM’04), 2004 Cracow, Poland.
37 Kudła J.: „Modele matematyczne maszyn prądu przemiennego uwzględniające
nasycenie magnetyczne rdzeni”, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice
2005
38 Kudła J.: „Wykorzystanie algorytmu genetycznego i gradientowego do
estymacji parametrów elektromagnetycznych nieliniowego modelu
matematycznego maszyny indukcyjnej”, s. 63-80, Wydawnictwo Politechniki
Śląskiej, seria „Elektryka”, nr 171, Gliwice 2000
39 Lima A.M.N., Jacobina C.B., de Souza E.B.F.: „Nonlinear Parameter Estimation of Steady-State Induction Machine Models”, „IEEE Transactions on Industrial Electronics”, Vol. 44, No. 3, 1997
40 Macek-Kamińska K.: „Estymacja parametrów modeli matematycznych
silników indukcyjnych dwuklatkowych i głębokożłobkowych”, Wydawnictwo
Wyższej Szkoły Inżynierskiej, Opole 1992
41 Mademils C., Xypteras J., Margaris N.: „Magnetic and Thermal Analysis of a
Wound-Field Cylindrical Rotor Synchronous Motor in Optimal Efficiency
Operation”, Intern. Conf. on Electrical Machines (ICEM’98), Istanbul, 1998
42 Milej W.: „Cieplne obliczenia polowe maszyny indukcyjnej w stanach
nieustalonych”, s. 175, (Mater. XLII Międzynarodowego Sympozjum Maszyn
Elektrycznych SME’2006, Kraków, 3-6.07.2006).
118
43 Milej W.: „Identyfikacja niestacjonarnego modelu silnika indukcyjnego na
podstawie biegu jałowego i rozruchu z uwzględnieniem zjawisk cieplnych”, s.
112 (Mater. XXXIX Międzynarodowego Sympozjum Maszyn Elektrycznych
SME’2003, Gdańsk-Jurata, 9-11.06.2003).
44 Milej W.: „Model polowy maszyny indukcyjnej w aspekcie zwiększenia
dokładności symulacji stanów dynamicznych”, (Mater. VII
Międzynarodowych Warsztatów Doktoranckich OWD 2005, Wisła 22-
25.10.2005).
45 Milej W.: „Wpływ nagrzania uzwojeń silnika indukcyjnego na moment
rozruchowy”., vol.3 s.191 (Mater. VI Międzynarodowych Warsztatów
Doktoranckich OWD’2004, Wisła 16-19.10.2004).
46 Milej W.: „Wpływ nagrzewania uzwojeń na wyniki identyfikacji modelu silnika
indukcyjnego”, s. 92 (Mater. XVII Beskidzkiego seminarium elektryków
BSE’2003, Istebna-Zaolzie 21-24.09.2003).
47 Norman H.M.: „Induction Motor Locked Saturation Curves”, Electrical
Engineering, 1934
48 Nowak L.: „Modele polowe przetworników elektromechanicznych w stanach
nieustalonych”, Poznań WPP 1999
49 Pełczewski W.: „Zagadnienia cieplne w maszynach elektrycznych”, PWT
Warszawa 1956.
50 Plamitzer A.: „Maszyny elektryczne”, Warszawa WNT 1962
51 PN-EN 60034-1 „Maszyny elektryczne wirujące-Część 1: Dane znamionowe
i parametry”, Warszawa PKN 2005
52 Puchała A.: „Dynamika maszyn i układów elektromechanicznych” Warszawa
PWN 1977
53 Rams W., Czajkowski J.: „Methode der Identifizierung der Parameter der
Induktion-machinen mit Käfigläufer”, s. 99-102, 22 Intern. Wiss. Koll. TH,
Ilmenau 1977
54 Ražnjević K.: „Tablice cieplne z wykresami”, Warszawa WNT 1966
55 Rusek J.: „Analiza harmoniczna stanu ustalonego silnika asynchronicznego”,
Wydawnictwa AGH, seria „Elektrotechnika” nr 9, Kraków 1986
56 Slemon G.R.: „Modelling of Induction Machines for Electric Drives”, s. 1126-
1131, „IEEE Transactions on Industry Applications”, Vol. 25, No. 6, 1989
119
57 Śliwiński T., Głowacki A.: „Parametry rozruchowe silników indukcyjnych”,
PWN Warszawa 1982
58 Sobczyk T.J.: „Metodyczne aspekty modelowania matematycznego maszyn
indukcyjnych”, Warszawa WNT 2004
59 The MathWorks: „Partial Differential Equation Toolbox User’s Guide”
60 Turowski J.: „Elektrodynamika techniczna”, Warszawa WNT 1993
61 Turowski J.: „Obliczenia elektromagnetyczne elementów maszyn i urządzeń
elektrycznych”, Warszawa WNT 1982
62 Vandevelde L., Rasmussen C. B., Melkebeek J. A. A.: „Radial forces and
torque ripples in split-phase induction motors”, s. 58, Intern. Conf. on
Electrical Machines (ICEM’06), 2006 Chania – Crete Island, Greece
63 Vas P., Deleroi W.,Brown J.E.: „Transient analysis of smooth-air-gap
machines incorporating the effects of main and leakage flux saturation”,
Intern. Conf. on Electrical Machines (ICEM’84), Lausanne, 1984
64 Vogt u. a. K.: „Elektrische Maschinen – Berechnung rotierender elektrischer
Maschinen”, VEB Berlin 1972
65 Wamkeue R., Kamwa I.: „Saturated electromechanical transients based
maximum likelihood identification of double-cage induction generator
parameters”, s. 286-290, Intern. Conf. on Electrical Machines (ICEM’00),
Helsinki, 2000
66 Xypteras J., Hatziathanassiou V.: „Transient Thermal Field of a Squirrel Gage
Motor with deep-bar effect”, Intern. Conf. on Electrical Machines (ICEM’96),
Vigo, 1996
67 Yamazaki K.: „Comparison of induction motor characteristics calculated from
electromagnetic field and equivalent circuit determined by 3D FEM”, s. 1881-
1885, IEEE transaction on Magnetics, vol. 36, 2000
Recommended