View
201
Download
13
Category
Preview:
DESCRIPTION
Automatsko upravljanje sistemima, Masinski fakultet, smer - mehatronika
Citation preview
MATEMATIČKO MODELIRANJE FIZIČKIH SISTEMA
Za analizu i projektovanje sistema automatskog upravljanja od velikog je značaja prethodno formiranje dinamičkog i matematičkog modela razmatranog objekta upravljanja. Pod dinamičkim modelom podrazumeva se skup tako međusobno povezanih apstraktnih elemenata sistema (masa, opruga, apsorbera, otpornika, kalema, kondenzatora, itd.) da je njihovo ponašanje kao celine najpribližnije ponašanju realnog sistema. Matematički model sistema predstavlja matematički opis dinamičkog modela, formiran na bazi odgovarajućih zakona fizike. Matematičkim modelom može se tačno opisati ponašanje dinamičkog modela, ali samo približno ponašanje fizičkog sistema. Jednačine kojima se opisuje ponašanje fizičkog sistema su nelinearne, jer svaki fizički sistem u sebi sadrži jednu ili više nelinearnosti. Ovde se razmatraju linearni sistemi automatskog upravljanja, pa se navode linearizovane jednačine elemenata i sistema (linearni modeli). U praksi se i inače najčešće koriste linearni modeli, što je posledica činjenice da su metode za analizu i projektovanje iz domena teorije linearnih sistema automatskog upravljanja veoma razvijene i relativno jednostavne. Nasuprot tome, metode koje se odnose na nelinearne sisteme po pravilu su vrlo složene.
MEHANIČKE KOMPONENTE I SISTEMI
Opruga, viskozno trenje i masa su tri osnovna elementa koja se javljaju kod mehaničkih sistema. Iz dijagrama sila‐pomeranje, za oprugu krutosti c (slika 4.1(a)) očigledno je da se sila F0 (t) menja po zakonu
F0 (t) = cx(t). (4.1)
X(s)
x(t)
F0(s)
F0(t)
F0(t)
Dužina koja odgovara gra-nici elastičnosti
Dužina neopterećene opruge
Nagib c
1c
(a) (b)
Slika 4.1 Blok‐dijagram ovog elementa prikazan je na slici 4.1(b). Element viskoznog trenja (slika 4.2(a)) opisan je diferencijalnom jednačinom
F t f x tt ( ) &( )= , (4.2)
gde je Ft (t) sila trenja a f koeficijent viskoznog trenja.
X(s)Ft(s) 1f s
x(t)
Ft(t)
(a) (b)
Slika 4.2 Blok‐dijagram ovog elementa prikazan je na slici 4.2(b). Za masu (slika 4.3(a)) na koju dejstvuje ukupna spoljašnja sila F(t), primenom drugog Njutnovog (Newton) zakona dobija se diferencijalna jednačina
F t mx t( ) &&( )= . (4.3)
X(s)F(s)
1m s2
x(t)
mF(t)
(a) (b)
Slika 4.3
Blok‐dijagram ovog elementa prikazan je na slici 4.3(b). Mehanički sistem na slici 4.4(a), opisan je diferencijalnom jednačinom
mx t f x t cx t F t&&( ) &( ) ( ) ( )+ + = , (4.4)
gde je F(t) aktivna sila koja dejstvuje na sistem.
X(s)F(s)
1m s2 + f s + c
x(t)m
F(t)
fc
(a) (b)
Slika 4.4 Blok‐dijagram ovog sistema prikazan je na slici 4.4(b). Za mehanički sistem, koga karakteriše obrtno kretanje (npr. slika 4.5) diferencijalne jednačine kretanja imaju isti oblik kao i kod odgovarajućeg sistema koji vrši translatorno kretanje, ali se sila F(t) zamenjuje momentom M (t), pomeranje x(t) zamenjuje se ugaonim pomeranjem θ(t) a masa m momentom inercije J.
θ1(t) θ2(t)
J2
f c
M(t)
J1
Slika 4.5
ELEKTRIČNE KOMPONENTE I SISTEMI
Otpornik, kalem (induktor) i kondenzator (slika 4.6(a)) su tri osnovna elementa kod električnih sistema. Padovi napona na otporniku, kalemu i kondenzatoru određeni su rela‐cijama
eR(t) = R i(t), (4.5)
e t L di tdtL ( ) ( )
= , (4.6)
e tC
i t dtC ( ) ( )= ∫1
, (4.7)
gde je R otpornost, L induktivnost a C kapacitivnost. Blok‐dijagrami električnih elemenata prikazani su na slici 4.6(b).
+
i(t)
−
eR(t)
R +
i(t)
−
eL(t)
L +
i(t)
−
eC(t)
C
Slika 4.6 (a)
I(s)ER(s) 1R
I(s)EC(s)C s
I(s)EL(s) 1L s
Slika 4.6 (b)
Električni sistem (RLC kolo) na slici 4.7(a) opisan je jednačinom
e t Ri t L di tdt C
i t dt( ) ( ) ( ) ( )= + + ∫1
. (4.8)
+
−
e(t)
R L
i(t)
CI(s)E(s) Cs
LCs2 + RCs + 1
(a) (b)
Slika 4.7 Blok‐dijagram takvog električnog sistema prikazan je na slici 4.7(b).
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA
Skalarni sistem (sistem s jednim ulazom i jednim izlazom), u najopštijem obliku može se predstaviti blok‐dijagramom prikazanim na slici 3.1(a). Ukoliko je sistem
linearan, kontinualan, stacionaran i s koncentrisanim parametrima može biti predstavljen prenosnom funkcijom (slika 3.1(b)).
Sistem
y(t) u(t)G(s)
Y(s) U(s)
(a) (b)
Slika 3.1 Prenosna funkcija sistema predstavlja odnos Laplasovih transformacija izlaza i ulaza:
G(s) =Y(s)U(s) ; Y(s)
= L[ y(t)]; U(s) = L[u(t)]. (3.1)
Ako je izlazno‐ulazna relacija za linearni stacionarni sistem opisana diferencijalnom jednačinom
a y a y a y a y a y
b u b u b u b u b un
nn
n
mm
mm
( ) ( )
( ) ( )
&& &
&& & ,
+ + + + + =
= + + + + +−
−
−−
11
2 1 0
11
2 1 0
L
L (3.2)
Laplasovom transformacijom leve i desne strane ove jednačine uz nulte početne uslove dobija se prenosna funkcija
G s Y sU s
YU
s b s b s b s b s ba s a s a s a s a
mm
mm
nn
nn( ) ( )
( )( )= = =
+ + + + ++ + + + +
−−
−−
11
22
1 0
11
22
1 0
L
L. (3.3)
Ako se radi o multivarijabilnom sistemu (slika 3.2(a)) sa r ulaza i m izlaza, izlazi i ulazi su povezani prenosnom matricom G(s) dimenzija m×r (slika 3.2(b)) Y(s) = G(s)U(s), (3.4) gde je
Y U G( )
( )( )
( )
, ( )
( )( )
( )
, ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
.s
Y sY s
Y s
s
U sU s
U s
s
G s G s G sG s G s G s
G s G s G sm r
r
r
m m mr
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
1
2
1
2
11 12 1
21 22 2
1 2
M M
L
L
M M M
L
Y(s) U(s)
u1(t)
M M ur(t)
u2(t)
y1(t)
ym(t)
y2(t)
Sistem G(s)
(a) (b)
Slika 3.2 Prenosna funkcija ne otkriva fizičku prirodu sistema, niti ukazuje na njegovu unutrašnju strukturu, već samo određuje odnos između terminala sistema (izlaza i ulaza). Izraz (3.3) može se predstaviti u kompaktnijem obliku kao
G sb s
a s
P sQ s
jj
j
m
kk
k
n( ) ( )( )
= ==
=
∑
∑0
0
. (3.5)
Kod realnih fizičkih sistema stepen polinoma u brojiocu prenosne funkcije manji je ili jednak stepenu polinoma u imeniocu, m≤n. U slučaju postojanja transportnog kašnjenja u sistemu, u prenosnoj funkciji je prisutna eksponencijalna funkcija
G s P sQ s
e T sk( ) ( )( )
= − , (3.6)
gde je Tk vremenska konstanta kašnjenja. Prenosna funkcija može imati standardni (kanonski) oblik ili oblik koji otkriva polove i nule prenosne funkcije. Standardni oblik prenosne funkcije
G sb
a s a s a s ann
nn( )=
+ + + +−−
0
11
1 0L (3.7)
određen je izrazom
G sK
T s T s T snn n
nn n( ) =
+ + + +−− −11 1
1 1L, (3.8)
gde je K = b0 / a0 faktor pojačanja koji ima fizički smisao, a T1, T2, ... , Tn vre‐menske konstante. Oblik koji otkriva polove i nule za prenosnu funkciju (3.3) je
G s K s z s z s zs p s p s p
m
n( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )=
− − −− − −
1 2
1 2
L
L. (3.9)
Faktor K = bm/an u ovom slučaju nema fizički smisao i samo se uslovno naziva faktorom pojačanja.
>> Primer 3.1. Na slici 3.3 prikazana je shema motora jednosmerne struje upravljanog pobudom na statoru. Motor se karakteriše otpornošću Rp, induktivnošću Lp, momentom inercije J i viskoznim trenjem f. Moment motora proporcionalan je (faktor km) struji ip kroz pobudni namotaj.
ir=constθ
J
f−
+
ep(t)
RrRp
Lpip
Slika 3.3
Ponašanje motora je opisano diferencijalnim jednačinama:
e t R i t Ldi t
dtp p p pp( ) ( )( )
= + ,
k i t J t f tm p ( ) &&( ) & ( )= +θ θ .
Primenom Laplasove transformacije na dobijene jednačine, pod pretpostavkom nultih početnih uslova, dobija se:
Ep(s) = RpIp(s) + LpsIp(s), kmIp(s) = Js2θ(s) + fsθ(s).
Eliminacijom struje Ip iz ovih jednačina dolazi se do prenosne funkcije
θ
Es k
s Js f L s Rp
m
p p( )
( )( )=
+ +.
Iz ovakve prenosne funkcije mogu se dobiti:
• standardni oblik
G s Ks T s T s
K kf R
T Jf
TLRM E
m
pM E
p
p( )
( )( ); , ,=
+ += = =
1 1;
• oblik sa polovima i nulama
EM
EM
TTKK
Ts
Tss
KsG =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
= 11 ;
11)( .
p1=0p2 = − 1
TM p3 = −
1TE
σ
jω
×××
Slika 3.4
Mehanička vremenska konstanta TM je uvek veća od električne vremenske konstante TE. Za takav odnos vremenskih konstanti na slici 3.4 pokazan je raspored polova prenosne funkcije.
PREDSTAVLJANJE SISTEMA U PROSTORU STANJA
Opisivanje sistema prenosnom funkcijom (prenosnom matricom) ima dva osnovna nedostatka. Prvo, ovaj način predstavljanja sistema je primenljiv samo ako je u početnom trenutku sistem u miru i drugo, ovaj način predstavljanja sistema ne pruža nikakvu informaciju o unutrašnjoj strukturi sistema, već samo definiše odnos između njegovih terminala. Umesto opisivanja sistema prenosnom funkcijom, kojoj odgovara diferencijalna jednačina n−tog reda sa konstantnim koeficijentima (3.2), skalarni sistem se može opisati sa n diferencijalnih jednačina prvog reda:
& ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t a x t a x t a x t b u tn n1 11 1 12 2 1 1= + + + +L & ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t a x t a x t a x t b u tn n2 21 1 22 2 2 2= + + + +L (3.26) LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL & ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t a x t a x t a x t b u tn n n nn n n= + + + +1 1 2 2 L .
Jednačine (3.26) predstavljaju jednačine stanja. Pored jednačina stanja u osnovne dinamičke jednačine spada i jednačina izlaza koja ima oblik
y(t) = c1x1(t) + c2x2(t) +L+ cnxn(t) + du(t). (3.27)
Jednačine stanja (3.26) i jednačina izlaza (3.27) mogu biti napisane u vektorsko‐matričnom obliku )()()( tutt bAxx +=& ,
)()()( tdutty T += xc , (3.28)
gde je x(t) vektor stanja sistema dimenzija n×1, A matrica sistema sa konsta‐ntnim elementima dimenzija n×n, b vektor ulaza (upravljanja) sa konstantnim
elementima dimenzija n×1 i c vektor izlaza sa konstantnim elementima dimenzija n×1:
.;;; 2
1
2
1
21
22221
11211
2
1
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnnnnn
n
n
n c
cc
b
bb
aaa
aaaaaa
x
xx
MM
L
MMM
L
L
McbAx
Skalar d je konstanta direktnog prenosa a u(t) i y(t) su skalarni ulaz (upravljanje) i izlaz sistema. Za multivarijabilni sistem jednačina stanja i jednačina izlaza imaju oblik
)()()( ttt BuAxx +=& , )()()( ttt DuCxy += , (3.29)
gde je x(t) vektor stanja dimenzija n×1, A matrica sistema sa konstantnim elementima dimenzija n×n, B matrica ulaza (upravljanja) sa konstantnim elementima dimenzija n×r, C matrica izlaza sa konstantnim elementima di‐menzija m×n, D matrica direktnog prenosa dimenzija m×r, u(t) vektor ulaza (upravljanja) dimenzija r×1 i y(t) vektor izlaza dimenzija m×1. Matrica sistema A i vektor stanja x(t) zadržavaju isti oblik kao i kod skalarnog sistema, dok su ostale matrice sledećeg oblika:
;;
21
22221
11211
21
22221
11211
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
mnmm
n
n
nrnn
r
r
ccc
cccccc
bbb
bbbbbb
L
MMM
L
L
L
MMM
L
L
CB
.;; 2
1
2
1
21
22221
11211
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
mrmrmm
r
r
y
yy
u
uu
ddd
dddddd
MM
L
MMM
L
L
yuD
Kod većine realnih sistema je d = 0 odnosno D = 0. Skalarni i multivarijabilni sistem mogu se predstaviti blok‐dijagramima promenljivih stanja (slike 3.29 i 3.30)
1s I n
y(t)u(t) x (t) x (t)
+
+
A
cTb+
+
d
Slika 3.29
1s I n
y(t)u(t) x (t) x (t)
+
+
A
CB+
+
D
Slika 3.30
Matrice i vektori sadržani u vektorsko‐matričnim jednačinama stanja skalarnih i multivarijabilnih sistema predstavljaju realizaciju tog sistema i označavaju se na sledeći način:
♦ za skalarni sistem R{A, b, c, d} ili, ako je d = 0, R{A, b, c}; ♦ za multivarijabilni sistem R{A, B, C, D} ili, ako je D = 0, R{A, B, C}.
Stanje sistema x(t) predstavlja minimum informacija o sistemu koje treba poznavati, tako da se uz poznati ulaz u sistem u(t) jednoznačno može odrediti buduće ponašanje sistema. Dinamika sistema može se opisati izborom različitih promenljivih stanja, tako da broj mogućnosti izbora promenljivih stanja sistema nema ograničenja. Zajedničko za sve izbore promenljivih stanja sistema je broj izabranih promenljivih stanja n (dimenzija vektora x), koji uvek mora biti minimalan. Ovaj broj n definiše red (dimenziju) sistema. U slučaju klasičnog jednokonturnog sistema automatskog upravljanja (slika 3.8), upravljački signal se formira dejstvom signala E(s) na odgovarajući regulator ili karakteristični element. Ako je objekt upravljanja opisan u prostoru stanja, umesto povratne sprege izlaza koriste se linearne povratne sprege po veličinama stanja. Tako se za skalarni sistem dobija zakon upravljanja
u(t) = K[r(t) ‐ kTx(t)], (3.30)
gde je K faktor pojačanja, r(t) referentni signal na ulazu i
k = [k1 k2 L kn]T (3.31)
vektor faktora podešavanja povratnih sprega promenljivih stanja sistema di‐menzija n×1. Blok‐dijagram promenljivih stanja ovako projektovanog sistema auto‐matskog upravljanja (slika 3.31) dobija se dodavanjem upravljačkog bloka (3.30) blok‐dijagramu sistema na slici 3.29, uz pretpostavku da je d = 0.
1s In
y(t) r(t) u(t) x (t) x(t)
+
+
A
cT b −+
kT
K
Objekat upravljanja Upravljački blok
Slika 3.31 Na taj način skalarni sistem (3.28) je zatvoren. Zamenom izraza za uprav‐ljanje (3.30) u jednačini stanja skalarnog sistema dobija se jednačina stanja zatvorenog sistema
)()()( trKtt bxAx z +=& , (3.32)
gde je matrica zatvorenog sistema
Az = A ‐ KbkT. (3.33)
Jednačina izlaza ostaje ista. Kod multivarijabilnih sistema zakon upravljanja po veličinama stanja određen je relacijom
u(t) = v(t) ‐ Kx(t), (3.34)
gde je v(t) vektor ulaza dimenzija r×1, a K matrica faktora podešavanja pov‐ratnih sprega promenljivih stanja dimenzija r×n.
>> Primer 4.1. Na slici 4.17 prikazan je uprošćeni dinamički model automobila, gde je m1 masa šasije i svih elemenata vozila postavljenih na nju, c1 i f krutost i koeficijent viskoznog trenja amortizera, m2 masa točkova i c2 krutost pneu‐matika. Usled neravnina kolovoza u(t), točkovi vozila i šasija automobila se u odnosu na ravnotežni položaj pomeraju za z2(t), odnosno z1(t). Posmatrajući pomeranje šasije automobila kao izlaz sistema i proizvoljnim izborom veličina stanja treba odrediti realizaciju {A, b, c} datog modela vozila. Ponašanje ovog sistema opisano je difere‐ncijalnim jednačinama
[ ] [ ] [ ]c u t z t m z t c z t z t f z t z t2 2 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) && ( ) ( ) ( ) & ( ) & ( )− = + − + − ,
[ ] [ ]c z t z t f z t z t m z t1 2 1 2 1 1 1( ) ( ) & ( ) & ( ) && ( )− + − = .
Izborom promenljivih stanja
x t z t x t z t x t z t x t z t1 1 2 1 3 2 4 2( ) ( ), ( ) & ( ), ( ) ( ), ( ) & ( )= = = = ,
dobijaju se jednačine stanja:
& ( ) ( )x t x t1 2= ,
& ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t cm
x t fm
x t cm
x t fm
x t21
11
12
1
13
14= − − + + ,
& ( ) ( )x t x t3 4= ,
& ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t cm
x t fm
x t c cm
x t fm
x t cm
u t41
21
22
1 2
23
24
2
2= + −
+− + .
Izlaz je pomeranje šasije z1(t), odnosno
y(t) = x1(t).
Iz jednačina stanja i jednačine izlaza dobijaju se matrica sistema A, vektor ulaza b i vektor izlaza c:
.
0001
,000
,1000
0010
2
2
22
21
22
1
11
1
11
1
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+
−
−−= cbA
mc
mf
mcc
mf
mc
mf
mc
mf
mc
z1(t)m1
fc1
z2(t)m2
c2u(t)
Slika 4.17
UPRAVLJIVOST I REKONSTRUKTIBILNOST LINEARNIH SISTEMA
DEFINICIJA UPRAVLJIVOSTI I REKONSTRUKTIBILNOSTI
Već je ranije istaknuto da linearni sistem može biti opisan realizacijom R{A,b,c,d} ili odgovarajućom prenosnom funkcijom G(s). Ako se radi o multivarijabilnom sistemu, u realizaciji figurišu matrice A, B, C i D ili sistem može biti opisan prenosnom matricom G(s). Iz opisa sistema pomoću prenosne funkcije odnosno prenosne matrice ne može se odrediti ponašanje sistema koji u početnom trenutku nije u miru, niti ponašanje unutrašnje strukture sistema. Kada je reč o opisu modelom u prostoru stanja, isti sistem se može opisati različitim realizacijama, zavisno od izbora promenljivih stanja.
Definicija 1. Linearni sistem opisan odgovarajućom realizacijom je sa upravljivim stanjem x(t0) (ili izlazom y(t0)) u trenutku t0, ako postoji upravljačka funkcija u[t0, tf] koja može prevesti ovo stanje (izlaz) u proizvoljno željeno stanje x(tf) (odnosno proizvoljni željeni izlaz y(tf)). Sistem je s potpuno upravljivim stanjem (izlazom), ako navedeno svojstvo važi za sve početne trenutke t0 i sva početna stanja x(t0) (izlaze y(t0)).
Definicija 2. Linearni sistem opisan odgovarajućom realizacijom je rekonstruktibilan ako se svako početno stanje x(t0) u trenutku t0 može tačno odrediti merenjem izlaza y(t) u toku konačnog intervala vremena [t0, tf]. Sistem je potpuno rekonstruktibilan ako navedeno svojstvo važi za sve početne trenutke t0 i sva početna stanja x(t0). Algebarski uslovi upravljivosti i rekonstruktibilnosti § Teorema 5.1. Ako je matrica sistema A nesingularna onda je da bi sistem opisan realizacijom R{A,B,C,D} bio sa upravljivim stanjem (izlazom) potrebno i dovoljno da rang matrice upravljivosti stanja Qu bude jednak redu n tog sistema, odnosno rang matrice upravljivosti izlaza y
uQ bude jednak m (broj izlaza), gde je
[ ] )(12
nrnn
u ×−= BABAABBQ L (5.1)
[ ] ))1((12
rnmny
u +×−= DBCABCACABCBQ L (5.2)
Skalarni sistem opisan realizacijom R{A,b,c,d} je uvek sa upravljivim izlazom, dok je njegova matrica upravljivosti stanja
[ ]bAbAAbb 12 −= nu LQ . (5.3)
Pošto je matrica upravljivosti za skalarni sistem kvadratna (dimenzija n×n), to je uslov upravljivosti ovog sistema
det Qu ≠ 0. (5.4)
§ Teorema 5.3. Ako je matrica sistema A nesingularna onda je da bi sistem opisan realizacijom R{A,B,C,D} bio rekonstruktibilan potrebno i dovoljno da rang matrice rekonstruktibilnosti Qr bude jednak redu n tog sistema, gde je [ ] )(
12 )()( nmnTnTTTTTT
r ×−= CACACACQ L . (5.6)
Za skalarni sistem matrica rekonstruktibilnosti je oblika
[ ]cAcAcAcQ 12 )()( −= nTTTr L , (5.7)
dok je uslov rekonstruktibilnosti ovog sistema
det Qr ≠ 0. (5.8)
Primer 5.2. Data je realizacija R{A, B, C} sa matricama
.110021
,110200
,211002030
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−= CBA
Potrebno je proveriti upravljivost i rekonstruktibilnost sistema. Matrica upravljivosti (teorema 5.1), odnosno njena slična matrica (dobija se elementarnim transformacijama nad kolonama matrice Qu), ima oblik
[ ] .000010000001000100
~4620110120002000600
2
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−== BAABBQu
Pošto je
01010001100
det ≠=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡,
sledi da je rang matrice Qu jednak 3, odnosno da je sistem upravljiv. Matrica rekonstruktibilnosti (teorema 5.3), odnosno njena slična matrica (dobija se elementarnim transformacijama nad kolonama Qr), ima oblik
[ ] .001000000010000001
~4020105121312061401
)( 2
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡== TTTTT
r CACACQ
Rang matrice Qr je jednak 3, što znači da je sistem rekonstruktibilan.
STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA Sistem automatskog upravljanja pri normalnoj eksploataciji treba da obezbedi odgovarajući režim rada objekta upravljanja, iako na njega dejstvuju određeni poremećaji. Takvo ponašanje može se ostvariti samo kod sistema automatskog upravljanja koji su stabilni. Analiza i projektovanje sistema automatskog upravljanja sa stanovišta stabilnosti je osnovni problem teorije automatskog upravljanja. Osnovni uslov radne sposobnosti sistema jeste njegova stabilnost. Ukoliko sistem nije stabilan, onda nema smisla razmatrati ni jednu drugu njegovu karakteristiku. Takođe, prvi tehnički zahtev koji se specificira (ili bolje reći se podrazumeva) pri projektovanju sistema jeste njegova stabilnost, ali i stabilnost njegovih podsistema (interna ili unutrašnja stabilnost). Pri tome se razlikuje apsolutna stabilnost i relativna stabilnost sistema. Apsolutna stabilnost sistema određuje uslove koji treba da budu ispunjeni da bi sistem bio stabilan ili nestabilan. Ako je sistem apsolutno stabilan, relativna stabilnost određuje stepen (meru) njegove stabilnosti. Mnogi procesi koji su nestabilnog karaktera projelctovanjem sistema upravljanja daju stabilan sistem. Recimo, atomska elektrana je stabilan sistem, dok atomska bomba generiše proces sličnog karaktera ali nestabilan. Avion bez rada motora (upravljanja) pada, za razliku od jedrilice čije je konstruktivno rešenje samo za sebe na granici stabilnosti. Isto tako moguće je da stabilni podsistemi u sprezi rezultuju nestabilnim sistemom. To nije tako redak slučaj i uvek je rezultat nesrećnog slučaja upravljanja u povratnoj sprezi, ili bolje rečeno ljudske greške ili nemogućnosti da predvidi sve aspekte funkcionisanja sistema. Pri tome, pojam stabilnosti nije strogo vezan za pojam tehničkih sistema.
Recommended