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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Departamento de Fısica Teorica
Instituto de Fısica Armando Dias Tavares
Sılvia Pereira Nunes
Objetos Compactos Auto-gravitantes
Rio de Janeiro
2015
Sılvia Pereira Nunes
Objetos Compactos Auto-gravitantes
Trabalho de Conclusao de Curso apresen-tado, como requisito parcial para obtencaodo tıtulo de Graduado em Fısica, ao Institutode Fısica Armando Dias Tavares, da Univer-sidade do Estado do Rio de Janeiro. Area deconcentracao: Astrofısica Nuclear.
Orientador: Profo. Dro. Marcelo Chiapparini
Rio de Janeiro
2015
CATALOGACAO NA FONTEUERJ / REDE SIRIUS / BIBLIOTECA CTC/D
D979 Nunes, Sılvia PereiraObjetos Compactos Auto-gravitantes / Sılvia Pereira Nunes. – Rio de
Janeiro, 2015-52 f.
Orientador: Profo. Dro. Marcelo ChiappariniTrabalho de Conclusao de Curso (Graduacao) – Universidade do Estado
do Rio de Janeiro, Instituto de Fısica, Instituto de Fısica Armando DiasTavares, 2015.
1. Astrofısica nuclear.. 2. Estrelas de Neutrons.. 3. Anas-Brancas.. I.Profo. Dro. Marcelo Chiapparini . II. Universidade do Estado do Rio deJaneiro. III. Instituto de Fısica. IV. Tıtulo
CDU 02:141:005.7
Autorizo, apenas para fins academicos e cientıficos, a reproducao total ou parcial desta
trabalho de conclusao de curso, desde que citada a fonte.
Assinatura Data
Sılvia Pereira Nunes
Objetos Compactos Auto-gravitantes
Trabalho de Conclusao de Curso apresen-tado, como requisito parcial para obtencaodo tıtulo de Graduado em Fısica, ao Institutode Fısica Armando Dias Tavares, da Univer-sidade do Estado do Rio de Janeiro. Area deconcentracao: Astrofısica Nuclear.
Aprovada em 14 de 01 de 2015.
Banca Examinadora:
Profo. Dro. Marcelo Chiapparini (Orientador)
Instituto de Fısica – UERJ
Profa. Dra. Maria de Fatima Alves da Silva
Instituto de Fısica - UERJ
Profo. Dro. Vitor Oguri
Instituto de Fısica - UERJ
Rio de Janeiro
2015
DEDICATORIA
A minha mae Sueli e meus irmaos, Lılia e Luiz Sergio.
AGRADECIMENTOS
Ao meu orientador, Marcelo Chiapparini pela dedicacao, atencao, disponibilidade
e auxılio ao longo desses dois anos de projeto, alem de todos os conselhos.
Agradeco a minha mae, Sueli Nunes, primeiramente pela dedicacao incondicional
na minha formacao, tanto academica quanto como pessoa nestes 21 anos. Por me apoiar
mesmo quando eu nao achava ser possıvel, ter me feito nao desistir nas horas difıceis e me
incentivar, com todo amor e carinho. Se fosse possıvel agradecer n vezes, com n tendendo
a infinito, eu agradeceria.
A minha irma, Lılia Nunes, por ter me incentivado a colocar a opcao ”Fısica”no
vestibular e a entrar na UERJ. Agradeco tambem por todas as noites mal dormidas que
passou em meio a conversas sobre como eu estava preocupada com a faculdade, e todo o
apoio que me deu nestes anos, sempre acreditando em mim.
Ao meu irmao, Luiz Sergio Nunes, por todas as ideias criativas que serviram como
inspiracao em diversos momentos do curso, por me apoiar, tambem incentivar, e por
quem tenho imenso carinho por fazer minha internet cair de velocidade sempre que tento
estudar ja que ele esta jogando.
Aos meus melhores amigos, Edson e Breno, por me aguentarem por estes 2 anos.
Obrigada por compartilharem todos os desesperos antes das provas e todas as alegrias
das conquistas. Tambem quero agradecer pela amizade e companherismo que tivemos ao
longo deste tempo, espero nunca perdermos isso.
Quero agradecer tambem a Sofia, ao Kenion e a Maria Vitoria por toda a ajuda
que me ofereceram ao longo do curso e pela amizade.
A todos os professores que fizeram parte da minha vida academica e funcionarios
do Instituto de Fısica Armando Dias Tavares, especialmente da biblioteca, pela dedicacao
em seu trabalho e ajuda a todos os alunos quando necessario.
A Fundacao de Amparo a Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro pelo suporte
financeiro para a realizacao do trabalho.
“Na vida e preciso ter tenacidade.”
Teixeira, Jose Claudio
RESUMO
NUNES, Sılvia Pereira. Objetos Compactos Auto-gravitantes. 2015. 52 f. Trabalho deConclusao de Curso (Graduacao em Fısica) – Instituto de Fısica Armando Dias Tavares,Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2015.
As densidades no interior de uma ana branca sao muito elevadas, entao, a pressaotermica se torna desprezıvel se comparada a do gas de eletrons degenerados. Desta forma,pode-se usar a equacao de Lane-Emden para modelar a estrutura do sistema termo-dinamico desta estrela a T=0, onde sua equacao de estado e representada pela de umfluıdo politropico. Os limites de um politropico podem ser relacionados e obtidos atravesdas equacoes da pressao e densidade de energia para um gas de Fermi a T=0, assim, epossıvel gerar um grafico com os comportamentos nos dois limites. No caso de uma estrelade neutrons, analisando a hipotese simplificatoria de que a estrela esta constituıda pormateria pura de neutrons, observa-se que a altas densidades o nıvel de Fermi dos neutronse maior do que a soma das autoenergias dos protons e eletrons. Assim, a materia cons-tituıda unicamente de neutrons nao corresponde ao estado fundamental dentro da estrela,tem-se entao neutrons em equilıbrio com protons e eletrons. Como a materia de uma es-trela de neutrons deve ser eletricamente neutra, para evitar que a repulsao Coulombianadesintegre a estrela, cada neutron decai num par proton-eletron, os quais se recombinampara formar um neutron, este processo e chamado equilıbrio beta ja que envolve o decai-mento beta do neutron. Um anti-neutrino e produzido no decaimento, mas ele abandonaa estrela devido a sua baixa secao de choque com a materia. O raio de uma estrela deneutron esta diretamente relacionado com sua pressao, ja que ela e nula na borda da es-trela. Dessa forma, atraves da diferenciacao da pressao em relacao ao raio com a equacaode Tolman-Oppnheimer-Volkoff, e possıvel obter os valores do raio e da massa de umaestrela a partir da energia interna dela (e que corresponde a equacao de estado de umamistura de tres gases de Fermi a T=0). Este trabalho consiste na analise bibliografica eescrita de programas na linguagem FORTRAN que possibilitassem a resolucao numericadas equacoes nao lineares e diferenciais da teoria de anas brancas e estrelas de neutronse assim uma analise grafica dos comportamentos das mesmas.
Palavras-chave: Astrofısica nuclear. Estrelas de Neutrons. Anas-Brancas.
LISTA DE ILUSTRACOES
Figura 1 - Equilıbrio Hidrostatico de uma Estrela . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Figura 2 - Grafico θ × ξ. Representa o comportamento da densidade em funcao
do raio para dois politropicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Figura 3 - Log(P )×Log(u) para os dois politropicos, 5/3 e 4/3, e para EDE sem
aproximacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Figura 4 - Grafico Equilıbrio Beta, mostra as populacoes de partıculas para esse
modelo dentro de uma Estrela de Neutrons. . . . . . . . . . . . . . . . 30
Figura 5 - Grafico P × r. Comportamento da pressao de uma estrela em funcao
de seu raio. No raio da estrela a pressao e nula para uma densidade de
energia central ε0 = 1× 10−3fm−4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Figura 6 - Grafico m × r. Representa o valor da massa em unidades da massa
solar de acordo com o raio para uma estrela com densidade de energia
central ε0 = 1× 10−3fm−4. Mostra o valor maximo da massa e do raio
de uma estrela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Figura 7 - m×r para uma EDE realıstica obtida a partir de calculos microscopicos.
Representa o comportamento da curvam×r para 50 estrelas(representadas
pelos pontos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
LISTA DE SIMBOLOS
c velocidade da luz (3× 108m/s)
ν frequencia
m massa
ρ densidade de massa
V volume
r raio
G Constante de gravitacao de Newton
h Constante de Planck
g degenerescencia de spin
h Constante de Planck sobre 2pi
M� Massa Solar
EDE Equacao de Estado
SUMARIO
INTRODUCAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 ANAS-BRANCAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1 Equilıbrio hidrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Politropicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Resolucao numerica da Equacao de Lane-Emden . . . . . . . . . . 16
1.4 Gas de Fermi a temperatura 0K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Regime nao-relativıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2 Regime relativıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 ESTRELA DE NEUTRONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 Equilıbrio Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Equacao de Tolman-Oppheimer-Volkoff (TOV) . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Resolucao numerica das equacoes Tolman-Oppheimer-Volkoff (TOV) 33
2.3.1 Metodo de Runge-Kutta de ordem 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
CONCLUSAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
APENDICE A – Algorıtmo log(P )× log(u) . . . . . . . . . . . . . . . 40
APENDICE B – Algorıtmo de Lane-Emden . . . . . . . . . . . . . . . 42
APENDICE C – Algorıtmo do Equilıbrio Beta . . . . . . . . . . . . . . 44
APENDICE D – Algorıtmo equacoes TOV . . . . . . . . . . . . . . . 48
10
INTRODUCAO
Ha no Universo a presenca de gases rarefeitos constituıdos predominantemente por
atomos de hidrogenio. Esta configuracao pode ser chamada tambem de nuvem. Se, por
algum motivo houver um agente externo a esta nuvem que desestabilize sua distribuicao
de materia, o centro de massa desta sera deslocado, acarretando instabilidades gravitaci-
onais da materia, gerando a contracao do gas. Neste estagio tem-se a formacao de uma
protoestrela(MESQUITA, 2010).
Esta contracao causa aumento da agitacao termica dos atomos no nucleo da pro-
toestrela, criando condicoes de temperatura e pressao favoraveis para o inıcio dos proces-
sos de fusao termonuclear e transmutacao de hidrogenio em helio, o que libera energia.
E neste momento que a protoestrela se transforma em estrela, cujo tamanho na maior
parte de sua vida luminosa e determinado pelo equilıbrio entre duas forcas: a relativa a
pressao termica interna (proveniente da energia liberada em processos de fusao nuclear
e tem carater expansivo) e a devido a auto-gravitacao da estrela (pressiona a estrela a
contracao).
O tempo de vida da estrela na Sequencia Principal depende da quantidade de
energia armazenada que ela tem, e a taxa com que gasta a mesma. Estrelas com grandes
massas permanecem na Sequencia Principal por um curto perıodo, se comparadas com
as de baixa massa, que ficam em um longo perıodo devido a velocidade das reacoes de
fusao (quanto maior a massa estelar, mais rapida e a taxa de transmutacao de hidrogenio
em helio). Quando o hidrogenio se extingue no nucleo da estrela, estando este repleto
de helio, esta sai da Sequencia Principal. Os atomos de hidrogenio continuam, porem,
fundindo-se com helio nas camadas externas.(CHUNG, 2000)
Ha tres possıveis cenarios para o fim da evolucao luminosa de uma estrela, e sao:
formacao de uma Ana-Branca, Estrela de Neutrons ou Buraco Negro. A opcao evolutiva
depende da massa da estrela na progenitora na Sequencia Principal.
Neste trabalho so serao estudados os casos das formacoes de Anas-Brancas e Estre-
las de Neutrons. Estas sao fases de equilıbrio hidrostatico de estrelas, sendo consideradas
objetos compactos, por apresentarem densidade muito elevada e auto-gravitantes, por te-
rem a forca gravitacional devida as camadas externas atuando sob si mesmas. O objetivo
principal deste estudo sao as estruturas estelares destes dois modelos, determinando as
variacoes internas de suas propriedades fısicas tais como pressao, densidade, temperatura
e raio em termos de parametros de entrada.
Inicialmente serao estudadas os casos das Anas-Brancas. Considerando a estrela
em equilıbrio hidrostatico newtoniano, foi feita a modelagem do perfil interno desta. Para
isso sera introduzida a equacao de Lane-Emden, que modela a estrutura de um sistema
termodinamico cuja equacao de estado e um fluıdo politropico.
11
Ja para estrelas relativısticas, serao estudadas as Estrelas de Neutrons. Atraves da
introducao das equacoes TOV, e utilizando o metodo de Runge-Kutta de ordem 4, sera
determinado o perfil de uma estrela e assim construir a curva massa x raio para uma dada
equacao de estado relativıstica.
No estudo que sera apresentado, foi necessario utilizar metodos computacionais.
Para cada modelo foram gerados programas na linguagem FORTRAN95, e com os dados
obtidos foi possıvel criar graficos com o programa ORIGIN9.0. Dessa forma, conseguimos
analisar os dados obtidos com os valores e comportamentos esperados segundo a teoria.
12
1 ANAS-BRANCAS
A medida que o hidrogenio da estrela e queimado, vai se desenvolvendo um caroco
de helio no centro da estrela, com hidrogenio predominantemente na envoltoria, este
elemento e submetido a alta temperatura e compressao. Nessas condicoes os eletrons
comecam a se desconectar de seus nucleos, deixando-os ionizados, a estrela passa a ser
composta de um gas de eletrons movendo-se em um meio formado de nuvens de helio.
Em primeira aproximacao, este gas de eletrons pode ser tratado como um gas constituıdo
de partıculas livres, sem interacao e obedecendo a estatıstica quantica de Fermi-Dirac,
porque os eletrons tem spin igual a 12. Esse sistema e chamado de Gas de Fermi Ideal.
A partir deste momento, o destino da estrela depende de sua massa total, a qual
nao pode assumir valores arbitrarios. Valores observados de massas estelares estao entre
0.01 a 20M�. Valores inferiores a 0.08M� nao sao suficientemente quentes para provoca-
rem reacoes termonucleares, assim como valores superiores a 60M� sao instaveis contra
oscilacoes radiais(CHUNG, 2000).
Considerando entao a evolucao de uma estrela com massa menor que M�, al-
cancando a densidade central de 106g/cm3, os eletrons passam a mover-se com velocidade
proxima a da luz, e assim se tornam relativısticos. Ao mesmo tempo, a temperatura cen-
tral chega a 107K, que e insuficiente para queima de helio. A estrela, sem o que queimar,
fica a espera que a pressao gravitacional comece a agir (devido a quase integralmente ao
numero de nucleos de helio), ou seja, que esta prevaleca em relacao a pressao interna
(devido ao numero de eletrons), provocando a contracao do caroco.(CHUNG, 2000)
Quando isto acontece, se a contracao aumentar, entao, a temperatura e a densidade
tambem aumentam, o que resulta em uma consequencia para os eletrons livres do meio
estelar. Como os eletrons sao fermions, tem que obedecer ao Princıpio de Exclusao de
Pauli, o que os leva a uma condensacao no espaco da energia (os eletrons procuram ocupar
os estados de menor energia, com a restricao de que, no maximo, dois eletrons ocupem
cada nıvel). Em consequencia, a maioria dos estados eletronicos sao preenchidos ate um
valor chamado de Energia de Fermi. Os eletrons entao passam a seguir essa configuracao,
a serem degenerados.(CHUNG, 2000)
Os eletrons degenerados e relativısticos da estrela fornecem uma pressao interna
bem maior que passa a contrabalancear a pressao gravitacional, desde que a massa da
estrela nao ultrapasse a um valor crıtico, o limite de Chandrasekhar. No caso da massa ser
inferior a esse limite, estabelece-se completo equilıbrio hidrostatico da estrela e ela passa
a chamar-se de Ana-Branca. Tendo um raio tıpico de 1000Km, esta estrela leva ainda
algum tempo (aproximadamente 109anos) para se esfriar completamente e, ao fim desse
perıodo se tornara uma Ana-Preta, pois sua luminosidade sera nula (CHUNG, 2000).
13
Figura 1 - Equilıbrio Hidrostatico de uma
Estrela
1.1 Equilıbrio hidrostatico
Ignorando perturbacoes como rotacao, pulsacao, distorcao por forcas de mare
e campos magneticos de larga escala, pode-se assumir a estrela como simetricamente
esferica.
A condicao de equilıbrio hidrostatico no interior estelar tem que ser cumprida:
todas as forcas atuando em qualquer elemento de volume dentro da estrela tem que ser
compensadas, a forca resultante tem que ser nula. Isso implica que a estrutura nesta
fase nao e modificada. Assim, as unicas forcas que precisam ser consideradas sao a forca
gravitacional e a forca de pressao.
Considerando um elemento de volume, a uma distancia r do centro da estrela e
tendo uma distribuicao de massa de forma contınua, esse sistema pode ser ilustrado como
na figura 1.
Sabendo que ρ = dmdv→ dm = ρdv, entao, se integrar obtem-se o valor para a
massa em uma distribuicao contınua:∫ r
0
dm =
∫ r
0
∫ π
0
∫ 2π
0
ρr′2sinφdθdφdr′, (1)
m(r) = 4π
∫ r
0
ρ(r′)r′2dr′. (2)
A partir da equacao 2 e possıvel eliminar a integral e obter uma equacao para a diferencial
14
da massa em relacao ao raio, que e dada por:
dm(r)
dr= 4πρ(r)r2. (3)
A pressao, por definicao, e a diferencial de uma forca por um elemento de area no
qual esta forca e aplicada, ou seja:
P =dFpdS
, (4)
se a equacao 4 for multiplicada por dS, a seguinte integracao pode ser feita:∫PdS =
∫dFp. (5)
O elemento de area de uma esfera igual a 4πr2, entao, a equacao 5 pode ter suas
integrais resolvidas, chegando a:
Fp = 4πr2[P (r)− P (r + dr)]. (6)
Multiplicando e dividindo o lado direito da equacao 6 por dr, tem-se:
Fp = −4πr2 [P (r + dr)− P (r)]
drdr, (7)
para dr pequenos, tem-se que P (r+dr)−P (r)dr
e a definicao da derivada, equivale-se a
escrever dP (r)dr
. A equacao 8 pode ser reescrita:
Fp = −4πr2dP (r)
drdr. (8)
Por outro lado, a partir da Lei da Gravitacao Universal, e possıvel obter a forca que
o elemento de massa dm faz sobre a massa m(r), essa forca e a que as camadas externas
fazem sobre as internas, isto e:
Fg =Gm(r)dm
r2. (9)
Com a finalidade de cumprir a condicao de equilıbrio hidrostatico, as forcas devido
a autogravitacao da estrela (equacao 9) e a devido a pressao interna (equacao 8) tem que
ser equivalente, ou seja:
Fp = Fg. (10)
15
Substituindo as duas equacoes para as pressoes, obtem-se
−4πr2drdP (r)
dr=Gm(r)dm
r2. (11)
A equacao 11 pode ser dividida pelo termo dr. Assim, tera um termo dm/dr do
lado direito, que pode ser substituıdo pela equacao 3. O que sera obtido sera uma equacao
para a diferencial da pressao em relacao ao raio, dessa forma tem-se
dP (r)
dr= −Gm(r)ρ
r2. (12)
Multiplicando a equacao 12 por r2
ρ, chega-se a
r2
ρ
dP (r)
dr= −Gm(r). (13)
Diferenciando a equacao 13 em relacao a r, encontra-se
d
dr(r2
ρ
dP
dr) = −Gdm(r)
dr. (14)
Substituindo mais uma vez equacao 3 que da o valor para dm/dr na equacao 14,
tem-se
1
r2
d
dr(r2
ρ
dP
dr) = −4πGρ, (15)
que sera utilizada futuramente para o caso especial dos politropicos.
1.2 Politropicos
Se o constituinte dessa esfera for um gas de eletrons, a pressao termodinamica
deste e uma potencia da densidade, segundo Shapiro (2004), isto e,
P = kρΓ, (16)
onde Γ = 1 + 1n, sendo n o ındice do politropico. Tambem pode-se escrever a densidade
em funcao da densidade central ρ0 = ρ(r = 0):
ρ = ρ0θn. (17)
16
A equacao 15, se substituıda pelas equacoes 16 e 17, fica da seguinte forma:
1
r2(k(n+ 1)ρ
1n−1
0
4πG)d
dr(r2dθ
dr) = −θn. (18)
Definindo a variavel ξ(r) e a constante a das seguintes formas:ξ = ra,
a = ((n+1)kρ
1n−1
0
4πG)12 ,
(19)
se substituıdas as equacoes 19 na equacao 18, encontra-se que
2
ξ
dθ
dξ+d2θ
dξ2= −θn, (20)
a qual e chamada Equacao de Lane-Emden , em homenagem ao fısico americano Jonathan
Homer Lane(1819-1880), que derivou a equacao do equilıbrio hidrostatico em 1869 e ao
fısico suico Robert Emden(1862-1940). A seguir serao discutidas as propriedades de Anas-
Brancas como politropicos com altas densidade(Γ = 43) e baixas densidades(Γ = 5
3).
1.3 Resolucao numerica da Equacao de Lane-Emden
A resolucao numerica da equacao 20, a Equacao de Lane-Emden, possibilita a
determinacao do perfil de uma Ana-Branca, ja que a mesma pode ser estudada como
constituıda de um gas de eletrons a altas densidades.
Para isto, a equacao 20 precisa ser integrada, e um dos metodos mais simples,
porem funcionais, e utilizando a expansao em Serie de Taylor. Nesta, a funcao f(x) e,
segundo Churchill (1975), definida como:
f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′(x0)
2(x− x2
0) + · · · . (21)
Com a equacao 21 e possıvel obter os valores para as expansoes das funcoes f(x+h)
e f(x− h):
f(x+ h) = f(x) + f ′(x)h+f ′′(x)
2h2 + · · · , (22)
f(x− h) = f(x)− f ′(x)h+f ′′(x)
2h2 + · · · . (23)
Onde foi utilizada a notacao f ′ = dfdx
e f ′′ = d2fdx2
. Se subtraıdas estas equacoes, 23
17
e 22:
df(x)
dx∼=f(x+ h)− f(x− h)
2h. (24)
Enquanto que se somadas as equacoes 23 e 22, obtem-se:
d2f(x)
dx2∼=f(x+ h) + f(x− h)− 2f(x)
h2. (25)
Ou seja, a partir da expansao pela Serie de Taylor, foi possıvel achar os valores
das derivadas primeira segunda para uma funcao. Com as equacoes 24 e 25, se feita a
equivalencia f(x) ≡ θ(ξ), chega-se a:
dθ(ξ)
dξ∼=θ(ξ + h)− θ(ξ − h)
2h, (26)
d2θ(ξ)
dξ2∼=θ(ξ + h) + θ(ξ − h)− 2θ(ξ)
h2. (27)
Utilizando as equacoes 26 e 27 para substituir na equacao de Lane-Emden (equacao
20), para qualquer k inteiro ≥ 1, ou seja,
θk+1 =1
ξk + h[ξk(2θk − h2θnk )− (xk − h)θk−1], (28)
onde ξk = kh e θk = θ(ξk).
A equacao 28 foi essencial para resolucao numerica da equacao de Lane-Emden,
pois a partir da mesma foi feito um programa em linguagem FORTRAN95, o qual atraves
das condicoes iniciais
θ(0) = 1, (29)
θ′(0) = 0, (30)
que se dao 29 diretamente por 17 e a 30 pelo fato de m(r) = 4πρ0r3/3 perto do centro,
entao, pela equacao 12 dP (ρ)/dr = 0 no centro, possibilitou a obtencao dos dados atraves
do programa contido no ANEXO B, de autoria da autora, que compoem a figura 2.
Com este programa, foram obtidos os valores de θ e ξ correspondentes para cada
politropico, Γ = 4/3 e Γ = 5/3, sendo o primeiro a representacao do perfil de uma Ana-
Branca. Os valores obtidos para ξ2 = 6.896 e ξ1 = 3.654 sao os mesmos que constam na
referencia Shapiro (2004), revelando que o metodo utilizado para integracao neste caso
foi bastante preciso.
18
Figura 2 - Grafico θ × ξ. Representa o comportamento da densidade em funcao
do raio para dois politropicos.
Fonte: Autoria da autora
19
1.4 Gas de Fermi a temperatura 0K
Nesta subsecao sera obtida a equacao de estado de um gas politropico a partir de
primeiros princıpios. Um sistema que contem N partıculas identicas pode ser totalmente
simetrico sob a troca de qualquer par, e assim suas partıculas satisfazem a estatıstica de
Bose-Einstein (B-E) e sao conhecidas como bosons, ou totalmente antissimetrico, satis-
fazendo a estatıstica de Fermi-Dirac(F-D), sendo conhecidas como fermions, este ultimo
que sera estudado.
Existe ainda a conexao entre o spin de uma partıcula e a estatıstica que ela obe-
dece. Partıculas de spin inteiros sao bosons, enquanto que partıculas de spin semi-inteiro
sao fermions. Dentro da mecanica quantica nao relativıstica isto deve ser aceito como
postulado empırico.
O eletron, assim como os nucleons, sao fermions. Isso leva a consequencia imediata
de satisfazerem o Princıpio de Exclusao de Pauli, o qual diz que dois eletrons nao podem
ocupar o mesmo estado. Contrariamente, os bosons obedecem a estatıstica de Bose-
Einstein, para dois dos tres estados ambas das partıculas ocupam o mesmo estado.
A energia do nıvel mais energetico ocupado por fermions e chamada Energia de
Fermi εf . Quando um gas de fermions encontra-se com temperatura abaixo da tempe-
ratura de Fermi Tf , onde Tf =εfK
(sendo K a constante de Boltzmann), esse gas esta
degenerado, o que significa que suas partıculas obedecem o Princıpio de Exclusao de Pauli.
Toda a deducao feita encontra-se em Chiapparini (2011). Quando um gas esta
no zero absoluto, esta com temperatura abaixo da Temperatura de Fermi, e assim, sua
energia total e a soma das energias dos estados, ou seja,
U =∑q
εqfq (31)
=∑q
g(ε)εf(ε) (32)
=
εf∑ε=ε0
g(ε)ε, (33)
onde g e a degenerescencia de spin e f(ε) representa o fator de ocupacao, tem o valor de
0 (caso o estado nao seja ocupado) e 1 (caso esteja ocupado).
O somatorio da equacao 33 so envolve nıveis que contenham partıculas, e indica
que nao ha ocupacao de nıveis que contenham energia superior a de Fermi, dessa forma,
f(ε) =
1, ε ≤ εf ,
0, ε > εf .(34)
Se o fator de ocupacao e relacionado a existencia de partıculas em um determinado
20
estado, o numero total de partıculas e
N =∑q
f(q). (35)
Fazendo q ≡ (~p, sz), onde ~p e o momento linear e sz a projecao do spin segundo
z (caso de um gas ocupando um volume macroscopio V ). Considerando o espectro de
energia como contınuo, o somatorio pode se transformar na seguinte integral:
∑q
→ gV
h3
∫d3p. (36)
A equacao 35 com o somatorio escrito como a integral em 36 fica da forma:
N =gV
h3
∫f(ε)d3p. (37)
Como a energia de Fermi e funcao do momento de Fermi (pf ), a seguinte equi-
valencia e valida, ou seja,
ε(pf ) = εf . (38)
A partir desta relacao de equivalencia e possıvel escrever a relacao 34 para o fator
de ocupacao em termos do momento de Fermi, obtem-se assim
f(p) =
1, p ≤ pf ,
0, p > pf .(39)
Ou seja, nao ha ocupacao em nıveis que possuam momento maior do que o momento
de Fermi. Voltando a equacao 37, reescrevendo o fator de ocupacao como funcao do
momento, encontra-se que
N =gV
h3
∫ ∞0
f(p)p2dp (40)
=gV
h34π
∫ pf
0
p2dp (41)
= Vg
6π2(pfh
)3. (42)
Introduzindo o conceito de densidade de numero de partıculas (n), que e o numero
de partıculas dividido pelo volume n = NV
, a equacao 42 pode ser reescrita da seguinte
forma:
n =g
6π2(pfh
)3. (43)
21
A equacao 43 pode ser manipulada para obtencao da equacao que relaciona o
momento de Fermi com a densidade de numero de partıculas, isto e
pf = h(6π2
gn)
13 . (44)
O grande Potencial A satisfaz simultaneamente a duas equacoes, uma que vem da
Termodinamica,
A = −PV, (45)
e outra que vem da Mecanica Estatıstica,
A = −KT ln Ξ. (46)
Usando que a funcao de Massieu (Ξ) pode ser escrita em termos dos fatores de
ocupacao, da forma:
lnΞ = η∑q
ln (1 + ηfq). (47)
O valor para o numero de partıculas N se escrito em funcao dos fatores de ocupacao,
obtem-se
N =∂
∂αln Ξ (48)
=∑q
fq. (49)
Igualando as equacoes 45 e 46, usando a equacao 47 para a funcao de Massieu,
obtem-se
PV = kTη∑q
ln (1 + ηfq), (50)
que e a equacao de estado dos gases ideais, sendo 1KT
= β e o valor de η = 1 para fermions.
Pode-se reescrever a equacao 50 como
PV ≈ − 1
β
qf∑q=0
ln (1− fq). (51)
A baixas temperaturas o valor de β → ∞. Dessa forma, pode-se expandir fq a
22
primeira ordem da seguinte forma:
fq =1
1 + eβ(ε1−µ)(52)
= 1− eβ(εq−µ) +O(β2). (53)
Substituindo a equacao 53 na 50, obtem-se
PV ≈ − 1
β
qf∑q=0
ln(eβ(εq−εf ) +O(β2)) (54)
= − 1
β
qf∑q=0
ln[eβ(εq−εf )(1 + e−β(εq−µ)O(β2)] (55)
=
qf∑q=0
(εf − εq)−1
β
qf∑q=0
ln (1 + e−β(εq−µ)O(β2), (56)
onde para T → 0 µ→ εf . Entao,
PV ≈qf∑q=0
(εf − εq) (57)
= εfN −qf∑q=0
εq (58)
= εfN − U. (59)
Se dividida pelo volume (V ), a equacao 59 e reescrita de forma a encontrar uma
equacao para pressao, ou seja,
P ≈ εfn− u, (60)
sendo n e a densidade de numero de partıculas e u a densidade de energia interna.
1.4.1 Regime nao-relativıstico
A energia de uma partıcula livre nao-relativıstica pode ser expressa em termos do
seu momento linear (p) e de sua massa (m):
ε(p) =p2
2m. (61)
Fazendo a equivalencia de que se ε = εf e p = pf , encontra-se uma equacao para
23
o momento de Fermi em relacao a energia de Fermi, ou seja,
εf (pf ) =p2f
2m→ pf =
√εf2m. (62)
Substituindo a equacao 62 na equacao 43, obtem-se
n =g
6π2h3 (2mεf )32 . (63)
Dessa forma, a equacao 63 pode ser reescrita com a finalidade de obter a energia
de Fermi em funcao da densidade do numero de partıculas, chegando a
εf = (6π2
g)3 h
2
2mn
23 . (64)
Pode-se tambem escrever a energia interna do gas de Fermi (equacao 31) fazendo
a substituicao dada pela equacao 36, que leva a
U =gV
h3
∫εf(ε)d3p (65)
=gV
h34π
∫ ∞0
εf(ε)p2dp, (66)
cuja integral pode ser resolvida se escrito o fator de ocupacao como funcao do momento.
Dessa forma, sabendo que a densidade de energia interna (u) e definida como u = UV
,
chega-se a
u =3
5nεf . (67)
Por outro lado, se substituıda a equacao 67 na equacao 60, obtem-se a equacao
para pressao que dependa somente da densidade do numero de partıculas e da energia de
Fermi, ou seja,
P =2
5nεf (68)
=1
5(6π2
g)23h2
2mn
53 . (69)
Ressalta-se que o gas de Fermi a T=0 tem uma pressao consideravel, ja que os
fermions tem um momento nao nulo a esta temperatura.
24
1.4.2 Regime relativıstico
A medida que a energia interna do gas se calcula como na equacao 66, sendo o
momento maximo o momento de Fermi para um gas degenerado, tem-se
U =gV
h34π
∫ pf
0
ε(p)p2dp. (70)
No caso nao-relativıstico a energia da partıcula e descrita atraves da relacao de
dispersao relativıstica, ou seja,
ε(p) =√p2c2 +m2c4, (71)
onde mc2 = ε0 e a energia de repouso devido a massa de repouso. Usando como limite
maximo o momento de Fermi na equacao 62, e substituindo o valor da equacao 71 a partir
da equacao 70, e possıvel achar o valor para densidade de energia interna, entao,
u =gV
h34π
∫ pf
0
√p2c2 +m2c4p2dp. (72)
Definindo o momento de Fermi adimensional comopfmc
= x, e o comprimento de
onda de Compton como λ = hmc
. Substituindo estes valores na equacao 72, obtem-se
u =mc2
λ3
g
16π2Ψ(x), (73)
onde a funcao Ψ(x) e definida como
Ψ(x) = x(1 + x2)12 (1 + 2x)− ln[x+ (1 + x2)
12 ]. (74)
As equacoes 43 e 61 para a energia de Fermi podem ser reescritas em funcao de x,
ou seja,n = g6π2
x3
λ3,
εf = mc2(1 + x2)12 .
(75)
Com os valores de 75 e 74 e possıvel obter a equacao para pressao relativıstica de
um gas de Fermi
P =mc2
λ3
g
16π2Φ(x), (76)
25
sendo a funcao Φ(x) definida como
Φ(x) = x(1 + x2)12 (
2
3x2 − 1) + ln[x+ (1 + x2)
12 ]. (77)
Essas duas equacoes 77 e 74 podem ser aproximadas para dois limites, o ultra
relativıstico e nao relativıstico. Dessa forma, as equacoes para pressao 76 e densidade de
energia 73 poderao ser aproximadas tambem, porem so esta primeira que sera de interesse
na construcao da figura 3.
Fermions nao relativısticos
Neste regime, x� 1, e assim, as equacoes 74 e 77 para as funcoes Ψ(x) e Φ(x) sao
aproximadas como:
Ψ(x) ≈ 8
3x3 e Φ(x) ≈ 8
15x5. (78)
Substituindo 78 em 76, obtem-se
P ≈ mc2λ2
5(6π2
g)2/3n5/3, (79)
que e a equacao para pressao de fermions nao relativısticos, para o politropico Γ = 5/3.
Fermions ultra relativısticos
Ao contrario do outro regime, neste x� 1, o que leva a:
Ψ(x) ≈ 2x4 e Φ(x) ≈ 2
3x4. (80)
Se substituıdos os valores de 80 em 76, para a pressao, obtem-se
P = mc2λ
4(6π2
g)1/3n4/3, (81)
que corresponde ao politropico Γ = 4/3.
E possıvel observar, a partir da figura 3 que para valores de densidade baixos, a
equacao de estado relativıstica para pressao se aproxima do politropico 5/3, enquanto que
para altas densidades se aproxima do politropico 4/3. O grafico foi construıdo com os
dados obtidos pelo programa de autoria propria que consta no ANEXO A em linguagem
FORTRAN95.
26
Figura 3 - Log(P )× Log(u) para os dois politropicos, 5/3 e 4/3, e para EDE sem aproximacoes
Fonte: Autoria da autora.
27
2 ESTRELA DE NEUTRONS
Um grupo de pesquisadores de Caltech(Instituto Tecnologico da California, EUA),
lancaram em 1957 a ideia de que quando uma estrela massiva chega ao final de sua vida
evolutiva, ou seja, quando esgota todo o seu combustıvel nuclear, o seu caroco colapsa
sob a acao da forca da sua auto-gravitacao, fazendo as camadas externas caırem com
velocidade de queda livre.(CASALI, 2008)
A energia liberada neste colapso ejeta boa parte da massa da estrela, criando
um evento conhecido como explosao de supernova. A explosao de supernova povoa o
espaco interestelar dos elementos quımicos sintetizados ao longo da evolucao estelar. Tais
elementos, dispersos no espaco, podem constituir a materia primordial para a formacao
de estrelas de segunda ou terceira geracao, resultando em estrelas de geracoes de ordem
crescente.(CHUNG, 2000)
Essa materia remanescente e visıvel para todos os comprimentos de onda entre
radio e raios-X, o que mostra a riqueza dos processos fısicos que acontecem na ejecao e
entre a ejecao e o meio interestelar, incluindo aglomerados moleculares.
Se a estrela iniciar sua vida com massa entre 10 e 25M�, apos a fase de Supergigante
ela ejetara a maior parte de sua massa em uma explosao de supernova e terminara a vida
como uma Estrela de Neutrons, com uma temperatura superficial maior do que 1 milhao
de kelvin, massa de cerca de 1.4 M� e raio de cerca de 20Km
2.1 Equilıbrio Beta
Os modelos de Estrelas de Neutrons tem sido frequentemente calculados usando
a hipotese simplificatoria de que a estrela e constituıda por materia pura de neutrons.
No entanto, e possıvel mostrar que a altas densidades, o nıvel de Fermi dos neutrons e
maior do que a soma das auto-energias dos protons e eletrons. Assim, materia constituıda
unicamente de neutrons nao corresponde ao estado fundamental dentro da estrela. No
seu lugar, tem-se neutrons em equilıbrio com protons e eletrons, como ja foi dito.
Dado que a materia da estrela deve ser eletricamente neutra, para evitar que a
repulsao Coulombiana (maior que a gravitacional a escala macroscopica) desintegre a
estrela, cada neutron decai em um par proton-eletron, os quais, por sua vez se recombinam
para formar um neutron.
Este tipo de processo de equilıbrio e chamado de equilıbrio beta, uma vez que
envolve o decaimento beta do neutron. Um antineutrino e produzido no processo de
decaimento, mas ele abandona a estrela devido a sua baixa secao de choque com a materia.
28
O equilıbrio beta entre neutrons e protons esta representado pelo processo
n ⇀↽ p+ e.
Para obter o potencial quımico de todos os componentes deste equilıbrio quımico
e assim obter a relacao entre numero de partıculas dentro da estrela de cada um, tem-se
que a energia livre de Helmholtz e descrita como:
dF = −PdV − SdT +∑i=n,p,e
µidNi. (82)
Considerando um sistema com a temperatura e o volume constantes, a partir da
equacao 82, obtem-se
dF =∑i=n,p,e
µidNi. (83)
No equilıbrio de um sistema, dF = 0. E possıvel entao escrever uma equacao que
relacione os potenciais quımicos (µ) e o numero especıfico de partıculas dNi (protons,
neutrons e eletrons):
dF = µedNe + µpdNp + µndNn = 0, (84)
onde o subındice e e relativo ao eletron, p ao proton e n ao neutron.
Para a estrela ser eletricamente neutra, dNe = dNp, e para manter a conservacao
do numero barionico, dNn = −dNp. Substituindo estas condicoes na equacao 84, obtem-se
(µe + µp − µn)dNe = 0. (85)
Como dNe 6= 0, a unica maneira da equacao 85 ser satisfeita e:
µe + µp − µn = 0. (86)
Para um gas livre composto de neutrons, protons e eletrons a T = 0, o sistema
pode ser entendido como um gas degenerado, onde a energia e o potencial quımico sao
iguais, ou seja,
µi = εfi =√k2fi +mi, (87)
onde:
ni =γ
6π2k3fi. (88)
29
Substituindo o valor de kfi na equacao 86, e esta na equacao 85, e sabendo que nb
e a densidade de barions, tem-se:µp =
√(ne
6π2
γ)2/3 +m2
p,
µn =√
[(nb − ne)6π2
γ]2/3 +m2
n,
µe =√
(ne6π2
γ)2/3 +m2
e,
(89)
onde np = ne e nn = nb − np = nb − ne. Sendo nb a densidade de barions. Pode-se criar
uma funcao, tal que:
f =
√(ne
6π2
γ)2/3 +m2
p +
√[(nb − ne)
6π2
γ]2/3 +m2
n −
√(ne
6π2
γ)2/3 +m2
e = 0. (90)
A partir dessa funcao, para diferentes valores para nb foram encontradas as populacoes
de protons, eletrons e neutrons, como consta na figura 4. Os valores nao sao constantes,
a populacao de eletrons (que e a mesma de protons) e minimamente crescente, enquanto
a de neutrons decresce.
30
Figura 4 - Grafico Equilıbrio Beta, mostra as populacoes de partıculas para esse
modelo dentro de uma Estrela de Neutrons.
Fonte: Autoria da autora
2.2 Equacao de Tolman-Oppheimer-Volkoff (TOV)
Pela equacao TOV e possıvel obter o perfil de uma Estrela de Neutrons. Para
obte-la, introduzirei os conceitos necessarios da relatividade geral para o entendimento do
processo. A deducao foi feita de acordo com a referencia Smith (2012).
A metrica e uma ferramenta geometrica que relaciona distancias no espaco-tempo,
onde a coordenada tempo esta incluıda. A metrica de Schwarschild para uma simetria no
espaco-tempo no vacuo nas coordenadas (t,r,θ,ϕ) e:
gµν =
−(1− 2GM
rc2)c2 0 0 0
0 (1− 2GMrc2
)−1 0 0
0 0 r2 0
0 0 0 r2 sin2 θ
. (91)
O intervalo do espaco-tempo para medidas de distancias infinitesimais e definido
31
como:
dS2 = gabdxadxb, (92)
onde para a 6= b, os elementos da metrica sao nulos, ou seja,
dS2 = −(1− 2GM
rc2)c2dr2 + (1− 2GM
rc2)−1dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdϕ2. (93)
A partir da equacao 91, pode-se notar que a assinatura da metrica (-+++) e
assimetrica se relacionar o tempo com o espaco, o que ajuda a explicar a presenca da forca
gravitacional no espaco-tempo curvo. A geometria e essencial para que sejam definidos os
campos vetoriais em cada ponto e o transporte paralelo de vetores de pontos perto para
estabelecer uma nocao generalizada da derivada. A derivada covariante ∇, e definida
como:
∇cTab = ∂cT
ab + ΓaecT
eb − ΓebcT
ae , (94)
onde T e um tensor e Γ o sımbolo de Christoffel. A definicao deste ultimo e dada por:
Γabc =1
2gad(∂bgcd + ∂cgbd − ∂dgbc). (95)
Estes sımbolos sao usados para construir os tensores de Riemann (R), que sao uma
medida da curvatura:
Rab = ∂cΓcab − ∂bΓcac + ΓcdcΓ
dab − ΓcdaΓ
dcb. (96)
O escalar de Ricci e definido da seguinte forma:
R = gabRab. (97)
Essa construcao mostra a presenca da geometria do espaco-tempo, enquanto o
tensor de energia-momento T descreve a materia e a energia presente no Universo. A
simetria do tensor de Einstein(G) satisfaz propriedades especiais. O tensor G e definido
como:
Gab ≡ Rab −1
2gabR =
8πG
c4Tab. (98)
De acordo com o Teorema de Birkhoff’s a solucao de Schwrzchild e a descricao
mais geral de uma estrela esfericamente simetrica e sem rotacao. Entao, dentro de uma
estrela devem-se considerar uma metrica geral para descrever uma densidade estatica e
um perfil de pressao.
32
A equacao 93 pode ser reescrita com uma nova funcao, e2Φ(r), apenas para facilitar
os calculos, obtendo
dS2 = −e2Φ(r)dt2 + (1− 2m(r)
r)−1dr2 + r2(dθ2 + sin2 dφ2). (99)
Considerando um fluıdo perfeito, com energia total ε, pressao isotropica P , metrica
gµν , o quadrivetor velocidade uµ = ( dtdτ, drdτ, dθdτ
), dφdτ
= γ(1, ~v). O tensor energia-momento
para essa costrucao e descrito como:
T µν = (ε+ P )uµoν + Pgµν (100)
Calculando os sımbolos de Christoffel (equacao 95) a partir dos elementos da
metrica nao nulos (equacao 91), chega-se a
Γttr = Φ′,
Γrtt = Φ′e2φ(1− 2mr
),
Γrrr = rm′−mr2−2rm
,
Γθrθ = Γφrφ = 1r,
Γrθθ = csc2 θ,
Γrφφ = 2m− r,
Γθφφ = − csc2 θ,
Γφθφ = − sin θ cos θ,
(101)
onde f ′ = dfdr
. Pela equacao 96, para os tensores de Riemann, obtem-seRtt = e2Φ[(Φ′′ + Φ′2)(1− 2m
r) + Φ′(2r−3m−rm′
r2)],
Rrr = (1− 2mr
)−1[ (rm′−m)(2+rΦ′)r3
]− Φ′′ − Φ′2,
Rθθ = csc2 θRφφ = (2m− r)Φ′ +m′ + mr.
(102)
Pela equacao 97 para o escalar de Ricci, tem-se
R = gµνRµν = 2[2m′
r2+ Φ′(3m− 2r + rm′)− (1− 2m
r)(Φ′′ + Φ′2)]. (103)
A equacao de Einstein para c e G iguais a 1 e Gµν ≡ Rµν − gµνR/2 = 8πTµν , onde
os tensores de energia-momento, com os valoresTtt = εe2Φ,
Trr = (1− 2mr
)−1P.(104)
33
Com a definicao de tensores de Einstein e os valores dos tensores de energia-
momento, obtem-se
Gtt =2m′e2Φ
r2= 8πεe2Φ, Grr =
2
r(Φ′ − m
1− 2mr
) =8πP
1− 2m/r. (105)
Chegando as equacoes:m′ = 4πr2ε,
Φ′ = m+4πr3Pr(r−2m)
.(106)
Pela conservacao de energia, pode-se provar que o divergente do tensor energia-
momento e nulo, entao, a componente radial e tudo que se necessita. Pela equacao 94:
0 = ∇νTrν =
∂T rν
∂xnu+ T σνΓrσν + T rσΓnuσν (107)
=∂T rr
∂r+ T ttΓrtt + T rrΓrrr + T θθΓrθθ + T φφΓrφφ + T rrΓνrν (108)
= (1− 2m/r)[P ′ + (P + ε)Φ′]. (109)
E possıvel obter entao o valor para a relacao entre Φ′ e P ′, ou seja,
P ′ = −(ε+ P )Φ′. (110)
Substituindo a equacao na para Φ′ em 93, obtem-se as equacoes Tolman-Oppheimer-
Volkoff (TOV) em coordenadas geometricas:dmdr
= 4πr2ε,
dPdr
= −(ε+ P )m+4πr3Pr(r−2m)
.(111)
2.3 Resolucao numerica das equacoes Tolman-Oppheimer-Volkoff (TOV)
2.3.1 Metodo de Runge-Kutta de ordem 4
Cada metodo de Runge-Kutta consiste em comparar um polinomio de Taylor apro-
priado para eliminar o calculo das derivadas, fazendo-se varias avaliacoes da funcao passo
a passo.(VALLE, 2012)
Sendo a equacao diferencial geral na forma:
d~x
dt= ~f(~x(t), t), (112)
34
onde o vetor ~x(t) e a solucao desejada.
O metodo de Runge-Kutta de quarta ordem e definido como:
~x(t+ τ) = ~x(t) +1
6τ [ ~F1 + 2 ~F2 + 2 ~F3 + ~F4], (113)
onde as funcoes F1, F2, F3 e F4 sao definidas da seguinte forma
~F1 = ~f(~x(t), t),
~F2 = ~f(~x(t) + 12τ ~F1, t+ 1
2τ),
~F3 = ~f(~x(t) + 12τ ~F1, t+ 1
2τ),
~F4 = ~f(~x(t) + τ ~F1, t+ τ).
(114)
Com esse metodo foi possıvel resolver as equacoes Tolman-Oppheimer-Volkoff. As-
sim, conciliando a condicao de que a pressao no limite da estrela e nulo, foi feito um
programa que possibilitasse este processo de integracao, e retornasse o valor para massa,
raio, para uma dada densidade de energia central no momento em que a pressao fosse
nula, que consta no ANEXO D. A equacao de estado relativıstica foi obtida da referencia
Baym (1971).
O resultado para o perfil da pressao em relacao ao r e ilustrado na figura 5, onde a
densidade de energia central e ε0 = 1× 10−3fm−4. Para esta mesma estrela, foi obtida a
figura 6 com os dados da massa ao longo da estrela, sendo a massa maxima no seu limite
M = 1.98M�.
Dessa forma, foi possıvel tambem encontrar a relacao massa x raio para diferentes
estrelas com diferentes energias centrais, como consta na figura 7. Observa-se que este
ponto de maximo da funcao so existe no regime relativıstico.
35
Figura 5 - Grafico P × r. Comportamento da pressao de uma estrela em funcao de
seu raio. No raio da estrela a pressao e nula para uma densidade de
energia central ε0 = 1× 10−3fm−4
Fonte: Autoria da autora
36
Figura 6 - Grafico m× r. Representa o valor da massa em unidades da massa solar
de acordo com o raio para uma estrela com densidade de energia central
ε0 = 1× 10−3fm−4. Mostra o valor maximo da massa e do raio de uma
estrela.
Fonte: Autoria da autora
37
Figura 7 - m× r para uma EDE realıstica obtida a partir de calculos microscopicos.
Representa o comportamento da curva m× r para 50 estrelas(representadas pelos
pontos).
Fonte: Autoria da autora
38
CONCLUSAO
O proposito do presente trabalho foi o estudo introdutorio da Astrofısica Nuclear,
analisando o perfil de Anas-Brancas e Estrelas de Neutrons a partir das referencias bi-
bliograficas, o que possibilitou a elaboracao de programas que permitissem uma analise
grafica das quantidades fısicas presentes para os modelos estelares.
No estudo das Anas-Brancas foram obtidos dois graficos. Para a equacao de Lane-
Emden, foi feita a figura 2 que mostra que o comportamento de dois politropicos, o
Γ = 4/3 e Γ = 5/3 sendo o ultimo uma representacao do perfil de uma Ana-Branca. Os
valores obtidos para ξ1 e ξ2 encontrados concordam com os da referencia Shapiro (2004),
os de ξ1 = 3.654 e ξ2 = 6.896. Ja a analise do comportamento da pressao e da densidade
de energia para os dois politropicos, atraves do estudo da EDE para um gas de Fermi
(figura 3), mostrou que a baixas densidades, a EDE tende a ter o perfil de um politropico
Γ = 5/3, enquanto que para altas densidade se modela a partir do perfil do politropico
Γ = 4/3, o que ja era esperado segundo a referencia Chiapparini (2011)
Para as Estrelas de Neutrons, foram obtidos dois graficos para o comportamento
individual da estrela, as figuras 5 e 6. O primeiro citado mostra o raio em Km de uma
estrela com densidade de energia inicial ε0 = 1×10−3fm−4, que corresponde e de 12.73Km,
enquanto que o segundo mostra a massa maxima que e de aproximadamente 2M�, e ambos
os valores estao de acordo com a referencia Chung (2000). Obteve-se, com base nestes
dados, a figura 7 que representa o comportamento de varias estrelas para a EDE da
referencia Baym (1971), e que esta de acordo com a mesma.
Dessa forma, todos os resultados presentes neste estudo tiveram um alto nıvel de
compatibilidade com a teoria, dando confianca a todos os metodos utilizados.
39
REFERENCIAS
BAYM, Gordon et al. The ground state of matter at high densities equation of state andstellar models. The Astrophysical Journal, 170: 299-317, Urbana, p. 20, 9 jun. 1971.
CASALI, Rudiney Hoffmann. Objetos Estelares Compactos Quentes e seus IndicesAdiabaticos. 2008. 61 f. Tese (Mestrado em Fısica) — UFSC, Florianopolis, 2008.
CHIAPPARINI, Marcelo. Notas de Aula de Mecanica Estatıstica. Rio de Janeiro:PPGF-IFADT-UERJ, 2011.
CHUNG, K.C. Vamos Falar de Estrelas? Rio de Janeirol: [s.n.], 2000.
CHURCHILL, Ruel V. Variaveis Complexas e Suas Aplicacoes. Curitiba: Mc Graw Hill,1975.
MESQUITA, Alexandre. Condensacao de Kaons em Estrelas de Neutrons. 2010. 244 f.Tese (Doutorado em Fısica) — UFRGS, Porto Alegre, 2010.
SHAPIRO, Teukolsky. Black Holes, White Dwarfs and Neutron Stars : Nuclear physics,particle physics and general relativity. New York: Wiley-VCH, 2004.
SMITH, Aaron. Tolman-oppeheimer-volkoff (tov) stars. Department of Astronomy, TheUniversity of Texas at Austin TX78712, Austin, p. 8, 4 dez. 2012.
VALLE, Karine Nayara F. Metodos Numericos de Euler e Runge-Kutta. 2012. 61 f. Tese(Especialista em Educacao Matematica) — UFMG, Florianopolis, 2012.
40
APENDICE A – Algorıtmo log(P )× log(u)
program pxe
!—————————————————————-
! Programa que tem como finalidade criar um grafico pressao x densidade de energia para
um gas de Fermi a T=0
! Silvia Pereira Nunes
! 07/11/2013
!—————————————————————-
implicit none
REAL*8 :: n ,& ! densidade do numero de particulas
P1 , & ! Pressao [dyn/cm2] para regime nao relativistico
P2 ,& ! Pressao [dyn/cm2]para regime ultra relativistico
P3 ,& ! Pressao [dyn/cm2]
ninf,nsup,dn ,&
phi ,&
psi ,&
u ,& ! Densidade de energia [erg/cm3]
x,b,c
INTEGER :: i
INTEGER, PARAMETER :: npontos=500
REAL*8, PARAMETER :: hc = 3.16E-23 ,& ! [dyn.cm2] constante de planck dividido
por pi multiplicado pela velocidade da luz
g = 2.0 ,& ! degenerescencia do spin
mc2= 8.18E-19 ,& ! [dyn.cm] massa do eletron multiplicado pela velocidade da luz ao
quadrado
pi = 3.1415927 ,& ! valor de pi
a =(6.0*pi**2/g)**(1.0/3.0) ,& ! contante
lamb= hc/mc2
!—————————————————————-
open(unit=10, file=”dadospxe.txt”,status=”unknown”, action=”write”)
!–LEITURA DE DADOS PELO TECLADO
PRINT*,”Entre com o log(ninf) e log(nsup)”
READ*,c,b
ninf=exp(c)
nsup=exp(b)
!–PASSO
dn=(b-c)/(npontos-1)
41
!–REPETICAO
Do i=1,npontos
n=exp(log(ninf)+(i-1)*dn)
x=a*lamb*n**(1.0/3.0)
psi=x*(1+x**2)**(1.0/2.0)*(1+2*x**2)-log(x+(1+x**2)**(1.0/2.0))
phi=x*(1+x**2)**(1.0/2.0)*(2.0/3.0*x**2-1)+log(x+(1+x**2)**(1.0/2.0))
!–PRESSOES
P1=mc2*lamb**2*a**2*n**(5.0/3.0)/5
P2=mc2*lamb*a*n**(4.0/3.0)/4
P3=mc2*g*phi/((lamb**3)*16*pi**2)
!–DENSIDADE DE ENERGIA
u=mc2*(lamb)**(-3)*g*psi/(16*pi**2)
!–SAIDA DOS DADOS
write(unit=10,fmt=*)log(u),log(P1),log(P2),log(P3)
End do
Close(unit=10)
end program
42
APENDICE B – Algorıtmo de Lane-Emden
program iniciacao3
!———————————————————————–
! algoritmo de Lane Endem
! Silvia Pereira Nunes
! 19/10/2012
! Modificacoes : 23/07 24/07 01/07 02/07 2013
!———————————————————————– implicit none
REAL*8, dimension(3):: teta,ksi
REAL*8 :: h ,& ! gap
n ,& ! indice politropico
v ! primeira derivada de teta
!———————–ENTRADA DE VALORES PELO TECLADO—————-
print*,”Entre com o valor do indice politropico”
read*,n
print*,”Entre com o valor do passo”
read*,h
open(unit=10, file=”iniciacao3.dados”,status=”unknown”, action=”write”)
!—————————- CONDICOES INICIAIS ———————–
teta(1)=1
teta(2)=1
ksi(1)=0
ksi(2)=h
!———————————————————————–
write(unit=10,fmt=*)ksi(1),teta(1)
write(unit=10,fmt=*)ksi(2),teta(2)
Do while (teta(3)¿=0)
teta(3)=(teta(1)*(h-ksi(2))+ksi(2)*(2*teta(2)-h**2*teta(2)**n))/(h+ksi(2))
ksi(3)=ksi(2)+h
If (teta(3)¿=0) then
write(unit=10,fmt=*)ksi(3),teta(3)
ksi(2)=ksi(3)
teta(1)=teta(2)
teta(2)=teta(3)
end if
end do
close(unit=10)
43
end program
44
APENDICE C – Algorıtmo do Equilıbrio Beta
program densidade
!—————————————————————–
! Este programa tem como finalidade fazer um grafico entre a
! relacao ni/n e n, onde n e o numero barionico para uma mistura de n, p e e em equilıbrio
beta.
!—————————————————————–
!Silvia Pereira Nunes
!03/12/2013
!—————————————————————–
implicit none
real*8,parameter :: hcc=197.32 ,& !Valor em Mev para constante de planck*velocidade
da luz ao quadrado
me=0.511 ,& !Valor em Mev para a massa em repouso do eletron
mp=938.28 ,& !Valor em Mev para a massa em repouso do proton
mn=939.57 !Valor em Mev para a massa em repouso do neutron
!—————————————————————–
REAL*8, PARAMETER :: ni=1.d-4 ,& !Valor minimo para ro
nf=1.5d0 !Valor maximo para ro
REAL*8 :: dn,n,fg,nn,ne,np,TOL,zbrent,me1,mp1,mn1
INTEGER :: npontos=200 ,& !Numero de pontos
i !Contador
Common n,me1,mp1,mn1
external fg
!—————————————————————–
me1= me/hcc
mp1= me/hcc
mn1= me/hcc
TOL=1E-5
dn=(nf-ni)/(npontos-1)
open(unit=10,file=”dados.txt”,status=”unknown”,action=”write”)
Do i=1,npontos
n=ni+i*dn
ne=ZBRENT(fg,ni,n,TOL)
np=ne
nn=n-ne
write(unit=10,fmt=*)n-np,2*ne
45
End do
close(10)
End program
!——————————————————————-
double precision function fg(ne)
real*8 :: ne,k
real*8 ::n,me,mp,mn
Common n,me,mp,mn
k=9.570403647
fg=sqrt(((n-ne)**(2.0/3.0)*k)+mn**2)
-sqrt(((ne)**(2.0/3.0)*k)+mp**2)-sqrt(((ne)**(2.0/3.0)*k)+me**2)
return
end
!——————————————————————
FUNCTION zbrent(FUNC,X1,X2,TOL)
! Using Brent’s method, find the root of a function FUNC known to
! lie between X1 and X2. The root, returned as ZBRENT1, will be
! refined until its accuracy is TOL.
IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H , O-Z)
PARAMETER (ITMAX=500,EPS=1.D-10)
A=X1
B=X2
FA=FUNC(A)
FB=FUNC(B)
IF(FB*FA.GT.0.D0) STOP ’Root must be bracketed for ZBRENT’
FC=FB
DO ITER=1,ITMAX
IF(FB*FC.GT.0.D0) THEN
C=A
FC=FA
D=B-A
E=D
END IF
IF(DABS(FC).LT.DABS(FB)) THEN
A=B
B=C
C=A
FA=FB
FB=FC
46
FC=FA
END IF
TOL1=2.D0*EPS*DABS(B)*.5D0*TOL
XM=.5D0*(C-B)
IF (DABS(XM).LE.TOL1.OR.FB.EQ.0.D0) THEN
ZBRENT=B
RETURN
END IF
IF (DABS(E).GE.TOL1.AND.DABS(FA).GT.DABS(FB))THEN
S=FB/FA
IF(A.EQ.C) THEN
P=2.D0*XM*S
Q=1.D0-S
ELSE
Q=FA/FC
R=FB/FC
P=S*(2.D0*XM*Q*(Q-R)-(B-A)*(R-1.D0))
Q=(Q-1.D0)*(R-1.D0)*(S-1.D0)
END IF
IF(P.GT.0.D0) Q=-Q
P=DABS(P)
IF(2.D0*P.LT.MIN(3.D0*XM*Q-DABS(TOL1*Q),DABS(E*Q)))THEN
E=D
D=P/Q
ELSE
D=XM
E=D
END IF
ELSE
D=XM
E=D
END IF
A=B
FA=FB
IF(DABS(D).GT.TOL1) THEN
B=B+D
ELSE
B=B+SIGN(TOL1,XM)
END IF
47
FB=FUNC(B)
END DO
PAUSE ’ZBRENT exceeding maximun iterations’
ZBRENT=B
RETURN
End
48
APENDICE D – Algorıtmo equacoes TOV
program mxr
!———————————————————————–
! programa para criar a curva massaxraio e pressaoxraio para uma estrela de
! neutrons a partir de uma equacao de estado pre estabelecida, usa o metodo de Runge-
Kutta de ordem 4.
!———————————————————————–
! Silvia Nunes 13-11-2014
!———————————————————————–
IMPLICIT NONE
REAL*8, DIMENSION(:), ALLOCATABLE :: p,e ! pressao e densidade de energia
REAL*8 :: r,r mxr ,& ! raio da estrela em Km
dr ,& ! elemento de raio
em Km e zero,e min,e max,de,e0 ,& ! densidade de energia central em Km−2
m,m mxr ,& ! massa da estrela em Km
p zero ,& ! pressao central em Km−2
pfun ,& ! pressao obtida do runge-kutta
mfun ! massa obtida do runge-kutta
INTEGER :: i,a ,& ! contador
n,npontos ! quantidade de valores do arquivo de dados
!———————————————————————–
OPEN(UNIT=10,FILE=”cond iniciais2.txt”,STATUS=”old”,ACTION=”read”)
READ(UNIT=10,FMT=*)n ! valores de arquivod de dados
READ(UNIT=10,FMT=*)e min ! energia inicial
READ(UNIT=10,FMT=*)e max
READ(UNIT=10,FMT=*)npontos
READ(UNIT=10,FMT=*)dr !
CLOSE(UNIT=10)
!———————Condicoes iniciais fixas————————–
ALLOCATE(p(n),e(n))
!———————Leitura de dados do arquivo———————–
OPEN(UNIT=20,FILE=”tov4.dat”,STATUS=”old”,ACTION=”read”)
DO i=1,n
READ(UNIT=20,FMT=*)e(i),p(i)
END DO
CLOSE(UNIT=20)
!———————————————————————–
49
de=(e max-e min)/(npontos-1)
e zero=e min
OPEN(UNIT=30,FILE=”dados mxr.txt”,STATUS=”unknown”,ACTION=”write”)
DO WHILE (e zero¡=e max)
m=0.0
r=0.0
CALL pressao(n,e,p,e zero,p zero)
r=dr
e0=e zero
DO WHILE (p zero¿=p(1))
m mxr=m
r mxr=r-dr
CALL runge kutta(n,e zero,p zero,r,dr,m,e,p,pfun,mfun,a)
IF (a==0) THEN
r=r+dr
p zero=pfun
m=mfun
CALL energia(n,p zero,p,e,e zero,a)
ELSE
GOTO 15
END IF
END DO
15 e zero=e0+de
WRITE(UNIT=30,FMT=*)m mxr,r mxr,e0
END DO
DEALLOCATE(e,p)
CLOSE(UNIT=30)
END PROGRAM
!=======================================================================
!=============================SUBROTINAS================================
!=======================================================================
!————————achar p a partir de e————————–
SUBROUTINE pressao(n,e,p,e zero,p zero)
REAL*8, DIMENSION (n), INTENT(IN) :: p,e
REAL*8, INTENT(IN) :: e zero
REAL*8, INTENT(OUT) :: p zero
INTEGER, INTENT(IN) :: n
INTEGER :: i
DO i=1,n
50
IF (e(i)¡=e zero.AND.e zero¡=e(i+1)) THEN
p zero=(p(i+1)-p(i))/(e(i+1)-e(i))*(e zero-e(i))+p(i)
ELSE IF (e zero¡e(1)) THEN
print*, ”erro limite densidade”
GOTO 21
ELSE
GOTO 11
11 END IF
21 END DO
END SUBROUTINE
!————————–achar e a partir de p————————
SUBROUTINE energia(n,p0,p,e,e0,a)
REAL*8, INTENT(IN) :: p0
REAL*8, DIMENSION(n), INTENT(IN) :: p,e
INTEGER*8 :: i
INTEGER, INTENT(IN) :: n
INTEGER, INTENT(OUT) :: a
REAL*8, INTENT(OUT) :: e0
DO i=1,n
IF (p(i)¡=p0.AND.p0¡=p(i+1)) THEN
e0=(e(i+1)-e(i))/(p(i+1)-p(i))*(p0-p(i))+e(i)
a=0
ELSE IF(p0¡p(1)) THEN
a=1
GOTO 20
ELSE
GOTO 10
10 END IF
END DO
20 END SUBROUTINE
!————————-subrotina runge-kutta de ordem 4————–
SUBROUTINE rung kutta(n,e zero,p zero,r,dr,m,e,p,pfun,mfun,a)
REAL*8, INTENT(IN):: e zero ,& ! energia do programa
p zero ,& ! pressao do programa
r,dr ,& ! raio em Km
m ! massa em Km
INTEGER, INTENT(IN) :: n
REAL*8, DIMENSION(n), INTENT(IN)::e,p
REAL*8, INTENT(OUT) :: pfun,mfun
51
INTEGER, INTENT(OUT) :: a
REAL*8 :: fm1,fm2,fm3,fm4 ,&
fp1,fp2,fp3,fp4 ,&
dp dr,dm dr ,& ! funcoes TOV
p1,m1,r1 ,&
p2,m2,r2,e2
p1=p zero
m1=m
r1=r
p2=p zero
m2=m
r2=r
e2=e zero
fp1=dp dr(p2,m2,r2,e2)
fm1=dm dr(p2,r2,e2)
p2=p1+dr*fp1/2.0
m2=m1+dr*fm1/2.0
r2=r1+dr/2.0
CALL energia(n,p2,p,e,e2,a)
IF (a==0) THEN
fp2=dp dr(p2,m2,r2,e2)
fm2=dm dr(p2,r2,e2)
p2=p1+dr*fp2/2.0
m2=m1+dr*fm2/2.0
r2=r1+dr/2.0
CALL energia(n,p2,p,e,e2,a)
IF (a==0) THEN
fp3=dp dr(p2,m2,r2,e2)
fm3=dm dr(p2,r2,e2)
p2=p1+dr*fp3
m2=m1+dr*fm3
r2=r1+dr
CALL energia(n,p2,p,e,e2,a)
IF (a==0) THEN
fp4=dp dr(p2,m2,r2,e2)
fm4=dm dr(p2,r2,e2)
ELSE
GOTO 16
END IF
52
ELSE
GOTO 16
END IF
ELSE
GOTO 16
END IF
pfun=p1+dr*(fp1+2.0*fp2+2.0*fp3+fp4)/6.0
mfun=m1+dr*(fm1+2.0*fm2+2.0*fm3+fm4)/6.0
16 END SUBROUTINE
!=======================================================================
!=========================FUNCOES=======================================
!=======================================================================
!—————————–FUNCAO dm/dr——————————
REAL*8 FUNCTION dm dr(p,r,e)
REAL*8, INTENT(IN) :: p,r,e
REAL*8, PARAMETER :: m sol=1.4766 ,& ! massa solar em Km
pi=3.1415
dm dr=4.0*pi*r**2.0*e/m sol
RETURN
END FUNCTION dm dr
!—————————–FUNCAO dp/dr——————————
REAL*8 FUNCTION dp dr(p,m,r,e)
REAL*8, INTENT(IN) :: p,r,m,e ! densidade de energia
REAL*8, PARAMETER :: m sol=1.4766 ,& ! massa solar em kg
pi=3.1415
IF (m==0.) then
dp dr=0.
Else
dp dr=-(e+p)*(4.0*pi*r**3.0*p+m*m sol)/(r**2.0*(1.0-2.0*m*m sol/r))
End if
RETURN
END FUNCTION dp dr
Recommended