View
156
Download
11
Category
Preview:
DESCRIPTION
Monotoninės funkcijos. Tarkime, kad. yra du bulinių kintamųjų rinkiniai. Rašysime α ≤ β , kai α j ≤ β j su visais j =1,2,…,n. Pavyzdys. (0,0) ≤ (0,1) ≤ (1,1); (0,0) ≤ (1,0) ≤ (1,1); Negalima rašyti: (0,1) ≤ (1,0) arba (1,0) ≤ (0,1). Jeigu α ≤ β f( α ) ≤ f( β ), - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Monotoninės funkcijos
nn ,...,,,,...,, 2121 Tarkime, kad
yra du bulinių kintamųjų rinkiniai.
Rašysime α ≤ β, kai αj ≤ βj su visais j=1,2,…,n.
Pavyzdys.
(0,0) ≤ (0,1) ≤ (1,1);
(0,0) ≤ (1,0) ≤ (1,1);
Negalima rašyti:
(0,1) ≤ (1,0) arba (1,0) ≤ (0,1).
Jeigu
α ≤ β f(α) ≤ f(β),
tai Bulio funkcija vadinama monotonine
x y f8 x y f9 x y f15
0 0 0 0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
monotoninėnėra
monotoninėmonotoninė
x y z f(x,y,z)
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
f(1,0,0)
f(0,1,0)
f(0,0,1)
f(1,1,1)
f(1,1,0)
f(1,0,1)f(0,0,0)
f(0,1,1)
0
1
0
1
1
10
1
Funkcijos reikšmes iš lentelės surašome tokia tvarka:
Patikrinsime, ar funkcija f(x,y,z) yra monotoninė.
Matome, kad funkcijos reikšmės šiomis kryptimis nemažėja, t.y. ji monotoninė.
Tiesinės funkcijos
Funkcija f(x1,x2,...,xn) yra tiesinė, jeigu
f(x1, x2, ... , xn) = c0 c1 & x1 c2 & x2 … cn & xn
čia c0, c1, c2, …, cn yra konstantos, lygios 0 arba 1.
Pavyzdys. Ar funkcija f(x,y) = x y yra tiesinė?
x y x y0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
x y = c0 c1 & x c2 & y
1 = 0 0 = c0 c1 & 0 c2 & 0 = с0 0 0 = с0
0 = 0 1 = 1 c1 & 0 c2 & 1 = 1 0 с2 = ¬с2
c2 = 1
c0 = 1
0 = 1 0 = 1 c1 & 1 1 & 0 = 1 с1 0 = ¬с1
c1 = 1
Tada gauname prieštaravimą: 0 = 1 1 = 1 1 & 1 1 & 1 = 1 1 1 = 1
Dviejų kintamųjų funkcijai: f(x, y) = c0 c1 & x c2 & y
f(0, 0) = c0 c1 & 0 c2 & 0 = с0 0 0 = с0
f(0,1) = c0 c1 & 0 c2 & 1 = c0 0 с2 .
Jeigu c0=0, tai c2=f(0,1). Jeigu c0=1, tai c2= ¬f(0,1)
f(1,0) = c0 c1 & 1 c2 & 0 = c0 с1 0 .
Jeigu c0=0, tai c1=f(1,0). Jeigu c0=1, tai c1= ¬f(1,0)
c0 f(0,0)
c0 0 1
c1 f(1,0) ¬ f(1,0)
c2 f(0,1) ¬ f(0,1)
Dviejų kintamųjų funkcijai
c0 f(0, 0, 0)
c0 0 1
c1 f(1,0,0) ¬ f(1,0,0)
c2 f(0,1,0) ¬ f(0,1,0)
c3 f(0,0,1) ¬ f(0,0,1)
Analogiškai gaunamos formulės trijų kintamųjų funkcijai:
Fiktyvieji kintamieji
Bulio funkcijos f(x1,x2, ..., xn) kintamasis xj (0 ≤ j ≤ n) vadinamas fiktyviuoju, jei
f( ... , xj-1, 0, xj+1, … ) = f( ... , xj-1, 1, xj+1, … )
Kintamieji, kurie nėra fiktyvieji, vadinami esminiais.
Jeigu funkcija yra tiesinė, t.y. ją galima užrašyti
f(x1, x2, ... , xn) = c0 c1 & x1 c2 & x2 … cn & xn
tai kintamasis, kurio atitinkamas koeficientas cj, yra lygus nuliui, bus fiktyvus. Fiktyvius kintamuosius galima rasti naudojant Karno kortas ir t.t.
Pavyzdys. Kiek fiktyvių kintamųjų turi funkcija f(x,y,z)?
x y z f(x,y,z)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
1. Tikriname, ar x yra fiktyvus kintamasis
x y z f(x,y,z)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
Matome, kad f(0,0,1)=1, o f(1,0,1)=0. Tai reiškia, kad x nėra fiktyvus.
x y z f(x,y,z)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
2. Tikriname, ar y yra fiktyvus kintamasis
Matome, kad f(1,0,0)=0, o f(1,1,0)=1. Tai reiškia, kad y nėra fiktyvus.
3. Tikriname, ar z yra fiktyvus kintamasis
x y z f(x,y,z)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
Matome, kad f(0,0,0)=0, o f(0,0,1)=1. Tai reiškia, kad z nėra fiktyvus.
Funkcija neturi fiktyvių kintamųjų
Pavyzdys. Kiek fiktyvių kintamųjų turi funkcija f(x,y,z)?
x y z f(x,y,z)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
1. Tikriname, ar funkcija yra tiesinė
c0 = 0, c1 = 0, c2 = 1, c3 = 1 ir tada
f(x,y,z) = 0 0&x 1&y 1&z =
= 0 0 y z = y z
2. Tikriname, ar tai tiesa (įstatome y ir z reikšmes ir sulyginame su lentele)
f(0,1,1) = 1 1 = 0;
f(1,0,1) = 0 1 = 1;
f(1,1,0) = 1 0 = 1;
f(1,1,1) = 1 1 = 0.
3. Matome, kad visos reikšmės sutapo, t.y. funkcija yra tiesinė. Koeficientas prie x lygus 0, t.y. x – fiktyvus kintamasis
Pavyzdys. Kiek fiktyvių kintamųjų turi funkcija f(x,y,z)?
x y z f(x,y,z)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
1. Sudarome disjunkcinę formą:
f (x,y,z) = (¬x&¬y&z) v (¬x&y&¬z) v (¬x&y&z) v (x&y&z).
2. Užpildome Karno kortą:
Supaprastiname reiškinį: ( y & ¬ z ) v ( ¬ x & z ).
Matome, kad visi kintamieji liko. T.y. fiktyvių kintamųjų nėra.
y y ¬ y ¬ y
x X
¬ x X X X
z ¬ z ¬ z z
Funkcijų klasės. Pilnosios funkcijų sistemos
(T0) Bulio funkcija f(x1, x2, ..., xn) vadinama nekeičiančia nulio, jei
f(0, 0, ... , 0)=0.
(T1) Bulio funkcija f(x1, x2, ..., xn) vadinama nekeičiančia vieneto, jei
f(1, 1, ... , 1)=1.
(T*) Savidualiosios funkcijos
(T≤) Monotoninės funkcijos
(TL) Tiesinės funkcijos
Apibrėžimas. Funkcijų sistema F={f1, f2, … , fm} yra vadinama pilnąja, jei bet kurią bulinę funkciją galima išreikšti šios sistemos funkcijomis.
Pavyzdys. Bet kuri bulinė funkcija išreiškiama disjunkcine arba konjunkcine normaliąja forma. Sistema {¬, &, V} yra pilnoji.
Taikydami de Morgano dėsnius, galime disjunkciją pakeisti konjunkcija ir atvirkščiai. Todėl sistemos {¬, V} ir {¬, &} – irgi pilnosios.
Posto teorema. Bulio funkcijų sistema F yra pilnoji tada ir tik tada, kai ji turi bent po vieną funkciją, nepriklausančią kiekvienai klasei T0, T1, T*, T≤, TL; t.y. galima nurodyti bent vieną funkciją, kuri nėra nekeičianti nulio, nekeičianti vieneto, savidualioji, monotoninė ir tiesinė.
Funkcijų sistemos {¬, }, {|}, {} – irgi pilnosios.
Recommended