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Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 1
MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA MEJORA DE LA CALIDADMEJORA DE LA CALIDAD
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 2
Parte I: Control de productos terminados
Parte III: Diseño de experimentos
Parte II: Control estadístico de procesos
Diseño ProducciónProducto final
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 3
Materia prima Producto
Inspección
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 4
Papel de la estadística... MUESTREO
Muestra de pocos artículos, representativa de la totalidad
Se extrae una muestra
Número muy elevado de artículos(imposible analizar todos)
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
Tema 2: Control de Recepción
1. Introducción2. Curva característica3. Plan de muestreo simple4. Plan de muestreo doble5. Plan de muestreo secuencial
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 6
1. Introducción
Producto
Lote: conjunto de N de artículos terminados, siendo N un valor grande, dispuesto para ser vendido
Muestra: conjunto de n artículos (n<<N) extraídos de dicho lote con el fin de evaluar la calidad del lote completo
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 7
pA = Nivel de Calidad Aceptable=NCA
= AQL (Acceptable Quality Level)
A la proporción de artículos defectuosos que el comprador está dispuesto a asumir en el lote le llamaremos pA
Si la proporción de artículos defectuosos del lote es p<pA
el lote es ACEPTABLE
Problema: pA es una propiedad del lote y no es posible conocerla salvo que analicemos todo el lote
Solución: tomamos una muestra representativa
El muestreo implica riesgos!!!
1. Introducción
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 8
Riesgos del muestreo
Lote de tamaño NMuestra de tamaño n<<N
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 9
Riesgos del muestreo aceptable
defectuoso
Lote de tamaño N
Riesgo del vendedor: en el lote hay una proporción de piezas defectuosas p muy baja (p≤pA)...
... pero, por azar, la muestra seleccionada tiene un porcentaje de defectos alto
Muestra de tamaño n<<N
El comprador RECHAZARÁ el lote creyendo, erróneamente, que tieneun porcentaje de piezas defectuosas p muy alto (mayor que pA)
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 10
Riesgos del muestreo
Lote de tamaño NMuestra de tamaño n<<N
aceptable
defectuoso
Riesgo del vendedor
Que le rechacen un lote que por su baja proporción de defectuosos sería aceptable (p ≤ pA)
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 11
Riesgos del muestreo
Lote de tamaño NMuestra de tamaño n<<N
aceptable
defectuoso
Riesgo del comprador: en el lote hay una proporción de piezas defectuosas muy alta (p>pA)...
... pero, por azar, la muestra seleccionada tiene un porcentaje de defectos muy bajo
El comprador ACEPTARÁ el lote creyendo, erróneamente, que tiene un porcentaje de piezas defectuosas p muy bajo (menor que pA)
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 12
Riesgos del muestreo
Lote de tamaño NMuestra de tamaño n<<N
aceptable
defectuoso
Riesgo del comprador
Que adquiera un lote que por su elevada proporción de defectuosos sería inaceptable (p>pA)
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 13
Riesgos del muestreo
Riesgo del comprador
Que adquiera un lote que por su elevada proporción de defectuosos sería inaceptable (p>pA)
Riesgo del vendedor
Que le rechacen un lote que por su baja proporción de defectuosos sería aceptable (p ≤pA)
Para minimizar ambos riesgos: se ha de acordar entre comprador y vendedor un plan de muestreo
Plan de muestreo:
tamaño n de la muestra
+
número de artículos defectuosos máximo a admitir en la muestra, c
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 14
Riesgos del muestreo
Riesgo del comprador
Que adquiera un lote que por su elevada proporción de defectuosos sería inaceptable
Riesgo del vendedor
Que le rechacen un lote que por su baja proporción de defectuosos sería aceptable
Para minimizar ambos riesgos: se ha de acordar entre comprador y vendedor un plan de muestreo
Plan de muestreo:
tamaño n de la muestra
+
número de artículos defectuosos máximo a admitir en la muestra, c
Plan de muestreoPlan de muestreo: Se extrae del lote una muestra de : Se extrae del lote una muestra de tamaño tamaño nn
•• si el número de artículos defectuosos encontrado, si el número de artículos defectuosos encontrado, dd, es , es
d>cd>c se rechaza el lote completose rechaza el lote completo
•• si el número de artículo defectuosos, si el número de artículo defectuosos, dd, es, es
d ≤cd ≤c se acepta el lote completose acepta el lote completo
Problema: elección de n y c
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
Tema 2: Control de Recepción
1. Introducción2. Curva característica3. Plan de muestreo simple4. Plan de muestreo doble5. Plan de muestreo secuencial
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 16
Curva Característica de un plan de muestreo o Curva OC (o curva OC(p)):
OC(p)=Es la probabilidad de aceptar un lote, en función del porcentaje de artículos defectuosos p.
Es decir, sea d el número de artículos defectuosos en la muestra de tamaño n: OC(p)=P(d≤c)
2. Curva Característica
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 17
Proporción p de artículos defectuosos en el lote
Probabilidad de aceptar ese lote con el plan de muestreo
P(d≤c)
Curva OC de un determinado plan de muestreo (n,c)
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 18
OC(p)=1 si p≤pA
OC(p)=0 si p>pA
El plan de muestreo ideal tendrá la siguiente curva OC
pA
OC ideal
OC real
P(d≤
c)
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 19
OC(p)=1 si p≤pA
OC(p)=0 si p>pA
El plan de muestreo ideal tendrá la siguiente curva OC
pA
OC ideal
OC real
Cuanto más se aleje la curva OC real de la ideal, peor será el plan de muestreo: es más probable que se tomen decisiones equivocadas
P(d≤
c)
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 20
Para valorar el alejamiento de la curva OC respecto de la curva ideal basta con fijarnos en dos puntos de la curva
Uno de ellos corresponde a un valor en el que se espera un OC muy elevado y otro en el que se espera un OC muy bajo
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 21
pA
OC(pA)
El primer punto, del que se espera tenga una alta probabilidad
de ser aceptado, es pA
αA esta distancia α se le denomina Riesgo del vendedor =Probabilidad de rechazar un lote de calidad pA
α=1-OC(pA)Normalmente, α=0.05
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 22
pA
α
pR
El segundo punto, del que se espera que tenga una probabilidad de aceptación muy baja, se denomina pR y representa la proporción de artículos que se considera totalmente rechazable. Normalmente, pR es de 4 a 10 veces pA
A la probabilidad de aceptar este
lote tan inaceptable se le denomina β
Riesgo del compradorβ =OC(pR)
Normalmente β =0.05 a 0.10
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 23
pA
α
pR
β
La eficacia de un plan de muestreo se resume, por tanto, en el par de valores (pA, α) y (pR, β) con α,βentre 0.05 y 0.10
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 24
Ejemplo: Tenemos un lote de tamaño N=1000. Supongamos que el plan de muestreo consiste en tomar una muestra de tamaño n=25 y rechazamos el lote si hay más de c=2 artículos defectuosos. Queremos usar la curva OC para evaluar este plan si pA =0.08 y pR =0.32
0.08 0.32
?
?
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 25
Ejemplo: Tenemos un lote de tamaño N=1000. Supongamos que el plan de muestreo consiste en tomar una muestra de tamaño n=25 y rechazamos el lote si hay más de c=2 artículos defectuosos. Queremos usar la curva OC para evaluar este plan si pA =0.08 y pR =0.32
Sea d el número de artículos defectuosos en la muestra n del lote de tamaño N, donde la probabilidad de que
un artículo sea defectuoso es p
d: es una variable aleatoria HIPERGEOMÉTRICA
0
(1 )
(aceptar) ( ) ( )c
i
Np N pi n i
P P d c OC pNn
=
−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠= ≤ = =
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 26
Ejemplo: Tenemos un lote de tamaño N=1000. Supongamos que el plan de muestreo consiste en tomar una muestra de tamaño n=25 y rechazamos el lote si hay más de c=2 artículos defectuosos. Queremos usar la curva OC para evaluar este plan si pA =0.08 y pR =0.32
Sea d el número de artículos defectuosos en la muestra n del lote de tamaño N, donde la probabilidad de que
un artículo sea defectuoso es p
Si N>>n, d se puede aproximar a una binomial
0(aceptar) ( ) (1 ) ( )
ci n i
i
nP P d c p p OC p
i−
=
⎛ ⎞= ≤ = − =⎜ ⎟
⎝ ⎠∑
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 27
Ejemplo: Tenemos un lote de tamaño N=1000. Supongamos que el plan de muestreo consiste en tomar una muestra de tamaño n=25 y rechazamos el lote si hay más de c=2 artículos defectuosos. Queremos usar la curva OC para evaluar este plan si pA =0.08 y pR =0.32
También podemos obtener la curva OC usando Statgraphics:
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 28
La curva OC la podemos calcular analíticamente, pues OC(p) es P(d ≤ c) para diferentes valores de p. Podemos usar la aproximación del número de artículos defectuosos d a la binomial d≈ B(25,p)
Usando Statgraphics tenemos:
Veamos un ejemplo: Tenemos un lote de tamaño N=1000. Supongamos que el plan de muestreo consiste en tomar una muestra de tamaño n=25 y rechazamos el lote si hay más de c=2 artículos defectuosos. Queremos usar la curva OC para evaluar este plan si pA =0.08 y pR =0.32
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 29
Usando Statgraphics tenemos:
Veamos un ejemplo: Tenemos un lote de tamaño N=1000. Supongamos que el plan de muestreo consiste en tomar una muestra de tamaño n=25 y rechazamos el lote si hay más de c=2 artículos defectuosos. Queremos usar la curva OC para evaluar este plan si pA =0.08 y pR =0.32
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 30
Usando Statgraphics tenemos:
Veamos un ejemplo: Tenemos un lote de tamaño 1000. Supongamos que el plan de muestreo consiste en tomar una muestra de tamaño n=25 y rechazamos el lote si hay más de c=2 artículos defectuosos. Queremos usar la curva OC para evaluar este plan si pA =0.08 y pR =0.32
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 31
Usando Statgraphics tenemos:
Veamos un ejemplo: Tenemos un lote de tamaño 1000. Supongamos que el plan de muestreo consiste en tomar una muestra de tamaño n=25 y rechazamos el lote si hay más de c=2 artículos defectuosos. Queremos usar la curva OC para evaluar este plan si pA =0.08 y pR =0.32
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 32
Usando Statgraphics tenemos:
Veamos un ejemplo: Tenemos un lote de tamaño 1000. Supongamos que el plan de muestreo consiste en tomar una muestra de tamaño n=25 y rechazamos el lote si hay más de c=2 artículos defectuosos. Queremos usar la curva OC para evaluar este plan si pA =0.08 y pR =0.32
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 33
Usando Statgraphics tenemos:
Veamos un ejemplo: Tenemos un lote de tamaño 1000. Supongamos que el plan de muestreo consiste en tomar una muestra de tamaño n=25 y rechazamos el lote si hay más de c=2 artículos defectuosos. Queremos usar la curva OC para evaluar este plan si pA =0.08 y pR =0.32
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 34
Operating Characteristic (OC) Curven=25, c=2
True percent defective
Prob
. of a
ccep
tanc
e
0 10 20 30 40 500
0,2
0,4
0,6
0,8
1
pA pR
α=0.323
β=0.047
y obtenemos...
El riesgo del comprador, β, es muy reducido, sin embargo, el riesgo del comprador, α , es excesivo.
Este plan de muestreo no será aceptado por el vendedor. Deben buscar un plan más justo.
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 35
2. Curva Característica
La forma de diseñan el plan de muestreo será la siguiente:
• El comprador determina pA , pR y β
• El vendedor determina α
• Eligen el tipo de plan: simple, doble, secuencial...
• Obtienen, entonces, el tamaño muestral ny c que verifique la curva OC deseada
Resumen de curva OC
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
Tema 2: Control de Recepción
1. Introducción2. Curva característica3. Plan de muestreo simple4. Plan de muestreo doble5. Plan de muestreo secuencial
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 37
3. Plan de muestreo simple
Plan de muestreo simple: la decisión se toma con sólo una muestra de tamaño n. Si hay más de c artículos defectuosos se rechaza el lote
Problema: Dada una curva OC deseada por comprador y vendedor -puntos (pA,α)(pR, β)-,
calcular los valores de n y c que consiguen dicha curva OC
Solución: • Tablas del Plan Japonés (norma JIS-Z 9002)
• Analítica
• Statgraphics
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 38
Solución analítica: Hay que hacer los cálculos inversos que para el cálculo de la curva OC. Usando la Hipergeométrica
Problema: Dada una curva OC deseada por comprador y vendedor -puntos (pA,α)(pR, β)-,
calcular los valores de n y c que consiguen dicha curva OC
A0
(1 )
(aceptar|p ) 1
A Ac
i
Np N pi n i
PNn
α=
−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠= − =
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
R0
(1 )
(aceptar|p )
R Rc
i
Np N pi n i
PNn
β=
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
n y c son la solución de este sistema de
ecuaciones no lineal.
(1)
(2)
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 39
Usando Statgraphics...
3. Plan de muestreo simple
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 40
N
α
β
pA
pR
3. Plan de muestreo simple
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 41
y el resultado...
3. Plan de muestreo simple
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 42
Solución analítica:
Problema: Dada una curva OC deseada por comprador y vendedor -puntos (pA,α)(pR, β)-,
calcular los valores de n y c que consiguen dicha curva OC
A0
(aceptar|p ) 1 (1 )c
i n iA A
i
nP p p
iα −
=
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠∑
R0
(aceptar|p ) (1 )c
i n iR R
i
nP p p
iβ −
=
⎛ ⎞= = −⎜ ⎟
⎝ ⎠∑
n y c son la solución de este sistema de
ecuaciones no lineal.
(1)
(2)
Hay que hacer los cálculos inversos que para el cálculo de la curva OC. Si N>>n, usamos la aproximación Binomial
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 43
Solución analítica: Hay que hacer los cálculos inversos que para el cálculo de la curva OC. Si N>>n, usamos la aproximación Binomial
Problema: Dada una curva OC deseada por comprador y vendedor -puntos (pA,α)(pR, β)-,
calcular los valores de n y c que consiguen dicha curva OC
Si n es suficientemente grande y p es pequeño tal que np(1-p)>5, y podremos, además, aproximar esta binomial a una normal
d≈ N(np,np(1-p))
• Lotes de calidad pA se rechazan con probabilidad α
• Lotes de calidad pR se aceptan con probabilidad β
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 44
6.3 Plan de muestreo simple• Lotes de calidad pA se rechazan con probabilidad α
• Lotes de calidad pR se aceptan con probabilidad β
estandarizo
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 45
6.3 Plan de muestreo simple• Lotes de calidad pA se rechazan con probabilidad α
• Lotes de calidad pR se aceptan con probabilidad β
αEcuación 1
Este valor lo obtengo de las tablas de la N(0,1)
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 46
6.3 Plan de muestreo simple• Lotes de calidad pA se rechazan con probabilidad α
• Lotes de calidad pR se aceptan con probabilidad β
estandarizo
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 47
6.3 Plan de muestreo simple• Lotes de calidad pA se rechazan con probabilidad α
• Lotes de calidad pR se aceptan con probabilidad β
βEcuación 2
Este valor lo obtengo de las tablas de la N(0,1)
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 48
Ecuación 2Ecuación 1
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
Tema 2: Control de Recepción
1. Introducción2. Curva característica3. Plan de muestreo simple4. Plan de muestreo doble5. Plan de muestreo secuencial
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 50
4. Plan de muestreo doble
Se extrae una muestra de tamaño n1.
Sea d1 el número de artículos defectuososde esta muestra
¿Es d1>c2? Se rechaza el lotesí
¿Es d1≤c1?
no
síSe acepta el lote
La primera muestra sirve para saber si el lote es muy malo d1>c2 o muy bueno d1≤c1. Si c1<d1 ≤ c2 analizamos una segunda muestra
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 51
Se extrae una muestra de tamaño n1.
Sea d1 el número de artículos defectuososde esta muestra
¿Es d1>c2? Se rechaza el lotesí
Se extrae una segunda muestra de tamaño n2.Sea d2 el número de artículos defectuosos
de esta muestra
no
¿Es d1+d2>c3?
¿Es d1≤c1?
no
síSe acepta el lote
no sí
d1,c1,c2,d2 y c3 se obtienen en tablas en función de (pA,α)(pR, β)
4. Plan de muestreo doble
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
Tema 9: Control de Recepción
1. Introducción2. Curva característica3. Plan de muestreo simple4. Plan de muestreo doble5. Plan de muestreo secuencial
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 53
5. Plan de muestreo secuencial
En el plan de muestreo secuencial, el tamaño muestral se va aumentando unidad a unidad.
En cada observación se decide si se acepta el lote, se rechaza o se analiza una unidad adicional.
Dada una curva OC: (pA,α)(pR, β), se calcula
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 54
Sea n el tamaño muestral acumulado. Y sea d el número de artículos defectuosos acumulado. Entonces, con los valores de s,h1,h2 calculados anteriormente se tiene que:
¿Es d>sn+h2?
¿Es d<sn-h1?
Rechazo el lote
Acepto el lote
Inspecciono elsiguiente artículo
sí
no
no
sí
5. Plan de muestreo secuencial
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 55
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 56
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 57
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