View
1
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Neli loengut funktsioonide lähendusteooriastLoeng 1: Sissejuhatus ja klassikaline
lähendusteooria
Andi Kivinukk
Matemaatika osakond, Tallinna Ülikool
Eesti matemaatika ja statistika doktorikool29.-30. november 2012
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 1 / 44
Funktsioonide lähendusteooria on kaasaegse funktsiooniteooria jafunktsionaalanalüüsi osa, mis annab teoreetilise põhjendusefunktsioonide praktiliseks lähendamiseks. Lähendamise vajadus tekib,kui antud funktsioon on liiga keeruline või on selle omadusedebasobivad.Funktsioonide lähendamise ülesande probleemid olenevad sellest,
milliste omadustega funktsiooni lähendatakse,milliste lihtsamate funktsioonidega lähendatakse,kuidas need lähendused konstrueeritakse,kuidas mõõdetakse funktsiooni ja selle lähendi vahelist kaugust(lähedust),mitme muutujaga on funktsioonid.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 2 / 44
Loengus 1 on lähendatav funktsioon enamasti pidev ühe muutujaga jasellest järelduvalt mõõdetakse kaugust nn maksimumnormiga.
Lähendame algebraliste või trigonomeetriliste polünoomidega(Fourier´ rea osasummadega ja nende summeerimismeetoditega),
esitame nn Jacksoni-tüüpi teoreeme, mis on tähtsad lähendusteooriaigas osas.
Kogu see materjal on prototüübiks kaasaegsele lähendusteooriale,millest räägime järgmistes loengutes.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 3 / 44
Loengus 2 mainime ortogonaalpolünoomidega,interpolatsioonipolünoomidega, ratsionaalpolünoomidega jasplainidega (tükati polünoomidega) lähendamisi.
Mainitud lähendamised toimivad lõplikul lõigul. Kogu reaaltelje jaokssobivad lainekeste arendused ja Shannoni valimread (operaatorid).Need on kasutuses olnud vaevalt 30 aastat, neid tutvustame siinpõgusalt.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 4 / 44
Loengus 3 tegeleme peamiselt Shannoni valimridadegalähendamistega, ühtlasi rõhutame nende praktilist tähendustsignaalitöötluses.
Loengus 4 on vaatluse all positiivsete (polünomiaalsete)operaatoritega lähendamine. Selle teooria aluseks on Bernsteinipolünoomidega (1912) lähendamine, kuid see on ikka veel populaarneteema.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 5 / 44
Funktsioonide lähendamisele kui teooriale pani aluse P.L.Tšebõšov(1821-1894).
Fundamentaalseid tulemusi lähendusteooriasse on andnudS.N.Bernstein (1880-1968),L.Fejér (1880-1959),J.B.J.Fourier (1768-1830),D.Jackson (1888-1946),A.N.Kolmogorov (1903-1987),H.Lebesgue (1875-1941),M.Riesz (1886-1969),Ch.J.de la Vallée-Poussin (1866-1962),K.Weierstrass (1815-1897) -
kui nimetada väheseid klassikuid.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 6 / 44
TÜ-s kättesaadav
[DeLo]: R. A. DeVore, G. G. Lorentz, Constructive Approximation.Springer, 1993
annab hea ülevaate klassikalisest (aga ka kaasaegsest) teooriast.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 7 / 44
Sissejuhatus
Sissejuhatus
Meie vaatluse alla tulevad funktsioonid on kasulik jaotada nende ühisteomaduste põhjal nn ruumideks.
Näiteks, lõigul [a,b] pidevad - C[a,b]
reaalteljel pidevad ja 2π-perioodilised - C2π
integreeruvad (Lebesgue’i mõttes) (ja 2π-perioodilised) - L[a,b] (L2π)
integreeruva ruuduga ja 2π-perioodilised - L22π,
jne funktsioonid moodustavad vektorruume.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 8 / 44
Sissejuhatus
Olgu X vektorruum, nt üks ülalkirjeldatud ruumidest.
Mingi funktsiooni f ∈ X lähendamise probleem ühe teise, teatudmõttes lihtsama funktsiooniga p ∈ P ⊂ X nõuab selgitamist, kui kaugelon funktsioon f funktsioonist p.
Funktsioonide vaheline kaugus peaks olema midagi spetsiifilist nendefunktsioonide jaoks ja see ei peaks sõltuma nende argumentidestx ∈ [a,b].
Seetõttu on loomulik eeldada, et X on normeeritud ruum ja siis f ja plähedus, kirjutame f ≈ p, tähendab, et ‖f − p‖ ≤ �.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 9 / 44
Sissejuhatus
Osutub, et C[a,b] on normeeritud ruum normiga
‖f‖C[a,b] := maxa≤x≤b|f (x)|
ja L[a,b] on normeeritud ruum normiga
‖f‖L[a,b] := ‖f‖1 :=∫ b
a|f (x)|dx .
Ruum Lp[a,b] koosneb sellistest funktsioonidest f , mille norm
‖f‖p :=(∫ b
a|f (x)|pdx
)1/pon lõplik suurus.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 10 / 44
Sissejuhatus
N.1 Vaja arvutada integraal∫ b
a f ja teame, et ‖f − p‖1 ≤ �. Siistegelikult arvutame
∫ ba p, kusjuures saame
|∫ b
af −
∫ ba
p| ≤ ‖f − p‖1 ≤ �.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 11 / 44
Sissejuhatus
Milline info f kohta aitab leida p, et f ≈ p ?N.2 Kui f omab n + 1-järku pidevat tuletist lõigul [−b,b], siis Taylorivalemist saame
f (x) =n∑
k=0
1k !
f (k)(0)xk +1
(n + 1)!f (n+1)(ξ)xn+1,
millest järeldub
|f (x)− pn(x)| ≤ M|xn+1| (−b ≤ x ≤ b),
kus
pn(x) =n∑
k=0
1k !
f (k)(0)xk , M =‖ f (n+1) ‖C[−b,b] /(n + 1)!.
Kuid praktikas on diferentseeruvus liiga range tingimus !
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 12 / 44
Parim lähendus
Parim lähendus
Lähendamise probleemis me võime mõnikord kujutleda, et igafunktsiooni f ∈ X jaoks leidub üks kindel, mingis mõttes lihtsamfunktsioon p ∈ P ⊂ X , mille jaoks norm ‖ f − p ‖ on vähim kõikidestvõimalikest,
st iga lihtsama funktsiooni s ∈ P jaoks saame ‖ f − p ‖≤‖ f − s ‖.
Seega igale funktsioonile f ∈ X vastab üks kindel funktsioon p ∈ P jame saame nn operaatori või teisenduse T : f → p, mis teisendabvektorruumi X selle alamruumiks P.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 13 / 44
Parim lähendus
Olgu X normeeritud ruum ja Vn ⊂ X selle lõplikumõõtmeline alamruumdimensiooniga n ∈ N.
See tähendab, et seal leiduvad lineaarselt sõltumatud elemendid{v1, v2, ..., vn} ⊂ Vn, nii et iga v ∈ Vn jaoks saamev = c1v1 + c2v2 + ...+ cnvn sobivate kordajatega {c1, c2, ..., cn} ⊂ R.
Nüüd saame selgitada parima lähenduse tähendust.
2.1. Definitsioon. Suurust
En(f ) := inf{‖ f − v ‖: v ∈ Vn}
nimetatakse elemendi f ∈ X parimaks lähenduseks alamruumi Vn ⊂ Xelementidega.
Kui leidub element v∗ ∈ Vn, nii et En(f ) =‖ f − v∗ ‖, siis v∗ nimetatakseelemendi f ∈ X parima lähenduse elemendiks.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 14 / 44
Parim lähendus
Kui võtame X = C[a,b], siis on sobivaks alamruumiks
Vn+1 = Pn :={ n∑
k=0
ckxk : c0, c1, ..., cn ∈ R},
mida me nimetame ülimalt n-astme algebraliste polünoomide ruumiks.
Ruum Pn on n + 1- mõõtmeline, milles on n + 1 lineaarselt sõltumatutelementi {1, x , x2, ..., xn} ⊂ Pn.
Seoses perioodiliste protsessidega on kasulik ruum C2π, mis koosnebkõikidest 2π-perioodilistest ja hulgal R pidevatest funktsioonidest.
Funktsiooni f ∈ C2π perioodilisus tähendab, et iga x ∈ R korral kehtibf (x + 2π) = f (x).
C2π elementide lähendamiseks sobib trig. polünoomide alamruum
V2n+1 = Πn :={ n∑
k=0
(αk cos kx + βk sin kx) : αk , βk ∈ R}.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 15 / 44
Parim lähendus
Antud elemendi f ∈ X parima lähenduse elemendi olemasoluprobleem on põhimõttelise tähtsusega. Sellele annab vastuse järgmine
2.2. Teoreem [Kor, lk 12; TVL, lk 148]. Normeeritud ruumi X igaslõplikumõõtmelises alamruumis Vn leidub iga elemendi f ∈ X jaoksvähemalt üks parima lähenduse element v∗ ∈ Vn.
Teoreemi 2.2 abil saab tõestada järgmised omadused.2.3. Parima lähenduse omadused(i) 0 ≤ En(f ) ≤‖ f ‖ iga f ∈ X korral,(ii) kui Vn ⊂ Vn+1, siis En(f ) ≥ En+1(f ) iga f ∈ X korral,(iii) En(f + g) ≤ En(f ) + En(g) kõikide f ,g ∈ X jaoks,(iv) En(λf ) = |λ|En(f ) kõikide f ∈ X ja λ ∈ R jaoks.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 16 / 44
Parim lähendus
Kasutame toodud tulemusi pidevate funktsioonide ruumi C[a,b] jaoks.
Sellisel juhul on sobivaks lähendavaks alamruumiks Pn, mis koosnebülimalt n-astme algebralistest polünoomidest kujulpn(x) = c0 + c1x + ...+ cn−1xn−1 + cnxn.
Algebralised polünoomid on pidevad lõigul [a,b] moodustadesn + 1-mõõtmelise alamruumi Pn ⊂ C[a,b].
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 17 / 44
Parim lähendus
Tähistagu En(f ) funktsiooni f ∈ C[a,b] parimat lähendust algebralistepolünoomidega alamruumist Pn.
2.4. Teoreem. Iga funktsiooni f ∈ C[a,b] jaoks eksisteerib algebralineparima lähenduse polünoom pn∗ ∈ Pn ja see on ühene.
See on tüüpiline väide mingi objekti eksisteerimise kohta andmatavähimatki vihjet, kuidas konstrueerida parima lähenduse polünoomi.Loomulik küsida: kuidas oleks võimalik leida parima lähendusepolünoomi.
Kahjuks pole selleks teada ühtegi lõplikku algoritmi. Parima lähendusepolünoomi äratundmiseks leidis P.L.Tšebõšov efektiivse tingimuse.
Tuntuim parima lähenduse polünoomi leidmise ligikaudne algoritmkannab Remezi nime. Sellega võib tutvuda raamatust [Dz, lk 74].
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 18 / 44
Parim lähendus
Perioodiliste funktsioonide lähendamine trigonomeetrilistepolünoomidega on mingis mõttes lihtsam lõigul määratud funktsioonidelähendamisest algebraliste polünoomidega, kuid siin on tihe seos.
Olgu f ∈ C2π, st f on reaalteljel R pidev ja 2π-perioodiline funktsioon.Seega
C2π ⊂ {f ∈ C[a,a+2π] : f (a) = f (a + 2π)}
ja‖ f ‖C2π= maxa≤x≤a+2π
|f (x)| = maxx∈R|f (x)|
mingi a korral, sagedasti võetakse a = −π.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 19 / 44
Parim lähendus
Trigonomeetrilist polünoomi
tn(x) :=n∑
k=0
(αk cos kx + βk sin kx) ∈ C2π.
saab Euleri valemitecos kx = 12
(eikx + e−ikx
), sin kx = 12i
(eikx − e−ikx
)abil teatud
kordajate ck ∈ C kaudu esitada kujul
tn(x) =n∑
k=−nckeikx .
Edasi, pärast summeerimisindeksi nihutamist saame
tn(x) = e−inx2n∑
k=0
dkeikx = e−inxp2n(eix ),
kus dk ∈ C on kordajad 2n-järku algebralisele polünoomile, milleargumendiks on eix . Saime, et igale n-järku trigonomeetriliselepolünoomile vastab mingi 2n-järku algebraline polünoom ja vastupidi.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 20 / 44
Parim lähendus
2.5 Weierstrassi lähendusteoreem [Kan2, lk 130-131]:kui f ∈ C[a,b], siis leidub algebraliste polünoomide jada {pn} ⊂ Pn, niiet limn→∞ ‖ f − pn ‖C[a,b]= 0 ning samuti kehtib vastav väidetrigonomeetrilisel juhul.
Alati kehtib 0 ≤ En(f ) ≤‖ f − pn ‖C[a,b] , mis Weierstrassi teoreemi põhjalütleb, et kehtib järgmine
2.6. Teoreem. Kui f ∈ C[a,b], siis limn→∞ En(f ) = 0 ja sama väide onõige ka trigonomeetrilisel juhul.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 21 / 44
Trigonomeetriliste polünoomidega lähendamine
Trigonomeetriliste polünoomidega lähendamine
Eelmised teoreemid väidavad, et iga funktsiooni f ∈ C2π jaokseksisteerib üheselt määratud parima lähenduse polünoom tn∗ ∈ Πn.
Operaatorit T : C2π → Πn, mis on defineeritud vastavusega f → tn∗,nimetatakse meetriliseks projektsiooniks ja see ei ole lineaarne parimalähenduse omaduse (iii) põhjal.
See mittelineaarsus ongi tegelikuks põhjuseks, miks me ei suudaefektiivselt konstrueerida parima lähenduse polünoomi.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 22 / 44
Trigonomeetriliste polünoomidega lähendamine
Seepärast otsime lineaarseid lähendamise meetodeid, aga mispeaksid olema peaaegu sama head kui meetriline projektsioon ise.Esimene sobiv vahend funktsiooni f ∈ C2π lähendamiseks oleks sellefunktsiooni Fourier’ rea osasummad
Sn(f , x) :=a02
+n∑
k=1
(ak cos kx + bk sin kx),
kus Fourier’ kordajad on (k = 0,1,2, ...)
ak =1π
∫ π−π
f (u) cos kudu, bk =1π
∫ π−π
f (u) sin kudu.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 23 / 44
Trigonomeetriliste polünoomidega lähendamine
Asendades Fourier’ kordajad osasummade avaldisse saame, etFourier’ rea osasummad on esitatavad konvolutsioonina
Sn(f , x) =1
2π
∫ π−π
f (u)Dn(x − u)du =: f ∗ Dn(x),
kus nn Dirichlet’ tuum on kujul
Dn(u) := 1 + 2n∑
k=1
cos ku.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 24 / 44
Trigonomeetriliste polünoomidega lähendamine
Fourier´ ridade (osasummade) edu baseerub järgmistes asjaoludes:
1) trigonomeetriline süsteem on ortogonaalne, mis võimaldab
2) arvutada Fourier’ kordajad skalaarkorrutistena suvalise f ∈ L2πjaoks;
3) kui f on 2π-perioodiline, siis iga a ∈ R korral∫ π−π
f (u + a)du =∫ a+π
a−πf (u)du =
∫ π−π
f (u)du,
mis on geomeetriliselt ilmne ja see väljendab integraali nihkeinvariantsust, mille abil saab näidata konvolutsiooni kommutatiivsust, st
f ∗ g = g ∗ f .
4) 3.1 Lause. Kui tm ∈ Πm (m ≤ n), siis Sntm = tm, st ülimalt n-astmetrigonomeetriline polünoom on Fourier’ osasummade operaatoripüsipunktiks või teisiti, et Sn on ruumis L2π projektor, mis tähendab, etiga f ∈ L2π korral S2n f = Snf .
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 25 / 44
Trigonomeetriliste polünoomidega lähendamine
Konvolutsiooni kommutatiivsus lubab võrduse kirjutada kujul
Sn(f , x) =1
2π
∫ π−π
f (x − u)Dn(u)du. (1)
See võrdus defineerib lineaarse operaatori Sn : C2π → Πn.3.2. Lebesgue’i võrratus. Iga f ∈ C2π korral
‖ f − Snf ‖C2π≤ (1+ ‖ Dn ‖L)En(f ).
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 26 / 44
Trigonomeetriliste polünoomidega lähendamine
Tõestus. Teoreemi 2.2 põhjal on funktsioonil f ∈ C2π olemas parimalähenduse polünoom tn. Lausest 3.1 järeldame operaatori Snlineaarsuse tõttu, et
f − Snf = f − Sn(f − tn + tn) = f − tn − Sn(f − tn). (2)
Operaatori Sn : C2π → C2π normi jaoks saame (1) põhjal
‖ Sn ‖≤‖ Dn ‖L . (3)
Normi omadusi kasutades saame seostest (2) ja (3) järeldada, et
‖ f − Snf ‖C2π≤‖ f − tn ‖C2π + ‖ Sn ‖‖ f − tn ‖C2π≤ (1+ ‖ Dn ‖L)Enf .
3.3. Märkus. Lebesgue’i võrratus ütleb, et Fourier’ osasummadegalähendamise kiirus oleneb nn Lebesgue’i konstantidest ‖ Dn ‖L .
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 27 / 44
Trigonomeetriliste polünoomidega lähendamine
3.3. Lause. Väga täpne hindamine näitab, et
Ln =4π2
ln(n + 1) + c(n),
kus |c(n)| ≤ 1.2706... [ZN, lk 183].Nüüd saame Lebesgue’i võrratusest 3.2 tähtsa väite.
3.4. Järeldus. Iga funktsiooni f ∈ C2π korral
‖ f − Snf ‖C2π< (c ln n + 3)En(f ),
mis näitab, et Fourier’ osasummadega lähendamisel tehtav viga onainult ln n korda halvem parimast võimalikust.
Teoreemi 2.6 põhjal En(f )→ 0, kui n→∞. Seevastu ln n→∞, kuin→∞ ja seega mõne f0 ∈ C2π jaoks võib juhtuda, et ln n En(f0)→∞ja samal ajal ka ‖ f0 − Snf0 ‖C2π→∞.
See tähendab, et funktsiooni f0 Fourier’ osasummad ei anna küllalthead lähendust.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 28 / 44
Trigonomeetriliste polünoomidega lähendamine
3.5. Märkus. Kes teab Banach-Steinhausi teoreemi [Kan2, lk459-460], märkab, et operaatorid Sn : C2π → Πn ei ole ühtlaselttõkestatud ja seega eksisteerib f0 ∈ C2π, mille jaoks‖ f0 − Snf0 ‖C2π 6→ 0, kui n→∞.
Isegi veel halvemini, 1926. aastal näitas A.N.Kolmogorov [Zyg, lk 488],et leidub funktsioon f ∈ L2π, mille Fourier’ rida hajub kõikjal.
Selleks, et olukorda parandada, otsime me lineaarseid ühtlaselttõkestatud lähendamise meetodeid. Me laename oma idee esitusest(1).
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 29 / 44
Trigonomeetriliste polünoomidega lähendamine
3.6. Definitsioon. Operaatorit In : C2π → C2π, mis on defineeritudvõrdusega
In(f , x) :=1
2π
∫ π−π
f (x − u)Xn(u)du (n ∈ N), (4)
nimetatakse singulaarseks integraaliks (operaatoriks), kui tuumXn ∈ L2π rahuldab tingimust
12π
∫ π−π
Xn(u)du = 1. (5)
Singulaarse integraali termin tuleb asjaolust, et tuum iseärasusega, nii
et vormiliselt on siin päratu integraal.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 30 / 44
Trigonomeetriliste polünoomidega lähendamine
Moodustame Dirichlet’ tuumade Dk aritmeetilise keskmise
Fn(u) :=1
n + 1
n∑k=0
Dk (u). (6)
mida nimetame Fejéri tuumaks, mis on tõesti tuum, sest
12π
∫ π−π
Fn(u)du =1
n + 1
n∑k=0
12π
∫ π−π
Dk (u)du =1
n + 1
n∑k=0
1 = 1.
Fourier´ kordajate asendamisega saab näidata [Kan2, lk 135], et
Fn(x) = 1+2n∑
k=1
(1− k
n + 1
)cos kx =
1n + 1
sin2(n + 1)x2sin2 x2
(x 6= 2kπ, k ∈ Z).
(7)
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 31 / 44
Trigonomeetriliste polünoomidega lähendamine
On väga tähtis, et Fejéri tuum on mittenegatiivne. Tõesti, nüüd saameFejéri singulaarse integraali
σn(f , x) :=1
2π
∫ π−π
f (x − u)Fn(u)du (8)
jaoks hinnangu
|σn(f , x)| ≤1
2π
∫ π−π|f (x − u)|Fn(u)du.
Tegutsedes nagu võrratuse (3) tõestamisel, saame
‖ σn ‖≤‖ Fn ‖L= 1.
3.7. Järeldus. Fejéri singulaarne integraal on positiivne operaator janende normide jada on ühtlaselt tõkestatud.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 32 / 44
Trigonomeetriliste polünoomidega lähendamine
Uurime nüüd, kui kiiresti koondub ruumi C2π normi mõttessingulaarsete integraalide jada Inf funktsiooniks f ∈ C2π.
Lähendamise järk ehk viga ‖ f − Inf ‖C2π peaks sõltuma lähendatavafunktsiooni f pidevuse või diferentseeruvuse omadustest.
Hüpoteesina arvame, et kõrgemat järku tuletiste eksisteerimine onseotud parema lähendamise järguga. Funktsiooni omadusimõõdetakse pidevus(siledus)mooduliga.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 33 / 44
Pidevusmoodul ja K -funktsionaal
Pidevusmoodul ja K -funktsionaal
Et motiveerida pidevusmooduli definitsiooni, alustame tuletisega.
Eeldame, et funktsioonil f eksisteerib tõkestatud tuletis iga x ∈ Rkorral, st ∃M > 0 ∀x ∈ R, |f ′(x)| ≤ M. Kasutades tuntud Lagrange’ikeskväärtusteoreemi [Kan1, lk 219], saame iga x ∈ R jaoks
|f (x + h)− f (x)| ≤ M|h|.
See võrratus on samaväärne järgmisega
‖ f (·+ h)− f (·) ‖C2π≤ M|h|,
millest omakorda tuleneb
sup|h|≤δ
‖ f (·+ h)− f (·) ‖C2π≤ Mδ, (9)
kus δ > 0.A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 34 / 44
Pidevusmoodul ja K -funktsionaal
Osutub, et võrratuse (9) vasakul olev suurus kui δ funktsioon on erilisetähtsusega meie edasise käsitluse jaoks.
4.1. Definitsioon. Funktsiooni f ∈ C2π pidevusmoodul on defineeritudargumendi δ > 0 korral võrdusega
ω(f , δ) := sup|h|≤δ
‖ f (·+ h)− f (·) ‖C2π . (10)
Võrratus (9) ja sellele eelnev arutlus ütleb meile järgmist.
4.2. Lause. Kui f ∈ C2π omab iga x ∈ R korral tõkestatud tuletist, siis
ω(f , δ) ≤ Mδ.
Osutub, et funktsiooni f ∈ C2π saab iseloomustadadiferentseeruvusest täpsemini, kui lause 4.2 hinnangus asendada δavaldisega δα mingi α > 0 korral?
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 35 / 44
Pidevusmoodul ja K -funktsionaal
4.3. Definitsioon. Öeldakse, et funktsioon f ∈ C2π rahuldab Lipschitzitingimust järguga α > 0 ja tähistame f ∈ Lip α, kui ω(f , δ) ≤ Mδα(0 < M võib sõltuda funktsioonist f ).
4.4. Märkus. Definitsioonis 4.3 me võime piirduda järkudega αvahemikust 0 < α ≤ 1, sest vastasel juhul f = const .
Definitsioonis 4.3 me ei pea piirduma astmefunktsioonigaδα (0 < α ≤ 1). Võime võtta δα asemele ka mingi funktsiooni ω(δ),millel oleksid omadused nagu järgmises lauses. Sellisel juhulfunktsiooni f ∈ C2π struktuursed omadused on kirjeldatavadvõrratusega
ω(f , δ) ≤ Mω(δ).
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 36 / 44
Pidevusmoodul ja K -funktsionaal
4.5. Lause. Pidevusmoodul (10) on omadustega:10 ω(f , δ) on monotoonselt kasvav δ, δ > 0 funktsioon.20 limδ→0 ω(f , δ) = 0.30 ω(f ,nδ) ≤ nω(f , δ) iga n ∈ N korral.40 ω(f , λδ) ≤ (1 + λ)ω(f , δ) iga λ > 0 korral.
4.6. Märkus.On kerge näha, et funktsiooni ϕ ∈ C2π pidevusmooduli(10) võib esitada kujul
ω(ϕ, δ) = sup|x−y |≤δ
|ϕ(x)− ϕ(y)|.
Seda kuju saab kasutada ka funktsiooni f ∈ C[a,b] jaoks, ainult nüüdtuleb hoolitseda, et x , y ∈ [a,b]. Perioodilisel juhul küsimust, kasargumendid on lubatavad, ei teki, sest perioodilised funktsioonid onmääratud kogu arvteljel. See asjaolu teeb perioodiliste funktsioonidelähendusteooria oluliselt lihtsamaks.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 37 / 44
Pidevusmoodul ja K -funktsionaal
4.7. Märkus. Pidevusmooduli teiste omaduste ja üldistuste kohta vt[DeLo, lk 40 - 46]. Üldises Banachi ruumis X asendab pidevusmoodulitK -funktsionaal [J.Peetre, 1963]:
K (f , t ; X ,A) := inf{‖ f − g ‖X +t |g|A : g ∈ A},
kus A on X alamruum poolnormiga |g|A.
4.8. Lause. Eksisteerivad absoluutsed konstandid M,m > 0, et
m ω(f , t) ≤ K (f , t ; C2π,C(1)2π ) ≤ M ω(f , t).
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 38 / 44
Jacksoni-tüüpi teoreeme
Jacksoni-tüüpi teoreeme
Need on teoreemid, kus lähendamise järku ehk viga ‖ f − Inf ‖C2πhinnatakse funktsiooni f iseloomustava jadaga ϕn, sagedastiϕn = Mω(f ,1/n).
5.1. Teoreem. Olgu f ∈ C2π singulaarne integraal Inf paaristuumaganing positiivne. Siis kehtib hinnang
‖ f − Inf ‖C2π≤ 2ω(f ,π
2
√2− a1(Xn)
),
kus a1(Xn) on tuuma Xn esimene Fourier´ kordaja.
Vaatleme Fejéri tuumi
Fn(x) = 1 + 2n∑
k=1
(1− k
n + 1
)cos kx ,
siis a1(Fn) = 2(1− 1n+1) ja saameA. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 39 / 44
Jacksoni-tüüpi teoreeme
5.2. Järeldus. Olgu f ∈ C2π, siis Fejéri integraali kohta kehtib
‖ f − σnf ‖C2π≤ 2ω(
f ,π√
2(n + 1)
).
Muuhulgas, see annab Weierstrassi lähendusteoreemi tõestuse, sest
pidevusmooduli omadusest saame limn→∞ ω(f , π√2(n+1)) = 0.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 40 / 44
Jacksoni-tüüpi teoreeme
5.3. Märkus. Kuna meie singulaarsed integraalid Inf ontrigonomeetrilised polünoomid, siis samad hinnangud kehtivad kaparima lähenduse jaoks, sest En(f ) ≤‖ f − Inf ‖C2π .
Edasi, Jackson (1912), Korovkin (1958) jt leidsid, et saab tehakonkreetseid singulaarseid integraale kujul
In(f , x) =a02
+n∑
k=1
λk (n)(ak cos kx + bk sin kx), (11)
nii et ruutjuurest pidevusmooduli all võib loobuda, st lähenduskiirustsaab suurendada.
Siit näeme, et Inf ∈ Πn ja see on defineeritud polünomiaalse tuumaga
Xn(x) = 1 + 2n∑
k=1
λk (n) cos kx .
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 41 / 44
Jacksoni-tüüpi teoreeme
5.4. Teoreem. [Korn, lk 261] Kehtib täpne võrratus kujul
En(f ) ≤ ω(
f ,π
n + 1
),
mis tähendab, et siin paremal pidevusmooduli ees konstanti 1 ei saaenam vähendada.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 42 / 44
Kirjandus
Kirjandus
DeVore, R.A., Lorentz, G.G., Constructive Approximation.Springer, New York, 1993.
Dzjadõk, V.K., Sissejuhatus funktsioonide ühtlasesselähendamisse polünoomidega. Nauka, Moskva, 1977 (vene k).
Dzyadyk, V.K., Shevchuk, I. A., Theory of uniform approximation offunctions by polynomials. Walter de Gruyter, 2008.
Hewitt, E., Ross, K.A., Abstract Harmonic Analysis I, II. Springer,1963, 1970 (tõlge vene k, I, Nauka; II, Mir, Moskva, 1975).
Kangro, G., Matemaatiline analüüs I. Eesti Raamat, Tln., 1965.
Kangro, G., Matemaatiline analüüs II. Valgus, Tln., 1968.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 43 / 44
Kirjandus
Korneitšuk, N.P., Exact Constants in Approximation Theory.Cambridge Univ. Press, 1991 (vene k orig., Nauka, Moskva, 1987).
Korovkin, P.P., Linear Operators and Approximation Theory.Hindustan Publ. Corp., Delhi, 1960 (vene k orig., Fizmatgiz,Moskva, 1959).
Žuk, V.V., Natanson, G.I., Trigonomeetrilised Fourier’ read jalähendusteooria elemendid. Leningradi Ülik. Kirj., 1983 (vene k).
Zygmund, A., Trigonometric Series I. Cambridge Univ. Press, 1959(tõlge vene k, Mir, Moskva, 1965).
Tamme, E., Võhandu, L., Luht, L., Arvutusmeetodid I. Valgus, Tln.,1986.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 44 / 44
Sissejuhatus Parim lähendusTrigonomeetriliste polünoomidega lähendaminePidevusmoodul ja K-funktsionaalJacksoni-tüüpi teoreemeKirjandus
Recommended