View
2
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI
01
n
n n
11
1 n
01
2
n
2n 3 n
111
1 2
2
n
01
3
n
3n 4 n
111
1 3
3
n
01
kn
kn
k n
11
11
k
k
n
HA k KONKRÉT SZÁM
1q1-
0nq
e
n
n
11
q1 nq
1q sehovaqn
e
n
n
1
eIZÉ
IZÉ
1 1n n 1n a
HA IZÉ
ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKE
?
Ilyenkor az erősebb* győz:
szám (DÖNTETLEN)
TÉTEL: Ha na és nb sorozat konvergens és Aan lim és Bbn lim akkor nn ba sorozat is
konvergens és BAba nn lim
AZ ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKÉNEK 9 ESETE KRITIKUS ESETEK
nn ba
nalim
A
?
nblim
B
BA
?
2
SZORZAT HATÁRÉRTÉKE
HÁNYADOS HATÁRÉRTÉKE
*NOS LÁSSUK, KI MENNYIRE ERŐS:
SOROZATOK: nnnnn qknnnk nn !32
log
FÜGGVÉNYEK: xxx xexxxk xx ...3 42
log
TÉTEL: Ha na és nb sorozat konvergens és Aan lim és Bbn lim akkor nn ba sorozat is
konvergens és BAba nn lim
A SZORZAT HATÁRÉRTÉKÉNEK 25 ESETE KRITIKUS ESETEK
nn ba
nalim
0A 0 0A
?
nblim
0B
BA
0
BA
0
?
0
0
0
?
0B
BA
0
BA
?
mateking.hu
?0
Ilyenkor az erősebb* győz:
00
0
szám0 (DÖNTETLEN)
TÉTEL: Ha na és 0nb sorozat konvergens és Aan lim és 0lim Bbn
akkor n
n
b
a sorozat is konvergens és
B
A
b
a
n
n lim
A HÁNYADOS HATÁRÉRTÉKÉNEK 25 ESETE KRITIKUS ESETEK
n
n
b
a
nalim
0A 0 0A
?
0
0
0
?
nblim
0B
BA /
0
BA /
0
?
?
?
?
?
0B
BA /
0
BA /
?
0
0
0 ?
0
szám
szám
szám
?
Ilyenkor az erősebb* győz:
0
szám
(DÖNTETLEN)
3
mateking.hu
IZÉ
VALAMIlim
A SZÁMLÁLÓT ÉS A NEVEZŐT IS
LEOSZTJUK A NEVEZŐ
LEGNAGYOBB KITEVŐJŰ
TAGJÁVAL.
nnn
nnn
nn
5
3
3
2
5 33 2
2
46
21lim
a legnagyobb kitevőjű tag a
jelek szerint n , vagyis vele
fogunk osztani, de ha bevisszük
a gyökjelek alá, varázslatos át-
alakulásokon megy keresztül
5 5
3 3
2
nn
nn
nn
a különböző gyökjelek alatt
tehát más-más kitevőjű n -ekkel osztunk:
4
3
4161
21
1
lim
46
21
lim:
52
33
2
5
3
3
2
2
nnn
n
nn
nn
533
22
nnn
nn
Teendők
lim típusú határértékekkel
POLINOM
POLINOMlim
A SZÁMLÁLÓT ÉS A
NEVEZŐT IS LEOSZTJUK A
NEVEZŐ LEGNAGYOBB
KITEVŐJŰ TAGJÁVAL.
226
1
12
lim
26
12lim
3
3
2
3
nn
n
n
n3
n
2
2
2
23
651
16
lim
65
16lim
nn
nn
n
nn
n
8
1
72
351
lim
7
35lim
3
2
3
2
2
n
nn
n
nn
2n
LISEXPONENCIÁ
LISEXPONENCIÁlim
A SZÁMLÁLÓT ÉS A NEVEZŐT IS
LEOSZTJUK A NEVEZŐ
LEGNAGYOBB HATVÁNYALAPÚ
TAGJÁVAL.
10354
325lim
122
1232
n
n
nnn
először átalakítunk:
nkk nk
n
n
n
nkknnn
k
nknnn
knknnn
aaa
aa
a
aa
aaa
24
393
8
122
2555
2
12
3
2
aztán leosztunk:
15
3
9
1015
9
2
38
1
9
225
9
5
lim
10152
398
12255
lim
n
n
nn
nn
nnn
9
Teendők lim típusú határértékekkel
ILYENKOR A LEGERŐSEBB TAGOT KI KELL EMELNI:
)1(
21
1lim2lim
3
2
nnn 33
nn
1
9
2
9
81lim28lim
nn
nn nn99
4
Számítsuk ki az alábbi sorozatok határértékét!
1.1. 5
6533
2
n
nnan
1.2. 5
6421
3
2
n
nna
n
n
1.3. nn
nna
n
n
2
2 151
1.4. nn
na
n
n6
121
2
3
1.5.
1
12
2
n
nna
n
n
1.6. 3 42
23
6
7
nnn
nnnan
1.7. 23 454
23 4
19
38
nnnnn
nnnnan
1.8. 5 42
24
4
37
nnn
nnnan
1.9. 51
2
235
342
nn
nn
na
1.10. 212
2
53
645
nn
nn
na
1.11.
nn
nnn
na
234
32411
2
1.12. 23
2
12
2 3
375
536
nn
nna
nn
nn
n
1.13. nnnn
nnn
na)1(532
2069)3(2221
12
1.14. 20323
2)1(3232
121
nn
nnn
na
1.15. 131
2
2332
8)3(5
nn
nn
na
1.16. nnn
nna
nn
nn
n)1()1(
)1(3)1(231
22
1.17. nnn
nna
n
n
n5)1(2
76)1(312
23
1.18. 34
43
n
n
na
1.19. 222
223
10
2
nn
nnan
1.20.
2
3
3
132
83
n
nan
1.21. 12
5412
1
n
n
na
1.22.
3
3
2
5
642
n
nnan
1.23.
2
3
32
53
692
nn
nnan
1.24.
12
2
2
72
642
n
nnan
1.25. 23
3
105
420
nn
nnan
1.26. 352
35
37
31224
nnn
nnnan
DIVERGENSpárosnha
páratlannha
n
n
nn
n nn
221
221
11
12
1lim12
1lim2
2
2
KONVERGENSpárosnha
páratlannha
n
nn
nn
n nn
001
001
11
12
1lim12
1lim2
2
5
Számítsuk ki az alábbi sorozatok határértékét!
1.27.
n
nn
na
5
7
1.28.
n
nn
na
52
72
1.29.
n
nn
na
3
43
53
1.30.
73
12
32
n
nn
na
1.31.
nn
nn
na
2
12
12
1.32. n
n
nn
na
2
12
521
1.33. n
n
nn
na
13
521
1.34.
7
21
25
n
nn
na
mateking.hu
n
n
11 TÍPUSÚ SOROZATOK
NOS ITT IS LE KELL OSZTANI A NEVEZŐ LEGNAGYOBB
KITEVŐJŰ TAGJÁVAL.
9
5
4
51
41
lim5
1
41
lim5
4lim e
e
e
n
n
n
n
n
nn
nn
n
ha esetleg a számlálóban és nevezőben is 2n van, akkor 2n-el osztunk
4
2/5
2/3
2/51
2/31
lim
2
51
2
31
lim52
32lim e
e
e
n
n
n
n
n
nn
nn
n
rondább esetekkel is el tudunk bánni
6
3
4/5
4/3
353
53
14/5
1
4/31
lim
4
51
4
31
4
51
4
31
lim54
34lim e
e
e
n
n
n
n
n
n
n
nn
nn
n
de ha sajna itt 2n ott 3n akkor csak n-el osztunk aztán kiemelünk
003/4
1
2/31
lim4
3
lim43
32lim
3/4
2/3
e
e
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
3
2
3
2
e
n
n
1
e
IZÉ
IZÉ
1
HA IZÉ
6
1.35.
6
25
23
n
nn
na
1.36.
2
5
2
2
2
12
n
nnn
nna
1.37.
12
2
2
27
2
n
nnn
nna
1.38.
2
52
722
2n
nn
na
1.39.
n
nnn
nna
2
2
2
8
1.40.
n
nn
na
2
2
1.41.
4
3
3
3
52
72n
nn
na
1.42.
nn
nnn
nna
5
712
2
1.43. 3
54
32
52
n
nn
na
1.44.
7
4
3
3
2
5
12
n
nnn
nna
1.45.
43
4
54
n
nn
na
Számítsuk ki az alábbi sorozatok határértékét!
1.46. 425 nnan
1.47. nnnan 37 22
1.48. 43252 22 nnnan
1.49. 633
1
22
nnnnan
1.50. 633
438
22
22
nnnn
nnnan
1.51. nnnnan 54 222
1.52. 49 22 nnnnan
1.53. nnnnan 4647 354
mateking.hu ESETBEN GYÖKTELENÍTÜNK
ba
ba
ba
bababa
ez valahogy így működik, hogy a sorozat először rondább lesz
34
3434lim34lim
nn
nnnnnn
utána viszont egészen megjavul
0
7
34
7lim
34
34lim
nnnn
nn
7
mateking.hu
A NAGYSÁGREND ÉS A RENDŐR-ELV
Az na sorozat nagyobb nagyságrendű, mint nb ha n
n
b
a
és ezt a tényt így jelöljük, hogy nn ba
Az alábbi nagyságrendi rangsor állítható föl:
nnnnn qknkn !log és
1 kk nn nn qq 1
A nagyságrend fogalmát a becsléseknél tudjuk hasznosítani. Becsülni ugyanis mindig úgy kell, hogy
csak a nagyságrenden ne változtassunk. Felső becslésnél mindenkit le kell cserélni a legnagyobb
nagyságrendű tagra, míg alsó becslésnél csak a legnagyobb nagyságrendű tagot hagyjuk meg.
Remek példákat szolgáltatnak erre a rendőr-elv segítségével kiszámolható határértékek.
TÉTEL: RENDŐR-ELV Ha Aan és Acn és van olyan 0n , hogy minden 0nn esetén
nnn cba akkor Abn .
Van itt ez a határérték:
?345lim n nnn
A legnagyobb nagyságrendű tag itt n5
Ez azt jelenti, hogy nagy n-ekre a többi tag olyan kicsi,
mintha ott sem volna, ahogyan ez az ábrán remekül látszik.
Alsó becslésnél csak a legnagyobb nagyságrendű tagot hagyjuk meg, felső becslésnél pedig
mindenkit lecserélünk a legnagyobb nagyságrendű tagra
5535355
555345
n nnn nn
n nnnnnn n n n5
Az alsó és felső becslés is 5-höz tart, így a közrefogott sorozat határértéke is 5.
n5
n4
n3
8
mateking.hu
Nézzünk meg egy másik határértéket is:
?1
34lim
53
n
nn
nn
A legnagyobb nagyságrendű tag a számlálóban n5 , a nevezőben pedig
5n
Lássuk a becslést!
n
nn
n
nn
n
n
nnnnnn 553555
44
1
344
43
4
3
455
nn
n
n
nn 4
434355
n
n
n
n
nn
Az alsó és felső becslés is 4-höz tart, így a közrefogott sorozat határértéke is 4.
Aztán vannak bonyolultabb esetek is:
?56lim n nn
Itt a felső becslés könnyű, a mínuszos tagokat egyszerűen elhagyjuk:
n nn nn 656
Az alsó becslés viszont meglehetősen furmányos.
Az alapötlet az, hogy a legnagyobb nagyságrendű tagot vagyis a n6 -t meg kell tartani,
de mivel csak 1db van belőle és ráadásul abból még ki is vonunk, az alsó becslés az lesz, hogy
n nnn nC 566
ahol itt C valami 1-nél kisebb szám. A vicces az, hogy bármi lehet. Legyen mondjuk 1/2.
Ekkor:
n nnn
n 5662
1
Ez akkor teljesül, ha nnn 566
2
1 átrendezve
nn 62
15 amit leosztunk
n6 -nel:
2
1
6
5
n
ami teljesül, ha 4n
ALSÓ BECSLÉS:
számlálót csökkentjük nevezőt növeljük
FELSŐ BECSLÉS:
számlálót növeljük nevezőt csökkentjük
9
mateking.hu
Vagyis 4n esetén
n nn nnn
n 65662
1
662
1n 66 és így a közrefogott sorozat határértéke is 6.
Végül egy egész bonyolult ügy:
?2345
lim34
n
nnnn
nnn
A felső becslés egyszerű. A számlálót növeljük azzal, hogy a mínuszos tagokat elhagyjuk,
a nevezőt pedig csökkentjük azzal, hogy az nn 3 pozitív tagot elhagyjuk.
n
n
n
nnnn
nnnn 434
52345
Az alsó becslés már érdekesebb. A számlálót csökkentenünk kell és ehhez az előző feladatban látott
trükköt fogjuk használni. Először minden mínuszos tagot lecserélünk a mínuszos tagok közül a
legnagyobb nagyságrendűre. A nevezőt növelnünk kell, az nem gond.
n
nnnn
n
nnnn
nnnnn
3444
23454445
Jelenleg tehát itt tartunk:
n
nnnn
n
nnnn
n
nn
nnnnnn
34444
23454445
2
435
Most pedig a számlálót megint alulról becsüljük az előző feladatban látott módon:
n
nnnn
n
nn
n
n
nnnnn
C
3444
2345
2
435
2
5
Hasunkra ütünk, C=1/2 például jó is:
n
nn
n
n
nn 44 2
435
2
52/1
Ez akkor teljesül, ha nnn 4355
2
1 átrendezve
nn 52
143
10
1.54. ?124
456lim
34
n
nnn
nn
1.55. ?345lim n nnn
1.56. ?456
459lim
n
nnn
nnn
1.57. ?345
346lim
n
nnn
nnn
1.58. ?124
1234lim
34
n
nn
nn
1.59. ?45
3!lim
n
nn
nn nn
1.60. ?567
5!lim
n
nnn
nn nn
1.61. ?1
1lim
2
n
n
1.62. ?1
1lim2
n
n
n
1.63. ?4
45lim
2
2
n
n
nn
1.64. ?4
45lim
2
2
2
n
n
nn
mateking.hu
Ezt elosztjuk 3-mal és n5 -el
6
1
5
4
n
Ez pedig előbb-utóbb teljesülni fog. Például, ha n=100 akkor már tuti. Aki nem hiszi, próbálja ki.
Vagyis 100n esetén
n
n
n
nnnn
n
nn
n
n
nnnnnn 43444
52345
2
435
2
52/1
511
51
2
52/14
nn
n
n 5
1
554
n n
És így a közrefogott sorozat határértéke is 5.
11
mateking.hu
A SOROZATOK HATÁRÉRTÉKÉNEK DEFINÍCIÓJA
Az na sorozat konvergens és határértéke az A szám, ha minden 0 esetén van olyan 0n
küszöbindex, hogy minden 0nn esetén Aan .
Vagyis nagy n -ekre a sorozat már -nál közelebb kerül a határértékéhez.
Számítsuk ki az 210 -hoz tartozó 0n küszöbindexet.
5
2
15
32
n
nan 2
10
422
2
n
nbn
Aan Bbn
100
1
5
2
15
32
n
n
100
12
10
422
2
n
n
100
1
515
152532
n
nn
100
1
10
102422
22
n
nn
100
1
525
17
n
100
1
10
242
n
100
1
525
17
n
100
1
10
242
n
5251700 n 102400 2 n
n251705 22410 n
n2,68 n09,49
680 n 490 n
A+ε
A
A-ε
0n INDEXEK
az abszolútérték felbontása után
a nevező legnagyobb kitevőjű
tagja mindig + kell, hogy legyen.
HA + VOLT, HA VOLT,
AZ IS MARAD AKKOR + LESZ
12
összevonunk
mateking.hu
Számítsuk ki az 210 -hoz tartozó 0n küszöbindexet.
2
1
102
321
n
n
na
001
001
12
41
2 PL
PS
n
nb
n
n
Aan Bbn
100
1
2
1
1022
32
n
n
100
10
12
41
2
n
nn
100
1
21022
1022232
n
nn
100
1
12
41
2
n
nn
összevonunk: n1 az abszolútérték miatt eltűnik
100
1
2024
16
n 100
1
12
42
n
n
100
1
2024
16
n 100
1
12
42
n
n
20241600 n 12100400 2 nn
n241620 3881000 2 nn
n2405 2
3884100100 2 n
Mindkét oldalnak vesszük a Mindig a nagyobbik lesz az 0n
logaritmusát
n2ln405ln 950 n
2ln405ln n
n2ln
405ln
n66,8 és 80 n * nagy n, mondjuk n=egymillió
a számláló nagy n-ek
esetén* negatív,
ezért felbontás után a (-1)szerese lesz
a nevező nagy n-ek
esetén* pozitív, ezért
a felbontás után sajátmaga marad
13
Számítsuk ki definíció szerint az alábbi sorozatok határértékét és adjunk 210 -hoz
0n küszöbindexet.
2.1. 25
72
n
nan
2.2. nn
nnan
25
532
2
2.3. 72
3
n
nan
2.4. 2
2
10
32
n
nan
KONVERGENS ÉS DIVERGENS SOROZATOK
SOROZATOK
DIVERGENS
SOROZATOK
KONVERGENS
nn
nn
n
pl
divaoszcillálv
nnpl
aa
nnnpl
Aa
)2()1(
.
11
101
01
3
3
divergens
HATÁRÉRTÉKNINCS
konvérttágabb
HATÁRÉRTÉKVAN
..
KONVERGENCIA ÉS A KORLÁTOSSÁG KAPCSOLATA
TÉTEL: Ha egy sorozat konvergens, akkor korlátos.
A tétel megfordítása nem igaz, például az nna 1 sorozat korlátos, de nem
konvergens. A monotonitás feltételével a megfordítás már igaz:
TÉTEL: Ha egy sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens.
Monoton nő nalim =SZUPRÉMUM 1a =INFIMUM
nalim =INFIMUM
Monoton csökken 1a =SZUPRÉMUM
14
Vizsgáljuk meg konvergencia, monotonitás, korlátosság szempontjából az alábbi
sorozatokat! Konvergencia esetén adjuk meg az 210 -hoz tartozó 0n -t.
2.5. 52
732
2
n
nan
2.6. 12 2
2
n
nnan
2.7. 1
11
2
n
na
n
n
2.8. 3
231
n
na
n
n
2.9. 1
531
n
na
n
n
2.10. 1
51
2
na
n
n
2.11. 132
833
3
n
nan
2.12. n
n
na2
1
2
14
2.13. 21
12
nn
nan
2.14. n
nn
na42
22 12
2.15. 12
5412
1
n
n
na
2.16. 34
21
12
n
n
na
2.17. 752
51
n
n
na
2.18. 32
11
1
n
n
na
2.19. n
an
n
113
2.20. nnn
a 131
2.21. nnn
a 13
2.22. 1
112
2
na
n
n
2.23. 2
11
n
na
n
n
2.24. nan
n lg1
Recommended