1

NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI

01

n

n n

11

1 n

01

2

n

2n 3 n

111

1 2

2

n

01

3

n

3n 4 n

111

1 3

3

n

01

kn

kn

k n

11

11

k

k

n

HA k KONKRÉT SZÁM

1q1-

0nq

e

n

n

11

q1 nq

1q sehovaqn

e

n

n

1

eIZÉ

IZÉ

1 1n n 1n a

HA IZÉ

ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKE

?

Ilyenkor az erősebb* győz:

szám (DÖNTETLEN)

TÉTEL: Ha na és nb sorozat konvergens és Aan lim és Bbn lim akkor nn ba sorozat is

konvergens és BAba nn lim

AZ ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKÉNEK 9 ESETE KRITIKUS ESETEK

nn ba

nalim

A

?

nblim

B

BA

?

2

SZORZAT HATÁRÉRTÉKE

HÁNYADOS HATÁRÉRTÉKE

*NOS LÁSSUK, KI MENNYIRE ERŐS:

SOROZATOK: nnnnn qknnnk nn !32

log

FÜGGVÉNYEK: xxx xexxxk xx ...3 42

log

TÉTEL: Ha na és nb sorozat konvergens és Aan lim és Bbn lim akkor nn ba sorozat is

konvergens és BAba nn lim

A SZORZAT HATÁRÉRTÉKÉNEK 25 ESETE KRITIKUS ESETEK

nn ba

nalim

0A 0 0A

?

nblim

0B

BA

0

BA

0

?

0

0

0

?

0B

BA

0

BA

?

mateking.hu

?0

Ilyenkor az erősebb* győz:

00

0

szám0 (DÖNTETLEN)

TÉTEL: Ha na és 0nb sorozat konvergens és Aan lim és 0lim Bbn

akkor n

n

b

a sorozat is konvergens és

B

A

b

a

n

n lim

A HÁNYADOS HATÁRÉRTÉKÉNEK 25 ESETE KRITIKUS ESETEK

n

n

b

a

nalim

0A 0 0A

?

0

0

0

?

nblim

0B

BA /

0

BA /

0

?

?

?

?

?

0B

BA /

0

BA /

?

0

0

0 ?

0

szám

szám

szám

?

Ilyenkor az erősebb* győz:

0

szám

(DÖNTETLEN)

3

mateking.hu

IZÉ

VALAMIlim

A SZÁMLÁLÓT ÉS A NEVEZŐT IS

LEOSZTJUK A NEVEZŐ

LEGNAGYOBB KITEVŐJŰ

TAGJÁVAL.

nnn

nnn

nn

5

3

3

2

5 33 2

2

46

21lim

a legnagyobb kitevőjű tag a

jelek szerint n , vagyis vele

fogunk osztani, de ha bevisszük

a gyökjelek alá, varázslatos át-

alakulásokon megy keresztül

5 5

3 3

2

nn

nn

nn

a különböző gyökjelek alatt

tehát más-más kitevőjű n -ekkel osztunk:

4

3

4161

21

1

lim

46

21

lim:

52

33

2

5

3

3

2

2

nnn

n

nn

nn

533

22

nnn

nn

Teendők

lim típusú határértékekkel

POLINOM

POLINOMlim

A SZÁMLÁLÓT ÉS A

NEVEZŐT IS LEOSZTJUK A

NEVEZŐ LEGNAGYOBB

KITEVŐJŰ TAGJÁVAL.

226

1

12

lim

26

12lim

3

3

2

3

nn

n

n

n3

n

2

2

2

23

651

16

lim

65

16lim

nn

nn

n

nn

n

8

1

72

351

lim

7

35lim

3

2

3

2

2

n

nn

n

nn

2n

LISEXPONENCIÁ

LISEXPONENCIÁlim

A SZÁMLÁLÓT ÉS A NEVEZŐT IS

LEOSZTJUK A NEVEZŐ

LEGNAGYOBB HATVÁNYALAPÚ

TAGJÁVAL.

10354

325lim

122

1232

n

n

nnn

először átalakítunk:

nkk nk

n

n

n

nkknnn

k

nknnn

knknnn

aaa

aa

a

aa

aaa

24

393

8

122

2555

2

12

3

2

aztán leosztunk:

15

3

9

1015

9

2

38

1

9

225

9

5

lim

10152

398

12255

lim

n

n

nn

nn

nnn

9

Teendők lim típusú határértékekkel

ILYENKOR A LEGERŐSEBB TAGOT KI KELL EMELNI:

)1(

21

1lim2lim

3

2

nnn 33

nn

1

9

2

9

81lim28lim

nn

nn nn99

4

Számítsuk ki az alábbi sorozatok határértékét!

1.1. 5

6533

2

n

nnan

1.2. 5

6421

3

2

n

nna

n

n

1.3. nn

nna

n

n

2

2 151

1.4. nn

na

n

n6

121

2

3

1.5.

1

12

2

n

nna

n

n

1.6. 3 42

23

6

7

nnn

nnnan

1.7. 23 454

23 4

19

38

nnnnn

nnnnan

1.8. 5 42

24

4

37

nnn

nnnan

1.9. 51

2

235

342

nn

nn

na

1.10. 212

2

53

645

nn

nn

na

1.11.

nn

nnn

na

234

32411

2

1.12. 23

2

12

2 3

375

536

nn

nna

nn

nn

n

1.13. nnnn

nnn

na)1(532

2069)3(2221

12

1.14. 20323

2)1(3232

121

nn

nnn

na

1.15. 131

2

2332

8)3(5

nn

nn

na

1.16. nnn

nna

nn

nn

n)1()1(

)1(3)1(231

22

1.17. nnn

nna

n

n

n5)1(2

76)1(312

23

1.18. 34

43

n

n

na

1.19. 222

223

10

2

nn

nnan

1.20.

2

3

3

132

83

n

nan

1.21. 12

5412

1

n

n

na

1.22.

3

3

2

5

642

n

nnan

1.23.

2

3

32

53

692

nn

nnan

1.24.

12

2

2

72

642

n

nnan

1.25. 23

3

105

420

nn

nnan

1.26. 352

35

37

31224

nnn

nnnan

DIVERGENSpárosnha

páratlannha

n

n

nn

n nn

221

221

11

12

1lim12

1lim2

2

2

KONVERGENSpárosnha

páratlannha

n

nn

nn

n nn

001

001

11

12

1lim12

1lim2

2

5

Számítsuk ki az alábbi sorozatok határértékét!

1.27.

n

nn

na

5

7

1.28.

n

nn

na

52

72

1.29.

n

nn

na

3

43

53

1.30.

73

12

32

n

nn

na

1.31.

nn

nn

na

2

12

12

1.32. n

n

nn

na

2

12

521

1.33. n

n

nn

na

13

521

1.34.

7

21

25

n

nn

na

mateking.hu

n

n

11 TÍPUSÚ SOROZATOK

NOS ITT IS LE KELL OSZTANI A NEVEZŐ LEGNAGYOBB

KITEVŐJŰ TAGJÁVAL.

9

5

4

51

41

lim5

1

41

lim5

4lim e

e

e

n

n

n

n

n

nn

nn

n

ha esetleg a számlálóban és nevezőben is 2n van, akkor 2n-el osztunk

4

2/5

2/3

2/51

2/31

lim

2

51

2

31

lim52

32lim e

e

e

n

n

n

n

n

nn

nn

n

rondább esetekkel is el tudunk bánni

6

3

4/5

4/3

353

53

14/5

1

4/31

lim

4

51

4

31

4

51

4

31

lim54

34lim e

e

e

n

n

n

n

n

n

n

nn

nn

n

de ha sajna itt 2n ott 3n akkor csak n-el osztunk aztán kiemelünk

003/4

1

2/31

lim4

3

lim43

32lim

3/4

2/3

e

e

n

n

n

n

n

nn

n

n

n

n

3

2

3

2

e

n

n

1

e

IZÉ

IZÉ

1

HA IZÉ

6

1.35.

6

25

23

n

nn

na

1.36.

2

5

2

2

2

12

n

nnn

nna

1.37.

12

2

2

27

2

n

nnn

nna

1.38.

2

52

722

2n

nn

na

1.39.

n

nnn

nna

2

2

2

8

1.40.

n

nn

na

2

2

1.41.

4

3

3

3

52

72n

nn

na

1.42.

nn

nnn

nna

5

712

2

1.43. 3

54

32

52

n

nn

na

1.44.

7

4

3

3

2

5

12

n

nnn

nna

1.45.

43

4

54

n

nn

na

Számítsuk ki az alábbi sorozatok határértékét!

1.46. 425 nnan

1.47. nnnan 37 22

1.48. 43252 22 nnnan

1.49. 633

1

22

nnnnan

1.50. 633

438

22

22

nnnn

nnnan

1.51. nnnnan 54 222

1.52. 49 22 nnnnan

1.53. nnnnan 4647 354

mateking.hu ESETBEN GYÖKTELENÍTÜNK

ba

ba

ba

bababa

ez valahogy így működik, hogy a sorozat először rondább lesz

34

3434lim34lim

nn

nnnnnn

utána viszont egészen megjavul

0

7

34

7lim

34

34lim

nnnn

nn

7

mateking.hu

A NAGYSÁGREND ÉS A RENDŐR-ELV

Az na sorozat nagyobb nagyságrendű, mint nb ha n

n

b

a

és ezt a tényt így jelöljük, hogy nn ba

Az alábbi nagyságrendi rangsor állítható föl:

nnnnn qknkn !log és

1 kk nn nn qq 1

A nagyságrend fogalmát a becsléseknél tudjuk hasznosítani. Becsülni ugyanis mindig úgy kell, hogy

csak a nagyságrenden ne változtassunk. Felső becslésnél mindenkit le kell cserélni a legnagyobb

nagyságrendű tagra, míg alsó becslésnél csak a legnagyobb nagyságrendű tagot hagyjuk meg.

Remek példákat szolgáltatnak erre a rendőr-elv segítségével kiszámolható határértékek.

TÉTEL: RENDŐR-ELV Ha Aan és Acn és van olyan 0n , hogy minden 0nn esetén

nnn cba akkor Abn .

Van itt ez a határérték:

?345lim n nnn

A legnagyobb nagyságrendű tag itt n5

Ez azt jelenti, hogy nagy n-ekre a többi tag olyan kicsi,

mintha ott sem volna, ahogyan ez az ábrán remekül látszik.

Alsó becslésnél csak a legnagyobb nagyságrendű tagot hagyjuk meg, felső becslésnél pedig

mindenkit lecserélünk a legnagyobb nagyságrendű tagra

5535355

555345

n nnn nn

n nnnnnn n n n5

Az alsó és felső becslés is 5-höz tart, így a közrefogott sorozat határértéke is 5.

n5

n4

n3

8

mateking.hu

Nézzünk meg egy másik határértéket is:

?1

34lim

53

n

nn

nn

A legnagyobb nagyságrendű tag a számlálóban n5 , a nevezőben pedig

5n

Lássuk a becslést!

n

nn

n

nn

n

n

nnnnnn 553555

44

1

344

43

4

3

455

nn

n

n

nn 4

434355

n

n

n

n

nn

Az alsó és felső becslés is 4-höz tart, így a közrefogott sorozat határértéke is 4.

Aztán vannak bonyolultabb esetek is:

?56lim n nn

Itt a felső becslés könnyű, a mínuszos tagokat egyszerűen elhagyjuk:

n nn nn 656

Az alsó becslés viszont meglehetősen furmányos.

Az alapötlet az, hogy a legnagyobb nagyságrendű tagot vagyis a n6 -t meg kell tartani,

de mivel csak 1db van belőle és ráadásul abból még ki is vonunk, az alsó becslés az lesz, hogy

n nnn nC 566

ahol itt C valami 1-nél kisebb szám. A vicces az, hogy bármi lehet. Legyen mondjuk 1/2.

Ekkor:

n nnn

n 5662

1

Ez akkor teljesül, ha nnn 566

2

1 átrendezve

nn 62

15 amit leosztunk

n6 -nel:

2

1

6

5

n

ami teljesül, ha 4n

ALSÓ BECSLÉS:

számlálót csökkentjük nevezőt növeljük

FELSŐ BECSLÉS:

számlálót növeljük nevezőt csökkentjük

9

mateking.hu

Vagyis 4n esetén

n nn nnn

n 65662

1

662

1n 66 és így a közrefogott sorozat határértéke is 6.

Végül egy egész bonyolult ügy:

?2345

lim34

n

nnnn

nnn

A felső becslés egyszerű. A számlálót növeljük azzal, hogy a mínuszos tagokat elhagyjuk,

a nevezőt pedig csökkentjük azzal, hogy az nn 3 pozitív tagot elhagyjuk.

n

n

n

nnnn

nnnn 434

52345

Az alsó becslés már érdekesebb. A számlálót csökkentenünk kell és ehhez az előző feladatban látott

trükköt fogjuk használni. Először minden mínuszos tagot lecserélünk a mínuszos tagok közül a

legnagyobb nagyságrendűre. A nevezőt növelnünk kell, az nem gond.

n

nnnn

n

nnnn

nnnnn

3444

23454445

Jelenleg tehát itt tartunk:

n

nnnn

n

nnnn

n

nn

nnnnnn

34444

23454445

2

435

Most pedig a számlálót megint alulról becsüljük az előző feladatban látott módon:

n

nnnn

n

nn

n

n

nnnnn

C

3444

2345

2

435

2

5

Hasunkra ütünk, C=1/2 például jó is:

n

nn

n

n

nn 44 2

435

2

52/1

Ez akkor teljesül, ha nnn 4355

2

1 átrendezve

nn 52

143

10

1.54. ?124

456lim

34

n

nnn

nn

1.55. ?345lim n nnn

1.56. ?456

459lim

n

nnn

nnn

1.57. ?345

346lim

n

nnn

nnn

1.58. ?124

1234lim

34

n

nn

nn

1.59. ?45

3!lim

n

nn

nn nn

1.60. ?567

5!lim

n

nnn

nn nn

1.61. ?1

1lim

2

n

n

1.62. ?1

1lim2

n

n

n

1.63. ?4

45lim

2

2

n

n

nn

1.64. ?4

45lim

2

2

2

n

n

nn

mateking.hu

Ezt elosztjuk 3-mal és n5 -el

6

1

5

4

n

Ez pedig előbb-utóbb teljesülni fog. Például, ha n=100 akkor már tuti. Aki nem hiszi, próbálja ki.

Vagyis 100n esetén

n

n

n

nnnn

n

nn

n

n

nnnnnn 43444

52345

2

435

2

52/1

511

51

2

52/14

nn

n

n 5

1

554

n n

És így a közrefogott sorozat határértéke is 5.

11

mateking.hu

A SOROZATOK HATÁRÉRTÉKÉNEK DEFINÍCIÓJA

Az na sorozat konvergens és határértéke az A szám, ha minden 0 esetén van olyan 0n

küszöbindex, hogy minden 0nn esetén Aan .

Vagyis nagy n -ekre a sorozat már -nál közelebb kerül a határértékéhez.

Számítsuk ki az 210 -hoz tartozó 0n küszöbindexet.

5

2

15

32

n

nan 2

10

422

2

n

nbn

Aan Bbn

100

1

5

2

15

32

n

n

100

12

10

422

2

n

n

100

1

515

152532

n

nn

100

1

10

102422

22

n

nn

100

1

525

17

n

100

1

10

242

n

100

1

525

17

n

100

1

10

242

n

5251700 n 102400 2 n

n251705 22410 n

n2,68 n09,49

680 n 490 n

A+ε

A

A-ε

0n INDEXEK

az abszolútérték felbontása után

a nevező legnagyobb kitevőjű

tagja mindig + kell, hogy legyen.

HA + VOLT, HA VOLT,

AZ IS MARAD AKKOR + LESZ

12

összevonunk

mateking.hu

Számítsuk ki az 210 -hoz tartozó 0n küszöbindexet.

2

1

102

321

n

n

na

001

001

12

41

2 PL

PS

n

nb

n

n

Aan Bbn

100

1

2

1

1022

32

n

n

100

10

12

41

2

n

nn

100

1

21022

1022232

n

nn

100

1

12

41

2

n

nn

összevonunk: n1 az abszolútérték miatt eltűnik

100

1

2024

16

n 100

1

12

42

n

n

100

1

2024

16

n 100

1

12

42

n

n

20241600 n 12100400 2 nn

n241620 3881000 2 nn

n2405 2

3884100100 2 n

Mindkét oldalnak vesszük a Mindig a nagyobbik lesz az 0n

logaritmusát

n2ln405ln 950 n

2ln405ln n

n2ln

405ln

n66,8 és 80 n * nagy n, mondjuk n=egymillió

a számláló nagy n-ek

esetén* negatív,

ezért felbontás után a (-1)szerese lesz

a nevező nagy n-ek

esetén* pozitív, ezért

a felbontás után sajátmaga marad

13

Számítsuk ki definíció szerint az alábbi sorozatok határértékét és adjunk 210 -hoz

0n küszöbindexet.

2.1. 25

72

n

nan

2.2. nn

nnan

25

532

2

2.3. 72

3

n

nan

2.4. 2

2

10

32

n

nan

KONVERGENS ÉS DIVERGENS SOROZATOK

SOROZATOK

DIVERGENS

SOROZATOK

KONVERGENS

nn

nn

n

pl

divaoszcillálv

nnpl

aa

nnnpl

Aa

)2()1(

.

11

101

01

3

3

divergens

HATÁRÉRTÉKNINCS

konvérttágabb

HATÁRÉRTÉKVAN

..

KONVERGENCIA ÉS A KORLÁTOSSÁG KAPCSOLATA

TÉTEL: Ha egy sorozat konvergens, akkor korlátos.

A tétel megfordítása nem igaz, például az nna 1 sorozat korlátos, de nem

konvergens. A monotonitás feltételével a megfordítás már igaz:

TÉTEL: Ha egy sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens.

Monoton nő nalim =SZUPRÉMUM 1a =INFIMUM

nalim =INFIMUM

Monoton csökken 1a =SZUPRÉMUM

14

Vizsgáljuk meg konvergencia, monotonitás, korlátosság szempontjából az alábbi

sorozatokat! Konvergencia esetén adjuk meg az 210 -hoz tartozó 0n -t.

2.5. 52

732

2

n

nan

2.6. 12 2

2

n

nnan

2.7. 1

11

2

n

na

n

n

2.8. 3

231

n

na

n

n

2.9. 1

531

n

na

n

n

2.10. 1

51

2

na

n

n

2.11. 132

833

3

n

nan

2.12. n

n

na2

1

2

14

2.13. 21

12

nn

nan

2.14. n

nn

na42

22 12

2.15. 12

5412

1

n

n

na

2.16. 34

21

12

n

n

na

2.17. 752

51

n

n

na

2.18. 32

11

1

n

n

na

2.19. n

an

n

113

2.20. nnn

a 131

2.21. nnn

a 13

2.22. 1

112

2

na

n

n

2.23. 2

11

n

na

n

n

2.24. nan

n lg1