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NIVELAMENTO 2010/2
MATEMÁTICA BÁSICA
Núcleo Básico
da Primeira Fase
2
Instituto Superior Tupy
Nivelamento de Matemática Básica
ÍNDICE
1. Regras dos Sinais ............................................................................................................... 3
2. Operações com frações ...................................................................................................... 3 2.1 Adição e Subtração .............................................................................................. 3 2.2 Multiplicação ....................................................................................................... 3 2.3 Divisão ............................................................................................................... 4 2.4 Potenciação ........................................................................................................ 4 2.5 Radiciação .......................................................................................................... 4
3. Seqüência de Operações ..................................................................................................... 4
4. Produtos Notáveis .............................................................................................................. 4
4.1 Quadrado da soma de dois termos ....................................................................... 4 4.2 Quadrado da diferença de dois termos .................................................................. 5 4.3 Produto da soma pela diferença de dois termos ..................................................... 5
5. Fatoração .......................................................................................................................... 6
6. Equação do 1º Grau ............................................................................................................7
6.1 Resolução de uma equação do 1º grau ................................................................. 7 7. Equação do 2º Grau ............................................................................................................7
7.1 Resolução de uma equação do 2º grau ................................................................. 7 8. Equações Irracionais .......................................................................................................... 9
9. Sistemas de Equações do 1º Grau ....................................................................................... 10
9.1 Método da Substituição ........................................................................................ 10 9.2 Método da Adição ................................................................................................ 10
10. Trigonometria no Triângulo Retângulo ............................................................................... 12
10.1 Teorema de Pitágoras ........................................................................................ 12 10.2 Relações Trigonométricas ................................................................................... 13
Anotações:
Acadêmico(a): _______________________________________________ Turma: _____________ 2º semestre de 2010.
3
1. REGRAS DOS SINAIS
1.1 Adição e Subtração
Regra: Sinais iguais: Adicionamos os algarismos e mantemos o sinal. Sinais diferentes: Subtraímos os algarismos e aplicamos o sinal do maior. Exemplos:
336)
336)
936)
936)
d
c
b
a
1.2 Multiplicação e Divisão
Regra: Sinais iguais: Operamos os algarismos e aplicamos o sinal positivo. Sinais diferentes: Operamos os algarismos e aplicamos o sinal negativo. Exemplos:
1836)
1836)
1836)
1836)
d
c
b
a
236)
236)
236)
236)
h
g
f
e
2. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
2.1 Adição e Subtração
Para adicionar ou subtrair frações, devemos proceder da seguinte maneira:
Reduzimos as frações ao mesmo denominador, isto é, devemos calcular o mínimo múltiplo comum (M.M.C.) dos denominadores;
Adicionamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador comum;
Simplificamos o resultado sempre que possível.
Exemplos:
a) 10
31 =
10
15 + 16 =
2
3
5
8
b) 30
1 =
30
36 20 + 15 =
5
6
3
2 +
2
1
c) 9
2
18
4
18
389
6
1
9
4
2
1
2
2
2.2 Multiplicação
Para multiplicarmos frações, procedemos da seguinte forma:
Multiplicam-se os numeradores entre si;
Multiplicam-se os denominadores entre si;
Simplifica-se a fração resultante, sempre que possível.
Exemplos:
a) 10
21 =
5 2
7 3 =
5
7
2
3
b)
51
5- =
3
15- =
31
53-=
3
5 3
3
3
c)
27
1
3
1
1
1
9
1
6
1
7
2
9
7
6
1
7
2
9
7
27
27
Observação:
Numa multiplicação de frações, pode-se simplificar os fatores comuns ao numerador e ao denominador, antes de efetuá-la, conforme o exemplo c.
4
2.3 Divisão
Para dividir duas frações, procedemos da seguinte forma:
Multiplica-se a primeira fração pelo inverso da segunda fração;
Simplifica-se o resultado sempre que possível.
Exemplos:
a) 2
5
3
7 =
2
5 .
7
3 =
14
15
b) 16
1 =
80
5 =
20
1 .
4
5 = 20
4
5
5
5
--
2.4 Potenciação
Para elevar uma fração a um certo expoente, eleva-se o numerador e o denominador a esse expoente.
Exemplos:
a) 9
4 =
3
2 =
3
22
22
b) 10
23 23
0
0
=
10 =
1
1 = 1
0
c) 27
8 =
3
2 =
2
33
33
d) 36
25
6
5 =
6
5 =
5
62
22-2
Observações:
Elevando um número ao expoente par, o resultado será positivo, conforme o exemplo a.
Elevando um número a um expoente ímpar, o resultado terá o sinal do próprio número, conforme o exemplo c.
2.5 Radiciação
Para obter a raiz de uma fração, extrai-se as raízes do numerador e do denominador.
Exemplos:
a) 16
25 =
16
25 =
4
5
b) 2
1 =
8
1 =
8
13
3
3
c) 9
4 ℝ
Observações:
Quando o índice da raiz for par não existirá a raiz de um número negativo, conforme o exemplo c.
ℝ conjunto dos números reais
3. SEQÜÊNCIA DE OPERAÇÕES
As expressões numéricas e algébricas devem ser resolvidas obedecendo a seguinte ordem de operação:
1º Potenciação e Radiciação;
2º Multiplicação e Divisão;
3º Adição e Subtração.
Essas operações são assim realizadas:
1º Parênteses;
2º Colchetes;
3º Chaves.
4. PRODUTOS NOTÁVEIS Certos produtos aparecem com bastante freqüência no cálculo algébrico, em Geometria Analítica, por exemplo. Os Produtos Notáveis, como o próprio nome já diz, significa: produto → “resultado da multiplicação”, e
notável → “que se destaca”. O único problema é que, às
vezes, eles aparecem e a gente nem nota! Estes Produtos Notáveis acontecem quando, na multiplicação entre dois termos, aparecem variáveis. Tais produtos poderão ser calculados usando-se a propriedade distributiva (conhecida como “chuveirinho”), ou então, de forma mais direta, através de algumas regras que veremos a seguir. 4.1 Quadrado da Soma de dois Termos
bababa 2 22 bababa
5
Portanto: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Logo, podemos estabelecer a seguinte regra:
“O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”. Exemplos:
a) (x + y)2 = (x) 2 + [ 2 . (x) . (y) ] + (y) 2
x2 + 2xy + y2
b) (3a + 2)2 = (3a) 2 + [ 2 . (3a) . (2) ] + (2) 2
9a2 + 12a + 4
4.2 Quadrado da Diferença de dois Termos
Quadrado da Diferença de dois Termos pode ser
enunciado da mesma maneira que o quadrado da soma de dois termos.
Então temos:
bababa2
22 bababa
Portanto: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Logo podemos estabelecer a seguinte regra:
“O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”. Exemplos:
a) (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
b) (3a – 5)2 = (3a)2 – [ 2.(3a).(5) ] + (5)2 =
9a2 – 30a + 25 4.3 Produto da Soma e Diferença de dois Termos
O Produto da Soma pela Diferença de dois Termos segue o mesmo raciocínio dos casos anteriores.
Veja:
baba 2222 babababa
Portanto: (a + b).(a – b) = a2 – b2 Logo podemos estabelecer a seguinte regra: “O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo”. Exemplos:
a) (x + y).(x – y) = x2 – xy + yx – y2
Logo: (x + y).(x – y) = x2 – y2
b) (3a – 5).(3a + 5) = (3a)2 – (5)2 = 9a2 – 25
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Calcule os quadrados e os produtos:
a) (a + 5)2 f) (x + 3).(x – 3)
b) (x + 1)2 g) (2x – 1).(2x + 1)
c) (2x + 3y)2 h) (7 + a).(– a + 7)
d) (a – 2)2 i) (¾ – 4y).(4y + ¾)
e) (x – 1)2 j) (m2 – ½).(m2 + ½) Respostas:
4
1)16
16
9)49)
14)9)12)44)
9124)12)2510)
422
2222
2222
mjyiah
xgxfxxeaad
yxyxcxxbaaa
2) Simplifique as expressões:
a) (a – 2)2 – 2(a + 2) =
b) (y + 5)2 – y(y + 10) =
c) (a + b)2 + (a – b) 2 =
d) (x – 3)2 + (x + 3) 2 =
e) (x + y)(x – y) + (x + y)2 – 2xy = Respostas:
22222 2)182)22)25)6) xexdbacbaaa
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) #
1) Efetue as operações: a) (2x + 1)2 + (2x – 1)2 =
b) 3(y2 – 1)2 + 2(2y + 2)2 =
c) (2xy + 3)(x2 – 2) – (x – 1)2 =
d) (2x + 1)2 + 2x(x – 1)2 =
e) (ab + 1)2 + ab(ab + 2) =
f) (4ay – 1)2 – 4(ay – 1)2 =
Primeiro termo
Segundo termo
Quadrado do 2º termo
Quadrado do 1º termo
2 vezes o 1º pelo 2º termo
6
Respostas:
322
12)1422
2)163
2)
722
243
2)11162
24
3)22
8)
yafabbaexxd
xxxyyxcyyybxa
2) Nos exercícios abaixo, obtenha os produtos notáveis: a) (3m2 + 4n)2 = e) (3a2 – 2b6)2 =
b) (7y2 + 3y4)2 = f) (1 + x5)2 =
c) (b4 + c5)2 = g) (– x + 3)2 =
d) (x2 – 3)2 = h) (– x – 2y)2 =
Respostas:
244
2)96
2)
10521)
124
6212
49)9
26
4)
10542
8)
89
642
449)
216
224
49)
yxyxhxxg
xxfbbaaexxd
ccbbcyyybnnmma
3) Calcule os seguintes produtos notáveis:
a)
2
4
12xy d)
2
22
6
1
4
1yx
b)
22
33
bab e)
22
7
4
5
1 m
c)
2
32 23
1abba
Respostas:
4
49
162
35
8
25
1)
4
36
122
12
14
16
1)
624
43
3
424
9
1)
9
432
229)
16
1224)
mmeyyxxd
bababacb
abbabxyyxa
CURIOSIDADE:
Quando não se dispõe de uma máquina de calcular, podem-se utilizar os conceitos dos produtos notáveis para facilitar alguns cálculos específicos. Veja: Qual o produto de (41).(39)? Transformando a multiplicação para um produto notável, temos:
(40 + 1).(40 – 1) = 40² – 1² = 1600 – 1 = 1599
Agora tente você!
Calcule (101).(99) utilizando um produto notável.
RESUMINDO:
2222
2 babababa
2222
2 babababa
22.. bababababa
5. FATORAÇÃO
Fatorar uma expressão é reescrevê-la em fatores (partes) que se multiplicam. Estas partes (fatores) podem apresentar números e/ou variáveis que devem ser escritas com os menores números possíveis, e, as variáveis (letras), com o menor expoente natural possível.
Observe a igualdade abaixo:
5a + 5b = 5(a + b)
Como 5a + 5b poder escrito 5(a + b), dizemos que expressão 5a + 5b foi fatorada, tendo como fator comum o número “5”, que foi colocado em evidência.
Exemplos:
a) ab + ac = a(b + c) fator comum “a”
b) 6x2 + 2x3 = 2x2(3 + x) fator comum “2x2”
c) 10m + 20m2 = 10m(1 + 2m) fator comum “10m”
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Fatore as expressões:
a) aaa 18126 23
b) 432 302015 xxx
c) 543 20125 aaa
d) 22 93 xyyx
e) )()(2 yxxyx
f) )(6)(3 babax
Respostas:
a) 6a(a2 – 2a + 3) b) 5x2(3 – 4x – 6x2) c) a3(5 – 12a + 20a2)
d) 3xy(x – 3y) e) (x – y)(2 – x) f) 3(a + b)(x + 2)
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) #
1) Simplifique as expressões dadas:
a) 4
44 ba e)
2
23 1115
x
zxyx
b) a
ayax
5
2510 f)
ba
baba
37
73 322
c) 3
1812 yxy g)
2
32
2
48
yx
xyyx
d) nm
nm
77
Respostas:
a) a + b b) 2x – 5y c) 2y(2x – 3)
d) 7 e) 15xy – 11z f) a2 b g) 4xy
7
6. EQUAÇÃO DO 1 GRAU
Equação do 1 grau é toda equação que se reduz à
forma ax + b = 0, onde a e b são números reais, com a 0.
Vejamos alguns exemplos:
a) 13579 xx
0204013759 xxx
b)
2
43
6
94
3
12 xxx
0212
1299424
6
)43(3
6
)94()12(2
x
xxx
xxx
6.1 Resolução de uma Equação do 1 Grau
Resolver uma equação do 1 grau é determinar o valor
de “x” (variável) que satisfaz a igualdade. Vejamos alguns exemplos:
a) 13579 xx
54
20
204
71359
xx
x
xx
Temos então que: 5S
b) 2
43
6
94
3
12 xxx
6
1
12
2
212
2991244
6
129
6
9424
6
433
6
941122
2
2
xx
x
xxx
xxx
xxx
Logo, temos:
6
1S
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Resolva as equações a seguir:
a) 12424 xx
b) 1932425 xxx
c) 4
1
3
2
26
1
xx
d) 4
313
2
1
8
52
mmm
e)
4
235
3
12
3
14
xxx
Respostas:
7
6)
4
3)
2
1)2)5) edcba
7. EQUAÇÃO DO 2 GRAU
Equação do 2 grau é toda equação que se apresenta na
forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais, com a 0.
Vejamos alguns exemplos: a) 3x2 – 7x + 2 = 0 a = 3; b = –7; c = 2 b) 2x2 – 10x = 0 a = 2; b = 10; c = 0 c) –x2 + 5 = 0 a = –1; b = 0; c = 5 d) 4x2 = 0 a = 4; b = 0; c = 0 7.1 Resolução de uma Equação do 2 Grau
A resolução de uma equação do 2º grau pode ser obtida através de uma fórmula, usualmente chamada Fórmula de BHÁSKARA:
02 cbxax
a
acbbx
2
42
A expressão cab 42, chamada de discriminante
da equação, é geralmente representada pela letra grega
(lê-se: delta).
Então: ac4b2
Logo, se 0 , podemos escrever:
a
bx
2
Observe que, quando 0 , a equação não admite
raízes reais.
8
Exemplo: a) Resolva a equação 2x2 + 7x + 3 = 0 Valores: a = 2; b = 7; c = 3
Fórmula: a
acbbx
2
42
Substituindo os valores, temos:
22
32477 2
x
4
24497 x
4
57
22
257
x
Então:
4
2
4
571
x
2
11 x
4
12
4
572
x 32 x
Logo, o conjunto-solução, também chamado de conjunto-verdade é:
3,2
1V
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Determine o conjunto-verdade das equações:
a) 01522 xx
b) 0103 2 pp
c) 020122
yy
d) 0642 x
e) 0806010 2 xx
f) 1
10
2
y
y
g) yy 12159 2
h) 2
51
1
x
x
x
x
i) 332122 xx
Respostas:
3,33)
1,2)
3
2
)4,5)2,4)
8,8)10,2)
10
3
0)5,3)
Vi
VhVgVfVe
VdVc,VbVa
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Equação do 1º Grau)
1) Determine o conjunto-solução das equações abaixo:
a) 201.23.5 xx
b) 4.33.25 xxx
c) 8
7
8
3
2
11 x
d) 3
12
2
14
xx
e)
xxxx
2
1
4
3
12
3.5
3
f)
xxx
56
112.
2
5
3
3.2
2) Resolva as equações, apresentando o conjunto verdade:
a) 12
342
a b)
xx
x
x 3
4
2
1
3
1022
c) 32
4
2
3
xx
x d)
22 9
8
18
11
nnn
n
e) 12
3
4
2
xx f) 3
3
52
1
1
x
x
x
x
Respostas: 1a) S = {1} 1b) S = {3} 1c) S = {–1/4} 1d) S = {5/16}
1e) S = {4} 1f) S = {1/2} 2a) V = {3/4} 2b) V = {23/11}
2c) V = {–5/3} 2d) V = {2} 2e) V = {0} 2f) V = {7/3}
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Equação do 2º Grau)
9
1) Determine o conjunto-solução das equações:
a) 0654 2 xx b) 01710 2 xx
c) 036122 xx d) 0532 xx
e) 052 2 xx f) 07 2 xx
g) 092 xx h) 0322 2 x
i) 0624 2 x j) 0273 2 x
l) 017,01,0 2 xx
m) 0422 xx
n) 4
4
2
2
2
12
x
x
xx
x
o) 11
3
1
2
x
x
x
x
p) 012176
2
xx
q) 11
1
1
22
xx
r) 5
55
5
5
xxx
s)
4
1
7
4
16
39
7
1322
xxxx
Respostas:
a) {2, –3/4} b) {1/2, 1/5} c) {6} d) {x ℝ} e) {0, –5/2}
f) {–1/7, 0} g) {0, 9} h) { 4} i) { 2/62 } j) { 3}
l) {2, 5} m) { 22 , 2 } n) {3} o) {0, 5}
p) {2/3, 3/4} q) {0} r) S = s) {5, 11/12}
8. EQUAÇÕES IRRACIONAIS É toda equação que apresenta, pelo menos uma, variável no radicando. Veja os exemplos:
a) xx 52 b) 022 xx
Para se resolver uma equação do tipo irracional, normal–mente isolamos o termo que possui a variável no radican do e, em seguida, elevamos os 2 membros da equação a uma potência conveniente. Exemplo:
Encontre o conjunto-solução da equação irracional dada
por: xx 51 .
Resolução: Para se resolver a equação dada, deve–se
observar que todas as raízes (soluções) encontradas, de–
vem dar sentido a expressão 5x , ou seja,
05x . Pode–se dizer também que a condição de
existência (CE) da equação em questão é 05x .
Logo: CE: 5x
Continuando: xx 51
15 xx
22
15 xx
125 2 xxx
0125 2 xxx
0432 xx .( –1)
0432 xx
Aplicando a fórmula de Bháskara, encontraremos: x1 = 4 e x2 = – 1 Para garantirmos a veracidade da solução, sempre devemos fazer uma verificação de todos os valores encontrados:
11 51 xx 22 51 xx
4541 1511
491 141
143 121
33 13 (Absurdo!)
Portanto, o conjunto-solução será: S = { 4 }.
Observação Importante:
Note que: ||2 xx , e que:
0,
0,||
xsex
xsexx
Como exemplo: 7772 xouxx .
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Determine o conjunto-verdade que satisfaz cada uma das equações:
a) 1192 xx
b) 1332 xx
c) 53 xx
d) xx 42
10
e) xx 12
f) 2
4
4
x
x
x
g) 137 xx
Respostas: 1a) V = {– 4, 5} 1b) V = {1, 2} 1c) V = {7} 1d) V = {2} 1e) V = {9} 1f) V = {2} 1g) V = {1, 4}
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Equações Irracionais)
1) Encontre o conjunto-solução das equações irracionais:
a) 71212 x
b) xx 4123
c) 6)3(.)8( xx
d) 2225 xx
e) xxx 241
f) 22147 x
g) 11224 3 x
h) 013 23 xxx
i) 4716 xxx
Respostas: 1a) S = {4} 1b) S = {9} 1c) S = {1}
1d) S = {9} 1e) S = {1} 1f) S = {1/2}
1g) S = {1} 1h) S = {±1} 1i) S = {3}
9. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Resolver um sistema de equações do 1º grau é determinar o par ordenado (x, y) para o qual, as duas equações são verdadeiras. Vamos recordar dois métodos de resolução: o método da substituição e o método da adição.
9.1 Método da Substituição
Vejamos um exemplo:
a) Resolva o sistema:
II3
I5
y = x
x + y =
Resolução:
Isolando o valor de “x” em I:
x + y = 5 x = 5 – y
Substituindo “x” por (5 – y) em II, temos:
x – y = 3
(5 – y) – y = 3 5 – y – y = 3
– y – y = 3 – 5 – 2y = –2
2y = 2 y = 2
2 y = 1
Substituindo y = 1 em x = 5 – y , temos:
x = 5 – (1) x = 5 – 1 x = 4
Então, encontramos o par ordenado que gera a solução:
S = { (4 , 1) }
9.2 Método da Adição
Vejamos um exemplo:
a) Resolva o sistema:
II 5
I 9
y = x
x + y =
Resolução:
Adicionando membro a membro as equações, de modo que a soma de uma das variáveis torne-se nula:
142
5
9
x =
y = x
y = x +
x = 14
2 x = 7
Substituindo x = 7 em I, temos:
x + y = 9
7 + y = 9
y = 9 – 7 y = 2
Assim, temos o par ordenado que gera a solução:
S = { (7 , 2) }
11
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Determine a solução para cada um dos sistemas abaixo:
a)
1323
6
y = x
x + y =
b)
8
132
y = x
x + y =
c) y x ara p
y = x
= x + y
x
1
5
3
d) 0
43
5
ypara
y = x
= y
x
e) yx ara p
y = x
= x + y
1
2
33
f) yx ra pa
= yx
= x + y
x
24
3
1
g) 2
24
12
3
xey x para
= x + y
= x
y
h) 0
232
2 y para
y = x +
= y
x
i ) 3
1
5
7
3
12
y para
y = x
= y +
x +
Respostas:
2,3)4,8)1,1)4,2)
2
1,
2
3)2,10)2,3)1,7)1,5)
SiShSgSf
SeSdScSbSa
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Sistemas de Equações do 1º Grau)
1) Resolva os sistemas de equações:
a)
125
832
yx
yx b)
734
2)(2
yx
yxyx
c)
1,221,3
35,05,01,0
yx
yx
2) Se o par ba, é a solução do sistema
1252
423
yx
yx , calcule o valor de ba .
3) Resolva o sistema abaixo:
122
1
3
2
6
7
3
3
2
baba
baba
4) Resolva o sistema:
23
3
02
12
yxyx
yx
5) Se o par ordenado yx, é a solução do sistema
abaixo, calcule o valor de 22 yx .
11
82
3
13
11
2
4
12
y
y
x
x
y
y
x
x
Respostas: 1a) S = {(1, 2)} 1b) S = {(1, –1)} 1c) S = {(1, 1/2)}
2) S = {0} 3) S = {(2, –1)} 4) S = {(8,2)} 5) S = {45}
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Problemas envolvendo
Equações do 1º e 2º Graus)
1) A soma do quádruplo de um número com 63 é igual a 211. Qual é esse número? 2) Quando diminuímos 8 anos da idade de Helena,
obtemos 5
3 de sua idade. Qual é a idade de Helena?
12
3) Se adicionarmos um número natural com o seu sucessor e multiplicarmos o resultado por 5, vamos obter 635. Qual é o número natural considerado? 4) Se do número 2 subtrairmos o quíntuplo do inverso
de um número, obteremos a fração 2
3. Qual é o
número? 5) Divide-se um número pelo seu consecutivo. Soma-se ao resultado dessa divisão o dobro do inverso do número e obtém-se 1. Qual é esse número? 6) Uma sala retangular tem 3m a mais de comprimento que a largura. Se a área da sala é de 54m2, qual é o seu perímetro? 7) Juntos, dois terrenos quadrados ocupam uma área de 296 m2. O lado de um dos terrenos tem 4m a mais que o lado do outro. Qual é área de cada terreno? 8) Diminuindo 3m de cada lado de um terreno quadrado, obteremos um novo terreno de área 196m2. Qual é a área do terreno original? 9) Se do quadrado de um número subtrairmos 12, obteremos o próprio número. Qual é esse número? Respostas:
1) 37 2) 20 anos 3) 63 4)4
15 5) – 2
6) 30 m 7) 196m2 e 100m2 8) 289 m2 9) 4 ou –3
10. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
10.1 Teorema de Pitágoras
Em todo triângulo retângulo temos que: "O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos".
Podemos escrever: (hip)2 = (cat)2 + (cat)2
Ou ainda: a2 = b2 + c2
Observações: Um triângulo é dito “retângulo” quando possui um
ângulo reto (90º). A hipotenusa sempre será o maior lado de um triângulo
retângulo, figurando sempre à frente do ângulo reto.
Exemplo:
1) Calcular o valor de “x” no triângulo retângulo abaixo:
52525
16943
2
2222
xxx
xx
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ##
1) Aplicando o Teorema de Pitágoras, calcule os valores de “x” para cada caso: a)
b) c)
13
d)
e)
f)
g)
2) Usando o teorema de Pitágoras, calcule: a) b)
c)
Respostas:
1a) 35 1b) 9 1c) 3 1d) 3 1e) 7,5 1f ) 5 1g) 38,75
2a) x = 53 , y = 52 2b) x = 6, y = 4,8 2c) x = 8, y = 4,8
10.2 Relações Trigonométricas
Num triângulo retângulo ABC, reto em Â, temos:
O cálculo do Seno (sen), Cosseno (cos) e Tangente (tg) de um ângulo agudo:
H
CO
Hipotenusa
OpostoCatetosen
H
CA
Hipotenusa
AdjacenteCatetocos
CA
CO
AdjacenteCateto
OpostoCatetotg
O que determina se o cateto é oposto ou adjacente é a sua posição em relação ao ângulo escolhido. Observações:
Num triângulo a soma dos seus ângulos internos
mede 180o.
A área (superfície) do triângulo é dada por:
2
hbS
2
altura x baseS
As razões trigonométricas podem ser obtidas através de tabelas trigonométricas ou em calculadoras.
14
ângulo seno cosseno tangente
30o
2
1= 0,500
2
3 0,866
3
3 0,577
45o 2
2 0,707
2
2 0,707 1
60o 2
3 0,866
2
1= 0,500 3 1,732
90o 1 0
Exemplos: 1) No triângulo retângulo da figura abaixo, calcular a medida x.
Dados:
o30 de ângulo ao oposto cateto = x
hipotenusa = 6
32
6 =x
62x2x = 61
6
x =
2
1
6
x = 30
30
o
x
sen
H
COsen o
2) Calcular a medida da altura do prédio, sabendo que existe um observador a 3m do prédio observando sob
um ângulo de 60º.
Dados:
o
o
60 de ângulo ao oposto cateto = x
60 de ângulo ao adjacente cateto = 3m
m 33x3
x = 3
3
x = 60 tg o
ou
m 5,196x3
x =,7321
3
x = 60 tg o
Resposta:
A altura do prédio é de .m196,5oum33
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ##
1) Em cada caso, calcule sen , cos e tg .
a)
b)
c)
2) Uma pessoa de 1,70 m de altura vê o topo de um prédio segundo um ângulo de elevação de 60°. a) Qual a altura do prédio, se a distância da pessoa a ele for 30m? b) Qual a distância da pessoa a ele, no caso de um prédio ter 40m de altura?
15
3) A distância de uma pessoa a uma árvore é de 45m. Essa pessoa tem 1,80m de altura e o ângulo de elevação segundo o qual ela vê o topo da árvore é de 25°. Determine a altura dessa árvore.
(tg 25º = 0,466; sen 25º = 0,422; cos 25º = 0,906)
4) Do alto de uma torre de 50m de altura, localizada numa ilha, avista-se a praia sob um ângulo de depressão de 30°. Qual é a distância da torre até a praia?
5) Um avião levanta vôo sob um ângulo constante de 30° em relação ao plano horizontal. Quando percorrer, em linha reta, 5.000m, qual será a altura atingida pelo avião?
6) Do alto de uma torre de 50 m de altura, avista-se a praia sob um ângulo de 45° em relação ao plano horizontal. Para transportar material da praia até a torre, um carroceiro cobra R$ 0,10 por metro. Quanto
ele recebe para cada transporte que faz?
7) Na construção de um telhado, foram usadas telhas francesas e o “caimento” do telhado é de 20° em relação ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado da casa, foram construídos 6m de telhado e que, até a laje do teto, a casa tem 3m de altura, determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa. (sen 20° = 0,342; cos 20° = 0,939; tg 20° = 0,363)
8) Determine o valor de “x” na figura abaixo:
9) Nas figuras abaixo, calcular o valor de “x” e “y”:
a)
16
b)
Respostas:
1a) sen = 0,45 / cos = 0,89 / tg = 0,50
1b) sen = 0,60 / cos = 0,80 / tg = 0,75
1c) sen = 0,83 / cos = 0,55 / tg = 1,50
2a) 53,66m 2b) 22,11m 3) 22,77m 4) 86,60m
5) h = 2500m 6) R$ 5,00 7) x = 5,05m 8) x = 3
9a) x = 2 , y = 4 9b) x = 28,39
Para refletir....
“Existe um paralelismo fiel entre o progresso social e a atividade matemática; os países socialmente atrasados são aqueles em que a
atividade matemática é nula ou quase nula”. (Jacques Chapellon)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (comentadas) GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: uma nova abordagem. v.1. São Paulo: FTD, 2000.
Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios
envolvendo trigonometria no triângulo retângulo (logo no início do livro).
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito;
GIONVANNI JR, José Ruy. A Conquista da Matemática: teoria e aplicação. 7ª série. São Paulo: FTD, 1992.
Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios
envolvendo produtos notáveis, fatoração, frações algébricas, equação do 1º grau e sistema de equações do 1º grau.
GIOVANNI, José Ruy; GIONVANNI JR, José Ruy.
Aprendizagem e Educação Matemática, 7. São Paulo: FTD, 1990.
Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios
envolvendo produtos notáveis, fatoração, frações algébricas, equação do 1º grau e sistemas de equações do 1º grau.
GIOVANNI, José Ruy; GIONVANNI JR, José Ruy.
Aprendizagem e Educação Matemática, 8. São Paulo: FTD, 1990.
Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios
envolvendo equações do 2º grau e trigonometria no triângulo retângulo.
ANOTAÇÕES E LEMBRETES:
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