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NOCIONES DE ELASTICIDAD
1. Isotropía
2. Anisotropía
Las ecuaciones constitutivas nos dan la relación entre el esfuerzo y la deformación.
La forma más simple es una relación lineal, y esto da lugar a ELASTICIDAD LINEAL.
Otras relaciones pueden describir comportamientos viscoso (Newtoniano o No-newtoniano), plástico, viscoelástico, elasto-plástico, etc
En muchos casos podemos aproximar el comportamiento de un material como elástico, sin embargo para casos en los que el nivel del esfuerzo es muy grande en comparación con la resistencia del material es claro que no se cumple una relación lineal. Lo mismo sucede en los casos de una alta tasa de deformación.
Recordemos nuestras ecuaciones constitutivas para el caso de elasticidad general:
Para poder describir la deformación usamos vectores de desplazamiento:
La diferencial δu la podemos descomponer en dos partes:
Al hacer esto estamos en efecto desacoplando las partes de deformación rígida de las de distorsión
ω corresponde a la rotación rígida.La parte que produce distorsión es el tensor de deformación:
Fijarse que los elementos son variaciones (tasas) de cada componente del vector de desplazamiento con respecto a los ejes coordenados.
Ejemplos de posibles deformaciones para un elemento de dos dimensiones
La traza o suma de la diagonal del tensor de deformación nos da lo que se llama la dilatación:
Veamos las ecuaciones constitutivas en forma matricial:
Fijémonos que sólo se describen 6 de los términos del Tensor de Esfuerzo y 6 de los del Tensor de Deformación debido a su simetría.
De forma similar uno podría definir:
Recordamos que para el caso de ELASTICIDAD ISOTRÓPICA sólo requiere de 2 CONSTANTES INDEPENDIENTES.
Es común un cambio de nomenclatura de forma que:
Lo cual da para el caso de elasticidad isotrópica:
¿No eran 2 las constantes?
Lo que sucede en el caso de ISOTROPÍA es que:
C44 no es independiente
Para algunos materiales podemos relacionar la elongación con el esfuerzo tensional de forma que:
( )[ ]332211111 σσυσε +−=E
( )[ ]331122221 σσυσε +−=E
( )[ ]221133331 σσυσε +−=E
Si generalizamos para un cubo sometido a esfuerzos en las tres caras:
1212 2 εσ G=
2323 2 εσ G=
3131 2 εσ G=
Si relacionamos los términos de esfuerzo de corte con las deformaciones de corte (términos fuera de la diagonal):
Supongamos una prueba de compresión uniaxial.
¿Cuál sería la forma del tensor de deformación?
¿Cuál sería la forma del tensor de esfuerzo?
¿Cuál sería la relación entre σ1 y ε1 ?
Si usamos las constantes de Lamé (λ, μ )
Por ejemplo, podemos calcular:
μ se conoce como la rigidez del medio (resistencia al esfuerzo de corte)
θ es la dilatancia (qué tanto se expande o se contrae el cuerpo)
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