View
10
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω f συνάρτηση στο Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ να δείξετε ότι:
α. όλες οι συναρτήσεις της μορφής ( ) F(x) , R G x είναι παράγουσες της f. (Μονάδες 3)
β. κάθε άλλη παράγουσα της f στο Δ παίρνει την μορφή: G(x) F(x) , R (Μονάδες 4)
Α2. Θεωρείστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο σύνολο
,0 0, . Αν η f είναι συνεχής στο και '( ) 0f x για κάθε εσωτερικό του σημείου
,x A τότε η f είναι σταθερή σε όλο το R ».
α. Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό σας Α αν είναι αληθής και Ψ αν είναι ψευδής. (Μονάδα 1)
β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α) (Μονάδες 3)
Α3. Να διατυπώσετε τον ορισμό της πλάγιας ασύμπτωτης (Μονάδες 4)
Α4. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις.
α. Αν f συνεχής στο , και ( ) 0 f x dx
τότε ( ) 0f x για κάθε ,x a
β. Τα θεωρήματα De L’ Hospital ισχύουν και για πλευρικά όρια
γ. Αν συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα κάτω στο R τότε η οποιαδήποτε εφαπτόμενη στο γράφημα της
βρίσκεται κάτω από αυτό.
δ. Το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα συνάρτησης f είναι το ολικό της ελάχιστο
ε. Μια αρχική συνάρτηση της 2
1( ) , 0, f x x
x
είναι η 2019 F x x (Μονάδες 10)
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 1 f x x x , x R
17/03/2019
Μαθηματικά Ο.Π. Γ΄Λυκείου-Θερινά
Παπαναγιώτου Παναγιώτης
2
Β1. Να αποδείξετε ότι οι ασύμπτωτες της f στο και το είναι 1
1( ) :
2 y x και 2
1( ) :
2 y x
αντίστοιχα. (Μονάδες 7)
B2. Nα μελετήσετε την μονοτονία της συνάρτησης f και να βρείτε τα ακρότατά της. (Μονάδες 6)
Β3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι Κυρτή στο R (Μονάδες 6)
B4. Να κάνετε πρόχειρη γραφική παράσταση της συνάρτησης f . (Μονάδες 6)
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : f R R με (0) 0f και με την ιδιότητα:
2
( ) ( ) f x f y x y x y για κάθε , x y R
Γ1. Να αποδείξετε ότι ( ) , f x x x R (Μονάδες 6)
Γ2. Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα την συνάρτηση ( ) ( ) '( ) g x f x f x στο
0, (Μονάδες 6)
Γ3. Να υπολογίσετε το :
4
2 ( )lim
ln (2 )
x
g x
f x (Μονάδες 5)
Γ4. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα 2
2
0'( ) ( ) I f x f x dx
και 2
3
1
( ) J dx
f x
(Μονάδες 3+5)
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η κυρτή συνάρτηση f με 2 1
( ) 2
x
xf x e για κάθε x R
Δ1 α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας (ε) στο (0, f(0)) (Μονάδες 3+4)
β. Να αποδείξετε ότι 1
02 ( ) 7 f x dx
Δ2. Αν F μια παράγουσα της f να αποδείξετε οτι: (Μονάδες 6)
( 1) ( ) 2 2 1 ( ) 2 1 , f x f x F x F x F x f x f x x R
Δ3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο σε σημείο 0 0x (Μονάδες 6)
Δ4. Αν συνάρτηση 0: ,0 g x R παραγωγίσιμη στο 0 ,0x με ( ) x '(x) g'(x) g x f να αποδείξετε ότι η
συνάρτηση g είναι σταθερή.
(Μονάδες 6)
Σας ευχόμαστε επιτυχία!
Recommended