ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ...

Ενότητα 7η

Συναγωγή

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ

Διδάσκων: Παπασιώπη Νυμφοδώρα Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ε.Μ.Π.

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

Άδεια Χρήσης

Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας

7. Συναγωγή – Περιεχόμενα

7. ΣΥΝΑΓΩΓΗ

7.1 Βασικές αρχές συναγωγής

7.1.1 Εισαγωγικά στοιχεία

7.1.2 Συντελεστής συναγωγής και αριθμός Nusselt

7.1.3 Οριακό στρώμα ταχύτητας και θερμοκρασίας

7.2 Συναγωγή με εξαναγκασμένη κυκλοφορία

7.2.1 Εξωτερική ροή

7.2.2 Εσωτερική ροή (ροή σε αγωγούς)

7.3 Συναγωγή με φυσική κυκλοφορία

7.4 Συνδυασμένη φυσική και εξαναγκασμένη κυκλοφορία

Συναγωγή: Ο κύριος μηχανισμός μεταφοράς θερμότητας στα ρευστά, όπου η ύλη

μπορεί να μετακινηθεί ελεύθερα. Καθώς στοιχεία μάζας του ρευστού μετακινούνται

από μία περιοχή σε άλλη μεταφέρουν μαζί με τη μάζα τους (συνάγουν) όλες τους τις

ιδιότητες:

• Την ορμή τους

• Τη θερμική τους ενέργεια

• Τα συστατικά τους

Ο μηχανισμός μεταφοράς ορμής, θερμότητας και μάζας με συναγωγή είναι ίδιος και

περιγράφεται με παρόμοια μεθοδολογία και παρόμοιες σχέσεις υπολογισμού.

7-1 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας

7.1 Βασικές αρχές

Δύο κατηγορίες προβλημάτων συναγωγής:

• Εξαναγκασμένη κυκλοφορία: Η

κίνηση του ρευστού γίνεται υπό την

επίδραση εξωτερικών δυνάμεων

• Φυσική κυκλοφορία: Η κίνηση του

ρευστού οφείλεται στις δυνάμεις

άνωσης, λόγω της μεταβολής της

πυκνότητας με τη θερμοκρασία.

Σχήμα 7.1. Μεταφορά θερμότητας από μία θερμή επιφάνεια

προς το περιβάλλον ρευστό με συναγωγή και αγωγή.

Όπως έχουμε δει ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας

με συναγωγή μεταξύ μιας επιφάνειας και ενός

ρευστού μπορεί να εκφρασθεί από τη σχέση:

θθhq sσυν

Τα προβλήματα συναγωγής εστιάζονται στον

προσδιορισμό του συντελεστή συναγωγής, h

Στις μελέτες συναγωγής συνηθίζεται να αδιαστατοποιούνται οι εξισώσεις και να

συνδυάζονται οι μεταβλητές σε αδιάστατους αριθμούς. Ο αδιάστατος αριθμός που

αντιστοιχεί στον συντελεστή συναγωγής, h, είναι ο αριθμός Nusselt, Nu.

όπου: λ η θερμική αγωγιμότητα του ρευστού και δ ένα χαρακτηριστικό μήκος

7.1.2 Συντελεστής συναγωγής και αριθμός Nusselt (1/2)

Σχήμα 7.2. Ψύξη θερμής πλάκας με

συναγωγή, μεταβολή ταχύτητας και

μεταβολή θερμοκρασίας του αέρα.

Φυσική σημασία του αριθμού Nusselt, Nu

Σχήμα 7.3. Μεταφορά θερμότητας διαμέσου

στρώματος ρευστού πάχους δ με διαφορά

θερμοκρασίας Δθ=θ2-θ1.

)θθ(hq 12συν

)θθ(λq 12

συν

Ο αριθμός Nu δείχνει την ενίσχυση της μεταφοράς θερμότητας διαμέσου ενός

στρώματος ρευστού λόγω συναγωγής σε σύγκριση με την αγωγή.

7.1.2 Συντελεστής συναγωγής και αριθμός Nusselt (2/2)

Σε ρευστό που κινείται κοντά σε επιφάνεια με διαφορετική θερμοκρασία αναπτύσσεται

οριακό στρώμα θερμοκρασίας (δθ) αντίστοιχο με το οριακό στρώμα ταχύτητας (δu).

Αριθμός Reynolds, Re: καθορίζει το είδος της ροής ν

δουςώιξμειςάυνΔ

νειαςάαρδμειςάυνΔRe

Αριθμός Prandtl, Pr: δείχνει το σχετικό

πάχος του οριακού στρώματος ταχύτητας και

του οριακού στρώματος θερμοκρασίας λ

θερμοτηταςτηταόιαχυτΔ

ςήορμτηταόιαχυτΔPr

u (m/s): ταχύτητα του ρευστού, x (m): χαρακτηριστικό μήκος, ν (m2/s): κινηματικό ιξώδες, μ (kg/(ms)): δυναμικό ιξώδες, Cp(J/(kgoC):

ειδική θερμότητα,λ (W/(moC)): θερμική αγωγιμότητα, α (m2/s): θερμική διαχυτότητα.

7.1.3 Οριακό στρώμα ταχύτητας και θερμοκρασίας (1/2)

Σχήμα 7.4. Η ανάπτυξη του οριακού στρώματος ταχύτητας σε μία επίπεδη πλάκα και οι διάφορες περιοχές ροής.

θερμοτηταςτηταόιαχυτΔ

ςήορμτηταόιαχυτΔPr

7.1.3 Οριακό στρώμα ταχύτητας και θερμοκρασίας (2/2)

Πίνακας 7.1. Τυπικές τιμές των αριθμών

Prandtl στα συνηθισμένα ρευστά

Σχήμα 7.5. Το σχετικό πάχος του οριακού

στρώματος ταχύτητας και του θερμικού

οριακού στρώματος στα μέταλλα σε υγρή

κατάσταση και στα έλαια.

Περιπτώσεις συναγωγής με εξαναγκασμένη κυκλοφορία

Εξαναγκασμένη

συναγωγή

Εξωτερική ροή

Πάνω από επίπεδη επιφάνεια

Γύρω από σώματα

συγκεκριμένης γεωμετρίας,

π.χ. κύλινδροι, σφαίρες, κλπ

Κάθετα σε δέσμη σωλήνων

Εσωτερική ροή

Ροή σε αγωγούς με διάφορες

γεωμετρίες διατομής

7.2 Συναγωγή με εξαναγκασμένη κυκλοφορία (1/2)

Στις περιπτώσεις συναγωγής με εξαναγκασμένη κυκλοφορία ο αριθμός Nusselt είναι

συνήθως συνάρτηση μόνο των γεωμετρικών χαρακτηριστικών του συστήματος (x, L)

και των αριθμών Reynolds και Prandtl:

Pr),Re,x(fNu x1x Τοπικός αριθμός Nusselt

Pr),(RefNu L2L Μέσος αριθμός Nusselt

Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 7-8

7.2 Συναγωγή με εξαναγκασμένη κυκλοφορία (2/2)

Επίπεδη επιφάνεια –Στρωτή ροή

5x 105

hxNux Τοπικό

hLNuL Μέσο

θf=(θs+θ)/2

7.2.1 Εξωτερική ροή (1/21)

Πίνακας 7.2. Εξωτερική ροή - Σύνοψη εξισώσεων υπολογισμού συντελεστή συναγωγής για

στρωτή ροή

hxNux Τοπικό

hLNuL Μέσο

uxRe105 x

Επίπεδη επιφάνεια –Τυρβώδης ροή

Πίνακας 7.3. Εξωτερική ροή - Σύνοψη εξισώσεων υπολογισμού συντελεστή συναγωγής για

τυρβώδη ροή

Παράδειγμα 7.1. Υπολογισμός ρυθμού μεταφοράς θερμότητας σε επίπεδη

επιφάνεια σε συνθήκες στρωτής ροής

Δεδομένα:

• Αέρας υπό πίεση 0.1 bar και θερμοκρασία 300oC ρέει με

ταχύτητα 10m/s πάνω από επίπεδη επιφάνεια πλάτους 1m

και μήκους 0.5 m, η οποία διατηρείται με ψύξη σε

σταθερή θερμοκρασία 27οC

Ζητούνται:

O ρυθμός με τον οποίο μεταφέρεται θερμότητα από τον

αέρα προς την επιφάνεια

(α) Στο μέσο της επιφάνειας (σε απόσταση x = 0.25 m).

(β) Στο τέλος της επιφάνειας (σε x = L =0.5 m).

(γ) Να βρεθεί ο μέσος ρυθμός απαγωγής για όλη την

επιφάνεια.

L = 0.5 m

θ = 300οC

u = 10 m/s

P = 0.1 bar

Αέρας

θs= 27oC

Σχήμα 7.6. Σχηματική απεικόνιση

για το Παράδειγμα 7.1.

Λύση: Κύρια βήματα

θ = 300οC

u = 10 m/s

P = 0.1 bar

Αέρας

θs= 27oC

1ο Βήμα: Προσδιορισμός των ιδιοτήτων του αέρα που

χρειάζονται για τον υπολογισμό των αριθμών Re, Pr, Nu

2ο Βήμα: Υπολογισμός του αριθμού Re και έλεγχος του

είδους ροής (στρωτή ή τυρβώδης) για όλη την επιφάνεια

3ο Βήμα: Επιλογή των κατάλληλων εξισώσεων και

υπολογισμός του τοπικού ή μέσου αριθμού Nusselt

4ο Βήμα: Υπολογισμός των συντελεστών συναγωγής h και

του τοπικού και μέσου ρυθμού μεταφοράς θερμότητας

θθhq sxx

θθhq s

Λύση:

θ = 300οC

u = 10 m/s

P = 0.1 bar

Αέρας

θs= 27oC

Μπορούμε να βρούμε από Πίνακες* τις ιδιότητες του

αέρα για διάφορες θερμοκρασίες, αλλά αναφέρονται σε

πίεση P=1 bar.

* Πίνακας Π.4.4 στα Παραρτήματα του βιβλίου Ασημακόπουλος κ.α. «Μεταφορά

Θερμότητας», 2009

• Οι ιδιότητες μ, Cp και λ δεν επηρεάζονται σημαντικά

από την πίεση

• Η πίεση καθορίζει την πυκνότητα, ρ, και συνεπώς

καθορίζει έμμεσα το κινηματικό ιξώδες, ν=μ/ρ, και τη

θερμική διαχυτότητα, α=λ/(ρCp). Για να

υπολογίσουμε τις ιδιότητες αυτές υποθέτουμε ότι

ισχύει ο νόμος των τελείων αερίων

Λύση:

θ = 300οC

u = 10 m/s

P = 0.1 bar

Αέρας

θs= 27oC

Στη μέση θερμοκρασία του στρώματος:

C5.1632/)θθ(θ osf

ή 436.5 Κ

Σε Τ=436.5 Κ και P=1 bar οι ιδιότητες του αέρα είναι*:

ρ = 0.800 kg/m3, Cp = 1.019 kJ/ (kgK), μ = 24.5110-6 kg/(ms)

ν = 3.07 10-5 m2/s, λ=36.3 10-3 W/(mK), α = 4.4710-5 m2/s

Λύση:

θ = 300οC

u = 10 m/s

P = 0.1 bar

Αέρας

θs= 27oC

1ο Βήμα: Προσδιορισμός των ιδιοτήτων του αέρα

Σε Τ=436.5 Κ και P=1 bar οι ιδιότητες του αέρα είναι:

ν = 3.07 10-5 m2/s, λ=36.3 10-3 W/(mK), α = 4.4710-5 m2/s

Υπολογίζουμε τα ρ, ν και α σε P=0.1 bar :

ρ = 0.080 kg/m3, ν = 3.07 10-4 m2/s, α = 4.4710-4 m2/s

2ο Βήμα: Υπολογισμός του Re και έλεγχος του είδους ροής

(στρωτή ή τυρβώδης) σε όλη την επιφάνεια

L Re1063.1ν

5c 105Reσιμοίκρ

Στρωτή ροή

Λύση:

θ = 300οC

u = 10 m/s

P = 0.1 bar

Αέρας

θs= 27oC

ρ = 0.080 kg/m3, ν = 3.07 10-4 m2/s

λ=36.3 10-3 W/(mK), α = 4.4710-4 m2/s

Ιδιότητες σε Τ=436.5 Κ και P=0.1 bar:

687.0α

νPr 5

cL 105ReRe

Σχήμα 7.6. Σχηματική απεικόνιση για

το Παράδειγμα 7.1.

Λύση:

θ = 300οC

u = 10 m/s

P = 0.1 bar

Αέρας

θs= 27oC

ρ = 0.080 kg/m3, ν = 3.07 10-4 m2/s

λ=36.3 10-3 W/(mK), α = 4.4710-4 m2/s

Ιδιότητες σε Τ=436.5 Κ και P=0.1 bar:

687.0α

(α) Σε x = 0.25 m:

3x 1015.8

(β) Σε x =L= 0.5 m:

(γ) Ο μέσος αριθμός NuL :

3x 103.16

3L 103.16Re

44.26PrRe332.0Nu 31

40.37PrRe332.0Nu 31

80.74Nu2PrRe664.0NuLxx

Λύση:

θ = 300οC

u = 10 m/s

P = 0.1 bar

Αέρας

θs= 27oC

4ο Βήμα: Υπολογισμός των συντελεστών συναγωγής h και

του τοπικού και μέσου ρυθμού μεταφοράς θερμότητας

(α) Σε x = 0.25 m: 44.26Nux

(β) Σε x =L= 0.5 m: (γ) Ο μέσος αριθμός NuL :

)Km/(W84.3x

λNuh 2

xx 2x m/W10481.2730084.3q

2m/W1.1479q )Km/(W71.2h 2x

40.37Nux

2x m/W8.739q

80.74NuL

)Km/(W42.5h2h 2

Η συνολική θερμική ισχύς που πρέπει να απομακρύνεται για να

διατηρείται η θερμοκρασία στους 27 oC: W6.7395.01.1479Aqq

Εγκάρσια ροή γύρω από σώματα κυλινδρικής ή άλλης διατομής

Ιδιότητες στη μέση

θερμοκρασία του

ρευστού, θf

Πίνακας 7.4. Εμπειρικές σχέσεις για τον υπολογισμό του μεσαίου αριθμού Nusselt για την

εξαναγκασμένη συναγωγή σε κυκλικούς και μη κυκλικούς κυλίνδρους κατά την εγκάρσια

ροή

θερμοκρασία του

ρευστού, θf

Εγκάρσια ροή γύρω από σώματα κυλινδρικής ή άλλης διατομής (συνέχεια)

Πίνακας 7.4. Εμπειρικές σχέσεις για τον υπολογισμό του μεσαίου αριθμού Nusselt για

την εξαναγκασμένη συναγωγή σε κυκλικούς και μη κυκλικούς κυλίνδρους κατά την

εγκάρσια ροή

Ροή γύρω από δέσμη σωλήνων

36.0mDD

PrPrRecNu

DuRe max

Ευρύτατη εφαρμογή στο σχεδιασμό βιομηχανικών

συσκευών μεταφοράς θερμότητας (εναλλάκτες)

(α) Διάταξη σε σειρές

(β) Τριγωνική διάταξη

D: διάμετρος των σωλήνων

(α) Σε σειρές

(β) Τριγωνική

D όπως στη διάταξη “σε σειρές”

Διάταξη

Σχήμα 7.7. Δέσμη σωλήνων (α) σε σειρά. (β)

σε τριγωνική διάταξη.

Ροή γύρω από δέσμη σωλήνων

36.0mDD

PrPrRecNu

Ισχύει για αριθμό στηλών NL>20

Ιδιότητες στη μέση θερμοκρασία

του ρευστού, εκτός των Pr

Σχήμα 7.8. Διόρθωση εξίσωσης για Ν<20.

Πίνακας 7.5. Σταθερές της εξίσωσης D

Δεδομένα:

• Αέρας υπό ατμοσφαιρική πίεση και

θερμοκρασία 25oC θερμαίνεται περνώντας από

δέσμη σωλήνων διατεταγμένων σε σειρά.

• Τα δεδομένα της διάταξης και των συνθηκών

λειτουργίας δίνονται στο διπλανό σχήμα

Ζητούνται:

(α) Ο μέσος συντελεστής συναγωγής

(β) Η θερμοκρασία εξόδου του αέρα

Αριθμός σειρών: ΝΤ =20

Αριθμός στηλών: NL =10

Διάμετρος σωλήνων: D = 2 cm

Μήκος σωλήνων: L =1 m

Βήμα: ST =SL = 2D

Ταχύτητα αέρα: u= 10 m/s

Θερμ. αέρα: θ = 25oC

Θερμ. επιφ. σωλήνων: θs =100oC

Παράδειγμα 7.2. Μεταφορά θερμότητας σε δέσμη σωλήνων

Σχήμα 7.9. Δέσμη σωλήνων σε σειρά.

Λύση:

36.0mDD

PrPrRecNu

Προσδιορισμός των ιδιοτήτων του αέρα

Γνωρίζουμε μόνον τη θερμοκρασία εισόδου του αέρα:

θ,1=25οC

Υποθέτουμε μία θερμοκρασία εξόδου του αέρα: θ,2=60οC

C5.422/)θθ(θ o2,1,m, ή 315.5 Κ

Ιδιότητες στη μέση θερμοκρασία του αέρα θ,m= 315.5 Κ

ν = 17.3 10-6 m2/s, λ=27.4 10-3 W/(mK), α = 24.810-6 m2/s

Αριθμοί Pr στις θερμοκρασίες θ,m =315.5 K και θs =373 Κ

Pr = 0.705, Prs = 0.695

Λύση:

36.0mDD

PrPrRecNu

ν = 17.3 10-6 m2/s, λ=27.4 10-3 W/(mK)

Pr = 0.705, Prs = 0.695

4maxD 1031.2

s/m20102DD2

Λύση:

36.0mDD

PrPrRecNu

ν = 17.3 10-6 m2/s, λ=27.4 10-3 W/(mK)

Pr = 0.705, Prs = 0.695

ReD= 2.3104

Από τον Πίνακα: c=0.27, m=0.63

134695.0

705.0705.01031.227.0Nu

36.063.04D

)Km/(W7.183D

Nuh 2D

Λύση:

)Km/(W7.183h 2

Καθώς ο αέρας περνάει από τις στήλες θερμαίνεται σταδιακά

και αυξάνεται η θερμοκρασία του.

ssp dA)θθ(hθdCmqd

Ισοζύγιο ενέργειας σε κάθε θέση:

θθln

Με ολοκλήρωση:

dΑs: στοιχειώδης επιφάνεια

εναλλαγής θερμότητας

Λύση:

)Km/(W7.183h 2

Η επιφάνεια εναλλαγής θερμότητας ανά προσβαλλόμενη σειρά, δηλ. για

μία σειρά από ΝL σωλήνες, ΑsT

LsT m628.0102.010DLNA

Ρυθμός ροής μάζας του αέρα ανά σειρά σωλήνων, mT

s/kg444.0S11011.1Aum T,T

C5.41Cm

hAexpθθθθ o

ss1,s2,

Λύση:

Μεταφερόμενη θερμότητα ανά σειρά σωλήνων:

s/kg444.0mT

C5.41θ o2,

kW377.7Cmq 1,2,pTT

Η συνολικά μεταφερόμενη θερμότητα για τις 20 σειρές:

kW5.14720qq T

• Κατά τη ροή σε αγωγούς η

ανάπτυξη του οριακού

στρώματος, δu ή/και δθ, δεν είναι

ελεύθερη. Σταματάει όταν:

δu, δθ → rs

(rs: ακτίνα του αγωγού)

• Στα περισσότερα προβλήματα το

μήκος του αγωγού είναι αρκετά

μεγαλύτερο από την περιοχή

εισόδου και η επίδραση της είναι

αμελητέα

7.2.2 Εσωτερική ροή (ροή σε αγωγούς) (1/21)

Σχήμα 7.10. Η ανάπτυξη του οριακού στρώματος ταχύτητας σε ένα

σωλήνα.

Σχήμα 7.11. Η ανάπτυξη του θερμικού οριακού στρώματος σε ένα

σωλήνα.

Χαρακτηριστικά ροής

Αριθμός Reynolds: ν

DuRe m

D: διάμετρος του αγωγού

um: μέση ταχύτητα

Re < ~ 3000 : στρωτή ροή

Re ~3000 : τυρβώδης ροή

Κατανομή ταχύτητας (ως προς r)

στην ανεπτυγμένη περιοχή

Για τον υπολογισμό της πτώσης

πίεσης λόγω τριβών

χρησιμοποιείται η εξίσωση: 2

f: συντελεστής τριβών

Στρωτή ροή Τυρβώδης ροή

Διάγραμμα

Απαιτούμενη ισχύς άντλησης PΔVWαντλ :V Ογκομετρική παροχή

Σχήμα 7.10. Η ανάπτυξη του οριακού στρώματος ταχύτητας σε ένα

σωλήνα.

3.2.2 Εσωτερική ροή (ροή σε αγωγούς)

Σχήμα 7.12. Διάγραμμα Moody: Συντελεστής τριβών f για πλήρως ανεπτυγμένη ροή σε αγωγούς κυκλικής

διατομής.

Σχετ

ική τ

ραχύτη

Για στρωτή ροή Re<3000

σu,ε

Re05.0D

για την ταχύτητα

PrRe05.0D

σθ,ε

για την θερμοκρασία

Για τυρβώδη ροή Re3000

τθ,ε

τu,ε

θ,εx

Στην πλήρως ανεπτυγμένη ροή Η ταχύτητα, ux, δεν μεταβάλλεται ως προς x

Η θερμοκρασία, θ, μεταβάλλεται.

Θερμικά χαρακτηριστικά

Σχήμα 7.10. Η ανάπτυξη του οριακού στρώματος ταχύτητας σε

ένα σωλήνα.

Σχήμα 7.11. Η ανάπτυξη του θερμικού οριακού στρώματος σε ένα

σωλήνα.

Θερμότητα που μεταφέρεται από το τοίχωμα με

συναγωγή στο στοιχειώδη όγκο:

)θθ)(dxrπ2(h)dxrπ2(qqd mSsss

Η θερμότητα αυτή έχει σαν αποτέλεσμα την

ανύψωση της θερμοκρασίας κατά dθm:

θm: μέση θερμοκρασία

θs: θερμοκρασία στα

τοιχώματα

mp θdCmqd

)θθ(Cm

hrπ2q

Δύο περιπτώσεις: (β) Σταθερή θερμοκρασία, θs

(α) Σταθερό sq

Ισοζύγιο ενέργειας κατά τη μεταφορά θερμότητας σε αγωγό

Σχήμα 7.13. Υπολογισμός του ισοζυγίου

ενέργειας κατά τη μεταφορά θερμότητας

σε αγωγό, θεωρώντας στοιχειώδη όγκο

πάχους dx.

rπ2θ)x(θ s

h=f(x) h=σταθερό

όσταθερqCm

)θθ(Cm

hrπ2exp

θΔln

h)Lrπ2(Cm

)θΔθΔ( 21

1,m2,mp θθCmq

)θΔ/θΔln(

θΔθΔθΔ

lms θΔLrπ2hq

Σχήμα 7.14. Μεταβολή της θερμοκρασίας

επιφάνειας του σωλήνα και της μέσης

θερμοκρασίας ρευστού κατά μήκος του

σωλήνα στην περίπτωση σταθερής ροής

θερμότητας στην επιφάνεια.

Σχήμα 7.15. Η μεταβολή της μέσης

θερμοκρασίας ρευστού κατά μήκος του

σωλήνα στην περίπτωση σταθερής ροής

θερμότητας στην επιφάνεια.

Παράδειγμα 3.3. Ροή σε αγωγό. Σταθερή θερμοκρασία επιφάνειας

Δεδομένα:

• Ατμός πίεσης 2 bar συμπυκνώνεται στην εξωτερική

επιφάνεια μεταλλικού αγωγού διαμέτρου 5cm και μήκους

3m, διατηρώντας τη θερμοκρασία του αγωγού σταθερή

στους 120oC.

• Νερό εισέρχεται στον αγωγό με ρυθμό 0.05 kg/s και

θερμοκρασία 20oC.

• Θεωρούμε μέσο συντελεστή συναγωγής h=500 W/(m2K).

Ζητείται:

Η θερμοκρασία εξόδου του νερού

D=5 cm, L=3m

θs= 120oC, θm,1 = 20oC

h=500 W/(m2K)

Παραδείγματος.

Λύση:

hrπ2exp

Σταθερή θερμοκρασία τοιχώματος.

Χρησιμοποιούμε την εξίσωση που περιγράφει την μεταβολή

της θερμοκρασίας του ρευστού συναρτήσει του μήκους του

αγωγού.

D=5 cm, L=3m

θs= 120oC, θm,1 = 20oC

h=500 W/(m2K)

Dhπexpθθθθ

1,mss2,m

C6.8731018.405.0

50005.0πexp20120120θ o

Cp = 4.18 kJ/(kgK)

Παράδειγμα 3.3. Ροή σε αγωγό. Σταθερή θερμοκρασία επιφάνειας

Παραδείγματος.

Παράλληλη ανάπτυξη

οριακών στρωμάτων

Συντελεστής συναγωγής σε στρωτή ροή

Περιοχή ανεπτυγμένης ροής

36.4NuD

sqήταθερΣ

66.3NuD

sθήταθερΣ

Περιοχή εισόδου

Ανεπτυγμένα υδραυλικά

χαρακτηριστικά

1GzPrRe

Σχήμα 7.17. Μεταβολή του τοπικού αριθμού Nusselt στην περιοχή εισόδου για (α) Ανεπτυγμένα υδραυλικά χαρακτηριστικά,

(β) Παράλληλη ανάπτυξη οριακών στρωμάτων.

PrReGz

Αρ. Graetz

Re<3000

σu,ε

Re05.0D

PrRe05.0D

σθ,ε

σu,ε

Re05.0D

PrRe05.0D

σθ,ε

σu,ε

Re05.0D

PrRe05.0D

σθ,ε

Ιδιότητες στη μέση θερμοκρασία

του ρευστού, εκτός του μs

Συντελεστής συναγωγής σε στρωτή ροή

Πίνακας 7.6. Συντελεστής συναγωγής σε στρωτή ροή

Χαρακτηριστική διάμετρος:

Α: διατομή

P: περίμετρος

Re<3000 D

σu,ε

Re05.0D

PrRe05.0D

σθ,ε

Αγωγοί μη κυκλικής διατομής: Αριθμός Nu και συντελεστής τριβών f

σε πλήρως ανεπτυγμένη - στρωτή ροή

Πίνακας 7.7. Ο αριθμός Nusselt και ο παράγοντας τριβής για

πλήρως ανεπτυγμένη στρωτή ροή σε σωλήνες διάφορων διατομών

Χαρακτηριστική διάμετρος:

Α: διατομή

P: περίμετρος

Re<3000 D

σu,ε

Re05.0D

PrRe05.0D

σθ,ε

Αγωγοί μη κυκλικής διατομής: Αριθμός Nu και συντελεστής τριβών f

σε πλήρως ανεπτυγμένη - στρωτή ροή

Πίνακας 7.7. Συνέχεια

n=0 όταν qs= σταθερό

n=0.11 όταν θs =σταθερή και θs> θm

n=0.25 όταν θs= σταθερή και θs< θm

Για αγωγούς κυκλικής

και μη κυκλικής

διατομής

PrReGz

Αρ. Graetz

Συντελεστής συναγωγής -Τυρβώδης ροή

Πίνακας 7.8. Συντελεστής συναγωγής σε τυρβώδη ροή

PrReGz

DuPrRePe m

Αρ. Graetz

Αρ. Peclet

Συντελεστής συναγωγής -Τυρβώδης ροή

Υγρά μέταλλα

Πίνακας 7.9. Συντελεστής συναγωγής σε τυρβώδη ροή – Υγρά μέταλλα

Παράδειγμα 7.4. Ροή σε αγωγό. Σταθερή θερμοκρασία επιφάνειας. Υπολογισμός

συντελεστή συναγωγής

Δεδομένα:

• Πετρέλαιο ρέει σε αγωγό διαμέτρου 30cm με μέση

ταχύτητα 2m/s.

• Τμήμα του αγωγού μήκους 200m διαπερνά τα

παγωμένα νερά μιας λίμνης με θερμοκρασία 0oC.

• Η ροή είναι υδραυλικά ανεπτυγμένη όταν ο αγωγός

φθάνει στη λίμνη

• Η θερμοκρασία του πετρελαίου όταν εισέρχεται στο

τμήμα του αγωγού που βρίσκεται στη λίμνη είναι 20oC

Ζητούνται:

(α) Η θερμοκρασία του πετρελαίου όταν ο σωλήνας βγαίνει

από τη λίμνη

(β) Ο ρυθμός απώλειας της θερμότητας από το πετρέλαιο

(γ) Η απαιτούμενη ισχύς άντλησης για να αντισταθμιστούν οι

απώλειες πίεσης

D=0.3 m, L=200m

θs= 0oC, θm,1 = 20oC

Σχήμα 7.18. Σχηματική απεικόνιση για το

Παράδειγμα 7.4.

Γενική Μεθοδολογία

D=0.3 m, L=200m

1. Αναγνώριση του προβλήματος (εσωτερική ροή, σταθερή qs ή

θs, κλπ.)

2. Επιλογή θερμοκρασίας για προσδιορισμό ιδιοτήτων: ρ, μ, ν,

Cp, λ, α, Pr

3. Προσδιορισμός ιδιοτήτων από τον κατάλληλο Πίνακα

4. Υπολογισμός Re → καθορισμός είδους ροής , στρωτή ή

τυρβώδης

5. Υπολογισμός μήκους υδραυλικής και θερμικής εισόδου.

Έλεγχος για το αν έχουμε υδραυλικά ή/και θερμικά

αναπτυγμένη ροή ή εάν υπάρχει επίδραση της εισόδου

6. Επιλογή της κατάλληλης εξίσωσης για τον υπολογισμό του αρ.

Nu υπολογισμός συντελεστή συναγωγής h

7. Υπολογισμός θερμοκρασίας εξόδου θm,2. Έλεγχος της

καταλληλότητας της τιμής θερμοκρασίας που

χρησιμοποιήθηκε στο βήμα 2.

8. Υπολογισμός των άλλων παραμέτρων, π.χ. ροή θερμότητας, qs,

απώλειες τριβών, κ.ο.κ., ανάλογα με το πρόβλημα.

D=0.3 m, L=200m

1. Αναγνώριση του προβλήματος:

εσωτερική ροή, σταθερή θs

2. Επιλογή θερμοκρασίας για προσδιορισμό ιδιοτήτων: ρ, μ, ν, Cp, λ,

α, Pr

Έστω θ=17οC ή 290 Κ

3. Προσδιορισμός ιδιοτήτων από τον κατάλληλο Πίνακα*

Λύση:

* Πίνακας Π.4.5 στα Παραρτήματα του βιβλίου Κουμούτσου, Λυγερού «Μεταφορά

ρ = 890 kg/m3, Cp = 1868 J/ (kgK), μ = 99.910-2

kg/(ms)

ν = 1120 10-6 m2/s, λ=145 10-3 W/(mK), α = 0.87210-6 m2/s

Pr = 12900

4. Υπολογισμός Re → καθορισμός είδους ροής , στρωτή ή τυρβώδης

PrReGz

536101120

Στρωτή ροή

5. Υπολογισμός μήκους υδραυλικής και θερμικής εισόδου.

Έλεγχος για το αν έχουμε υδραυλικά ή/και θερμικά αναπτυγμένη

ροή ή εάν υπάρχει επίδραση της εισόδου

PrReGz

m1035163.01290053605.0DPrRe05.0x Dσ

• Η ροή είναι υδραυλικά αναπτυγμένη όταν ο αγωγός φθάνει στη

λίμνη

• Μήκος θερμικής εισόδου

λ=145 10-3 W/(mK)

Pr = 12900 ReD= 536

η ροή θερμικά βρίσκεται σε συνθήκες εισόδου

6. Επιλογή της κατάλληλης εξίσωσης για τον υπολογισμό του αρ.

Nu υπολογισμός συντελεστή συναγωγής h

3/2Gz04.01

Gz0668.066.3Nu

103723.0/200

53612900

PrReGz

3.38Nu

)Km/(W5.183.0

101453.38

PrReGz

ρ = 890 kg/m3 Cp = 1868 J/ (kgK)

Pr = 12900 ReD= 536

Dhπexpθθθθ

1,mss2,m

C7.1920018683.02890

5.184exp2000 o

)Km/(W5.18h 2

7. Υπολογισμός θερμοκρασίας εξόδου θm,2. Έλεγχος της

καταλληλότητας της τιμής θερμοκρασίας που χρησιμοποιήθηκε

στο βήμα 2.

Οι ιδιότητες προσδιορίστηκαν σε θερμοκρασία 17 οC

οι υπολογισμοί μπορούν να θεωρηθούν ικανοποιητικής

ακρίβειας

Dπ(uρm

PrReGz

λ=145 10-3 W/(mK) Cp = 1868 J/ (kgK)

Pr = 12900 ReD= 536

απώλειες τριβών, κ.ο.κ, ανάλογα με το πρόβλημα.

C7.19 o

2,m )Km/(W5.18h 2

(β) Ο ρυθμός απώλειας της θερμότητας από το τμήμα του

αγωγού μέσα στη λίμνη

C85.19)7.19/20ln(

7.1920

lmθΔDLπhq

W6922085.19)2003.0(5.18DLhq lm

PrReGz

ρ = 890 kg/m3, Cp = 1868 J/ (kgK)

Pr = 12900 ReD= 536

απώλειες τριβών, κ.ο.κ, ανάλογα με το πρόβλημα.

C7.19 o

2,m )Km/(W5.18h 2

(γ) Η απαιτούμενη ισχύς άντλησης για να αντισταθμιστούν οι

απώλειες πίεσης

W69220q

Έχουμε ροή στρωτή και υδραυλικά αναπτυγμένη (σελ. 5.33)

Στρωτή ροή PΔVWαντλ

119.0Re

64f )Pa(141692

200119.0P

W20031)PΔ(u)4

Dπ()PΔ(VW m

αντλ

Συντελεστής διαστολής του όγκου,

Φυσική κυκλοφορία:

Η κίνηση του ρευστού οφείλεται στις δυνάμεις άνωσης, λόγω της

μεταβολής της πυκνότητας με τη θερμοκρασία

Ιδανικά αέρια (P=ρRT) : T

7.3 Συναγωγή με φυσική κυκλοφορία (1/16)

Αριθμός Grashof, Gr: παριστάνει το λόγο των δυνάμεων

άνωσης προς τις δυνάμεις τριβής:

δ)θθ(βg

δουςώιξμειςάυνΔ

νωσηςάμειςάυνΔGr

g : επιτάχυνση της βαρύτητας, m/s2

β : συντελεστής διαστολής όγκου, Κ-1

θs : θερμοκρασία της επιφάνειας, οC

θ : θερμοκρασία του ρευστού μακριά από την επιφάνεια, οC

δ : χαρακτηριστικό μήκος του γεωμετρικού σχήματος, m

ν : κινηματικό ιξώδες, m2/s

Στη φυσική συναγωγή το είδος ροής, στρωτή ή

τυρβώδης, καθορίζεται από τον αριθμό Rayleigh, Ra:

Ra < 109 : στρωτή ροή

Ra 109 : τυρβώδης ροή

Σε κατακόρυφη πλάκα

δθΔβg

δ)θθ(βgPrGrRa

π.χ.

Σχήμα 7.19. Ο αριθμός Grashop Gr

αποτελεί μέτρο των σχετικών μεγεθών της

άνωσης και της αντίθετης τριβής που

ενεργεί στο ρευστό.

Στα προβλήματα φυσικής συναγωγής, στις περισσότερες

περιπτώσεις χρησιμοποιούνται εμπειρικές σχέσεις της μορφής:

mcRaNu

Σχέσεις φυσικής συναγωγής

c και m: σταθερές που εξαρτώνται (α) από τη γεωμετρία, (β)

από το είδος ροής (στρωτή ή τυρβώδης)

Οι διάφορες ιδιότητες υπολογίζονται στη μέση θερμοκρασία

τοιχώματος/ρευστού:

2/)θθ(θ sf

Σχήμα 7.20. Η τυπική κατανομή

ταχύτητας και θερμοκρασίας για ροή

με φυσική συναγωγή σε μία θερμή

κάθετη πλάκα σε θερμοκρασία Τs η

όποια τοποθετήθηκε μέσα σε ρευστό

με θερμοκρασία Τ.

LθΔβgRa

)K(T/1β 1

Ιδ. αέρια

mcRaNu

Οι διάφορες ιδιότητες υπολογίζονται στη

μέση θερμοκρασία τοιχώματος/ρευστού:

2/)θθ(θ sf

Χαρακτηριστικό μέγεθος L: το ύψος της επιφάνειας

Χαρακτηριστικό μέγεθος L: εμβαδόν/περίμετρος

Πίνακας 7.10. Φυσική κυκλοφορία . Σύνοψη εξισώσεων

c=0.5, m=1/4

c=0.1, m=1/3

2/)θθ(θ sf

41L )φcosRa(56.0Nu

mcRaNu

LθΔβgRa

)K(T/1β 1

Ιδ. αέρια

Οι διάφορες ιδιότητες υπολογίζονται στη

μέση θερμοκρασία τοιχώματος/ρευστού:

Ra< 109 c=0.59, m=1/4

Ra> 109 c=0.13, m=1/3

mcRaNu

Χαρακτηριστικό μέγεθος δ: το ύψος L του κυλίνδρου

Χαρακτηριστικό μέγεθος δ: η διάμετρος D του κυλίνδρου

Χαρακτηριστικό μέγεθος δ: η διάμετρος D της σφαίρας

δhNuδ

δθΔβgRa

)K(T/1β 1

Ιδ. αέρια

δθΔβgGr

mcRaNu

δhNuδ

)K(T/1β 1

Ιδ. αέρια

θερμοκρασία τοιχωμάτων

δθΔβgRa

δhNuδ

δθΔβgRa

)K(T/1β 1

Ιδ. αέρια

eff θθDDln

eff Ra)D(fPrf386.0λλ

Pr861.0

4/55/35/34/3

)D/Dln()D(f

Κυλινδρικός χώρος

eff θθδ

DDπλq

eff Ra)D(fPrf740.0λλ

Pr861.0

4/55/75/7

DD)DD(

δ)D(f

Σφαιρικός χώρος

θερμοκρασία τοιχωμάτων

Παράδειγμα 7.5. Ψύξη πλάκας με διαφορετικό προσανατολισμό

Δεδομένα:

• Λεπτή τετράγωνη πλάκα διαστάσεων 0.6m x 0.6m βρίσκεται σε

δωμάτιο με θερμοκρασία 30οC.

• Η μία πλευρά της πλάκας είναι μονωμένη και η άλλη διατηρείται σε

θερμοκρασία 74 oC.

Ζητούνται:

1. Ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας με φυσική συναγωγή όταν η πλάκα:

(α) είναι κατακόρυφη

(β) έχει τη θερμή επιφάνεια προς τα πάνω

(γ) έχει τη θερμή επιφάνεια προς τα κάτω

2. Ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας με ακτινοβολία, αν ε=1

Γενική Μεθοδολογία

1. Αναγνώριση του προβλήματος (γεωμετρία του συστήματος, σταθερή

θs ή qs, κλπ.)

2. Επιλογή θερμοκρασίας για προσδιορισμό ιδιοτήτων: ρ, μ, ν, Cp, λ, α,

4. Καθορισμός χαρακτηριστικού μεγέθους L (ή δ), ανάλογα με τη

γεωμετρία

5. Υπολογισμός RaL → καθορισμός είδους ροής , στρωτή ή τυρβώδης

6. Επιλογή της κατάλληλης εξίσωσης για τον υπολογισμό του αρ. Nu

υπολογισμός συντελεστή συναγωγής h

7. Υπολογισμός των ζητούμενων μεγεθών π.χ. ροή θερμότητας, qs

8. Έλεγχος της καταλληλότητας της τιμής θερμοκρασίας που

χρησιμοποιήθηκε στο βήμα 2 (ανάλογα με το πρόβλημα, π.χ. όταν στα

ζητούμενα μεγέθη είναι η θερμοκρασία του τοιχώματος).

Επίπεδη πλάκα, σταθερή θs

2. Επιλογή θερμοκρασίας για προσδιορισμό ιδιοτήτων: ρ, μ, ν, Cp, λ, α, Pr

Μέση θερμοκρασία τοιχώματος/ρευστού:

θf=(θs+θ)/2=52οC ή 325 Κ

3. Προσδιορισμός ιδιοτήτων από τον κατάλληλο Πίνακα*

Λύση:

LθΔβgRa

)K(T/1β 1Ιδ. αέρια

mcRaNu

ν = 18.41 10-6 m2/s, λ=28.15 10-3 W/(mK), α = 26.210-6 m2/s

Pr = 0.703

γεωμετρία

(α) Κατακόρυφη επιφάνεια: L: το ύψος της επιφάνειας

(β) και (γ) Οριζόντια επιφάνεια: L: εμβαδόν/περίμετρος

L = 0.6 m

m15.0)6.04/()6.06.0(p/AL

5. Υπολογισμός RaL → καθορισμός είδους ροής , στρωτή ή τυρβώδης

Λύση: 1.(α) Φυσική συναγωγή Κατακόρυφη επιφάνεια

ν = 18.41 10-6 m2/s

λ=28.15 10-3 W/(mK)

α = 26.210-6 m2/s

Pr = 0.7035

)K(00308.0325/1T/1β 1

L 6.010756.26.0102.261041.18

)3074(00308.081.9LgRa

LθΔβgRa

)Km/(W32.46.0

1015.282.92

L 10953.5Ra

6. Επιλογή της κατάλληλης εξίσωσης για τον υπολογισμό του αρ. Nu υπολογισμός συντελεστή συναγωγής h

LL Ra59.0Nu 2.92)10953.5(59.0Nu 25.08

Λύση: 1.(α) Φυσική συναγωγή. Κατακόρυφη επιφάνεια

ν = 18.41 10-6 m2/s

λ=28.15 10-3 W/(mK)

α = 26.210-6 m2/s

Pr = 0.703

LθΔβgRa

7. Υπολογισμός των ζητούμενων μεγεθών π.χ. ροή θερμότητας, qs

)Km/(W32.4h 2

W49.68)3074()6.06.0(32.4)(hAq s

m6.0L 8

L 10953.5Ra

1.(α) Φυσική συναγωγή. Κατακόρυφη επιφάνεια

2.92NuL

W49.68q

Λύση:

ν = 18.41 10-6 m2/s

λ=28.15 10-3 W/(mK)

α = 26.210-6 m2/s

Pr = 0.703

LθΔβgRa

)Km/(W60.5h 2

m15.0L

L 10301.9Ra

1.(β) Φυσική συναγωγή. Θερμή οριζόντια επιφάνεια προς τα πάνω

82.29NuL

W7.88q

Λύση:

ν = 18.41 10-6 m2/s

λ=28.15 10-3 W/(mK)

α = 26.210-6 m2/s

Pr = 0.703

LθΔβgRa

)Cm/(W80.2h o2

m15.0L

L 10301.9Ra

1.(γ) Φυσική συναγωγή. Θερμή οριζόντια επιφάνεια προς τα κάτω

25.0LL Ra27.0Nu

W35.44q

Λύση:

1. Ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας με φυσική συναγωγή

)TT(εσΑq 44

sακτ

2. Ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας με ακτινοβολία

W49.68q)( W7.88q)(

W35.44q)(

Έστω: ε =1

Σταθερά Boltzman: σ = 5.6710-8 W/(m2K4)

sακτ )27330()27374(1067.5136.0)TT(εσΑq

W9.123qακτ

Η μεταφορά θερμότητας με ακτινοβολία πρέπει να λαμβάνεται υπόψη σε

επιφάνειες που ψύχονται με φυσική συναγωγή διότι οι δύο ρυθμοί μεταφοράς

θερμότητας είναι της ίδιας τάξης μεγέθους

Όταν υπάρχει ροή ρευστού σε επαφή με επιφάνεια διαφορετικής θερμοκρασίας συνυπάρχουν η εξαναγκασμένη και η φυσική κυκλοφορία.

Το ποιος από τους δύο μηχανισμούς επικρατεί εξαρτάται από το λόγο, Gr/Re2:

Gr2 Μόνο εξαναγκασμένη κυκλοφορία

Gr2 Μόνο φυσική κυκλοφορία

Gr2 Συνδυασμός των δύο μηχανισμών

7.4 Συνδυασμένη φυσική και εξαναγκασμένη κυκλοφορία (1/14)

Σχήμα 7.22. (α) Επίπεδη κατακόρυφη

πλάκα (β) Η ανάπτυξη του θερμικού

οριακού στρώματος σε ένα σωλήνα.

Gr2 Συνδυασμός φυσικής και εξαναγκασμένης

κυκλοφορίας

Εξωτερική ροή

3/13ήφυσικ

3εξαν NuNuNu

όταν η ροή του ρευστού έχει την

ίδια ή εγκάρσια κατεύθυνση με τη

φυσική κυκλοφορία

όταν η ροή έχει αντίθετη

κατεύθυνση προς τη φυσική

κυκλοφορία

Εσωτερική ροή (σε αγωγούς)

Στρωτή ροή Τυρβώδης ροή

4102)L/D(Ra

2000Re

4102)L/D(Ra

800Re 2000Re 800Re

3/13/43/1D

14.0sD )GzGr(12.0Gz)μ/μ(75.1Nu

)L/DPr(ReGz D

36.007.0D

21.027.0D )L/D(GrPrRe69.4Nu

Σχήμα 7.23. (α) Η ροή του ρευστού έχει την ίδια ή

εγκάρσια κατεύθυνση με τη φυσική κυκλοφορία (β) η ροή

έχει αντίθετη κατεύθυνση προς τη φυσική κυκλοφορία.

Παράδειγμα 7.6. Ψύξη πλάκας με συνδυασμό εξαναγκασμένης και φυσικής

Δεδομένα:

• Τα δεδομένα του παραδείγματος για την περίπτωση (a), δηλ.:

• Λεπτή τετράγωνη πλάκα διαστάσεων 0.6m x 0.6m βρίσκεται σε

δωμάτιο με θερμοκρασία 30οC.

• Η μία πλευρά της πλάκας είναι μονωμένη και η άλλη

διατηρείται σε θερμοκρασία 74 oC

• Η πλάκα έχει κατακόρυφη τη θερμή επιφάνεια

• Διοχετεύεται αέρας θερμοκρασίας 30οC, με ταχύτητα u=1 m/s

(P=1atm) και κατεύθυνση ροής από κάτω προς τα πάνω

Ζητούνται:

Να υπολογισθεί ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας με

εξαναγκασμένη ή/και φυσική συναγωγή:

u=1 m/s

4. Αριθμός Nuφυσ φυσικής συναγωγής από παράδειγμα 3.5

u=1 m/s

Λύση:

ν = 18.41 10-6 m2/s

λ=28.15 10-3 W/(mK)

α = 26.210-6 m2/s

Pr = 0.703

εξωτερική ροή, επίπεδη επιφάνεια, σταθερή θs

2. Επιλογή θερμοκρασίας – προσδιορισμός ιδιοτήτων από τον κατάλληλο

Πίνακα. (όπως στο παράδειγμα 3.5)

3. Υπολογισμός ReL και Gr→ έλεγχος κυρίαρχου μηχανισμού

6L 1026.31041.18

6.01LuRe

L=0.6m

10462.8703.0

10953.5

L 10953.5Ra

1796.0)1026.3(

10462.8

2.92Nu

Συνδυασμός των δύο

μηχανισμών

u=1 m/s

Λύση:

ν = 18.41 10-6 m2/s

λ=28.15 10-3 W/(mK)

α = 26.210-6 m2/s

Pr = 0.7035

5.2. Επιλογή των κατάλληλων εξισώσεων- Υπολογισμός μέσου NuL

5.1 Από τον ReL → καθορισμός είδους ροής , στρωτή ή τυρβώδης

5c 105Reσιμοίκρ

Στρωτή ροή

5. Υπολογισμός αριθμού Nuεξαν εξαναγκασμένης ροής

L Re1026.3ν

u=1 m/s

Λύση:

ν = 18.41 10-6 m2/s

λ=28.15 10-3 W/(mK)

α = 26.210-6 m2/s

Pr = 0.703

5.3. Υπολογισμός του Nu του συνδυασμού εξαναγκασμένης και φυσικής

3/15.0εξαν PrRe664.0Nu

5.3. Υπολογισμός NuL εξαναγκασμένης κυκλοφορίας

4L 1026.3Re

6.106703.0)1026.3(664.0Nu 3/15.04

2.92Nu

3/13ήφυσικ

3εξαν NuNuNu

9.1252.926.106Nu3/133

)Km/(W91.56.0

9.1251015.28h 2

W56.93q

)Km/(W32.4h 2 W49.68q

Δεδομένα (παρόμοια με παράδειγμα 2.6) :

• Παράθυρο ύψους 0.8m και πλάτους 1.5m, με διπλό τζάμι, το οποίο

αποτελείται από δύο στρώματα γυαλιού πάχους 4mm και ένα

στρώμα αέρα πάχους 20mm.

• Θερμική αγωγιμότητα γυαλιού, λ=0.78 W/(moC)

• Συντελεστής μεταφοράς θερμότητας στην εσωτερική και εξωτερική

επιφάνεια του παραθύρου, h1=10 W/(m2oC) και h2=40 W/(m2oC)

• Η θερμοκρασία στο δωμάτιο είναι θ1=20 οC και η εξωτερική

θερμοκρασία είναι θ2= -10 οC

Ζητούνται:

• Οι συντελεστές συναγωγής στην εσωτερική και εξωτερική επιφάνεια

καθώς και στο στρώμα αέρα μέσα στο κλειστό περίβλημα του

διπλού τζαμιού.

• Η απώλεια θερμότητας

• Οι θερμοκρασίες θ1, θ2, θ3, θ4

Παράδειγμα 7.7. Απώλεια θερμότητας από παράθυρο με διπλό τζάμι

Συναγωγή με φυσική κυκλοφορία, (α) σε κατακόρυφη επιφάνεια,

β) σε κλειστό περίβλημα

2. Επιλογή θερμοκρασίας για προσδιορισμό ιδιοτήτων του αέρα ν, λ,

α, Pr

2.1 στο εσωτερικό του δωματίου: ~17οC ή 290 Κ

2.2 μέσα στο περίβλημα: ~θμεση=(θ1+θ2)/2=5οC ή 278 Κ

2.3 στον εξωτερικό χώρο ~ -3oC ή 270

δhNuδ

δθΔβgRa

ν = 15.00 10-6 m2/s

λ = 25.5 10-3 W/(mK)

α = 21.1810-6 m2/s

Pr= 0.7096

ν = 13.93 10-6 m2/s

λ = 24.5 10-3 W/(mK)

α = 19.6010-6 m2/s

Pr= 0.7127

ν = 13.22 10-6 m2/s

λ = 23.9 10-3 W/(mK)

α = 18.5010-6 m2/s

Pr= 0.7148

Λύση:

δhNuδ

δθΔβgRa

ν = 15.00 10-6 m2/s

λ = 25.5 10-3 W/(mK)

α = 21.1810-6 m2/s

Pr= 0.7096

ν = 13.93 10-6 m2/s

λ = 24.5 10-3 W/(mK)

α = 19.6010-6 m2/s

Pr= 0.7127

γεωμετρία. Αρχική υπόθεση για τις τιμές της θερμοκρασίας στα

διαδοχικά στρώματα. → Υπολογισμός αριθμού Ra.

Εσωτερική πλευρά: L=0.8 m Δθi=~5οC

Μέσα στο περίβλημα: δ=0.02 m Δθ2-3=~20οC

Εξωτερική πλευρά: L=0.8 m Δθo=~5oC

ν = 13.22 10-6 m2/s

λ = 23.9 10-3 W/(mK)

α = 18.5010-6 m2/s

Pr= 0.7148

8L 10726.2Ra

8L 10795.3Ra

4δ 10064.2Ra

δhNuδ

δθΔβgRa

ν = 15.00 10-6 m2/s

λ = 25.5 10-3 W/(mK)

α = 21.1810-6 m2/s

Pr= 0.7096

ν = 13.93 10-6 m2/s

λ = 24.5 10-3 W/(mK)

α = 19.6010-6 m2/s

Pr= 0.7127

5. Επιλογή εξισώσεων. Υπολογισμός Nul

ν = 13.22 10-6 m2/s

λ = 23.9 10-3 W/(mK)

α = 18.5010-6 m2/s

Pr= 0.7148

Εσωτερική πλευρά

8L 10726.2Ra

25.64Nu i,L

Εξωτερική πλευρά

79.69Nu o,L

Λύση:

8L 10795.3Ra

5. Επιλογή των κατάλληλων εξισώσεων- Υπολογισμός Nuδ

Λύση:

Pr = 0.7127

δhNuδ

δθΔβgRa

659.1Nuδ

Περίβλημα 4δ 10064.2Ra

6. Υπολογισμός συντελεστών συναγωγής, h, και αντιστάσεων, R

Εσωτερική πλευρά

25.64Nu i,L

Εξωτερική πλευρά

79.69Nu o,L

Περίβλημα

λ = 24.5 10-3 W/(mK) λ = 25.5 10-3 W/(mK) λ = 23.9 10-3 W/(mK)

K/W05.2hi K/W08.2ho K/W03.2h2

2m2.15.18.0A W

K407.0R i

K411.0R2 W

K401.0Ro

Λύση:

δhNuδ

δθΔβgRa

W/C228.1RRRRRR oo321i

W43.24W/C228.1

C)]10(20[

C407.0R

C411.0R

C401.0R

λγυαλ=0.78 W/(moC)

C10274.4RR

C06.10Rqθθ oi11

C95.9Rqθθ o112

C09.0Rqθθ o223

C19.0Rqθθ o334

C94.9θΔ o1i

C04.10θΔ o232

C81.9θΔ o1o

C5θΔ o0i

C20θΔ o032

C5θΔ o0o

Λύση:

Αρχικές

τιμές

επανάληψη

θ1 20 20 20 20 20

θ1 10.03 11.26 10.94 11.02 11.00

θ2 9.93 11.15 10.84 10.91 10.89

θ3 -0.10 -1.27 -0.97 -1.04 -1.02

θ4 -0.21 -1.38 -1.08 -1.15 -1.13

θ2 -10 -10 -10 -10 -10

hi 2.05 2.43 2.35 2.38 2.37

h2 2.04 1.71 1.81 1.78 1.79

ho 2.05 2.47 2.39 2.41 2.40

q 24.50 25.52 25.59 25.59 25.59

Λύση:

Γιατί τα αποτελέσματα είναι τόσο διαφορετικά από

αυτά του παραδείγματος 2.6 ;

q = 25.6 W

θ1 = 11.0 oC θ2 = 10.9 oC θ3 = -1.0 oC θ4 = -1.1 oC

hi = 2.37 W/(m2oC) ho = 2.40 W/(m2oC)

q = 69.2 W

θ1 = 14.2 oC θ2 = 13.9 oC θ3 = -8.3 oC θ4 = -8.6 oC

Με δεδομένες τις τιμές: hi = 10 W/(m2oC) ho = 40 W/(m2oC)

Κατάλογος Σχημάτων (1/3)

Σχήμα 7.1. Μεταφορά θερμότητας από μία θερμή επιφάνεια προς το περιβάλλον ρευστό με συναγωγή και

αγωγή., Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόλα, 2005.

Σχήμα 7.2. Ψύξη θερμής πλάκας με συναγωγή, μεταβολή ταχύτητας και μεταβολή θερμοκρασίας του αέρα.,

Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόλα, 2005.

Σχήμα 7.3. Μεταφορά θερμότητας διαμέσου στρώματος ρευστού πάχους δ με διαφορά θερμοκρασίας Δθ=θ2-

θ1., Παπασιώπη Νυμφοδώρα (Προσωπικό αρχείο).

Σχήμα 7.4. Η ανάπτυξη του οριακού στρώματος ταχύτητας σε μία επίπεδη πλάκα και οι διάφορες περιοχές

ροής., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις Ε.Μ.Π., 1982.

Σχήμα 7.5. Το σχετικό πάχος του οριακού στρώματος ταχύτητας και του θερμικού οριακού στρώματος στα

μέταλλα σε υγρή κατάσταση και στα έλαια., Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση,

Εκδόσεις Τζιόλα, 2005.

Σχήμα 7.6. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα 7.1., Παπασιώπη Νυμφοδώρα (Προσωπικό αρχείο).

Σχήμα 7.7. Δέσμη σωλήνων (α) σε σειρά. (β) σε τριγωνική διάταξη., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β.,

Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις Ε.Μ.Π., 1982.

Σχήμα 7.8. Διόρθωση εξίσωσης για Ν<20., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά

θερμότητας», Εκδόσεις Ε.Μ.Π., 1982.

Σχήμα 7.9. Δέσμη σωλήνων σε σειρά., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας»,

Εκδόσεις Ε.Μ.Π., 1982.

Σχήμα 7.10. Η ανάπτυξη του οριακού στρώματος ταχύτητας σε ένα σωλήνα., Cengel Y.A.: Μεταφορά

Θερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόλα, 2005.

Σχήμα 7.11. Η ανάπτυξη του θερμικού οριακού στρώματος σε ένα σωλήνα., Cengel Y.A.: Μεταφορά

Σχήμα 7.12. Διάγραμμα Moody: Συντελεστής τριβών f για πλήρως ανεπτυγμένη ροή σε αγωγούς κυκλικής

διατομής., Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόλα, 2005.

Σχήμα 7.13. Υπολογισμός του ισοζυγίου ενέργειας κατά τη μεταφορά θερμότητας σε αγωγό, θεωρώντας

στοιχειώδη όγκο πάχους dx., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις

Ε.Μ.Π., 1982.

Σχήμα 7.14. Μεταβολή της θερμοκρασίας επιφάνειας του σωλήνα και της μέσης θερμοκρασίας ρευστού κατά

μήκος του σωλήνα στην περίπτωση σταθερής ροής θερμότητας στην επιφάνεια., Cengel Y.A.: Μεταφορά

Σχήμα 7.15. Η μεταβολή της μέσης θερμοκρασίας ρευστού κατά μήκος του σωλήνα στην περίπτωση

σταθερής ροής θερμότητας στην επιφάνεια., Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση,

Εκδόσεις Τζιόλα, 2005.

Σχήμα 7.16. Σχηματική απεικόνιση Παραδείγματος., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά

θερμότητας», Εκδόσεις Ε.Μ.Π., 1982.

Σχήμα 7.17. Μεταβολή του τοπικού αριθμού Nusselt στην περιοχή εισόδου για (α) Ανεπτυγμένα υδραυλικά

χαρακτηριστικά, (β) Παράλληλη ανάπτυξη οριακών στρωμάτων. Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις

«Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις Ε.Μ.Π., 1982.

Σχήμα 7.18. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα 7.4., Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια

Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόλα, 2005.

Σχήμα 7.19. Ο αριθμός Grashop Gr αποτελεί μέτρο των σχετικών μεγεθών της άνωσης και της αντίθετης

τριβής που ενεργεί στο ρευστό., Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις

Τζιόλα, 2005.

Σχήμα 7.20. Η τυπική κατανομή ταχύτητας και θερμοκρασίας για ροή με φυσική συναγωγή σε μία θερμή

κάθετη πλάκα σε θερμοκρασία Τs η όποια τοποθετήθηκε μέσα σε ρευστό με θερμοκρασία Τ., Cengel Y.A.:

Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόλα, 2005.

Σχήμα 7.22. (α) Επίπεδη κατακόρυφη πλάκα (β) Η ανάπτυξη του θερμικού οριακού στρώματος σε ένα

σωλήνα., Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόλα, 2005.

Σχήμα 7.23. (α) Η ροή του ρευστού έχει την ίδια ή εγκάρσια κατεύθυνση με τη φυσική κυκλοφορία (β) η ροή

έχει αντίθετη κατεύθυνση προς τη φυσική κυκλοφορία., Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική

Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόλα, 2005.

Κατάλογος Πινάκων

Πίνακας 7.1. Τυπικές τιμές των αριθμών Prandtl στα συνηθισμένα ρευστά., Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας

Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόλα, 2005.

Πίνακας 7.2. Εξωτερική ροή - Σύνοψη εξισώσεων υπολογισμού συντελεστή συναγωγής για στρωτή ροή,

Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., «Σημειώσεις Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις Ε.Μ.Π., 1982.

Πίνακας 7.3. Εξωτερική ροή - Σύνοψη εξισώσεων υπολογισμού συντελεστή συναγωγής για τυρβώδη ροή,

Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις Ε.Μ.Π., 1982.

Πίνακας 7.4. Εμπειρικές σχέσεις για τον υπολογισμό του μεσαίου αριθμού Nusselt για την εξαναγκασμένη

συναγωγή σε κυκλικούς και μη κυκλικούς κυλίνδρους κατά την εγκάρσια ροή, Cengel Y.A.: Μεταφορά

Πίνακας 7.5. Σταθερές της εξίσωσης NuD, Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας»,

Εκδόσεις ΕΜΠ, 1982.

Πίνακας 7.6. Συντελεστής συναγωγής σε στρωτή ροή, Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά

θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 1982.

Πίνακας 7.7. Ο αριθμός Nusselt και ο παράγοντας τριβής για πλήρως ανεπτυγμένη στρωτή ροή σε σωλήνες

διάφορων διατομών, Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 1982.

Πίνακας 7.8. Συντελεστής συναγωγής σε τυρβώδη ροή, Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά

Πίνακας 7.9. Συντελεστής συναγωγής σε τυρβώδη ροή – Υγρά μέταλλα, Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις

«Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 1982.

Πίνακας 7.10. Φυσική κυκλοφορία. Σύνοψη εξισώσεων, Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά

Χρηματοδότηση

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια

του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει

χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του

εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού

Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και

συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση

(Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ...

Documents

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ – ΓΕΝΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ2 16. Μέθοδοι υπολογισμού της εκτιμώμενης αξίας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ – ΕΞΑΙΡΕΣΕΙΣ

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΙΙ

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ Ενόηα 9€¦ · Μέση ταχύτητα ροής A B u u A u A, ιαχ. = 0 u A = u Μέση ταχύτητα ροής Φαινόμνα

Κατηγοριοποίηση ΙΙ I

ΔΙΚΤΥΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΙ

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ - math.uoc.grtertikas/Calculus2_3_7_2018.pdf · ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ (Τελική βαθμολογία, έχουν

Κυκλώματα ΙΙ

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΦΟΡΤΙΟΥ ΕΞΙΣΩΣΗ BUTLER-VOLMERœΑΘΗΜΑΤΑ/ΠΠΣ/ΗΛΕΚΤΡΟΔΙΑΚΕΣ... · ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ

ΟΤΑΝ ΚΛΑΙΜΕ ΙΙ

BAB ΙΙ-rosmiyati

ΤΟ ΜΗΧΑΝΑΚΙ ΩΣ ΜΕΣΟ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΜΑΘΗΤΩΝ

ιι. ΙΣΤΟΡΙΚΟΙ ΧΡΟΝΟΙ

Στοιχεία Μηχανών – ΙΙ Εργαστηριακή Άσκηση ... · 2019. 5. 21. · Στοιχεία Μηχανών – ΙΙ Εργαστηριακή Άσκηση

Σύνδεσης Χρηστών στο Ελληνικό Σύστημα ......ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΤΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ - NTUA · Ο μηχανισμός μεταφοράς ορμής, θερμότητας και μάζας με συναγωγή είναι

Виллы Лофос ΙΙ

Tomος ΙΙ Δημοτικο

Ηλεκτρονική ΙΙ - 1

Ασφάλεια κατά την μεταφορα

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ Ενόηα 1 Μαφορά … › modules › document › file.php › METAL...Εξαναγκαμένη και φυική υναγωγή