ПРАКТИКУМ ПО УРАВНЕНИЯМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ...

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ» _____________________________________________________________________________________________

Кафедра прикладной математики и информатики

О.Е. КУРИЛОВА, Е.А. ПРОСВИРКИНА

ПРАКТИКУМ ПО УРАВНЕНИЯМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Часть I

Самара Самарский государственный технический университет

Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ

УДК 517.1 (075.8)

Курилова О.Е., Просвиркина Е.А. Практикум по уравнениям математической физики: Часть I / О.Е.

Курилова, Е. А. Просвиркина. Самара; Самар. гос. техн. ун-т, 2010. – 47 с.

Приведены краткие сведения и формулы по разделу «Уравнения математической физики».Практикум содержит задачи для самостоятельного решения (часть А и часть Б). Примеры части А предназначены для решения в аудитории, части Б – для самостоятельного внеаудиторного решения. С целью осуществления самоконтроля все задания приведены с ответами.

Предназначено для студентов третьего курса инженерно–экономического факультета, специальности «Прикладная математика».

Библиограф.: 10 назв.

Р е ц е н з е н т ы : к. ф. - м. наук Л.Н. С м и р н о в а

Введение

Основы классической математической физики были заложены на заре ста-

новления физики и математики, во времена Исаака Ньютона и Готфрида Виль-

гельма фон Лейбница. С развитием математического аппарата (появление диффе-

ренциального и интегрального исчисления) стало возможно численное исследо-

вание таких физических объектов, как колебания струн, маятников, стержней,

решение задач, связанных с акустикой, гидродинамикой, теплопроводностью,

волновыми процессами.

Дальнейший сплав наук: математики и физики, позволил моделировать

сложные процессы, вплоть до взрыва атомной бомбы или работы атомного реак-

тора в реальном масштабе времени. Подобные задачи можно отнести к современ-

ной математической физике, где физическая модель формулируется в виде систе-

мы аксиом, в отличии от классической математической физики, где модели сво-

дятся к краевым задачам для дифференциальных уравнений.

Исследуемые в I части практикума модели почти всегда будут сводятся к

краевым задачам для дифференциальных уравнений. Практикум позволит освоить

решение основных задач классической математической физики, отработать навык

применения математического аппарата к исследованию колебаний струн, волно-

вых процессов, термодинамических задач.

Частные производные сложных функций.

Замена переменных в дифференциальных выражениях

Часть А

1. Найти частные производные второго порядка сложной функции:

( )2 2lnz u v= + , где u xy= , xvy

2. Убедиться, что функция ( )2 2z x yϕ= + , где ϕ – произвольная дифферен-

цируемая функция, удовлетворяет уравнению: 0z zy xx y

∂ ∂⋅ − ⋅ =

∂ ∂.

3. Проверить тождественность равенства: 21 1z z zx x y y y

∂ ∂⋅ + ⋅ =∂ ∂

, если

( )2 2yz

f x y=

−, где f – произвольная дифференцируемая функция.

4. Проверить тождественность равенства: 2 2 0z zx x y yx y

∂ ∂⋅ − ⋅ + =

∂ ∂, если

3yz x yx

ϕ= + ⋅ , где ϕ – произвольная дифференцируемая функция.

5. Преобразовать выражение ( ) ( ) ( )2x y x yz zu z e z e z ex y

+∂ ∂= + ⋅ + + ⋅ − −

∂ ∂, где

( );z z x y= , приняв за новые независимые переменные xy z eξ −= + ⋅ ,

yx z eη −= + ⋅ .

6. Решить уравнение z zx y

∂ ∂=

∂ ∂, введя новые независимые переменные

x yξ = + , x yη = − .

Часть Б

7. Преобразовать к полярным координатам r и ϕ , где cossin

x ry r

, функцию:

1) z zu x yy x

∂ ∂= ⋅ − ⋅

∂ ∂, 2) z zu x y

x y∂ ∂

= ⋅ + ⋅∂ ∂

, 3) 2 2

2 2z zu

x y∂ ∂

= +∂ ∂

8. Показать, что функция ( )2 2z y f x y= ⋅ − , где f – произвольная диффе-

ренцируемая функция, удовлетворяет дифференциальному уравнению:

2 z zy x y x zx y

∂ ∂⋅ + ⋅ =

∂ ∂.

9. Вводя новые независимые переменные xξ = , 2 2x yη = + , решить уравне-

ние 0z zy xx y

∂ ∂⋅ − ⋅ =

∂ ∂.

10. Вводя новые независимые переменные xξ = , y xη = − , z xς = − , решить

уравнение 0u u ux y z

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂.

11. Найти первые частные производные сложной функции ( );z f u v= , где

sin xuy

= , xvy

12. Проверить, является ли функция ( ) ( )( )2 2x yu e x yϕ ψ+= ⋅ + решением

дифференциального уравнения: 2

0u u uy x x y ux y x y∂ ∂ ∂

+ ⋅ − ⋅ + ⋅ =∂ ∂ ∂ ∂

Замена переменных в дифференциальных уравнениях.

Решение простейших дифференциальных уравнений

Часть А

13. Проверить тождественность равенства: 2 2

22 2u ua

t x∂ ∂

= ⋅∂ ∂

, если

( ) ( )u x at x atϕ ϕ= − + + , где ϕ – произвольная дифференцируемая функция.

14. Проверить тождественность равенства: 2 2 2

2 22 0u u ux yx y

∂ ∂ ∂− + =

∂ ∂∂ ∂, если

( ) ( )u x x y y x yϕ ψ= ⋅ + + ⋅ + , где ϕ и ψ – произвольные дифференцируемые

функции.

15. Решить уравнение 2

0zx y∂

=∂ ∂

, если ( );z z x y= .

16. Найти решение ( );z x y уравнения 2z x y

x y∂

= +∂ ∂

, удовлетворяющее усло-

виям: ( ) ( ) 20 0; , ;y xz x y x z x y y

= == = .

17. Преобразовать к полярным координатам r и ϕ , где cossin

x ry r

, функцию

2 2 22 2

2 22u u uw x x y yx yx y

∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ + ⋅

∂ ∂∂ ∂.

18. Преобразовать уравнение 2 2

2 22 2 0z zx y

x y∂ ∂

⋅ − ⋅ =∂ ∂

, если u x y= , yvx

19. Найти функцию ( );z z x y= , удовлетворяющую дифференциальному

уравнению: 1) 1zx

∂; 2)

2 6z yy

20. Найти общее решение дифференциального уравнения:

1zx y∂

=∂ ∂

; 2) 4

2 2 0zx y∂

=∂ ∂

Часть Б

21. Проверить тождество: 2 2 2

2 22 22 0u u ux x y y

x yx y∂ ∂ ∂

⋅ + ⋅ + ⋅ =∂ ∂∂ ∂

, если

y yu xx x

ϕ ψ = + ⋅

22. Решить уравнение: 1) 2

22z x y

; 2)2z x

x y∂

=∂ ∂

23. Решить уравнение 2 2z x yy

∂= +

∂, при заданном условии ( ) 2; 1y xz x y

2 2 0z zx y

∂ ∂+ =

∂ ∂, если 2 2

, 2 2yv

x y= −

x y x y y∂ ∂

− ⋅ =∂ ∂ ∂

, если u x y= , yvx

2u x y

= +∂

; 2) 2

2 2u x y x yx y

∂= + −

∂ ∂.

27. Найти решение дифференциального уравнения 2u x y x y

x y∂

= + −∂ ∂

, удов-

летворяющее условию: ( ) 20; xu x y y

Дифференциальные уравнения первого порядка, линейные

относительно частных производных

Рассмотрим дифференциальное уравнение

z zx y

∂ ∂Χ ⋅ + ϒ ⋅ = Ζ

∂ ∂, (1)

где , ,Χ ϒ Ζ – функции x, y, z. Предварительно решим систему обыкновенных

дифференциальных уравнений dx dy dz= =

Χ ϒ Ζ. Пусть решение этой системы

определяется равенствами:

( )1 1; ;x y z Cω = , ( )2 2; ;x y z Cω = .

Тогда общий интеграл дифференциального уравнения (1) имеет вид

( ) ( )( )1 2; ; ; ; ; 0x y z x y zω ωΦ = ,

где ( )1 2;ω ωΦ – произвольная непрерывно дифференцируемая функция, или

( ) ( )( )1 2; ; ; ;x y z x y zω ϕ ω= .

Часть А

28. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

1) z zx y zx y

∂ ∂⋅ + ⋅ =

∂ ∂, 2) sin sin sinz zx y z

x y∂ ∂

⋅ + ⋅ =∂ ∂

; 3) z zy z x z x yx y

∂ ∂⋅ + ⋅ =

∂ ∂.

29. Найти уравнение векторной поверхности, удовлетворяющее дифферен-

циальному уравнению: ( )2 2 2 0z zx y x yx y

∂ ∂+ ⋅ + ⋅ =

∂ ∂.

30. Проверить, удовлетворяет ли функция 2 2yz

дифференциаль-

ному уравнению: ( )2 2 2 0z zx y x yx y

∂ ∂+ ⋅ + ⋅ =

∂ ∂.

Часть Б

циальному уравнению:

1) 2 z zy x y x zx y

∂ ∂⋅ + ⋅ =

∂ ∂; 2) 2 4z zx y z

x y∂ ∂

⋅ + ⋅ =∂ ∂

3) 2 2 0z zx x y yx y

∂ ∂⋅ − ⋅ + =

∂ ∂; 4) z zx y x

x y∂ ∂

⋅ − ⋅ =∂ ∂

циальному уравнению: ( )2 4 z zy y zx y

∂ ∂− ⋅ + ⋅ =

∂ ∂, проходящей через кривую, задан-

ную в параметрическом виде:

21 ,22 ,1.

33. Найти поверхность, удовлетворяющую дифференциальному уравнению

2z zy z x z x yx y

∂ ∂⋅ + ⋅ = −

∂ ∂, проходящую через окружность 2 2 16x y+ = в плоскости

3z = .

34. Найти поверхность, удовлетворяющую дифференциальному уравнению

1 1 4z zx x y y

∂ ∂⋅ + ⋅ =

∂ ∂, проходящую через параболу 2y z= в плоскости 0x = .

Приведение линейных дифференциальных уравнений

второго порядка с постоянными коэффициентами

к каноническому виду

Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение второго порядка:

11 12 222 22 ; ; ; ; 0z z z z za a a F x y zx y x yx y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⋅ + ⋅ + ⋅ + = ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

где 11 12 22, ,a a a – функции x и y.

Говорят, что уравнение (2) в области D принадлежит гиперболическому ти-

пу, если в этой области ∆ = 212 11 22 0a a a− ⋅ > . Если ∆ = 2

12 11 22 0a a a− ⋅ = , то урав-

нение принадлежит параболическому типу, а если ∆ = 212 11 22 0a a a− ⋅ < , – эллип-

тическому типу.

Уравнения:

2; ; ; ;z z zF x y z

x y x y ∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ ∂ ∂ – каноническое уравнение гиперболического типа;

2 ; ; ; ;z z zF x y zx yy

∂ ∂ ∂= ∂ ∂∂

– каноническое уравнение параболического типа;

2 2 ; ; ; ;z z z zF x y zx yx y

∂ ∂ ∂ ∂+ = ∂ ∂∂ ∂

– каноническое уравнение эллиптического типа.

Часть А

35. Установить тип дифференциального уравнения, привести его к канони-

ческому виду и найти его общее решение: 2 2

2 2 0u ux yx

∂ ∂+ =

∂ ∂∂.

36. Установить тип дифференциального уравнения и привести его к канони-

ческому виду: 2 2 2

2 22 2 0u u ux yx y

∂ ∂ ∂− + =

∂ ∂∂ ∂.

37. Привести дифференциальное уравнение к каноническому виду и найти

его общее решение:

1) 2 2 2

2 24 4 3 6 0u u u u ux y x yx y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂; 2)

2 24 3 2 6 0u u u u ux y x yx y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + − + =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂.

Часть Б

38. Привести дифференциальное уравнение к каноническому виду и найти

его общее решение:

1) 2 2 2

2 22 0u u ux yx y

∂ ∂ ∂− + =

∂ ∂∂ ∂; 2)

2 22 9 9 10 0u u u u u ux y x yx y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + − + − =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂.

39. Привести дифференциальное уравнение к каноническому виду:

1) 2 2 2

2 24 5 2 0u u u u ux y x yx y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂, 2)

2 22 5 32 0u u u ux yx y

∂ ∂ ∂+ + − =

∂ ∂∂ ∂.

Приведение линейных дифференциальных уравнений

второго порядка с переменными коэффициентами

к каноническому виду

Часть А

ческому виду:

1) 2 2

2 22 2 0u ux y

x y∂ ∂

⋅ − ⋅ =∂ ∂

; 2) ( ) ( )2 222 2

2 21 2 1 0u u ux x xxx y

∂ ∂ ∂+ ⋅ + + ⋅ + ⋅ =

∂∂ ∂;

3) 2 2 2

2 22 22 0u u uy x y x

x yx y∂ ∂ ∂

⋅ + ⋅ + ⋅ =∂ ∂∂ ∂

; 4) 2 2 2 2

2 22 2 0u u y u x uy x

x x y yx y∂ ∂ ∂ ∂

⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ =∂ ∂∂ ∂

Часть Б

ческому виду:

1) 2 2 2

2 22 22 2 0

yxu u u ux x y y y y e

x y xx y∂ ∂ ∂ ∂

⋅ + ⋅ + − ⋅ + ⋅ =∂ ∂ ∂∂ ∂

2) 2 2

2 22 0u u ux yxx y

∂ ∂ ∂⋅ + ⋅ + =

∂∂ ∂; 3) ( ) ( )

2 222 22 21 2 1 0u u uy y y

yx y∂ ∂ ∂

− + ⋅ − + ⋅ =∂∂ ∂

4) 2 2

2 2 2 21 1 0u ux x y y

∂ ∂⋅ + ⋅ =∂ ∂

; 5) 2 2

2 21 02

u u u ux yx yx y

∂ ∂ ∂ ∂⋅ − ⋅ + − = ∂ ∂∂ ∂

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка

Часть А

42. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого поряд-

1) ( ) ( )

u ux y

u x xϕ

∂ ∂ − = ∂ ∂ =

2) ( )

; cos ;

u u t xx t

u x x x

∂ ∂ − = ∂ ∂ =

3) ( )

( ) ( )

2 sin ,

u u x yx y

u x xϕ

∂ ∂ + = + ∂ ∂ =

4) ( ) ( )

x yu u u ex y

u x xϕ

+∂ ∂ − − = ∂ ∂ =

Часть Б

43. Решить задачу для дифференциального уравнения первого порядка:

1) ( )

4 33 4 0,

; 0 cos ;

x yu u e ux y

+∂ ∂ − + ⋅ = ∂ ∂ =

2) ( ) ( )

u ux t

u x x xϕ

∂ ∂ + = ∂ ∂ − =

3) ( ) ( )

x tu u ex t

u x xϕ

+∂ ∂ + = ∂ ∂ =

4) ( ) ( )

2 4 0,

u u ux y

u x xϕ

∂ ∂ + + = ∂ ∂ =

Волновое уравнение. Задача Коши для уравнения второго

порядка гиперболического типа.

Задача Коши для уравнения

( )2 2 2

11 12 22 1 22 22 ;u u u u ua a a b b c u f x yx y x yx y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⋅ + ⋅ + ⋅ + + + ⋅ =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ (3)

где 11a , 12a , 22a , 1b , 2b , с – функции х и y,

с условиями:

( );u x yϕΓ = , ( );u x yl

∂ (4)

состоит в следующем. Пусть в области D задано уравнение (3) гиперболического

типа ( )122

11 22 0a a a∆ = − ⋅ > и на кривой Γ , которая принадлежит области D или

является частью границы области D, заданы функции ( );x yϕ , ( );x yψ и направ-

ление ( );l x y . Требуется найти функцию ( );u x y , которая в области D является

решением уравнения (3) и на кривой Г удовлетворяет условиям (4).

Если в каждой точке кривой Г направление l не является касательным к

кривой Г, и касательное направление к кривой Г не является характеристическим,

то в области D, ограниченной характеристиками, проходящими через концы кри-

вой Г, при достаточной гладкости коэффициентов уравнения (3) и данных усло-

вий (4) существует решение задачи Коши (3), (4).

Часть А

1) 2 2

22 2 0u ua

t x∂ ∂

− ⋅ =∂ ∂

; 2) 2 2 2

2 22 6 4 0u u u u ux y x yx y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂;

3) 2 0u uu x u x yy x x

∂ ∂ ∂ + + ⋅ + + = ∂ ∂ ∂ ;

Замечание: выполнить замену x yu u e vx

−∂+ = ⋅

∂, где ( );v v x y= ;

4) 2 2 2

2 22 5 3 0u u ux yx y

∂ ∂ ∂− + =

∂ ∂∂ ∂.

45. Решить задачу для уравнения гиперболического типа при заданных ус-

ловиях:

1) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 22 2

24 2 1 2 0,1

;; , ;y

u u u y u uy yx y x yx y y

u x yu x y x x

yϕ ψ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⋅ + − ⋅ − − ⋅ − = ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ +

∂ = = ∂

2) ( ) ( )

; 1; sin , ;1

u u ue x ex y yy

u x yu x y x

∂ ∂ ∂⋅ − + = ⋅∂ ∂ ∂∂

∂ = = ∂ +

( ) ( )

2 2 22

2sin 3 cos 2 sin cos 0,

;; 0, cos .

y xy x

u u u u ux x x xx y x yx y

u x yu x y e x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− ⋅ − + ⋅ + + − − ⋅ =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

∂ = = ⋅ ∂

Часть Б

46. Решить задачу для гиперболического уравнения при заданных условиях:

1) ( ) ( ) ( ) ( )

2 4 0,

;; , ;

u u ex yx

u x yu x y y y

xϕ ψ

∂ ∂− + =

∂ ∂∂

∂ = = ∂

2) ( )

2 2 22

2cos sin sin 0,

; cos ,

;sin ;

u u u ux x xx y yx y

u x y x x

u x yx

∂ ∂ ∂ ∂ + ⋅ − ⋅ − ⋅ =

∂ ∂ ∂∂ ∂ = +∂

3) ( ) ( )

3 5 2 0,

;; , sin .

1y xy x

u u ux yx y

u x yxu x y xyx=

∂ ∂ ∂− + =

∂ ∂∂ ∂

∂ = = ∂+

1) 2 2 2

2 253 10 3 2 4 0

16u u u u u u

x y x yx y∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− + − + + =∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

2) 22 0u uu x y uy x x

∂ ∂ ∂ + + ⋅ + = ∂ ∂ ∂ .

48. Решить задачу для уравнения гиперболического типа при заданных ус-

ловиях:

1) ( )

5 3 4 0,

u u u u ux yx y

u x y x e

u x ye

− −

∂ ∂ ∂ ∂− + + + =

∂ ∂∂ ∂ = ⋅∂ =

2 2 22

2sin cos sin cos 1 0,

; 1 2sin ,

;sin .

u u u u ux x x xx y x yx y

u x y x

u x yx

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⋅ − ⋅ + + + + ⋅ =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = +∂

Метод Даламбера для однородного одномерного

волнового уравнения на прямой

Классической задачей Коши для волнового уравнения называется задача о

нахождении функции ( );u x y класса ( ) ( )2 10 0C t C t> ∩ ≥ , удовлетворяющей при

0t > уравнению

( )2 2

22 2 ;u ua f x t

t x∂ ∂

= ⋅ +∂ ∂

и начальным условиям

( ) ( )0; tu x t xϕ

== , ( )

∂, (6)

где ,f ϕ и ψ – заданные функции.

Если выполняются условия

( )1 0f C t∈ ≥ , ( )2 1C Rϕ ∈ , ( )1 1C Rψ ∈ , (7)

то решение задачи Коши (5), (6) существует, единственно и выражается формулой

Даламбера

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1 1 1; d ; d d2 2 2

x a tx at t

x at x a tu x t x at x at f

ϕ ϕ ϕ ξ ξ ξ τ ξ τ+ −+

− − −

= − + + + + ∫ ∫ ∫ (8)

При решении задачи Коши для однородного волнового уравнения

22 2u ua

t x∂ ∂

= ⋅∂ ∂

и начальных условий

( ) ( )0; tu x t xϕ

== , ( )

∂ (10)

формула Даламбера имеет вид:

( ) ( ) ( ) ( )1 1; d2 2

x atu x t x at x at

aϕ ϕ ψ ξ ξ

= − + + + ∫ . (11)

Часть А

49. Найти решение задачи Коши методом Даламбера:

1) ( ) ( )

;; , 1;t

u uat x

u x tu x t x

∂ ∂= ⋅

∂ ∂

∂ = = ∂

2) ( ) ( )

;; , ;t

u ut x

u x tu x t x x

∂ ∂=

∂ ∂

∂ = = − ∂

3) ( ) ( )

; 1; , ;tt

u uat x

u x txu x ta t x=

∂ ∂= ⋅

∂ ∂

∂ = = ∂

4) ( ) ( )

;; , cos ;t

u uat x

u x tu x t x x

∂ ∂= ⋅

∂ ∂

∂ = = ∂

5) ( ) ( )

;cos; , cos .tt

u uat x

u x txu x t x xa t=

∂ ∂= ⋅

∂ ∂

∂ = = ⋅ ∂

50. Найти форму струны, определяемой уравнением 2 2

2 2u u

t x∂ ∂

=∂ ∂

, в момент

t π= , если ( ) ( )0

;; sin , cos .t

u x tu x t x x

∂= =

51. Найти решение дифференциального уравнения при заданных начальных

условиях:

1) ( ) ( )

2 3 0,

;; 3 , 0;t

u u ux tx t

u x tu x t x

∂ ∂ ∂+ − =

∂ ∂∂ ∂

∂ = = ∂

2) ( ) ( )

;; , sin .

u u uex t tt

u x txu x t xt=

∂ ∂ ∂⋅ − + =∂ ∂ ∂∂

∂ = − = − ∂

Часть Б

52. Методом Даламбера найти решение дифференциального уравнения 2 2

22 2u ua

t x∂ ∂

= ⋅∂ ∂

при заданных начальных условиях:

( )( )

;cos ;

u x tx

2) ( )

1; cos4 ,8

;sin5 cos ;

u x t x

u x ta x x

=∂ = ⋅

( ) ( )( ) ( )

; sin 2 ,

;2 cos 2 ;

u x t a x

u x ta a x

= −∂

= ⋅ − ∂

( )( )

; cos5 ,

u x t x

u x te

( )( )

; sin ,

;27 sin3 ,

u x t x

u x tt

= ⋅ ∂

если 9a = .

53. Найти решение дифференциального уравнения 2 2

22 2u ua

t x∂ ∂

= ⋅∂ ∂

при

= , если

( )( )

; sin ,

u x t x

u x tt

54. Найти решение задачи для дифференциального уравнения при заданных

условиях:

1) ( ) ( )

2 26 5 0,

;; sin , cos ;y x

u u ux yx y

u x tu x y x x

∂ ∂ ∂− + =

∂ ∂∂ ∂

∂ = = ∂

2) ( ) ( ) ( ) ( )

3 4 3 0,

;; , .y

u u u u ux y x yx y

u x tu x y x x

yϕ ψ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + − + =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

∂ = = ∂

Метод Даламбера для неоднородного одномерного

волнового уравнения на прямой

Часть А

55. Найти решение задачи Коши для неоднородного одномерного волнового

уравнения:

1) ( ) ( )

6, , 0,

;; , 4 , ;t

u u x tt x

u x tu x t x x x

∂ ∂= + − ∞ < < +∞ >

∂ ∂

∂ = = − ∞ < < +∞ ∂

2) ( ) ( )

4 , , 0,

;; , , ;t

u u xt x tt x

u x tu x t x x x

∂ ∂= + − ∞ < < +∞ >

∂ ∂

∂ = = − ∞ < < +∞ ∂

3) ( ) ( )

sin , , 0,

;; sin , 0, ;t

u u x x tt x

u x tu x t x x

∂ ∂= + − ∞ < < +∞ >

∂ ∂

∂ = = − ∞ < < +∞ ∂

4) ( ) ( )

, , 0,

;; sin , cos , ;

u u e x tt x

u x tu x t x x x x

∂ ∂= + − ∞ < < +∞ >

∂ ∂

∂ = = + − ∞ < < +∞ ∂

5) ( ) ( )

, , 0,

;; , , ;x

u u bx x tt x

u x tu x t e a x

∂ ∂= + − ∞ < < +∞ >

∂ ∂

∂ = = − ∞ < < +∞ ∂

6) ( ) ( )

, , 0,

;; sin , cos , ;

u u ae x tt x

u x tu x t b x c x x

∂ ∂= + − ∞ < < +∞ >

∂ ∂

∂ = ⋅ = ⋅ − ∞ < < +∞ ∂

7) ( ) ( )

sin , , 0,

;; cos , sin , .t

u u a bt x tt x

u x tu x t x x x

∂ ∂= + ⋅ − ∞ < < +∞ >

∂ ∂

∂ = = − ∞ < < +∞ ∂

56. Показать, что если ( );u x t является решением дифференциального урав-

нения 2 2

2 2u u

t x∂ ∂

=∂ ∂

, то решением этого уравнения являются и функции

1) 2 2 2 2;x tux t x t

− −

, 2) u ux tx t

∂ ∂⋅ + ⋅∂ ∂

, 3) 2 2u u

x t∂ ∂ + ∂ ∂

4) 2 2

u ux t

∂∂

∂ ∂ − ∂ ∂

, где 2 2u u

x t∂ ∂ ≠ ∂ ∂

, всюду, где они определены.

Часть Б

57. Методом Даламбера решить волновое уравнение на прямой при задан-

ных начальных условиях:

1) ( ) ( )

, , 0,

;; ; sin , ;t

u u at x x tt x

u x tu x t x x x

∂ ∂= + ⋅ − ∞ < < +∞ >

∂ ∂

∂ = = − ∞ < < +∞ ∂

2) ( ) ( )

sin , , 0,

;; sin ; cos ; ;t

u u x t x tt x

u x tu x t x x x

∂ ∂= + ⋅ − ∞ < < +∞ >

∂ ∂

∂ = = − ∞ < < +∞ ∂

3) ( ) ( )

9 sin , , 0,

;; 1; 1; ;t

u u x x tt x

u x tu x t x

∂ ∂= ⋅ + − ∞ < < +∞ >

∂ ∂

∂ = = − ∞ < < +∞ ∂

4) ( ) ( )

sin , , 0,

;; 0; 0; ;t

u ua x x tt x

u x tu x t x

∂ ∂= ⋅ + − ∞ < < +∞ >

∂ ∂

∂ = = − ∞ < < +∞ ∂

5) ( ) ( )

sin , , 0,

;; 0; 0; .t

u ua t x tt x

u x tu x t x

∂ ∂= ⋅ + − ∞ < < +∞ >

∂ ∂

∂ = = − ∞ < < +∞ ∂

58. Доказать, что если в задаче Коши

( ) ( )

; , , 0,

;; 0; 0; ,t

u ua f x t x tt x

u x tu x t x

∂ ∂= ⋅ + − ∞ < < +∞ >

∂ ∂

∂ = = − ∞ < < +∞ ∂

функция ( );f x t нечётна относительно x, то ( )0; 0u t = , а если функция ( );f x t

чётна относительно x, то – ( )0

u x tx =

Метод Даламбера для волнового уравнения на полупрямой

Для решения задачи Коши

( ) ( ) ( ) ( )

, 0 , 0,

; 0, 0;

;; , , 0 ,

u ua x tt x

u x t t

u x tu x t x x x

tϕ ψ

∂ ∂ = ⋅ < < +∞ > ∂ ∂

= ≥ ∂

= = ≤ < +∞ ∂

начальные функции ( )xϕ и ( )xψ продолжают нечётным образом на отрицатель-

ную полуось оси ОХ. Построим функции:

( )( )

( )1, если 0,

, если 0,

≥= − − <

и ( )( )

( )1, если 0,

, если 0.

≥= − − <

Тогда функция

( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1; d2 2

x atu x t x at x at

aϕ ϕ ψ ξ ξ

= ⋅ − + + + ⋅ ∫ (13)

является решением задачи (12).

Для решения задачи Коши

( ) ( ) ( ) ( )

, 0 , 0,

;0, 0;

;; , , 0 ,

u ua x tt xu x t

u x tu x t x x x

tϕ ψ

∂ ∂ = ⋅ < < +∞ > ∂ ∂

∂ = ≥ ∂

∂ = = ≤ < +∞ ∂

начальные функции ( )xϕ и ( )xψ продолжают чётным образом на отрицательную

полуось оси ОХ. Построим функции:

( )( )( )2

, если 0,

≥= − <

и ( )( )( )2

, если 0,

, если 0.

≥= − <

Тогда функция

( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1; d2 2

x atu x t x at x at

aϕ ϕ ψ ξ ξ

= ⋅ − + + + ⋅ ∫ (15)

является решением задачи (14).

Часть А

59. Найти решение задачи Коши для волнового уравнения на полупрямой:

1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, 0 , 0,

;; 0, 0; ; , , 0 ;x t

u ua x tt x

u x tu x t t u x t x x x

tϕ ψ

∂ ∂= ⋅ < < +∞ >

∂ ∂

∂ = ≥ = = ≤ < +∞ ∂

2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, 0 , 0,

; ;0, 0; ; , , 0 ;t

u ua x tt xu x t u x t

t u x t x x xx t

ϕ ψ=

∂ ∂= ⋅ < < +∞ >

∂ ∂∂ ∂ = ≥ = = ≤ < +∞ ∂ ∂

3) ( ) ( ) ( ) ( )

, 0 , 0,

;; , 0; ; 0, 0, 0 ;x t

u ua x tt x

u x tu x t t t u x t x

∂ ∂= ⋅ < < +∞ >

∂ ∂

∂ = ≥ = = ≤ < +∞ ∂

4) ( ) ( ) ( ) ( )

, 0 , 0,

; ;, 0; ; 0, 0, 0 ;t

u ua x tt xu x t u x t

v t t u x t xx t=

∂ ∂= ⋅ < < +∞ >

∂ ∂∂ ∂ = ≥ = = ≤ < +∞ ∂ ∂

5) ( )

( ) ( ) ( )

; , 0 , 0,

;; 0, 0; ; 0, 0, 0 ;x t

u ua f x t x tt x

u x tu x t t u x t x

∂ ∂= ⋅ + < < +∞ >

∂ ∂

∂ = ≥ = = ≤ < +∞ ∂

6) ( )

( ) ( ) ( )

; , 0 , 0,

; ;0, 0; ; 0, 0, 0 ;t

u ua f x t x tt xu x t u x t

t u x t xx t=

∂ ∂= ⋅ + < < +∞ >

∂ ∂∂ ∂ = ≥ = = ≤ < +∞ ∂ ∂

7) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

; , 0 , 0,

;; 0, 0; ; , , 0 ;x t

u ua f x t x tt x

u x tu x t t u x t x x x

tϕ ψ

∂ ∂= ⋅ + < < +∞ >

∂ ∂

∂ = ≥ = = ≤ < +∞ ∂

8) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

; , 0 , 0,

; ;0, 0; ; , , 0 .t

u ua f x t x tt xu x t u x t

t u x t x x xx t

ϕ ψ=

∂ ∂= ⋅ + < < +∞ >

∂ ∂∂ ∂ = ≥ = = ≤ < +∞ ∂ ∂

Часть Б

60. Найти решение задачи Коши для волнового уравнения на полупрямой:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

; , 0 , 0,

; , 0;

;; , , 0 ;

u ua f x t x tt x

u x t t t

u x tu x t x x x

∂ ∂ = ⋅ + < < +∞ > ∂ ∂

= ≥ ∂

= = ≤ < +∞ ∂

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

; 0 , 0,

;; , , 0 ;

u ua f x t x tt xu x t

v t tx

u x tu x t x x x

tϕ ψ

∂ ∂ = ⋅ + < < +∞ > ∂ ∂

∂ = ≥ ∂

∂ = = ≤ < +∞ ∂

3) ( )

( ) ( )

, 0 , 0,

, 0, 0;

;; 0, 0, 0 .

u ua x tt xu h u t t hx

u x tu x t x

∂ ∂ = ⋅ < < +∞ > ∂ ∂

∂ − ⋅ = ≥ > ∂

∂ = = ≤ < +∞ ∂

Задачи, корректно поставленные для уравнений

гиперболического типа

Задача называется корректно поставленной для дифференциального урав-

нения, если её решение существует, единственно и устойчиво. Понятие устойчи-

вости означает, что малому изменению данных задачи соответствует малое изме-

нение её решения.

Часть А

61. Показать, что задача нахождения непрерывного решения ( );u x t уравне-

ния 2 2

2 2u u

t x∂ ∂

=∂ ∂

с условиями ( ) ( );u x x xϕ= , ( ) ( );u x xx

∂, заданными на харак-

теристике 0x t− = , поставлена некорректно (т.е. она или не имеет решения, или,

когда имеет, оно не единственно).

62. Найти решение ( );u x t задачи:

( ) ( ) ( )

; , ,ABAB

u ut x

uu x t x xn

∂ ∂=

∂ ∂

∂ = = ∂

где АВ – отрезок прямой x k t= , от точки ( )0; 0A до точки 11;Bk

1 1;2 2

r . Определить значение постоянной k .

63. Определить область распространения волны, найденной в задании 62, и

доказать устойчивость решения.

64. Найти решение задачи Коши:

( ) ( ) ( ) ( )

; 0, const,4

;; , .x

u u u aa u x t axx t

u x tu x t t t

xϕ ψ

∂ ∂ ∂− + ⋅ + ⋅ = =

∂∂ ∂

∂ = = ∂

Указание: сделать замену искомой функции ( ) ( )2; ;a x

u x t e v x t−

= ⋅ , где ( );v x t – но-

вая неизвестная функция.

65. Найти решение задачи Гурса:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 ; 0, const,4

; , ; , 0, 0 0 .

u u u aa u x t axx t

u x x x u x x x xϕ ψ ϕ ψ

∂ ∂ ∂− + ⋅ + ⋅ = =

∂∂ ∂ = − = ≥ =

Указание: сделать замену искомой функции ( ) ( )2; ;a x

u x t e v x t−

= ⋅ .

Часть Б

( ) ( ) ( ) ( )

; 0, const,4

;; , .x

u u u bb u x t btx t

u x tu x t t t

xϕ ψ

∂ ∂ ∂− + ⋅ − ⋅ = =

∂∂ ∂

∂ = = ∂

Указание: сделать замену искомой функции ( ) ( )2; ;bt

u x t e v x t= ⋅ .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 ; 0, const,4

; , ; , 0, 0 0 .

u u u bb u x t btx t

∂ ∂ ∂− + ⋅ − ⋅ = =

∂∂ ∂ = − = ≥ =

Указание: сделать замену искомой функции ( ) ( )2; ;bt

u x t e v x t= ⋅ .

68. Найти решение задачи Гурса: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

; , 0 ,

u ut x

u x x x x a

u x x x x b

∂ ∂=

∂ ∂ = ≤ ≤ − = ≤ ≤ =

Найти область распространения волны.

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

; , , ,

u u u u a ba b u ux tx t

u x t t a const b const

u x tt

∂ ∂ ∂ ∂ − + + + − =

∂ ∂∂ ∂

∂ = ∂

Указание: сделать замену искомой функции ( ) ( )2; ;bt a x

u x t e v x t−

= ⋅ .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2 0,4 4

; , ; , 0, 0 0 .

u u u u a ba b u ux tx t

∂ ∂ ∂ ∂− + + + − =

∂ ∂∂ ∂ = − = ≥ =

Указание: сделать замену искомой функции ( ) ( )2; ;bt a x

u x t e v x t−

= ⋅ .

Системы дифференциальных уравнений

Часть А

71. Найти общее решение ( );u x y , ( );v x y системы дифференциальных

уравнений:

u vx yu vy x

∂ ∂ − = ∂ ∂∂ ∂ − = ∂ ∂

72. Для системы дифференциальных уравнений 0,

u vx yu vy x

∂ ∂ − = ∂ ∂∂ ∂ − = ∂ ∂

найти реше-

ние, удовлетворяющее условиям: ( ) ( )0; yu x y xϕ=

= , ( ) ( )0; yv x y xψ=

= , где ϕ и

ψ – заданные непрерывно дифференцируемые функции.

u vx yu vy x

∂ ∂ − = ∂ ∂∂ ∂ − = ∂ ∂

ние, удовлетворяющее условиям: ( ) ( );u x x xϕ= , ( ) ( );v x x xψ− = , 0x ≥ , где ϕ и

Часть Б

u vx yu vy x

∂ ∂ − = ∂ ∂∂ ∂ − = ∂ ∂

ние, удовлетворяющее условиям: ( ) ( ); 0u x xϕ= , ( ) ( );v x x xψ− = , 0x ≥ , где ϕ и

u vx yu vy x

∂ ∂ − = ∂ ∂∂ ∂ − = ∂ ∂

ние, удовлетворяющее условиям: ( ) ( ); 0u x xϕ= , ( ) ( );v x x xψ= , 0x ≥ , где ϕ и

76. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений:

0, , 0,

u va a const ax y

u vy x

∂ ∂ ⋅ + = = > ∂ ∂∂ ∂ + = ∂ ∂

77. Для системы дифференциальных уравнений:

0, , 0,

u va a const ax y

u vy x

∂ ∂ ⋅ + = = > ∂ ∂∂ ∂ + = ∂ ∂

найти решение, удовлетворяющее условиям: ( ); xu x xa

( ); xv x xa

ψ − =

, 0x ≥ , где ϕ и ψ – заданные непрерывно дифференцируемые

функции.

Ответы

1. 2zx x

( )( )

yzy y y

−∂=

∂ +,

x x∂

= −∂

0zx y∂

=∂ ∂

( )8 42

2 22 4

y yzy y y

− −∂= −

∂ +.

2. Функция удовлетворяет уравнению.

3. Равенство верное.

e zu z ze eξ η

− −

∂ ∂− −∂ ∂

6. 0zη

∂, ( )z x yϕ= + , где ϕ – произвольная дифференцируемая функция.

7. 1) zuϕ

∂, 2) zu r

, 3) 2

2 21 1z zu rr r r r ϕ

∂ ∂ ∂ = ⋅ ⋅ + ⋅ ∂ ∂ ∂.

8. Функция удовлетворяет уравнению.

9. 0zξ

∂, ( )2 2z x yϕ= + , где ϕ – произвольная дифференцируемая функция.

10. 0uξ

∂, где ( );u y x z xϕ= − − .

11. 1 1cos2

z x f y fx y y u x v

∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ ∂ ∂ ∂

, 21cos2

z x x f y fy y u x vy

∂ ∂ ∂= − ⋅ + ⋅ ∂ ∂ ∂

12. Функция u не является решением дифференциального уравнения.

15. ( ) ( )z x yϕ ψ= + , где ϕ и ψ – произвольные дифференцируемые функции.

16. ( ) ( ) 21;2

z x y xy x y x y= + + + .

2 2 32 4 sin cosu uw r r

rϕ ϕ

ϕ∂ ∂

= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅∂∂

18. 2 1 0

u v u v∂ ∂

− ⋅ =∂ ∂ ∂

19. 1) ( )z x yϕ= + , 2) ( ) ( )3z y y x xϕ ψ= + ⋅ + .

20. 1) ( ) ( )z x y x yϕ ψ= ⋅ + + ; 2) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4z x y y y x xϕ ϕ ϕ ϕ= ⋅ + + ⋅ + .

21. Тождество верное.

22. 1) ( ) ( )2 316

z x y y x xϕ ψ= + ⋅ + ; 2) ( ) ( )212

z x y x yϕ ψ= + + .

23. 4 2 22 1z x x y y= − + + + .

24. 2 2

2 2 0z zu v

∂ ∂+ =

∂ ∂.

25. 2 2 2

2 21 1 1 02 2

z z v z z v zu vv u u v u u u u vu v

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ⋅ − ⋅ − + ⋅ + − ⋅ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂.

26. 1) ( ) ( )3 21 16 2

u x x y x y yϕ ψ= + + ⋅ + ;

2) ( ) ( )3 3 2 21 1 13 3 4

u x y x y x y x yϕ ψ= + − + + .

27. ( )2 2 2 2 21 1 12 2 4

u x y x y x y x yϕ= + − + + .

28. 1) yz xx

ϕ = ⋅

, 2) tgz 2tg tg

2 2 tg2

; 3) ( )2 2 2 2z x y xϕ= + − .

29. 2 2 ; 0y zx y

Φ = −

; 2 2yz

30. Функция z удовлетворяет дифференциальному уравнению.

31. 1) 2 2; 0zx yy

Φ + =

; ( )2 2z y x yϕ= ⋅ + ;

2; 0x zy y

22 xz y

; 03yx y zx

Φ ⋅ − =

3yz x yx

ϕ= + ⋅ ;

4) ( ); 0x y z xΦ ⋅ − = ; ( )z x x yϕ= + ⋅ .

32. 21 4ln ; 02

zx y yy

Φ − + =

23 14ln 08 2

y z x yz

⋅ + + − ⋅ = .

33. 2 2 2 25x y z+ + = .

34. 2 2z x y= + .

35. гиперболический тип: 2 ,y x yξ η= − = ; 2

0uξ η∂

=∂ ∂

( ) ( ) ( )1 2; 2u x y f y x f y= − + .

36. эллиптический тип: ,x y xξ η= + = ; 2 2

2 2 0u uξ η

∂ ∂+ =

∂ ∂.

37. 1) параболический тип: 2 ,y x xξ η= − = , 2

u uηη

∂ ∂+ ⋅ =

∂∂;

( ) ( ) ( )32 1 2; 2 2

xu x y e f y x f y x

−= ⋅ − + − ;

2) гиперболический тип: , 3x y x yξ η= + = + , 2

0u uξ η ξ∂ ∂

− =∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( )31 2; 3x yu x y e f x y f x y+= ⋅ + + + .

38. 1) параболический тип: ,x y xξ η= + = ; 2

2 0uη

( ) ( ) ( )1 2;u x y x f x y f x y= ⋅ + + + ;

2) параболический тип: ,x y yξ η= + = − ; 2

2 9 10 0u u uηη

∂ ∂− − =

∂∂;

( ) ( ) ( )101 2; y yu x y e f x y e f x y−= ⋅ + + ⋅ + .

39. 1) эллиптический тип: 2 ,x y xξ η= − = ; 2 2

2 2 0u u uηξ η

∂ ∂ ∂+ + =

∂∂ ∂;

2) эллиптический тип: , 2x y xξ η= − = ; 2 2

2 2 8 0u u uξ η

∂ ∂+ − =

∂ ∂.

40. 1) гиперболический тип: ,y x yx

ξ η= = ; 2 1 0

ξ η η ξ∂ ∂

− ⋅ =∂ ∂ ∂

( ) ( )1 2; yu x y x y f f x yx

= ⋅ + ⋅ ⋅

2) эллиптический тип: arctg ,x yξ η= = ; 2 2

2 2 0u uξ η

∂ ∂+ =

∂ ∂;

3) параболический тип: 2 2 2,y x xξ η= − = ; ( )

2 2u u uξ

η ξ η ξ η ηη∂ ∂ ∂

− ⋅ + ⋅ =+ ∂ ∂∂

4) эллиптический тип: 2 2,y xξ η= = ; 2 2

2 2 0u uξ η

∂ ∂+ =

∂ ∂.

41. 1) параболический тип: ,y yx

ξ η= = ; 2 2

2 22 1 0u u eξξ

ξ ηη η∂ ∂

+ ⋅ + ⋅ =∂∂

2) а) эллиптический тип:

2 , 2y xξ η= = , если 0, 0x y> > ;

2 , 2y xξ η= − = − , если 0, 0x y< < ; 2 2

2 21 1 0u u u uξ ξ η ηξ η

∂ ∂ ∂ ∂+ − ⋅ + ⋅ =

∂ ∂∂ ∂;

б) гиперболический тип:

2 2 , 2 2x y x yξ η= − − = + − , если 0, 0x y> < ;

2 2 , 2 2x y x yξ η= − − = − + , если 0, 0x y< > ; ;

2 21 0u u u

η ξξ η η ξη ξ

∂ ∂ ∂+ ⋅ ⋅ − ⋅ = ∂ ∂ ∂ ∂−

3) гиперболический тип: arctg , arctgx y x yξ η= + = − ; 2

0uξ η∂

=∂ ∂

( ) ( ) ( )1 2; arctg arctgu x y f x y f x y= + + − ;

4) эллиптический тип: 2 2,y xξ η= = ; 2 2

2 21 1 0

2 2u u u u

ξ ξ η ηξ η∂ ∂ ∂ ∂

+ + ⋅ + ⋅ =∂ ∂∂ ∂

5) а) гиперболический тип:

,x y x yξ η= + = − , если 0, 0x y> > ; 2

0uξ η∂

=∂ ∂

( ) ( ) ( )1 2;u x y f x y f x y= + + −

,x y x yξ η= − + − = − − − , если 0, 0x y< < ; 2

0uξ η∂

=∂ ∂

( ) ( ) ( )1 2;u x y f x y f x y= − + − + − − − ;

б) эллиптический тип:

,x yξ η= = − , если 0, 0x y> < ,

,x yξ η= − = , если 0, 0x y< > , 2 2

2 2 0u uξ η

∂ ∂+ =

∂ ∂.

42. 1) ( ) ( );u x y x yϕ= + ;

2) ( ); cos sin cos cos sin2 2 2 2

x t x t x t x tu x t t x x + + + += − − + + + ;

3) ( ) ( )1 1 2 2; cos cos3 3 2 2

x y x yu x y x y ϕ− − = − + + +

4) ( ) ( ) ( )22 31 1; 23 3

x yx y yu x y e e x y eϕ− +− = ⋅ ⋅ + − +

43. 1) ( )4 3

4 4 3; cos4

x yy e x yu x y e+⋅ +

= ⋅ ;

2) ( );2

x tu x t ϕ− =

3) ( ) ( ); shxu x t e t x tϕ= ⋅ + − ;

4) ( ) 2 2;2

y x yu x y e ϕ− − = ⋅

44. 1) ,x at x atξ η= + = − ; ( ) ( ) ( )1 2;u x t f x at f x at= + + − ;

2) 2 ,y x y xξ η= − = − ; 2 1 0

ξ η ξ∂ ∂

− ⋅ =∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( )2 1 2; 2x y

u x y e f y x f y x−

= ⋅ − + − ;

3) 2 x yv x y ey

∂= − ⋅

∂; ( )11 x yu u xy e f x

x−∂

+ = − + ⋅∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 2

0; 1 1 d

xt yx x xu x y y e x y e e f t t e f y⋅ −− − −= + ⋅ − − + ⋅ ⋅ + ⋅∫ .

4) , 3 2x y x yξ η= + = + ; 2

0uξ η∂

=∂ ∂

; ( ) ( ) ( )1 2; 3 2u x y f x y f x y= + + + ,

где 21 2, Cf f ∈ .

45. 1) 32 , 2

3yx x yξ η= − = + ;

ξ η∂

=∂ ∂

( ) ( )3

1 22; 2

3yu x y f x f x y

= − + +

; ( ) ( )

2 1; d3 2

yu x y x t tϕ ψ+

= − + ⋅

2) ( ) ( ) ( ) ( )332 1

; 1 sin arctg 1 arctg2 6

x x exu x y e x x e x− + −

= ⋅ − + + + + − − ;

3) 2 cosx y xξ = − + , 2 cosx y xη = + − ; 2 1 0

ξ η η∂ ∂

+ ⋅ =∂ ∂ ∂

( ) ( )( )

( )1 2 cos41 2; 2 cos 2 cos

x y xu x y f x y x e f x y x

− − += − + + ⋅ + − ,

( )2 cos

4 cos; 2 cos sin2

x y xy xu x y e x

− +− − = ⋅ ⋅

46. 1) yξ = , 2x yη = + ; 2u eξ

ξ η∂

=∂ ∂

; ( ) ( ) ( ) ( )1 2; 2 2yu x y x y e f x y f y= + ⋅ + + + ;

( ) ( ) ( ) ( )2

2 1; 2 1 d2

x yx y

yu x y x e e y t tϕ ψ

= + + ⋅ + + ⋅ ∫ ;

2) siny x xξ = − − , siny x xη = + − ; 2

0uξ η∂

=∂ ∂

( ) ( ) ( )1 2; sin sinu x y f y x x f y x x= − − + + − ; ( ) ( ); cos sinu x y x x y x= + − + ;

3) x yξ = + , 2 3x yη = + ; 2

0uξ η∂

=∂ ∂

; ( ) ( ) ( )1 2; 2 3u x y f x y f x y= + + + ;

( ) ( )( )

( )( )2 2

12 25 2 3 2 3; 10cos 10cos2 54 25 2 3

x y x yx y x yu x yx y x y

+ ++ += + − −

+ + + +.

47. 1) 3x yξ = + , 3x yη = + , 2 5 1 5 0

32 32 1024u u u u

ξ η ξ η∂ ∂ ∂

− ⋅ + ⋅ − =∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( )( )7

161 2; 3 3

u x y e f x y f x y+

= ⋅ + + + ;

2) ( ) ( ) ( )2 2

x yu x y e f y e fξ ξ ξ ξ− − ⋅ = ⋅ + ⋅

48. 1) ,x y x yξ η= + = − ; 2 12 0

2u u u u

ξ η ξ η∂ ∂ ∂

+ + ⋅ + =∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( )2 23 521 3 3; 2

y xx y x yu x y e y x y e x y e

−− + − − = ⋅ + + + ⋅ + − − ⋅

2) cosx x yξ = − + + , cosx x yη = + + , 2 1 0

ξ η η∂ ∂

− ⋅ =∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( )cos; 1 sin cos sin cosy xu x y y x x e y x x+= − − + + ⋅ + + .

49. 1) ( ) 2 2 2;u x t x a t t= + ⋅ + ; 2) ( ) ( ); 1u x t x t= − ;

3) ( ) 2 2 2; x tu x ta x a t

= +− ⋅

; 4) ( ) 1; sin 2 cos22 4tu x t x at x

a= + + ⋅ ;

5) ( ) ( )1; cos sin cos sin cosxu x t x at at x t x ata a

= + + ⋅ + ⋅ .

50. ( ) ( ); sinu x t x t= + ; ( ); sinu x xπ = − .

51. 1) 3x tξ = − , x tη = + ; 2

0uξ η∂

=∂ ∂

( ) ( ) ( ); 3u x t x t x tϕ ψ= − + + ; ( ) 2 2; 3u x t x t= + ;

2) xξ = , tx eη = + ; ( ) ( ) ( )1 2; tu x t f x f x e= + + ;

( ) ( )2

; cos 1 cos2

txu x t x e x= − + − + − .

52. 1) ( ) 1; cos sinu x t x ata

= ⋅ ;

2) ( ) ( )1 1; cos4 sin 6 sin 68 12

u x t x at x at= + + ⋅ ;

3) ( ) ( )( ); sin 2u x t a x at= − − ;

4) ( ) 31; cos5 cos5 sh33

xu x t x at e ata

−= ⋅ + ⋅ ;

5) ( ); sin cos9 sin3 sin 27u x t x t x tπ π π π= ⋅ + ⋅ .

53. ( ); sin cosu x t x at t= ⋅ + ; ;2 2

u xa a

π π =

54. 1) 5 ,x y x yξ η= + = + ; 2

16 0uξ η∂

− ⋅ =∂ ∂

; ( ) 5 3 5; sin sin2 2 2 6

x y x yu x y + += − ;

2) 3x yξ = + , x yη = + ; 2 1

ξ η η∂ ∂

= − ⋅∂ ∂ ∂

( )( )

( ) ( )1 32 1 2

0; d 3

x yx yu x y e f t t f x y

+− += ⋅ + +∫ ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 3

2 233 1; 3 2 d2 2 4

x y tx yy

x yeu x y x y e e t t tϕ

ϕ ϕ ψ+ +− −

+= ⋅ + − + ⋅ ⋅ +∫ .

55. 1) ( ) ( )2; 2u x t x t= + ; 2) ( ) 2 2 31; 46

u x t x t xt xt= + + + ;

3) ( ); sinu x t x= ; 4) ( ) ( ) ( ); sin 1 chxu x t xt x t e t= + + − ⋅ − ;

5) ( ) 2 2 4; ch2 12

x b bu x t e t at x t t−= ⋅ + + + ;

6) ( ) ( ); sin cos sin cos 1tu x t b x t c t x at a e−= + + + − ;

7) ( ) ( ) 2; cos sina au x t x t t btb b

= − + − .

57. 1) ( ) 3; sin sin6au x t x x t x t= + ⋅ ⋅ + ⋅ ; 2) ( ) ( ) ( ); sin sinu x t x t t x t= − + + ;

3) ( ) ( )1; 1 1 cos3 sin9

u x t t t x= + + − ⋅ ;

4) ( ) ( )2 21; 1 cos sinu x t a t x

aω ω

ω= ⋅ − ⋅ ; 5) ( ) ( )2

1; sintu x t tωω ω

= − ⋅ ⋅ .

1) ( )

( ) ( ) ( )

1 d , 0, 0 ;2 2

;1 d , 0, ;

x atat x

x at x at xx ta a

u x tat x at x xx t

ϕ ϕψ ξ ξ

− + + + ⋅ ≥ ≤ <= + − −

+ ⋅ ≥ ≥

2) ( )

( ) ( ) ( )

1 d , 0, 0 ;2 2

1; d2 2

1 d , 0, ;2

x ata t x

x at x at xx ta a

at x at xu x t

xx ta a

ϕ ϕψ ξ ξ

ψ ξ ξ

− + + + ⋅ ≥ ≤ < − + += + ⋅ ++ ⋅ ≥ ≥

3) ( )0, 0, 0 ;

;, 0, ;

xx tau x t

x xt x ta a

≥ ≤ <= − ≥ ≥

4) ( )( )

0, 0, 0 ;

d , 0, ;

u x txa v x ta

≥ ≤ <=

− ≥ ≥

5) ( )

( )( )

1 d ; d , 0, 0 ;2

1; d ; d2

1 d ; d , 0, ;2

x a tt

xt a t xa

x a tt

x x a tta

xf x ta a

u x t fa

xf x ta a

τ ξ τ ξ

− − +

− −

−−

⋅ ≥ ≤ <= ⋅ ++ ⋅ ≥ ≥

∫ ∫

6) ( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

1 d ; d , 0, 0 ;2

1; d ; d2

1 d ; d , 0, ;2

x a tt

xt a t x a t xa

x a tt

x x a tta

xf x ta a

u x t fa

xf x ta a

τ ξ τ ξ

− −

− − − − +

− −−

⋅ ≥ ≤ < = ⋅ + + + ⋅ ≥ ≥

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

1 d2 2

1 d ; d , 0, 0 ;2

,1 1d d ; d

1 d ; d , 0, ;2

x a tt

xt a t xat x a

at x a t x

x a tt

x x a tta

x at x ata

xf x ta a

u x tat x at x

xf x ta a

ϕ ϕψ ξ ξ

τ ξ τ ξ

ϕ ϕψ ξ ξ τ ξ τ ξ

τ ξ τ ξ

− − ++

− − −

−−

− + + + ⋅ ++ ⋅ ≥ ≤ <

= + − −

+ ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ≥ ≥

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

0 0 0 0

1 d2 2

1 d ; d , 0, 0 ;2

1 d;2 2

1 1d d ; d2 2

1 d ; d , 0,2

x a tt

xt a t x a t xat x a

x a tt

x x a tta

x at x ata

xf x ta a

at x at xu x t

ϕ ϕψ ξ ξ

τ ξ τ ξ

ϕ ϕψ ξ ξ

ψ ξ ξ τ ξ τ ξ

τ ξ τ ξ

− −

− − − − ++

− −−

− + ++ ⋅ +

+ ⋅ ≥ ≤ <

− + ++ ⋅ +=

+ + + +

+ ⋅ ≥

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ;xta

60. 1)

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( )( )

1 d2 2

1 d ; d , 0, 0 ;2

1 d; 2 2

1 d ; d2

1 d ; d , 0, ;2

x a tt

at xxt a t xa

x a tt

x x a tta

x at x ata

xf x ta a

at x at xu x t a

x xf t x ta a a

ϕ ϕψ ξ ξ

τ ξ τ ξ

ϕ ϕψ ξ ξ

τ ξ τ ξ

τ ξ τ ξ µ

− −

− − +

− −

− −−

− + + + ⋅ +

+ ⋅ ≥ ≤ <

+ − −+ ⋅ +=

+ ⋅ +

+ ⋅ + − ≥ ≥

∫ ∫

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

0 0 0 0

1 d2 2

1 d ; d , 0, 0 ;2

1 d; 2 2

1 1d d ; d2 2

1 d ; d d ,2

x a tt

xt a t x a t xat x a

xtx a t a

x at x ata

xf x ta a

at x at xu x t a

f a va

ϕ ϕψ ξ ξ

τ ξ τ ξ

ϕ ϕψ ξ ξ

ψ ξ ξ τ ξ τ ξ

τ ξ τ ξ τ τ

− −

− − − − ++

−+ −

− −

− + ++ ⋅ +

+ ⋅ ≥ ≤ <

− + ++ ⋅ +=

+ + + +

+ ⋅ −

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫( )

≥ ≥

∫ ∫

3) ( )( ) ( )

0, 0, 0 ;

d , 0, .

h x at a h

u x txae e x ta

τ χ τ τ

−−

≥ ≤ <=

− ⋅ ⋅ ≥ ≥

61. Задача некорректно поставлена.

62. ( ) ( ) ( )( )

k x tk

k x t ku x t dk k

ϕ ψ τ τ

−−

− += + −

∫ при 0, 1k k≠ ≠ .

63. Область определения – прямоугольник: 10; 1 ;x t x tk

− = − = −

0;x t+ =

11x tk

; решение устойчиво (т.к. решение не содержит произвольных функ-

ций).

64. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21;2 2

a x tx

au x t e x t t x dϕ ϕ ψ τ ϕ τ τ+−

= ⋅ + + − + + ∫ .

65. ( )( ) ( )

( )2 4 4; 02 2

a a ax x t x tx t x tu x t e e eψ ϕ ϕ− − + − + = ⋅ ⋅ + ⋅ −

66. ( ) ( ) ( )( )

( )2 2 21 1 1;2 2 2

b b bx tx x t

t xu x t e x t e t x e d

τϕ ϕ ψ τ τ

+− −

= ⋅ + + ⋅ − + ⋅∫ .

67. ( )( ) ( )

( )2 4 4; 02 2

b b bt x t x tx t x tu x t e e eϕ ψ ϕ− + − + − = ⋅ ⋅ + ⋅ −

68. ( ) ( ); 02 2

x t x tu x t ϕ ψ ϕ+ + = + −

; область распространения волны ог-

раничена прямыми: 0x t+ = , 2x t a+ = , 0x t− = , 2x t b− = .

( )( )

( ) ( )

2 2 2 2

ax bt b bx t x t

u x t e e t x e x t

ae dτ

ψ τ ϕ τ τ

− + − − +

= ⋅ ⋅ − + ⋅ + +

+ + ⋅ ∫

70. ( )( ) ( ) ( )

( )12 4 4; 0

a b a bbt a x x t x tx t x tu x t e e eϕ ψ ϕ− +

− + − + − = ⋅ ⋅ + ⋅ − .

71. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

u x y x y x y

v x y x y x y

= − + Φ +

= Φ + − −

где F и Φ – произвольные непрерывно дифференцируемые функции.

72. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1; ,21; .2

u x y x y x y x y x y

v x y x y x y x y x y

ϕ ψ ϕ ψ

= + + + + − − − = + + + − − + −

73. ( ) ( )

( ) ( )

; 0 ,2 2

; 0 .2 2

x y x yu x y

x y x yv x y

ϕ ψ ψ

ϕ ψ ϕ

+ − = − +

+ − = + −

74. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

; ,2 2

; 0 0 .2 2

x y x yu x y x y

x y x yv x y x y

ϕ ψ ψ

ϕ ψ ψ ϕ ψ

+ − = + + −

+ − = + + + − −

75. ( ) ( )

( ) ( ) ( )

; ,2 2

; 0 0 .2 2 2

x y x yu x y x y

x y x y x yv x y

ϕ ψ ψ

ϕ ψ ψ ϕ ψ

+ − = − + −

− + − = − + + + −

76. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1; F ,

u x y x a y x a ya a

v x y x a y x a y

= ⋅ − ⋅ + ⋅ Φ + ⋅ = − ⋅ − Φ + ⋅

где F и Φ – произвольные непрерывно дифференцируемые функции.

77. ( ) ( )

( ) ( )

1 1; 0 ,2 2

; 0 .2 2

x a y x a yu x ya a

x a y x a yv x y a a

ϕ ψ ψ

ϕ ψ ϕ

+ ⋅ − ⋅= + ⋅ − ⋅

+ ⋅ − ⋅ = − ⋅ + + ⋅

Заключение

По результатам решения задач, предложенных в практикуме, студенты

должны освоить темы: частные производные сложных функций, решение про-

стейших дифференциальных уравнений, дифференциальные уравнения первого

порядка, приведение дифференциальных уравнений второго порядка к канониче-

скому виду, волновое уравнение на прямой и полупрямой, задача Коши для урав-

нений второго порядка гиперболического типа, метод Даламбера для волнового

уравнения, задачи корректно поставленные для уравнений гиперболического ти-

па, решение систем дифференциальных уравнений.

Все разделы принадлежат к задачам классических уравнений математиче-

ской физики. Для студентов технических специальностей это достаточный объём

в рамках рабочей программы, для студентов специальности «Прикладная матема-

тика» задачи практикума являются базовыми и готовят учащихся к освоению ма-

териала шестого семестра.

Оглавление

Введение………………………………………………………………………………...3

Частные производные сложных функций.

Замена переменных в дифференциальных выражениях…………………….……….4

Замена переменных в дифференциальных уравнениях.

Решение простейших дифференциальных уравнений……………………….………5

Дифференциальные уравнения первого порядка,

линейные относительно частных производных………………………………...........7

Приведение линейных дифференциальных уравнений второго

порядка с постоянными коэффициентами к каноническому виду………………….9

Приведение линейных дифференциальных уравнений второго

порядка с переменными коэффициентами к каноническому виду………………10

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка……………….11

Волновое уравнение. Задача Коши для уравнения

второго порядка гиперболического типа……………………………………………12

Метод Даламбера для однородного одномерного волнового

уравнения на прямой………………………………………………………………….15

Метод Даламбера для неоднородного одномерного волнового

уравнения на прямой………………………………………………………………….18

Метод Даламбера для волнового уравнения на полупрямой………………………21

Задачи, корректно поставленные для уравнений

гиперболического типа……………………………………………………………….24

Системы дифференциальных уравнений……………………………………………27

Заключение…………………………………………………………………………….29

Ответы …………………………………………………………………………………30

Библиографический список…………………………………………………………..46

Библиографический список

1. Алиев Р.Г. Сборник задач по уравнениям в частных производных. – М.: эк-

замен, 2006.

2. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. –

М.: Наука, 1974.

3. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математиче-

ской физики. – М.: Наука, 1985.

4. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.:

Наука, 1981.

5. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1982.

6. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математиче-

ской физике. – М.: Наука, 1972.

7. Владимиров В.С., Вашарин А.А. и др. Сборник задач по уравнениям математи-

ческой физики. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

8. Владимиров В.С., Михайлов В.П. и др. Сборник задач по уравнениям матема-

тической физики. – М.: Наука, 1974.

9. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях

и задачах. Ч.II. – М.: Высшая школа, 1980.

10 Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. – М.: Наука, 1973.

Учебное издание

Практикум по уравнениям математической физики

КУРИЛОВА Ольга Евгеньевнна ПРОСВИРКИНА Елена Анатольевна

Редактор Ю.А. Петропольская

Вёрстка И.О. Миняева Выпускающий редактор Н.В. Беганова

Подписано в печать 21.12.10.

Формат 60 84 1 16× . Бумага офсетная. Усл. п. л. 3,1. Уч.-изд. л. 3,1. Тираж 50 экз. Рег. .№ . Заказ № .

___________________________________________________________

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Самарский государственный технический университет» 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

Главный корпус

Отпечатано в типографии Самарского государственного технического университета

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Корпус № 8

ПРАКТИКУМ ПО УРАВНЕНИЯМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ...

Documents

III-го этапа XXVIII ВСЕРОССИЙСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ … · xxix Всероссийская математическая олимпиада школьников

Эконометрика Лекция 2 Повторение теории вероятностей и математической статистики

СОДЕРЖАНИЕ - pm.samgtu.rupm.samgtu.ru › sites › pm.samgtu.ru › files › mag › p22.pdf · MatLab и ANSYS. - современными средствами подготовки

Обложка 1 (итог)pm.samgtu.ru/sites/pm.samgtu.ru/files/stud/posob/inf_3.pdf · 8 δa= 1,86% δb= 2,70% 9 10 Вывод: а вычислено точнее b Р и с. 1.2

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИelar.urfu.ru/bitstream/10995/42951/1/978-5-321-02475-1_2016.pdf · Г79 Уравнения математической

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ · М30 Уравнения математической физики : учеб.-метод. посо-бие для студентов

Ê à ô å ä ð à ÒÈÊÀ ÈÍÔÎÐÌÀ - samgtu.rupm.samgtu.ru/sites/pm.samgtu.ru/files/stud/posob/matlab.pdfSp ecial (ñïåöèàëüíàÿ à) àâê âñò ÿ åòñ èñïîëüçó

Методы математической физики - Семинары № 5-6 ...mmph.narod.ru/doc/Sem5.pdf · 2013. 4. 30. · Методы математической физики

Методы математической физики - Семинары № 3-4. …mmph.narod.ru/doc/Sem3.pdf · Методы математической физики - Семинары

уравнения математической физики

От математической истории к проекту модернизации России

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИpm.samgtu.ru/sites/pm.samgtu.ru/files/stud/posob/radch... · 2018. 2. 20. · ной силы

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ...pm.samgtu.ru/sites/pm.samgtu.ru/files/mag/m01.pdf · 2015. 9. 29. · Заусаев А.Ф., Методические

Привязанностьfreeedu.ru/posob/privjazannost_pisaryk_read.pdf · 2011-08-17 · Ольга Писарик Привязанность — жизненно-важная

Метод математической индукции ММИ

метод интегральных преобразований в задачах математической физики

Тема 6. Анализ точности обработки методами математической статистики

Klimanova Uroki cht 1 Posob u · дельныйинтересклитературе,егоначитанностьикульту-раобщениясребенком

Информатика - 2011 итогpm.samgtu.ru/sites/pm.samgtu.ru/files/stud/posob/inf_1.pdfПечатается по решению редакционно-издательского

ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО ХИМИЧЕСКОЙ … › posob › phys_ch › Practicum_2016.pdfЧАСТЬ i. ХИМИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА Основные