View
225
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
�
�
�
�
PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLE ���
SKRIPSI
oleh: NURIL ANWAR HAMDANI
NIM. 07610081
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG
2011
�
�
�
�
PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLE ��� �
SKRIPSI
Diajukan Kepada: Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang
Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan Dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)
oleh: NURIL ANWAR HAMDANI
NIM. 07610081
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG
2011
�
�
�
�
PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLE ���
SKRIPSI
oleh: NURIL ANWAR HAMDANI
NIM. 07610081
Telah Diperiksa dan Disetujui Untuk Diuji Tanggal, 11 Januari 2011
Pembimbing I
Pembimbing II
Abdussakir, M. Pd NIP. 19751006 200312 1 001
Dr. H. Ahmad Barizi, M.A NIP. 19731212 199803 1 001
Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika
Abdussakir, M. Pd NIP. 19751006 200312 1 001
�
�
�
�
PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLE ���
SKRIPSI
oleh: NURIL ANWAR HAMDANI
NIM. 07610081
Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi dan Dinyatakan Diterima Sebagai Salah Satu Persyaratan
Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Tanggal: 21 Januari 2010
Penguji Utama: Wahyu Henky Irawan, M. Pd
NIP. 19710420 200003 1 003 .............................
Ketua Penguji: Abdul Aziz, M. Si NIP. 19760318 200604 1 002
.............................
Sekretaris Penguji: Abdussakir, M. Pd NIP. 19751006 200312 1 001
.............................
Anggota Penguji: Dr. H. Ahmad Barizi, M.A NIP. 19731212 199803 1 001
.............................
�
Mengesahkan, Ketua Jurusan Matematika
Abdussakir, M. Pd NIP. 19751006 200312 1 001
�
�
�
�
HALAMAN PERSEMBAHAN
������ ���� ���������� ��������������������� ����
�������������������������������������� ����������
�������� ���������� ����������������������������������� ��
�
�
�
�
MOTTO
�
����������������������� ������������
��������������������������������������
�
��������������������������������������������������
�������������
�
�
��
�
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr. Wb.
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, hidayah
dan ma’unah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan studi di jurusan
Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana
Malik Ibrahim Malang sekaligus menyelesaikan penulisan skripsi ini dengan baik.
Sholawat serta Salam semoga tetap terlimpahkan kepada Nabi Muhammad
SAW, yang telah mengajarkan kita pada Iman, Islam dan Ihsan dengan Ad-Dinul
Islam.
Penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini tidak akan selesai dengan
baik tanpa adanya bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu dalam kesempatan
ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Prof. Dr. H. Imam Suprayogo selaku Rektor Universitas Islam Negeri
Maulana Malik Ibrahim Malang.
2. Prof. Drs. Sutiman Bambang Sumitro, SU, D. Sc selaku Dekan Fakulas
Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim
Malang.
3. Bapak Abdussakir, M.Pd Selaku Ketua Jurusan Matematika Universitas
Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang sekaligus Dosen
Pembimbing I, atas bimbingan, dan kesabarannya sehingga penulisan
skripsi ini dapat diselesaikan.
�
�
���
�
4. Bapak Dr. H. Ahamd Barizi, M.A selaku Dosen Pembimbing II yang telah
banyak memberikan bimbingan dan bantuan kepada kami sehingga
penulisan skripsi ini dapat diselesaikan.
5. Segenap sivitas akademika Jurusan Matematika, terutama seluruh dosen,
terima kasih atas segenap ilmu dan bimbingannya.
6. Dewan Masyayikh Pondok Pesantren Miftahul Huda Malang yang telah
banyak memberikan ilmu dan hikmah. Semoga amal ibadahnya diridhoi
Allah SWT.
7. Seluruh keluarga tercinta, ayah, ibu, kakak, dan adik yang senantiasa
memberikan motivasi dan kasih sayangnya serta doanya sehingga penulis
dapat menyelesaikan skripsi ini.
8. Teman-teman senasib seperjuangan mahasiswa matematika angkatan 2007
yang telah memberikan bantuan, motivasi, dan rasa kebersamaan yang
terindah yang telah terukir selama masa perkuliahan.
9. Semua pihak yang telah berjasa dalam penulisan skripsi ini
Semoga Allah SWT membalas semua amal kebaikan yang telah mereka
berikan kepada kami dan semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan menambah
khazanah keilmuan, Amin.
Malang, Januari 2011
Penulis
�
�
����
�
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL
HALAMAN PENGAJUAN
HALAMAN PERSETUJUAN
HALAMAN PENGESAHAN
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN
HALAMAN PESEMBAHAN
MOTTO
KATA PENGANTAR
.. i
DAFTAR ISI .....................................................................................................
iii
DAFTAR GAMBAR
. v
DAFTAR TABEL
vii
ABSTRAK .... ................................................................................................... viii
BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang ................................................................................................ 1
1.2 Rumusan Masalah ........................................................................................... 7
1.3 Batasan Masalah.............................................................................................. 7
1.4 Tujuan Penulisan ............................................................................................. 7
1.5 Manfaat Penulisan ........................................................................................... 7
1.6 Metode Penelitian............................................................................................ 8
1.7 Sistematika Pembahasan ................................................................................. 9
BAB II KAJIAN PUSTAKA .............................................................................. 11
2.1 Kajian Graf dan Pelabelan dalam Al-Qur’an ................................................ 11
2.2 Pengertian Graf ............................................................................................. 19
�
�
���
�
2.3 Derajat Titik ................................................................................................... 21
2.4 Graf Terhubung ............................................................................................. 22
2.5 Jenis-Jenis Graf.............................................................................................. 23
a. Graf Lintasan .......................................................................................... 23
b. Graf Sikel ................................................................................................. 23
c. Graf Cartepillar ........................................................................................ 24
d. Graf Hairy Cycle ...................................................................................... 24
2.6 Fungsi ........................................................................................................... 25
2.7 Pelabelan ........................................................................................................ 27
BAB III PEMBAHASAN ................................................................................... 30
3.1 Pelabelan Graf Hairy Cycle ��� dengan � Rambut ....................................... 30
3.2 Pelabelan Graf Hairy Cycle ��� dengan � Rambut ...................................... 51
3.3 Pelabelan Graf Hairy Cycle �� dengan � Rambut ...................................... 76
BAB IV PENUTUP .......................................................................................... 108
4.1 Kesimpulan ................................................................................................... 108
4.2 Saran ............................................................................................................. 109
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
�
�
��
�
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Representasi Hubungan Makhluq dengan Penciptanya ................. . 5
Gambar 2.1 Representasi Hubungan Manusia Satu dengan Lainnya ................ 12
Gambar 2.2 Representasi Hubungan Makhluq dengan Allah SWT ................... 13
Gambar 2.3 Representasi Graf Terhadap Sholat Lima Waktu ........................... 14
Gambar 2.4 Sholat Rawatib yang Mengiringi Sholat Fardhu ............................ 15
Gambar 2.5 Graf ............................................................................................. 20
Gambar 2.6 Graf dengan Vertex dan Edge ..................................................... 22
Gambar 2.7 Beberapa Bentuk Graf Lintasan ..................................................... 23
Gambar 2.8 Beberapa Bentuk Graf Sikel ........................................................... 23
Gambar 2.9 Graf Cartepillar .............................................................................. 24
Gambar 2.10 Graf Hairy Cycle ��� ..................................................................... 25
Gambar 2.11 � Bukan Fungsi ............................................................................ 27
Gambar 2.12 � Bukan Fungsi ............................................................................ 27
Gambar 2.13 � Fungsi Surjektif ........................................................................ 27
Gambar 2.14 � Fungsi Injektif .......................................................................... 27
Gambar 2.15 � Fungsi Bijektif ......................................................................... 27
Gambar 2.16 Graf dengan Unsur Titik dan Sisi ................................................. 28
Gambar 2.17 Graf dengan Pelabelan Bilangan Asli .......................................... 28
Gambar 3.1 Graf ��� dengan � Rambut ............................................................ 30
Gambar 3.2 Graf ��� dengan 1 Rambut .............................................................. 30
Gambar 3.3 Graf ��� dengan 2 Rambut .............................................................. 32
Gambar 3.4 Graf ��� dengan 3 Rambut ............................................................. 33
Gambar 3.5 Graf ��� dengan 4 Rambut ............................................................. 35
Gambar 3.6 Graf ��� dengan 5 Rambut ............................................................. 38
Gambar 3.7 Graf ��� dengan 6 Rambut ............................................................. 41
Gambar 3.8 Graf ��� dengan � Rambut ............................................................ 47
Gambar 3.9 Pelabelan Graf ��� dengan� Rambut ............................................ 47
Gambar 3.10 Graf ��� dengan � Rambut .......................................................... 51
�
�
���
�
Gambar 3.11 Graf ��� dengan 1 Rambut ........................................................... 51
Gambar 3.12 Graf ��� dengan 2 Rambut ........................................................... 53
Gambar 3.13 Graf ��� dengan 3 Rambut ........................................................... 55
Gambar 3.14 Graf ��� dengan 4 Rambut ........................................................... 57
Gambar 3.15 Graf ��� dengan 5 Rambut ........................................................... 60
Gambar 3.16 Graf ��� dengan 6 Rambut ........................................................... 64
Gambar 3.17 Graf ��� dengan � Rambut .......................................................... 71
Gambar 3.18 Pelabelan Graf ��� dengan � Rambut ........................................ 71
Gambar 3.19 Graf �� dengan � Rambut .......................................................... 76
Gambar 3.20 Graf �� dengan 1 Rambut ........................................................... 77
Gambar 3.21 Graf �� dengan 2 Rambut ........................................................... 78
Gambar 3.22 Graf �� dengan 3 Rambut ........................................................... 81
Gambar 3.23 Graf �� dengan 4 Rambut ........................................................... 84
Gambar 3.24 Graf �� dengan 5 Rambut ........................................................... 88
Gambar 3.25 Graf �� dengan 6 Rambut ........................................................... 92
Gambar 3.26 Graf �� dengan � Rambut .......................................................... 101
Gambar 3.27 Pelabelan Graf �� dengan � Rambut ........................................ 101
Gambar 4.1: Graf ��� �dengan Rambut � �� ����� Dimana � � � �
�� � �� �� � �t ...................................................................... ........ 110
�
�
����
�
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1 Pelabelan ��� pada Titik Pusat dan Sisi Antar Titik Pusat ................... 44
Tabel 3.2 Pelabelan ��� pada Titik Rambut ......................................................... 44
Tabel 3.3 Pelabelan ��� pada Sisi Antar Titik Pusat dan Titik Rambut ............... 45
Tabel 3.4 Pelabelan ��� pada Titik Pusat ............................................................. 68
Tabel 3.5 Pelabelan ��� pada Sisi Antar Titik Pusat ............................................ 68
Tabel 3.6 Pelabelan ��� pada Titik Rambut ......................................................... 69
Tabel 3.7 Pelabelan ��� pada Sisi Antar Titik Pusat dan Titik Rambut ............... 69
Tabel 3.8 Pelabelan �� pada Titik Pusat ............................................................. 97
Tabel 3.9 Pelabelan �� pada Sisi Antar Titik Pusat ............................................ 97
Tabel 3.10 Pelabelan �� pada Titik Rambut ....................................................... 98
Tabel 3.11 Pelabelan �� pada Sisi Antar Titik Pusat dan Titik Rambut ............. 98
�
�
�����
�
ABSTRAK
Hamdani, Nuril Anwar. 2011. Pelabelan Total Sisi Ajaib Pada Graf Hairy Cycle ��� . Skripsi. Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Pembimbing: (I) Abdussakir, M.Pd
(II) Dr. H. Ahmad Barizi, M.A
Kata kunci: pelabelan total, sisi ajaib, graf Hairy Cycle ���
Dalam pelabelan graf terdapat beberapa metode yang biasa digunakan dan salah satunya adalah Pelabelan total sisi ajaib yang didefinisikan sebagai fungsi bijektif dari � � � ke himpunan bilangan asli ������� � � � � � ! sedemikian sehingga terdapat bilangan positif " untuk setiap sisi #$,maka memenuhi �%#& ' �%#$& ' �%$& ( ". Graf Hairy Cycle ��
� adalah graf �� dengan order � dan � ) � untuk � bilangan asli dengan tiap � mempunyai rambut sebanyak �. Atau secara umum, misalkan terdapat graf dan *, pembentukan graf Hairy Cycle diperoleh dengan mengkonstruksi graf sikel �� dan garf komplit +, yang hanya mempunyai satu titik yang tetap. Dengan mencari satu pola, maka didapat bahwa graf Hairy Cycle ��
� dengan � ( �� -� ����. adalah pelabelan total sisi ajaib.
�
�
���
�
ABSTRACT
Hamdani, Nuril Anwar. 2011. Edge Magic Total Labeling Of Hairy Cycle ���
Graph. Thesis. Mathematics Programme Faculty of Science and Technology The State of Islamic University Maulana Malik Ibrahim Malang Promotor: (I) Abdussakir, M.Pd
(II) Dr. H. Ahmad Barizi, M.A
Key words: total labeling, edge magic, Hairy Cycle ��� graph
On graph labeling there’ s some metode can be used and one of them is edge-magic total labeling whose define is a bijection mapping � taking the � � � to the integers ������� � � � � ! such that there exist a positive integer " for all edge #$ satisfying �%#& ' �%#$& ' �%$& ( ". Hairy Cycle ��
� graph is a cycle �� with order � and � ) � for � is integer with every � have � pendant edge. In generally, the Hairy Cycle ��
� is obtained by applying that construction to the cycle �� and the graph +, consisting of a single vertex. With finded one pattern, then we got Hairy Cycle ��
� with � (
�� -� ����. is edge-magic total labeling.
�
�
��
�
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Al-Qur’an adalah kalam Allah SWT yang diyakini kebenarannya yang
kemurniannya dijaga Allah SWT sampai hari kiamat. Al-Qur’an diciptakan
sebagai bukti kekuasaan Allah disamping ciptaan seluruh alam semesta,
sebagai penjelas hal yang meragukan, petunjuk bagi yang tersesat, dan
sebagai pembeda antara haq dan bathil, antara kepastian dan spekulasi.
Sebagai kitab suci dan petunjuk, Al-Qur’an memiliki berbagai dimensi untuk
dijadikan pegangan hidup dan penuntun arah bagi setiap muslim dalam
menjalani kehidupan. Al-Qur’an mengajak akal manusia untuk ber-tafakkur
(memikirkan) dan ber-tadzakkur (mengingat) akan ciptaan Allah. Dengan
adanya akal dan ilmu yang dimilikinya, manusia dapat digolongkan atas
orang yang berilmu dan orang yang bodoh ( El-Fandy, 2000:1).
Banyak ayat-ayat yang mengenai alam semesta, tetapi tidaklah dapat
dikatakan bahwa Al-Qur’an merupakan sebuah karya ilmiah yang
diperuntukkan bagi suatu bidang ilmu dalam arti kata teknis. Akan tetapi
tidak dapat dipungkiri bahwa banyak ayat yang membicarakan pelbagai
subjek yang jelas-jelas bersifat ilmiah, sehingga dapat mengangkat harkat dari
ilmu pengetahuan dan juga dapat mendorong manusia agar mempelajarinya
untuk kepentingan bersama ( El-Fandy, 2000:1). Allah berfirman dalam surat
Yunus ayat 5:
2��
���� � �� �� �� �� ���� ���� ��� �� �� ���� �� �� �� � ���� � � ��� � �� � �� � �� ��� �� �� � �� ������ �� � � ����� ������
��� � ���� �� � � ��� ���� �� ���� ������� ���� ������� ���� � �� ����� �� ��� ���� �� �� ��� �� ��� � �� ���� ��
Artinya: Dia-lah yang menjadikan matahari bersinar dan bulan bercahaya dan ditetapkan-Nya manzilah-manzilah (tempat-tempat) bagi perjalanan bulan itu, supaya kamu mengetahui bilangan tahun dan perhitungan (waktu). Allah tidak menciptakan yang demikian itu melainkan dengan hak (dengan penuh hikmah), dia menjelaskan tanda-tanda (kebesaran-Nya) kepada orang-orang yang Mengetahui.
Dalam surat Al-Ankabut ayat 43-44 Allah juga berfirman:
���� �� � ��� �� �� �! �� ��"� �� �� �# ������ �� � ��� � ���"�� � ���� ���� ��� � ��� ���� �� �$% ���� �� ���� ������ �� ��� ��
���� �! �� � ������� ���� � �& �� '� ������� �(���� �)��� �� �* � ����� �$$
Artinya: Dan perumpamaan-perumpamaan Ini kami buat untuk manusia; dan tiada yang memahaminya kecuali orang-orang yang berilmu (43). Allah menciptakan langit dan bumi dengan hak[1153]. Sesungguhnya pada yang demikian itu terdapat tanda-tanda kekuasaan Allah bagi orang-orang mukmin (44).
Itulah beberapa ayat yang tidak hanya menjunjung tinggi ilmu
pengetahuan, melainkan pula menyeret perhatian orang yang berpikir serta
mengarahkan untuk mengejar ilmu pengetahuan dan mencari serta membuka
tabir rahasia-rahasia gejala alam semesta menurut garis cabang ilmu
pengetahuan.
Di dalam Al-Qur’an terdiri dari bahasa tulisan dalam hal ini huruf-
huruf dan juga bahasa angka. Huruf mewakili bahasa bunyi dan angka
mewakili bilangan. Keduanya merupakan bahasa simbol. Seseorang yang
sedang membaca, mempelajari dan memahami Al-Qur’an adalah bagian dari
upaya untuk memahami simbol-simbol yang berupa huruf dan angka
3��
(Abdusysyakir, 2007:18). Angka-angka digunakan dalam Al-Qur’an untuk
menyebutkan sesuatu yang ukurannya pasti. Allah SWT berfirman dalam
surat Al-Qomar ayat 49:
� � �� �� !+ "� #, �! -� � ��� �" $� � ��� �$.
Artinya: Sesungguhnya kami menciptakan segala sesuatu menurut ukuran.
Jika Allah SWT menciptakan segalanya dengan ukuran-Nya, maka
segala permasalahan pastilah mempunyai ukuran pemecahannya. Begitu juga
masalah pelabelan total sisi ajaib pada suatu graf pastilah mempunyai ukuran
(bilangan) yang pasti sedemikian sehingga akan menghasilkan bilangan yang
sama (ajaib).
Setelah menganjurkan manusia dalam pengembangan ilmu
pengetahuan, maka akan didapat hasil dari pengembangan penelitian. Dalam
penemuan itu pastilah membutuhkan pembuktian secara rasional. Jika
penemuan tidak dapat dibenarkan atau hanya merupakan spekulasi maka
janganlah diikuti. Allah SWT berfirman dalam surat Al-An’am ayat 148:
% ���� �� �� /&0�� � �1�'� �2 �� �# ���(� �$% �& ���� �� � ��� �&����' )% �� ���� �1�(��� ���� � #2 �� �) ����
��� * �� �+ �, �3$4
Artinya: Katakanlah: "Adakah kamu mempunyai sesuatu pengetahuan sehingga dapat kamu mengemukakannya kepada kami?" kamu tidak mengikuti kecuali persangkaan belaka, dan kamu tidak lain hanyalah berdusta.
Dalam ayat tersebut dijelaskan bahwa tidaklah bijaksana orang yang
hanya menggunakan khayalan sebagai dasar dari keyakinan beragama
ataupun dalam teori-teori ilmiah, karena suatu kesimpulan yang tidak
4��
ditunjang dengan pengalaman atau bukti maka tidak ada manfaatnya
(El-Fandy, 2000:9).
Dalam kehidupan manusia, matematika merupakan salah satu ilmu
yang banyak manfaatnya, karena banyak sekali permasalahan dalam
kehidupan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan dalil-dalil atau
konsep-konsep matematika. Jadi, tidak salah sekiranya dikatakan bahwa
matematika adalah salah satu disiplin ilmu yang merupakan cabang ilmu
pengetahuan yang mempunyai banyak kelebihan dibanding ilmu pengetahuan
yang lain. Seiring dengan perkembangan zaman yang disertai dengan
perkembangan teknologi, matematika juga mengalami perkembangan yang
mengharuskan matematika lebih bersifat aplikatif dalam keberadaanya.
Diantara bagian matematika yang menarik untuk dikaji lebih lanjut adalah
teori graf.
Teori graf merupakan pokok bahasan yang usianya sudah tua namun
memiliki banyak terapan dalam kehidupan. Graf digunakan untuk
mempresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antar objek-objek
tersebut (Munir, 2009:353). Ada banyak sekali contoh penggunaan graf
dalam kehidupan misalnya saja dalam pembuatan peta dimana antar daerah
dihubungkan dengan daerah yang lain apabila terdapat sarana dan prasarana
transportasi yang menghubungkan antar daerah. Selain itu, graf juga dapat
diterapkan dalam penulisan silsilah keluarga yang menggunakan pohon
keturunan. Pohon merupakan salah satu graf khusus.
5��
Dalam Islam diyakini bahwa alam semesta dan seisinya merupakan
makhluk Allah SWT yang diperintahkan untuk selalu mengagungkan-Nya.
��� � &� ��� �" �1�- �5 �� �.� �6�� � ���� �� ' ���� �� ��7
Artinya: Dan Aku tidak menciptakan jin dan manusia melainkan supaya mereka mengabdi kepada-Ku.
Walaupun dalam surat Adz-Dzariyat ayat 56 hanya disebutkan bahwa yang
diciptakan hanya untuk mengabdi kepada-Nya hanyalah manusia dan jin,
namun secara hakikat seluruh makhluk diperintahkan untuk selalu bertasbih,
bertahmid, bertakbir kepada Allah SWT. Dalam kehidupan dunia yang nyata,
Allah SWT sebagai khaliq dan manusia, hewan, dan tumbuhan serta benda-
benda mati sebagai makhluq direpresentasikan sebagai titik, dan hubungan
antara
khaliq dan makhluq dan hubungan antar sesama makhluq direpresentasikan
dengan garis, maka hubungan itu dapat digambarkan sebagai graf �� � ��
atau lebih dikenal sebagai graf roda �� sebagai berikut:
ALLAHtumbuhan hewan
manusia
matibenda Gambar 1.1: Representasi Hubungan Makhluq Dengan Penciptanya
Dari gambar tersebut jelas bahwa Allah SWT sebagai titik pusat dan
ciptaan-Nya mengelilingi-Nya. Demikian juga terjadi hubungan antar
makhluq. Hal ini menunjukkan bahwa perlunya adanya hubungan secara
vertikal (kholiq) dan hubungan secara horizontal (makhluq).
6��
Pada pertengahan tahun 1960, pelabelan graf mulai dikembangkan.
Pertama kali dimunculkan dari karya Rosa pada tahun 1967, namun saat ini
pelabelan graf berkembang pesat dengan banyaknya hasil penelitian yang
diketahui pada saat ini.
Pelabelan graf sendiri didefinisikan sebagai suatu pemetaan satu-satu
yag memetakan himpunan dari elemen-elemen graf ke himpunan bilangan
bulat positif. Pelabelan sendiri terdiri dari beberapa jenis diantaranya
pelabelan titik yang domainnya berupa titik (vertex labeling), pelabelan sisi
jika domainnya sisi (edge labeling), pelabelan total jika domainnya titik dan
sisi (total labeling). Pelabelan graf � �� � adalah suatu pemetaan :
� � �, dimana � = domain, � = himpunan. Jumlah dari hasil pelabelan
biasanya disebut sebagai bobot dari elemen graf. Graf yang memiliki bobot
vertex yang sama disebut dengan graf pelabelan sisi ajaib, sedangkan untuk
bobot vertex yang berbeda disebut dengan pelabelan sisi anti ajaib.
Pelabelan titik dan sisi dari graf bisa dilakukan dengan banyak cara.
Salah satu cara yang bisa digunakan adalah melabelinya dengan bilangan.
Ada banyak jenis pelabelan graf yang telah dikembangkan, diantaranya
adalah pelabelan graceful, pelabelan harmoni, pelabelan total tak beraturan,
pelabelan ajaib, dan pelabelan anti ajaib. Dalam pengembangan pelabelan
ajaib, dikenal pula pelabelan total titik-ajaib, pelabelan total titik ajaib super,
pelabelan total sisi-ajaib, dan pelabelan total sisi-ajaib super.
Meskipun perkembangan teori graf sangat pesat termasuk dalam
penelitian pelabelan, namun belum dapat ditemui pelabelan pada graf Hairy
7��
Cycle. Sehingga pada tugas akhir ini, penulis melakukan kajian pelabelan
total sisi ajaib (edge magic total labeling) pada graf Hairy Cycle.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam
penelitian ini adalah bagaimana pelabelan total sisi ajaib pada graf Hairy
Cycle ��� ?
1.3 Batasan Masalah
Pembatasan masalah sangat diperlukan agar bahasan dalam penelitian
tidak meluas atau melebar terlalu jauh, maka graf yang dilabeli adalah graf
Hairy Cycle ��� dengan � 3, 4, dan 5 serta hanya menemukan satu pola
saja.
1.4 Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan penelitian ini
adalah mendeskripsikan pelabelan total sisi ajaib pada graf Hairy Cycle ���
dengan � 3, 4, dan 5 serta hanya menemukan satu pola saja.
1.5 Manfaat Penulisan
Manfaat yang diharapkan dalam penelitian ini:
a. Bagi penulis
Penelitian ini digunakan sebagai tambahan informasi dan wawasan
tentang teori graf, khususnya tentang pelabelan total sisi ajaib dan
pembuktian bahwa pelabelan graf Hairy Cycle ��� �dengan � 3, 4, dan 5
adalah pelabelan total sisi ajaib.
8��
b. Bagi lembaga
Penelitian ini diharapkan dapat menjadi tambahan kepustakaan
sebagai sarana dalam pengembangan ilmu pengetahuan khususnya di
jurusan matematika dalam kajian teori graf.
c. Bagi pengembangan ilmu pengetahuan
Penelitian ini dapat dijadikan tambahan pengetahuan tentang
pelabelan total sisi ajaib dan menstimulus untuk melakukan penelitian
lebih lanjut dalam masalah aplikasi pelabelan total sisi ajaib.
1.6 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode penelitian
kajian pustaka (library research), yakni melakukan penelitian untuk
memperoleh data dan informasi serta objek yang digunakan dalam
pembahasan masalah tersebut. Langkah-langkah yang dilakukan dalam
penelitian ini adalah:
a. Merumuskan masalah
b. Sebelum penelitian dilakukan, terlebih dahulu dilakukan penyusunan
rencana penelitian dari masalah pelabelan total sisi ajaib
c. Mengumpulkan data
Mengumpulkan data dari literatur A Dynamic Survey of Graph
Labeling dan literatur yang mendukung baik yang bersumber dari
buku, jurnal, artikel, skripsi, dan sumber lainnya yang berhubungan
dengan permasalahan yang diangkat.
d. Menganalisis data
9��
Langkah-langkah yang digunakan dalam menganalisa data dalam
penelitian ini adalah:
1) Menggambar pola graf dan melabelinya
2) Mencari hasil teorema dan membuktikan bahwa graf Hairy
Cycle ��� dengan � 3, 4, dan 5 mempunyai pelabelan total
sisi ajaib
3) Membuat kesimpulan
4) Melaporkan
1.7 Sistematika Pembahasan
Dalam penulisan tugas akhir ini, penulis mengunakan sistematika
pembahasan yang terdiri dari empat bab yang terbagi dalam sub-bab dengan
sistematika sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
Dalam bab pendahuluan meliputi beberapa sub bahasan yang memuat
latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, metode penelitian
dan sistematika pembahasan.
BAB II KAJIAN TEORI
Dalam bab ini disajikan secara singkat mengenai konsep dasar, yaitu
berbagai macam definisi dan teorema-teorema pada teori graf yang relevan
dengan pelabelan total sisi ajaib pada graf Hairy Cycle ��� dalam bentuk
definisi, notasi dan beberapa teorema hasil penemuan sebelumnya yang
menunjang penyelesaian dalam tugas akhir ini serta kajian graf dalam Islam.
10��
BAB III PEMBAHASAN
Pada bab ini dibahas mengenai hasil utama dari tugas akhir ini yaitu
memuat penyusunan algoritma dan implementasinya berupa metode dan
langkah–langkah pembuktian dengan cara mengkonstruksi pelabelan total sisi
ajaib pada graf Hairy Cycle ��� dengan � 3, 4, dan 5 dengan mencari pola
tertentu dari hasil pencarian nilai titik dan nilai sisi. Selanjutnya pola yang
didapatkan disusun terlebih dahulu dengan merumuskan teorema yang
disertai dengan bukti sehingga diketahui bentuk umumpelabelan total sisi
ajaib pada graf.
BAB IV PENUTUP
Pada bab ini penulis membuat kesimpulan dari pembahasan tugas
akhir secara keseluruhan dan disertai dengan saran-saran dari penelitian ini.
�
�
���
�
BAB II KAJIAN PUSTAKA
2.1 Kajian Graf dan Pelabelan Dalam Al-Qur’an
Secara umum beberapa konsep dan disiplin ilmu telah dijelaskan
dalam Al-Qur’ an, salah satunya adalah matematika. Konsep dan disiplin
matematika serta berbagai cabangnya yang ada dalam Al-Qur’ an diantaranya
adalah logika, statistik, teori himpunan, teori graf, dan lain-lain baik yang
dijelaskan secara eksplisit ataupun implisit. Teori graf yang merupakan salah
satu cabang matematika yang menurut definisinya adalah himpunan yang
tidak kosong yang memuat elemen-elemen yang disebut titik, dan suatu daftar
pasangan tidak terurut elemen itu yang disebut sisi. Hal ini dikuatkan dalam
firman Allah SWT surat Al-Hujurat ayat 10 yang dijelaskan bahwa orang
yang beriman adalah bersaudara. /
��� � �� ����� �� �* � ���� *8 ���" �� �� ��� �* �0 �& �� ���� ��!9 �����" �) � ��&�� ��� ���� �� !9 +� ���� ���: �1�� �� �3;
Artinya: Sesungguhnya orang-orang yang beriman itu adalah bersaudara, sebab itu damaikanlah (perbaikilah hubungan) diantara kedua saudaramu itu dan bertaqwalah kepada Allah agar engkau men dapat rahmat.
Sehingga dengan demikian, hal ini menunjukkan suatu hubungan atau
keterkaitan antara titik yang satu dengan titik yang lain. Jika dikaitkan
dengan kehidupan nyata, maka banyaknya titik yang terhubung dalam suatu
graf dapat diasumsikan sebagai banyaknya kejadian tertentu. Yang
selanjutnya kejadian-kejadian tersebut mempunyai keterkaitan antara titik
satu sama lainnya yang merupakan kejadian sesudahnya. Jika diaplikasikan
dalam bentuk graf, maka dapat digambarkan sebagai berikut:
12��
5v
4v 3v
2v
1v
Gambar 2.1: Representasi Hubungan Manusia Satu dengan Lainnya
Pada gambar tersebut terdapat lima titik dimana antara titik itu ada
yang adjacent dan ada yang non-adjacent. Namun, titik-titik diatas akan
saling terkait satu dengan lainnya. Hal ini menunjukkan bahwa saudara
seiman tidak mengenal batas jarak dan waktu. Hubungan seorang mukmin
dengan mukmin lainnya dapat digambarkan seperti diatas dengan lima orang
dengan inisial ��� ��� ��� ���������. Mereka adalah saudara seiman. Jika
terjadi perselisihan diantara mereka maka wajib bagi kita untuk mendamaikan
(memperbaiki hubungan) mereka.
Alam semesta dan seisinya merupakan makhluk Allah SWT yang
diperintahkan untuk selalu mengagungkan-Nya, walaupun dalam Al-Qur’ an
hanya disebutkan bahwa yang diciptakan hanya untuk mengabdi kepada-Nya
hanyalah manusia dan jin, namun secara hakikat seluruh makhluk
diperintahkan untuk selalu bertasbih, bertahmid, bertakbir kepada Allah
SWT. Dalam kehidupan dunia yang nyata, Allah SWT sebagai khaliq dan
manusia, hewan, dan tumbuhan serta benda-benda mati sebagai makhluq
direpresantikan sebagai titik, dan hubungan antara khaliq dan makhluq dan
hubungan antar sesama makhluq direpresantikan dengan garis, maka
hubungan itu dapat digambarkan sebagai graf �� � �� atau lebih dikenal
sebagai graf roda �� sebagai berikut:
13��
ALLAHtumbuhan hewan
manusia
bendamati Gambar 2.2: Representasi Hubungan Makhluq dengan Allah SWT.
Dari gambar tersebut jelas bahwa Allah SWT sebagai titik pusat dan
ciptaan-Nya mengelilingi-Nya. Demikian juga terjadi hubungan antar
makhluq. Hal ini menunjukkan bahwa perlunya adanya hubungan secara
vertikal (habluminalloh) dan hubungan secara horizontal
(hablumminalmakhluq).
Representasi yang lainnya adalah shalat. Shalat merupakan salah satu
ibadah yang ditentukan waktunya, baik waktu mulainya maupun akhirnya.
Karena sangat pokoknya semisal lupa belum shalat, maka dalam ilmu fiqih
dijelaskan bagaimana melaksanakan shalat diluar waktunya (qadha). Shalat
dalam sehari semalam dilakukan lima kali dengan waktu yang berurutan dan
tidak berbenturan. Dalam surat An-Nisa ayat 103 Allah SWT berfirman:
� �� �2 �& ,2 ��< �3�� �8 ���� -�� �� ��� &0�� ���& ���� �.�� �< �� ������� � �' �= � � �/ &> ������� � � �� �2 �& �/%� ���0 �� �4 ��
�� �< �� �0 �& �8 ���� -�� �� � ���� �8 ���� -�� �� �� ��5�+ ' �= � �)��� �� �* � �� �� �'� ���+ ����� ���� �3;%
Artinya: Maka apabila kamu Telah menyelesaikan shalat(mu), ingatlah Allah di waktu berdiri, di waktu duduk dan di waktu berbaring. Kemudian apabila kamu Telah merasa aman, Maka Dirikanlah shalat itu (sebagaimana biasa). Sesungguhnya shalat itu adalah fardhu yang ditentukan waktunya atas orang-orang yang beriman.
Siklus shalat lima waktu dapat digambarkan sebagai berikut:
14��
dhuhur
'isya
ashar
subuh
maghrib
�Gambar 2.3: Representasi Graf Terhadap Shalat Lima Waktu
Adapun hubungan waktu shalat dengan teori graf adalah bahwa
waktu-waktu shalat tersebut merupakan suatu himpunan yang terdiri dari
waktu shalat fardhu dan waktu shalat sunah (digambar selanjutnya) sebagai
ekspresi dari himpunan titik dalam graf. Sedangkan keterkaitan antara shalat
fardhu yang satu dengan lainnya dan shalat sunah merupakan ekspresi dari
sisi yang menghubungkan titik-titik dalam graf.
Menurut jenisnya, shalat dibagi menjadi dua yaitu shalat fardhu dan
shalat sunah. Dalam bukunya Al-Ghazali (1995:48) diterangkan bahwa
tidaklah patut seorang muslim meninggalkan shalat sunah karena dapat
mengganti kekurangan pada shalat fardhu. Shalat fardhu adalah modal
sedangkan shalat sunah ibarat keuntungan. Shalat sunah ada berbagai macam
yang dibedakan berdasarkan waktu dan tujuan, diantaranya shalat Dhuha,
shalat Istisqa’, dll. Shalat sunah yang mengiringi shalat fardu disebut shalat
sunah rawatib baik yang muakkad ataupun ghoiru muakkad. Al-Ghazali juga
mengatakan bahwa janganlah seseorang meninggalkan rawatib sebagaimana
diketahuinya dan tidak meninggalkan shalat Dhuha serta shalat Tahajud,
Dijelaskan dalam hadist tentang shalat sunah rawatib sebagai berikut:
15��
�������������� �������������������������������� ��������������� ��������������
������ ������������������ �!������"����������������� �#�$����"������������%"�� .�����&��� .
� ������ �'��(���"����������� ����'������ � .�)*�+����)��(����,�-� �.*����� �������������
������/
Artinya:Dari Ibnu Umar ra berkata “Saya hafal (mengamati kebiasaan) Rosulullah SAW (shalat sunah rawatib) sepuluh rokaat, dua rokaat sebelum dhuhur dan dua lagi setelahnya, dua rokaat setelah maghrib di rumahnya, dua rokaat setelah isya’ di rumahnya, dan dua rokaat sebelum subuh” (HR. Bukhari dan Muslim). Riwayat lainnya”dua rokaat setelah shalat jum’at di rumahnya (Nabi Muhammad)”. Dari imam Muslim “Apabila fajar telah muncul (Nabi) tidak shalat kecuali shalat dua rokaat yang diperingan”.
Jika digambarkan dalam bentuk graf antara shalat fardhu dan shalat
rawatib, maka dapat digambarkan sebagai berikut:
dhuhur
'isya
ashar
subuh
maghrib maghribdiyahba'
asharqobliyah
dhuhurqobliyah
subuhqobliyah'' isyadiyahba
dhuhurdiyahba'
�Gambar 2.4: Representasi Shalat Sunah Rawatib yang Mengiringi Shalat Fardhu
Dari uraian diatas tidak menutup kemungkinan banyak konsep
matematika khususnya teori graf yang masih belum dikaji dan terungkap
melalui pendekatan Al-Qur’ an. Seperti yang telah diuraikan sebelumnya,
bahwa suatu graf memiliki dua unsur pokok yaitu titik dan sisi. Titik-titik
tersebut akan saling terhubung dengan suatu garis yang dinamakan sisi. Sisi-
sisi akan menghubungkan titik-titik yang tidak terhubung menjadi terhubung
meskipun secara tidak langsung.
16��
Berbicara tentang pelabelan, maka harus sesuai dengan aturan yang
ada. Hal ini menunjukkan bahwa suatu pelabelan dalam graf memiliki kaidah
dan ukuran tertentu sehingga pelabelan tersebut mempunyai pelabelan total
sisi ajaib. Al-Qur’ an menjelaskan bahwa segala sesuatu sesuai dengan kadar
dan ukuran yang ditatanya dengan sedemikian rapi.
� � �� �� !+ "� #, �! -� � ��� �" $� � ��� �$.
Artinya: Sesungguhnya kami menciptakan segala sesuatu menurut ukuran.
Hal ini menjelaskan bahwa semua yang ada di alam ini ada
hitungannya, ukurannya, rumusnya, dan ada persamannya. Namun, rumus-
rumus yang ada sekarang bukan diciptakan manusia sendiri, tetapi sudah
disediakan. Manusia hanya menemukan dan menyimbolkan kedalam bahasa
matematika (Abdusysyakir, 2007:80).
Begitu pula dalam hal ini, suatu graf dapat dilabeli dengan pelabelan
total sisi ajaib karena telah memiliki ukuran yang sempurna dengan cara dan
aturan yang dibuat oleh manusia secara sistematis yaitu jika hasil
penjumlahan adalah sama. Dari sinilah Al-Qur’ an mengajak setiap
pembacanya untuk membahas dan mengkaji suatu ilmu untuk memperluas
khazanah ilmu demi kemaslahatan umat manusia.
Penemuan sekaligus pembuktian rumus-rumus yang digunakan dalam
pelabelan dalam graf bertujuan untuk menemukan pola tertentu agar lebih
mudah dipahami. Setelah mengetahui dengan jelas hasil dari pembahasan
diatas yang intinya adalah menemukan pola pelabelan total sisi jaib pada graf
Hairy Cycle untuk mengetahui bilangan ajaibnya.
17��
Hal utama yang dapat dijadikan refleksi dari semuanya adalah setelah
mempelajari matematika yang merupakan ilmu menghitung serta banyak
mengetahui masalah yang terdapat dalam matematika yang dapat direlevansi
dalam agama islam sesuai dengan konsep yang ada dalam Al-Qur’ an, maka
dengan itu akan semakin menambah keimanan kita akan kebesaran Allah
SWT selaku pencipta yang Maha Matematis (Abdusysyakir. 2007:83). Dalam
firman Allah SWT dalam surat Al-Baqarah ayat 202:?
�@ /A�� �� �0) #2 "�� 16< ���� ��� �'� ��' � �+ � �� ��� 7��� 8 ��� � �9 �5 �� �B;B
Artinya: Mereka Itulah orang-orang yang mendapat bahagian daripada yang mereka usahakan dan Allah sangat cepat perhitungan-Nya.
Dalam matematika terdapat enam himpunan bilangan yaitu himpunan
bilangan asli, cacah, bulat, rasional, riil, dan komplek. Namun dalam
pelabelan graf pada umumnya menggunakan himpunan bilangan asli (dalam
matematika disimbolkan dengan huruf �) yaitu bilangan yang dimulai 1, 2, 3,
4,… atau dapat dituliskan � �������� !.
Dalam Al-Qur’ an disebutkan sebanyak 30 bilangan merupakan
bilangan asli yaitu:
1 (Wahid) 11 (Ahada Asyarah) 99 (Tis’un wa Tis’una)
2 (Itsnain) 12 (Itsna Asyarah) 100 (Mi’ah)
3 (Tsalats) 19 (Tis’ata Asyar) 200 (Mi’atain)
4 (Arba’ ) 20 (‘Isyrun) 300 (Tsalatsa Mi’ah)
5 (Khamsah) 30 (Tsalatsun) 1000 (Alf)
6 (Sittah) 40 (‘Arba’un) 2000 (Alfain)
18��
7 (Saba’ ) 50 (Khomsun) 3000 (Tsalatsa Alf)
8 (Tsamaniyah) 60 (Sittun) 5000 (Khamsata Alf)
9 (Tis’a) 70 (Sab’un) 50000 (Khamsina Alf)
10 (‘Asyarah) 80 (Tsamanun) 10000 (Mi’ati Alf)
Sedangkan 8 bilangan rasional yang disebutkan dalam Al-Qur’ an adalah:
�
� (Tsulutsa) �
� (Khumus) �
� (Nishf) �
" (Sudus)
�
� (Tsuluts) �
# (Tsumun) �
� (Rubu’ ) �
�$ (Mi’ syar)
(Abdussakir, 2007: 116)
Misalkan bilangan asli dengan kata ahad terdapat dalam surat Al-
Ikhlas ayat 1:
�� �� ���� �� �� 2 �:�) �3
Artinya: Katakanlah: "Dia-lah Allah, yang Maha Esa” .
Kata miatun dan alfun disebutkan dalam surat As-Shaffat ayat 147:
-� � �� �;�� �) � �' �C �� �(�D ��� 3E �� �) ��) �& �(< �� �3$F
Artinya: Dan kami utus dia kepada seratus ribu orang atau lebih.
Sedangkan untuk bilangan pecahan diantaranya kata tsulutsayi (2/3),
nisfah (1/2),dan tsulust (1/3) yang disebutkan dalam surat Al-Muzammil (20):
���� �@ )� �� ,2 �� ���� �@ � �) �G�& �� �' H �� �) 1�� �, �= �� �> �� ���� �� �-�� #��� � � -�? ���>� *(�� /I���4 � �1�'� ��J�� �� �� �@ ���� � �� ���
4� �� ��� �� �� �� �� ����K �L� ��� � �2 �� �# ��) 1�� �5��9 0, ����% �& ��!9 �� �� �# �
Artinya:Sesungguhnya Tuhanmu mengetahui bahwasanya kamu berdiri (sembahyang) kurang dari dua pertiga malam, atau seperdua malam atau sepertiganya dan (demikian pula) segolongan dari orang-orang
19��
yang bersama kamu. dan Allah menetapkan ukuran malam dan siang. Allah mengetahui bahwa kamu sekali-kali tidak dapat menentukan batas-batas waktu-waktu itu, Maka dia memberi keringanan kepadamu
Setelah mengetahui bahwa dalam Al-Qur’ an terdapat bilangan-
bilangan, maka orang muslim harus mengenal bilangan. Tanpa mengenal
bilangan, seorang muslim tidak akan memahami Al-Qur’ an dengan baik
ketika membaca ayat–ayat yang berbicara tentang bilangan tersebut. Ketika
Al-Qur’ an berbicara bilangan, yang banyaknya sampai 38 bilangan berbeda,
maka tidak diragukan lagi bahwa Al-Qur’ an sebenarnya berbicara tentang
matematika (Abdusysyakir, 2007: 117).
2.2 Pengertian Graf
Definisi 2.1:
Graf � adalah pasangan %���� ��& dengan ��� adalah himpunan
tidak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik, dan
�� adalah himpunan (mungkin kosong) dari pasangan tak berurutan
dari titik-titik berbeda di ��� yang disebut sisi. Banyaknya unsur di
��� disebut order dari � dan dilambangkan dengan '��, dan
banyaknya unsur di �� disebut ukuran dari � dan dilambangkan
(�� (Abdussakir, dkk. 2009:4).
Sehingga jika � ���� ��� maka ��� ���� ��� �� ��! dan
�� �)�� )�� )� )*!, dimana �� + ���� , ����� � disebut vertex
atau titik dan )- + ��� . ����� / disebut edge atau sisi.
Contoh: Terdapat graf � sebagai berikut:
20��
:G
1e
2e
3e4e
5e6e
7e
8e
a
b
d
c
e
f
�Gambar 2.5: Graf �
Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa ��� ��� 0� 1� �� )� 2! dan ��
��� 0�� �� 1�� �� ��� 0� ��� 1� ��� �� 2�� �� )�� 0� )�!, dapat juga ditulis
dengan:
��� ��� 0� 1� �� )� 2!
�� �)�� )�� )�� )�� )�� )"� )3� )#!
Dengan:
)� �� 0� )� 1� ��
)� � �� 1� )" �� 2�
)� �� ���� � �)3 �� )�
)� 0� �� )# 0� )�
Graf � mempunyai 6 titik sehingga '�� 4. Dan graf � mempunyai
8 sisi sehingga (�� 5. Sisi ) 6� dikatakan menghubungkan titik 6 dan
� jika ) 6� adalah sisi di graf �, maka 6 dan � disebut terhubung langsung
(adjacent). � dan ) serta 6 dan ) disebut terkait langsung (incident). Titik 6
dan � disebut ujung dari ). Dua sisi berbeda )� dan )� disebut terhubung
langsung jika terkait langsung pada titik yang sama. Untuk selanjutnya sisi
) 6� �� ditulis ) 6� (Abdussakir, dkk. 2009:6).
Titik � dan 0 incident, begitu juga dengan � dan 1,�� dan �,�0 dan
),�0 dan �,�1 dan �,�� dan )� � dan 2. Sedangkan titik � dan ) adjacent ,
21��
begitu juga dengan � dan 2, 0 dan 1,�0 dan 2,�1 dan ),�1 dan 2. Sisi )� terkait
langsung dengan � dan 0, sisi )� terkait langsung dengan � dan 1. Sisi )�
tidak terkait langsung dengan � dan 2. Sehingga satu sisi hanya dapat terkait
langsung dengan dua titik yang berbeda karena satu sisi hanya
menghubungkan dua titik yang berbeda.
2.3 Derajat Titik
Definisi 2.2:
Derajat suatu titik di � pada sebuah graf � ditulis dengan � �)7��
adalah banyaknya sisi yang terkait langsung pada �. Dengan kata lain
banyaknya sisi yang memuat � sebagai titik ujung. Titik � dikatakan
genap atau ganjil tergantung dari jumlah 89:��� genap atau ganjil.
(Chartrand dan Lesniak, 1986:7).
Jika dalam konteks pembicaraan hanya terdapat satu graf �, maka
tulisan �)7;�� disingkat menjadi �)7��. Titik berderajat genap sering
disebut titik genap dan titik berderajat ganjil disebut titik ganjil . Titik yang
berderajat nol disebut isolated vertices dan titik yang berderajat satu disebut
titik ujung (end vertices) (Chartrand dan Lesniak, 1986:7).
Jika setiap titik dalam suatu graf mempunyai derajat yang sama maka
graf tersebut dikatakan dengan graf regular (regular graphs). Sebuah graf �
dikatakan < reguler atau regular berderajat < jika setiap titik di � mempunyai
derajat <.
22��
Penulis mencontohkan dengan suatu graf � yang mempunyai
himpunan titik ��� ��� 0� 1� �! dan himpunan sisi �� �)�� )�� )�� )�!
dan bentuk graf � sebagai berikut:
1e
d
c
b
a
2e
3e
4e
:G
�Gambar 2.6: Graf � Dengan Vertex dan Edge
Berdasarkan gambar 2.2 diperoleh bahwa:
deg�� �, deg0� �, deg1� �, deg�� �
dan diperoleh bahwa derajat maksimum di � adalah ��� � dan derajat
minimum di � adalah ��� �. Titik 0 dan 1 adalah titik ganjil, titik � dan
� adalah titik genap. Graf � mempunyai titik ujung yaitu pada titik 1.
2.4 Graf Terhubung
Definisi 2.3:
Misalkan � graf. Misalkan 6 dan � adalah titik pada �. Jalan (trail)
6� pada � yang dinotasikan � adalah barisan berhingga yang
berganti �=6 �$� )�� ��� )�� ��� � )�� �� � antara titik dan sisi
yang diawali dan diakhiri dengan titik dengan )> �>?��> adalah sisi
di � untuk , ����� � �. �$ disebut titik awal dan �� disebut titik
akhir. Titik �$� ��� ��� � �� disebut titik internal, dan � menyatakan
panjang dari � (Abdussakir, dkk. 2009:49).
23��
Definisi 2.4:
Misalkan 6 dan � merupakan titik pada �. Titik 6 dan � dikatakan
terhubung (connected) jika terdapat lintasan 6 @ � di �. Suatu graf
dikatakan terhubung jika untuk setiap 6 dan � yang berbeda di �
terhubung, tetapi jika tidak ada lintasan antara 6 dan � maka � disebut
tak terhubung (Abdussakir, dkk. 2009: 56).
2.5 Jenis-Jenis Graf
a. Graf Lintasan
Definisi 2.5:
Graf lintasan adalah graf yang terdiri dari satu garis. Graf lintasan
dengan � titik dinotasikan dengan A� (Wilson dan Watkins, 1990:36)
Contoh:
1P5P4P3P
2P�
Gambar 2.7: Beberapa Bentuk Graf Lintasan�
b. Graf Sikel
Definisi 2.6:
Graf sikel adalah graf yang terdiri dari satu sikel. Graf sikel dengan
� titik dinotasikan dengan �� (Wilson dan Watkins, 1990:36).
Perlu diketahui bahwa secara umum graf sikel adalah graf sikel yang
berderajat 2 dan mempunyai � titik, dengan � B �.
Contoh:
3C 4C 5C�
Gambar 2.8: Beberapa Bentuk Graf Sikel
24��
Graf sikel juga disebut dengan graf lingkaran karena gambarnya
dapat dibentuk menjadi lingkaran. Graf sikel tidak selamanya digambar
dalam bentuk lingkaran. Untuk sikel yang banyak titiknya ganjil disebut
sikel ganjil dan sikel yang banyak titiknya genap disebut sikel genap
(Abdussakir, dkk. 2009:55).
c. Graf Cartepillar
Definisi 2.7:
Graf caterpillar adalah graf terhubung dengan � titik pusat dan /
titik rambut yang jika titik ujungnya (rambut) dipotong atau dihapus
maka akan membentuk graf lintasan (Pradhan dan Kumar, 2009:79).
Contoh graf caterpillar yang dimaksud dalam hal ini sebagai berikut:
10a
na131a1
1a
na030a2
0a
21a
1ma 1
1−ma
12a
2ma 2
1−ma
22a
3ma 3
1−ma
32a
nma n
ma 1−
na2
�Gambar 2.9: Graf Cartepillar�
d. Graf Hairy Cycle
Definisi 2.8:
Diberikan dua himpunan C dan � sedemikian sehingga C� adalah
himpunan pada sikel dan � unutk selain sikel, maka graf Hairy
Cycle adalah graf yang dibangun dengan mempertemukan titik-titik
pada C dan � dan disimbolkan dengan ��D (� bilangan pokok pada
C). Secara umum jika diberikan graf � dan E dimana � �� dan
25��
E �� maka graf Hairy Cycle diperoleh dengan mengkonstruksi
���F�/�� dimana �� selalu bersisi tunggal (Wojciechowski, _: 2).
Jadi, graf Hairy Cycle adalah graf yang diperoleh dengan cara
menghubungkan titik rambut pada titik pusat yang pertama dengan titik
rambut pada titik pusat yang terakhir pada graf cartepillar. Atau jika
menghilangkan sebarang sisi pada sikelnya maka akan menjadi graf
caterpillar (Barrientos, 2005:102).
Graf Hairy Cycle yang dimaksud dalam hal ini adalah sebagai
berikut:
na1
31a
11a
21a
12a
22a
32a
na2
1ma
13a
2ma
23a
3ma4
0a
nma
na4
4ma
44a
43a
42a
41a
10a
14a
24a
20a
30a
34a
33a
na3
na0
�Gambar 2.10: Graf Hairy Cycle ��D �
2.6 Fungsi
Definisi 2.9:
Misalkan G dan H himpunan, fungsi dari G dan H adalah himpunan 2
pasangan berurutan dalam G dan H sedemikian sehingga untuk setiap
� + G maka terdapat bilangan tunggal 0 + H dengan �� 0� + 2
(Bartle dan Sherbert, 2000: 5).
26��
Definisi 2.10:
Misalkan terdapat dua himpunan G dan H yang keduanya tidak
kosong, pemetaan 2 dari G kedalam H, kita tulis 2= G � H adalah
suatu cara yang mengaitkan setiap unsur I + G�dengan suatu unsur
J + H. Pengaitan ini kita tandai 2= I K J (Arifin, 2000:8).
Pada fungsi tersebut elemen himpunan G disebut domain dan biasanya
dinotasikan dengan �2�, sedangkan himpunan H pada 2 disebut kodomain
dan untuk daerah hasil disebut range yang dinotasikan dengan L2�. Perlu
dicatat walaupun �2� G kita hanya akan mempunyai L2� M H.
Pada hakikatnya setiap elemen di G dapat dipetakan paling sedikit satu
elemen di H. Misalnya unsur I + G dikaitkan dengan unsur J� dan J� di H
yang berbeda. Hal ini tidak dapat terjadi dalam pemetaan 2= G � H. Dengan
demikian pemetaan 2= I K J untuk semua unsur I + G akan mendefinisikan
pemetaan 2= G � H jika dan hanya jika setiap I + G dipetakan dengan satu
unsur J + H.
Jika 2= G � H dimana G dan H suatu himpunan tak kosong, maka:
Definisi 2.11:
a. Fungsi 2 disebut injektif (satu-satu) jika I� N I� maka 2I�� N
2I��, hal ini berakibat pula jika I� I� maka 2I�� 2I��.
b. Fungsi 2 disebut surjektif (pada) jika untuk setiap elemen I + G
terdapat suatu unsur J + H yangg memenuhi 2I� J.
c. Fungsi 2 disebut bijektif jika fungsi tersebut injektif dan surjektif.
(Bartle dan Sherbert, 2000: 8).
27��
Perhatikan gambar berikut:
f
A B �Gambar 2.11: 2 Bukan Fungsi
f
A B �Gambar 2.12: 2 Bukan Fungsi
f
A B �Gambar 2.13: 2 Fungsi Surjektif
f
A B �Gambar 2.14: 2 Fungsi Injektif
f
A B �Gambar 2.15: 2 Fungsi Bijektif
2.7 Pelabelan
Definisi 2.12:
Pelabelan suatu graf adalah sebarang pemetaan (fungsi) yang
memasangkan unsur-unsur graf (titik atau sisi) dengan himpunan
bilangan asli. Kotzig dan Rosa mendefinisikan bahwa pelabelan ajaib
pada graf ��� � merupakan fungsi bijektif dari � O yang
dipetakan pada himpunan ��� �� �� P� O P! sedemikian sehingga
untuk setiap titik IJ����2I� � 2J� � 2IJ� adalah konstant.
Enomoto, Llado, Nakamigawa dan Ringel menjelaskan bahwa
pelabelan total sisi ajaib disebut super sisi ajaib jika himpunan titik
dilabeli pada himpunan ������ � P�P! (Gallian, 2005:74-76).
28��
Perhatikan graf berikut:
1e
c
ba
2e3e:G
Gambar 2.16: Graf dengan Unsur Titik dan Sisi�
Jika graf tersebut dilabeli dengan cara memetakan unsur-unsur pada graf
dengan bilangan asli, maka dapat digambarkan sebagai berikut:
6
3
21
45:G
�Gambar 2.17: Graf dengan Pelabelan Bilangan Asli�
Dalam pelabelan graf terdapat beberapa cara yang sebenarnya
didegeneralisasi dari ide persegi ajaib (magic square). Berikut ini beberapa
jenis pelabelan ajaib pada suatu graf:
a. Misalkan � graf dengan himpunan titik ��� dan himpunan sisi ��.
Banyak titik di �adalah ' dan banyak sisi di �adalah (. Pelabelan titik
sisi ajaib (edge magic vertex labeling) pada graf � adalah fungsi bijektif
2 dari � pada hinpunan ������ � '� sehingga untuk sebarang sisi
I� J�di � berlaku 2I� � 2J� Q
Untuk suatu konstanta Q. Selanjutnya Q disebut bilangan ajaib pada �
dan � disebut titik sisi ajaib.
b. Misalkan � graf dengan himpunan titik ��� dan himpunan sisi ��.
Banyak titik di �adalah ' dan banyak sisi di �adalah (. Pelabelan total
titik ajaib (vertex magic total labeling) pada graf � adalah fungsi
29��
bijektif 2 dari � O pada hinpunan ������ � ' � (� sehingga untuk
sebarang titik I di � berlaku 2I� � R 2S+TU� I� J� Q
Untuk suatu konstanta Q. Selanjutnya Q disebut bilangan ajaib pada �
dan � disebut total titik ajaib. (Miller, dkk. 2005:2)
c. Misalkan � graf dengan himpunan titik ��� dan himpunan sisi ��.
Banyak titik di �adalah ' dan banyak sisi di �adalah (. Pelabelan sisi
titik ajaib (vertex magic edge labeling) pada graf � adalah fungsi
bijektif 2 dari pada hinpunan ������ � (� sehingga untuk sebarang
titik I di � berlaku R 2S+TU� I� J� Q atau lebih umum ditulis
2I� � 2IJ� � 2J� Q.
Untuk suatu konstanta Q. Selanjutnya Q disebut bilangan ajaib pada �
dan � disebut total titik ajaib. (Miller, dkk. 2000:179)
Pada gambar 2.7 yang merupakan graf berbentuk segitiga dan pada
gambar 2.8 adalah pelabelan graf tersebut dan dapat kita lihat bahwa
pelabelan itu merupakan pelabelan total sisi ajaib dengan konstanta 9.
�
�
���
�
BAB III PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas mengenai pelabelan total sisi ajaib pada
graf Hairy Cycle ��D . Graf Hairy Cycle ��D adalah graf �� dengan order � dan
� B � untuk � bilangan asli dengan tiap � mempunyai rambut sebanyak /. Atau
secara umum, misalkan terdapat graf � dan E, pembentukan graf Hairy Cycle
diperoleh dengan mengkonstruksi � V E dengan � �� dan E �� sebanyak /
bilangan asli, dan dapat disimbolkan �� �/��.
Untuk mencari pelabelan total sisi ajaib pada graf Hairy Cycle ��D ,
penulis akan membatasi pada � 3, 4, dan 5 dengan / rambut serta hanya
menemukan satu pola saja.
3.1 Graf Hairy Cycle WXD Dengan Y Rambut
Bentuk graf Hairy Cycle ��D dengan / rambut adalah sebagai berikut:
0a
0b
0c
1a
4a
3a
2a
ma
1b
2b3b
4b
mb
1c
3c
2c
4c
mc Gambar 3.1: Graf ��
D dengan / Rambut
a. Pelabelan ��� dengan 1 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:
6
4
3
12
5
1
2 10
7
9
11
8
Gambar 3.2: Pelabelan Graf ��D dengan 1 Rambut
31��
Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi
ajaib pada graf Hairy Cycle ��� dengan 1 rambut maka diperoleh:
Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �
2��� Z [ � \ � � �
20�� Z 4 � \ � � �
21�� Z � � \ � � �
Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$��� Z ] 4 \ � � 4� @ � \ �
20$0�� Z ^ 4 \ � � �� @ � \ �
21$1�� Z 5 4 \ � � [� @ � \ �
2�$0$� Z �� 4 \ � � 4
2�$1$� Z �� 4 \ � � [
20$1$� Z �_ 4 \ � � [
Bukti bahwa ��� dengan 1 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:
2�$� � 2�$��� � 2��� � � [ � ] �[
20$� � 20$0�� � 20�� � � 4 � ^ �[
21$� � 21$1�� �� 21�� � � � � 5 �[
2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �� � � �[
2�$� � 2�$1$� � 21$� � � �� � � �[
20$� � 20$1$� � 21$� � � �_� � �[
Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q �[. Jadi
��� dengan 1 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.
32��
b. Pelabelan ��� dengan 2 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:
6
16
48
312
5
1
2
13
17
10
14
7
15
18
11
9
Gambar 3.3: Pelabelan Graf ��D dengan 2 Rambut
Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi
ajaib pada graf Hairy Cycle ��� dengan 2 rambut maka diperoleh:
Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �
2��� Z [ � \ � � �
2��� Z 5 � \ � � �
20�� Z 4 � \ � � �
20�� Z ] � \ � � �
21�� Z � � \ � � �
21�� Z ^ � \ � � �
Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$��� Z �[ 4 \ � � 4� @ � \ �
2�$��� Z �� 4 \ � � 4� @ � \ �
20$0�� Z �� 4 \ � � �� @ � \ �
20$0�� Z �_ 4 \ � � �� @ � \ �
21$1�� Z �� 4 \ � � [� @ � \ �
21$1�� Z �� 4 \ � � [� @ � \ �
2�$0$� Z �5 4 \ � � 4
33��
2�$1$� Z �̂ 4 \ � � [
20$1$� Z �4 4 \ � � �
Bukti bahwa ��� dengan 2 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �[ � [ ��
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � 5 ��
20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � 4 ��
20$� � 20$0�� � 20�� � � �_� ] ��
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �� � � ��
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �� � ^ ��
2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �5 � � ��
2�$� � 2�$1$� � 21$� � � �^ � � ��
20$� � 20$1$� � 21$� � � �4 � � ��
Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q ��. Jadi
��� dengan 2 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.
c. Pelabelan ��� dengan 3 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:
616
4
8
3
12
5
1
2
13
17
10
14 718
11
9
19
20
21
22
23
24
15
Gambar 3.4: Pelabelan Graf ��D dengan 3 Rambut
Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi
ajaib pada graf Hairy Cycle ��� dengan 3 rambut maka diperoleh:
Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:
34��
2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �
2��� Z [ � \ � � �
2��� Z 5 � \ � � �
2��� Z �� � \ � � �
20�� Z 4 � \ � � �
20�� Z ] � \ � � �
20�� Z �� � \ � � �
21�� Z � � \ � � �
21�� Z ^ � \ � � �
21�� Z �_ � \ � � �
Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$��� Z �� 4 \ � � 4� @ � \ �
2�$��� Z �5 4 \ � � 4� @ � \ �
2�$��� Z �[ 4 \ � � 4� @ � \ �
20$0�� Z �] 4 \ � � �� @ � \ �
20$0�� Z �4 4 \ � � �� @ � \ �
20$0�� Z �� 4 \ � � �� @ � \ �
21$1�� Z �_ 4 \ � � [� @ � \ �
21$1�� Z �^ 4 \ � � [� @ � \ �
21$1�� Z �� 4 \ � � [� @ � \ �
2�$0$� Z �� 4 \ � � 4�
2�$1$� Z �� 4 \ � � [�
20$1$� Z �� 4 \ � � ��
35��
Bukti bahwa ��� dengan 3 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � [ �^
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �5 � 5 �^
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �[ � �� �^
20$� � 20$0�� � 20�� � � �] � 4 �^
20$� � 20$0�� � 20�� � � �4 � ] �^
20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � �� �^
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �_� � �^
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �^ � ^ �^
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �� � �_ �^
2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �� � � �^
2�$� � 2�$1$� � 21$� � � �� � � �^
20$� � 20$1$� � 21$� � � �� � � �^
Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q �^. Jadi
��� dengan 3 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.
d. Pelabelan ��� dengan 4 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:
6
16
4
8
3
12
5
1
2
13
1710
14
7
15
18
11
9
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Gambar 3.5: Pelabelan Graf ��D dengan 4 Rambut
Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi
ajaib pada graf Hairy Cycle ��� dengan 4 rambut maka diperoleh:
36��
Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �
2��� Z [ � \ � � �
2��� Z 5 � \ � � �
2��� Z �� � \ � � �
2��� Z �� � \ � � �
20�� Z 4 � \ � � �
20�� Z ] � \ � � �
20�� Z �� � \ � � �
20�� Z �[ � \ � � �
21�� Z � � \ � � �
21�� Z ^ � \ � � �
21�� Z �_ � \ � � �
21�� Z �� � \ � � �
Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$��� Z �^ 4 \ � � 4� @ � \ �
2�$��� Z �� 4 \ � � 4� @ � \ �
2�$��� Z �� 4 \ � � 4� @ � \ �
2�$��� Z �5 4 \ � � 4� @ � \ �
20$0�� Z �[ 4 \ � � �� @ � \ �
20$0�� Z �� 4 \ � � �� @ � \ �
20$0�� Z �] 4 \ � � �� @ � \ �
20$0�� Z �4 4 \ � � �� @ � \ �
37��
21$1�� Z �4 4 \ � � [� @ � \ �
21$1�� Z �� 4 \ � � [� @ � \ �
21$1�� Z �_ 4 \ � � [� @ � \ �
21$1�� Z �^ 4 \ � � [� @ � \ �
2�$0$� Z �_ 4 \ � � 4
2�$1$� Z �] 4 \ � � [
20$1$� Z �5 4 \ � � �
Bukti bahwa ��� dengan 4 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �^ � [ ��
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � 5 ��
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �� ��
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �5 � �� ��
20$� � 20$0�� � 20�� � � �[ � 4 ��
20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � ] ��
20$� � 20$0�� � 20�� � � �] � �� ��
20$� � 20$0�� � 20�� � � �4 � �[ ��
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �4 � � ��
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �� � ^ ��
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �_� �_ ��
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �^ � �� ��
2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �_� � ��
2�$� � 2�$1$� � 21$� � � �] � � ��
20$� � 20$1$� � 21$� � � �5 � � ��
38��
Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q ��. Jadi
��� dengan 4 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.
e. Pelabelan ��� dengan 5 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:
6
16
4
8
3
12
5
1
2
13
17
10
7
15
18
11
9
19
20
21
22
23
24
25
2627
28
29
3035
34
33
32
31
36
14
Gambar 3.6: Pelabelan Graf ��D dengan 5 Rambut
Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi
ajaib pada graf Hairy Cycle ��� dengan 5 rambut dimana maka diperoleh:
Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �
2��� Z [ � \ � � �
2��� Z 5 � \ � � �
2��� Z �� � \ � � �
2��� Z �� � \ � � �
2��� Z �^ � \ [ � �
20�� Z 4 � \ � � �
20�� Z ] � \ � � �
20�� Z �� � \ � � �
20�� Z �[ � \ � � �
20�� Z �5 � \ [ � �
21�� Z � � \ � � �
39��
21�� Z ^ � \ � � �
21�� Z �_ � \ � � �
21�� Z �� � \ � � �
21�� Z �4 � \ [ � �
Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$��� Z �� 4 \ [ � 4� @ � \ �
2�$��� Z �_ 4 \ [ � 4� @ � \ �
2�$��� Z �^ 4 \ [ � 4� @ � \ �
2�$��� Z �� 4 \ [ � 4� @ � \ �
2�$��� Z �� 4 \ [ � 4� @ � \ [
20$0�� Z �� 4 \ [ � �� @ � \ �
20$0�� Z �5 4 \ [ � �� @ � \ �
20$0�� Z �[ 4 \ [ � �� @ � \ �
20$0�� Z �� 4 \ [ � �� @ � \ �
20$0�� Z �] 4 \ [ � �� @ � \ [
21$1�� Z �� 4 \ [ � [� @ � \ �
21$1�� Z �] 4 \ [ � [� @ � \ �
21$1�� Z �4 4 \ [ � [� @ � \ �
21$1�� Z �� 4 \ [ � [� @ � \ �
21$1�� Z �_ 4 \ [ � [� @ � \ [
2�$0$� Z �4 4 \ [ � 4
2�$1$� Z �[ 4 \ [ � [
20$1$� Z �� 4 \ [ � �
40��
Bukti bahwa ��D dengan 5 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � [ �]
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �_ � 5 �]
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �^ � �� �]
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �� �]
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �^ �]
20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � 4 �]
20$� � 20$0�� � 20�� � � �5 � ] �]
20$� � 20$0�� � 20�� � � �[ � �� �]
20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � �[ �]
20$� � 20$0�� � 20�� � � �] � �5 �]
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �� � � �]
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �] � ^ �]
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �4 � �_ �]
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �� � �� �]
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �_ � �4 �]
2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �4 � � �]
2�$� � 2�$1$� � 21$� � � �[ � � �]
20$� � 20$1$� � 21$� � � �� � � �]
Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q �]. Jadi
��D dengan 5 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.
f. Pelabelan ��D dengan 6 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:
41��
6
16
4
8
3
12
5
1
2
13
17
1014
7
15
18
11
9
19
20
2122
23
24
25
26
27
28
2930
35
34
33
32
31
36
42
41
40
39
38
37
Gambar 3.7: Pelabelan Graf ��D dengan 6 Rambut
Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi
ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 6 rambut maka diperoleh:
Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �
2��� Z [ � \ � � �
2��� Z 5 � \ � � �
2��� Z �� � \ � � �
2��� Z �� � \ � � �
2��� Z �^ � \ [ � �
2�"� Z �_ � \ 4 � �
20�� Z 4 � \ � � �
20�� Z ] � \ � � �
20�� Z �� � \ � � �
20�� Z �[ � \ � � �
20�� Z �5 � \ [ � �
20"� Z �� � \ 4 � �
21�� Z � � \ � � �
21�� Z ^ � \ � � �
42��
21�� Z �_ � \ � � �
21�� Z �� � \ � � �
21�� Z �4 � \ [ � �
21"� Z �] � \ 4 � �
Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$��� Z �] 4 \ 4 � 4� @ � \ �
2�$��� Z �4 4 \ 4 � 4� @ � \ �
2�$��� Z �� 4 \ 4 � 4� @ � \ �
2�$��� Z �_ 4 \ 4 � 4� @ � \ �
2�$��� Z �^ 4 \ 4 � 4� @ � \ [
2�$�"� Z �� 4 \ 4 � 4� @ � \ 4
20$0�� Z �^ 4 \ 4 � �� @ � \ �
20$0�� Z �� 4 \ 4 � �� @ � \ �
20$0�� Z �� 4 \ 4 � �� @ � \ �
20$0�� Z �5 4 \ 4 � �� @ � \ �
20$0�� Z �[ 4 \ 4 � �� @ � \ [
20$0"� Z �� 4 \ 4 � �� @ � \ 4
21$1�� Z �5 4 \ 4 � [� @ � \ �
21$1�� Z �[ 4 \ 4 � [� @ � \ �
21$1�� Z �� 4 \ 4 � [� @ � \ �
21$1�� Z �] 4 \ 4 � [� @ � \ �
21$1�� Z �4 4 \ 4 � [� @ � \ [
21$1"� Z �� 4 \ 4 � [� @ � \ 4
43��
2�$0$� Z �� 4 \ 4 � 4�
2�$1$� Z �� 4 \ 4 � [�
20$1$� Z �_ 4 \ 4 � ��
Bukti bahwa ��D dengan 6 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �] � [ �[
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �4 � 5 �[
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �� �[
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �_ � �� �[
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �^ � �^ �[
2�$� � 2�$�"� � 2�"� � � �� � �_ �[
20$� � 20$0�� � 20�� � � �^ � 4 �[
20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � ] �[
20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � �� �[
20$� � 20$0�� � 20�� � � �5 � �[ �[
20$� � 20$0�� � 20�� � � �[ � �5 �[
20$� � 20$0"� � 20"� � � �� � �� �[
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �5 � � �[
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �[ � ^ �[
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �� � �_ �[
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �] � �� �[
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �4 � �4 �[
21$� � 21$1"� �� 21"� � � �� � �] �[
2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �� � � �[
44��
2�$� � 2�$1$� � 21$� � � �� � � �[
20$� � 20$1$� � 21$� � � �_ � � �[
Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q �[. Jadi
��D dengan 6 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.
Untuk lebih jelasnya pola pelabelan pada graf Hairy Cycle ��D dapat dilihat
dalam tabel berikut:
Tabel 3.1: Pelabelan ��D pada titik pusat dan sisi antar titik pusat / 2�$� 20$� 21$� 2�$0$� 20$1$� 21$�$� 1 1 2 3 �� 4 \ � � 4 �� 4 \ � � [ �_ 4 \ � � � 2 1 2 3 �5 4 \ � � 4 17 4 \ � � [ �4 4 \ � � � 3 1 2 3 �� 4 \ � � 4 �� 4 \ � � [ �� 4 \ � � � 4 1 2 3 �_ 4 \ � � 4 �] 4 \ � � [ �5 4 \ � � � 5 1 2 3 �4 4 \ [ � 4 �[ 4 \ [ � [ �� 4 \ [ � � 6 1 2 3 �� 4 \ 4 � 4 �� 4 \ 4 � [ �_ 4 \ 4 � � / � � � 4/ � 4 4/ � [ 4/ � �
Tabel 3.2: Pelabelan ��D pada titik rambut / 2�>� 20>� 21>� 1 [ � \ � � � 4 � \ � � � � � \ � � � 2 [ � \ � � �
5 � \ � � � 4 � \ � � � ] � \ � � �
� � \ � � � ^ � \ � � �
3 [ � \ � � � 5 � \ � � � �� � \ � � �
4 � \ � � � ] � \ � � � �� � \ � � �
� � \ � � � ^ � \ � � � �_ � \ � � �
4 [ � \ � � � 5 � \ � � � �� � \ � � � �� � \ � � �
4 � \ � � � ] � \ � � � �� � \ � � � �[ � \ � � �
� � \ � � � ^ � \ � � � �_ � \ � � � �� � \ � � �
5 [ � \ � � � 5 � \ � � � �� � \ � � � �� � \ � � � �^ � \ [ � �
4 � \ � � � ] � \ � � � �� � \ � � � �[ � \ � � � �5 � \ [ � �
� � \ � � � ^ � \ � � � �_ � \ � � � �� � \ � � � �4 � \ [ � �
6 [ � \ � � � 5 � \ � � � �� � \ � � � �� � \ � � � �^ � \ [ � � �_ � \ 4 � �
4 � \ � � � ] � \ � � � �� � \ � � � �[ � \ � � � �5 � \ [ � � �� � \ 4 � �
� � \ � � � ^ � \ � � � �_ � \ � � � �� � \ � � � �4 � \ [ � � �] � \ 4 � �
/ �, � � �, � � �, � �
45��
Tabel 3.3: Pelabelan ��D pada sisi antara titik pusat dan titik rambut / 2�$�>� 20$0>� 21$1>� 1 ] 4 \ � � 4� @ � \ � ^ 4 \ � � �� @ � \ � 5 4 \ � � [� @ � \ � 2 �[ 4 \ � � 4� @ � \ �
�� 4 \ � � 4� @ � \ � �� 4 \ � � �� @ � \ � �_ 4 \ � � �� @ � \ �
�� 4 \ � � [� @ � \ � �� 4 \ � � [� @ � \ �
3 �� 4 \ � � 4� @ � \ � �5 4 \ � � 4� @ � \ � �[ 4 \ � � 4� @ � \ �
�] 4 \ � � �� @ � \ � �4 4 \ � � �� @ � \ � �� 4 \ � � �� @ � \ �
�_ 4 \ � � [� @ � \ � �^ 4 \ � � [� @ � \ � �� 4 \ � � [� @ � \ �
4 27 4 \ � � 4� @ � \ � �� 4 \ � � 4� @ � \ � �� 4 \ � � 4� @ � \ � �5 4 \ � � 4� @ � \ �
�[ 4 \ � � �� @ � \ � �� 4 \ � � �� @ � \ � �] 4 \ � � �� @ � \ � �4 4 \ � � �� @ � \ �
�4 4 \ � � [� @ � \ � �� 4 \ � � [� @ � \ � �_ 4 \ � � [� @ � \ � �^ 4 \ � � [� @ � \ �
5 33 4 \ [ � 4� @ � \ � �_ 4 \ [ � 4� @ � \ � �^ 4 \ [ � 4� @ � \ � �� 4 \ [ � 4� @ � \ � �� 4 \ [ � 4� @ � \ [
�� 4 \ [ � �� @ � \ � �5 4 \ [ � �� @ � \ � �[ 4 \ [ � �� @ � \ � �� 4 \ [ � �� @ � \ � �] 4 \ [ � �� @ � \ [
�� 4 \ [ � [� @ � \ � �] 4 \ [ � [� @ � \ � �4 4 \ [ � [� @ � \ � �� 4 \ [ � [� @ � \ � �_ 4 \ [ � [� @ � \ [
6 �] 4 \ 4 � 4� @ � \ � �4 4 \ 4 � 4� @ � \ � �� 4 \ 4 � 4� @ � \ � �_ 4 \ 4 � 4� @ � \ � �^ 4 \ 4 � 4� @ � \ [ �� 4 \ 4 � 4� @ � \ 4
�^ 4 \ [ � �� @ � \ � �� 4 \ [ � �� @ � \ � �� 4 \ [ � �� @ � \ � �5 4 \ [ � �� @ � \ � �[ 4 \ [ � �� @ � \ [ �� 4 \ [ � �� @ � \ 4
�5 4 \ 4 � [� @ � \ � �[ 4 \ 4 � [� @ � \ � �� 4 \ 4 � [� @ � \ � �] 4 \ 4 � [� @ � \ � �4 4 \ 4 � [� @ � \ [ �� 4 \ 4 � [� @ � \ 4
/ 4/ � 4� @ �, 4/ � �� @ �, 4/ � [� @ �,
Berdasarkan hasil beberapa pelabelan graf Hairy Cycle diatas, maka dapat
dibuat generalisasi dalam bentuk teorema sebgai berikut:
Teorema 3.1:
Graf Hairy Cycle ��D dengan / rambut bilangan asli adalah total sisi ajaib.
Bukti:
Pelabelan total sisi ajaib pada suatu graph � dengan order ' dan ukuran (
adalah fungsi bijektif 2 dari � O ke himpunan bilangan bulat {1,2,3, …, ' � (}
sedemikian hingga untuk masing-masing sisi IJ di � berlaku 2I� � 2IJ� �
2J� Q, dengan k konstanta.
Maka untuk membuktikan teorema 3.1 perlu ditunjukkan bahwa :
46��
i) � adalah fungsi bijektif 2 dari � O ke himpunan bilangan bulat {1,2,3,
…, ' � (}
ii) untuk masing-masing sisi IJ di � berlaku 2I� � 2IJ� � 2J� Q
Misal:
��� �$� ��� ��� ��� � �*� �0$� 0�� 0�� 0�� � 0*� �1$� 1�� 1�� 1�� � 1*�
yang dikelompokkan sebagai berikut:
���� �$� ��� ��� ��� � �*�
���� �0$� 0�� 0�� 0�� � 0*�
���� �1$� 1�� 1�� 1�� � 1*�
Dimana:
�$: titik pusat ���� ��� ��� ��� � �*: titik ujung ����
0$: titik pusat ���� 0�� 0�� 0�� � 0*: titik ujung ����
1$: titik pusat ���� 1�� 1�� 1�� � 1*: titik ujung ����
Sedangkan �$� 0$ dan 1$ saling terhubung.
�� �$��� �$��� � �$�*� �$0$� 0$0�� 0$0�� � 0$0*� 0$1$� ` ` ` � 1$1*� 1$�$�
yang dikelompokkan sebagai berikut:
��� �$��� �$��� � �$�*� �$0$�
��� �0$0�� 0$0�� � 0$0*� 0$1$�
��� �1$1�� 1$1�� � 1$1*� 1$�$�
Jadi order dan ukuran di ��D dengan / rambut adalah:
'�� �/ � ��� 8ab�(�� �/ � ��
Maka ' � ( �/ � �� � �/ � ��
4/ � ��
47��
Graf Hairy Cycle ��D dengan / rambut dapat digambar sebagai berikut:
0a
0b
0c
1a
4a
3a
2a
ma
1b
2b3b
4b
mb
1c
3c
2c
4c
mc Gambar 3.8: Graf ��D dengan / Rambut
dengan pola pelabelan sebagai berikut:
1
2
3
11 +c
14 +c
13 +c12 +c
1+mc
11 +a
12 +a13 +a 14 +a
1+ma
1+n
12 +b
11 +b
13 +b
11 +−mb Gambar 3.9: Pelabelan Graf ��D dengan / Rambut
Pelabelan total sisi ajaib didefinisikan sebagai fungsi 2 dari ��� O ��
ke ������� � ' � (!, maka dihasilkan pola pelabelan sebagai berikut:
a. 2�$� Z �
b. 2�>� Z �, � � untuk , ������ �/
c. 2�$�>� Z 4/ � 4� @ �, untuk , ������ �/
d. 2�$0$� Z 4/ � 4 untuk , ������ �/
e. 20$� Z �
f. 20>� Z �, � � untuk , ������ �/
g. 20$0>� Z 4/ � �� @ �, untuk , ������ �/
h. 20$1$� Z 4/ � � untuk , ������ �/
i. 21$� Z �
48��
j. 21>� Z �, � � untuk , ������ �/
k. 21$1>� Z 4/ � [� @ �, untuk , ������ �/
l. 21$�$� Z 4/ � [ untuk , ������ �/
Maka:
i) Akan ditunjukkan bahwa � adalah fungsi bijektif 2 dari ��� O �� ke
himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, …, ' � (}
1) � adalah fungsi injektif
Untuk titik di �, ambil �> dan �- titik di � dengan 2�>� 2�-�. Akan
dibuktikan , . sedemikian hingga �> �-.
a. Untuk � c , c �, dan � c . c �.
Karena 2I>� 2I-� maka I> I- , jadi , ..
b. Untuk � c , c /� dan � c . c /.
Karena 2�>� 2%�-& maka:
��, � � ��. � �
�, �.
jadi , ..
c. Untuk � c , c /� dan � c . c /.
Karena 20>� 20-� maka:
��, � � ��. � �
�, �.
jadi , ..
d. Untuk � c , c /� dan � c . c /.
Karena 21>� 21-� maka:
49��
��, � � ��. � �
�, �.
jadi , ..
Untuk sisi di �
a. Untuk � c , c /, dan � c . c /.
Ambil �$�> dan �$�- sisi di � dengan 2�$�>� 2�$�-�.
Akan dibuktikan , . sedemikian hingga �$�> �$�-.
Karena 2�$�>� 2�$�-� maka:
4/ � 4 @ �, 4/ � 4 @ �.
@�, @�.
jadi , .`
b. Untuk � c , c /, dan � c . c /.
Ambil 0$0> dan 0$0- sisi di � dengan 20$0>� 20$0>�.
Akan dibuktikan , . sedemikian hingga 0$0> 0$0-.
Karena 20$0>� 20$0>� maka:
4/ � � @ �, 4/ � � @ �.
@�, @�.
jadi , ..
c. Untuk � c , c /, dan � c . c /.
Ambil 1$1> dan 1$1- sisi di � dengan 21$1>� 21$1>�.
Akan dibuktikan , . sedemikian hingga 1$1> 1$1-.
Karena 21$1>� 21$1>� maka:
4/ � [ @ �, 4/ � [ @ �.
50��
@�, @�.
jadi , ..
Jadi 2 merupakan fungsi injektif dari ��� O �� ke ������� � ' � (!
2) � adalah fungsi surjektif
Akan ditunjukkan bahwa ��� O �� dipetakan ke ������� � ' � (!.
Menurut definisi pelabelan bahwa, untuk setiap elemen di ��� akan
dipetakan pada bilangan asli sebanyak ' dan setiap elemen di �� akan
dipetakan pada bilangan asli sebanyak (, maka banyaknya prapeta dan peta
adalah sama. Sehingga dapat disimpulkan bahwa � c 2�� c ' � ( dan
� c 2 � c ' � (. Artinya ��� O �� dipetakan ke ��� �� �� � ' � (!.
Karena P��� O ��P P��� �� �� � ' � (!P dan karena 2�� adalah
injektif maka sudah pasti 2�� adalah surjektif.
Karena 2�� injektif juga sekaligus surjektif, maka 2�� bijektif.
ii) Akan ditunjukkan bahwa untuk masing-masing sisi IJ di � berlaku:
2I� � 2IJ� � 2J� Q
a. Untuk sisi �$�> di � diperoleh:
2�$� � 2�$�>� � 2�>� � � 4/ � 4� @ �, � �, � �� 4/ � ]
b. Untuk sisi 0$0> di � diperoleh:
20$� � 20$0>� � 20>� � � 4/ � �� @ �, � �, � �� 4/ � ]
c. Untuk sisi 1$1> di � diperoleh:
21$� � 21$1>� � 21>� � � 4/ � [� @ �, � �, � �� 4/ � ]
d. Untuk sisi �$0$ di � diperoleh:
2�$� � 2�$0$� � 20$� � � 4/ � 4� � � 4/ � ]
51��
e. Untuk sisi 0$1$ di � diperoleh:
20$� � 20$1$� � 21$� � � 4/ � �� � � 4/ � ]
f. Untuk sisi �$0$ di � diperoleh:
21$� � 21$�$� � 2�$� � � 4/ � [� � � 4/ � ]
Jadi graf Hairy Cycle ��D dengan / rambut adalah total sisi ajaib dengan
bilangan ajaib: Q 4/ � ]
3.2 Graf Hairy Cycle WdD Dengan Y Rambut
Bentuk graf Hairy Cycle ��D dengan / rambut adalah sebagai berikut:
0d
0c0b
0a
1a
ma
4a
3a
2a
1b
2b
3b4b mb 1c
3c2c
4c
mc
1d
4d3d
2d
md Gambar 3.10: Graf ��D dengan / Rambut
a. Pelabelan ��D dengan 1 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:
3
6
15
16
8
11
7
14
4
12
1
9
2
10
135
Gambar 3.11: Pelabelan Graf ��D dengan 1 Rambut
Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi
ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 1 rambut maka diperoleh:
Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:
52��
2�$� Z � 20$� Z 5 21$� Z 4 2�$� Z ^
2��� Z �[ 5 \ � � ^
20�� Z �� 5 \ � � �
21�� Z �4 5 \ � � 5
2��� Z �� 5 \ � � 4
Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$��� Z [ 5 \ � � [� @ 5 \ �
20$0�� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �
21$1�� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �
2�$��� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �
2�$0$� Z �� 5 \ � � ��
20$1$� Z ] 5 \ � � ��
21$�$� Z �_ 5 \ � � ��
2�$�$� Z �� 5 \ � � [�
Bukti bahwa ��D dengan 1 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:
2�$� � 2�$��� � 2��� � � [ � �[ ��
20$� � 20$0�� � 20�� 5 � � � �� ��
21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � � � �4 ��
2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � � � �� ��
2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �� � 5 ��
20$� � 20$1$� � 21$� 5 � ] � 4 ��
21$� � 21$�$� � 2�$� 4 � �_ � ^ ��
2�$� � 2�$�$� � 2�$� � � �� � ^ ��
53��
Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q ��. Jadi
��D dengan 1 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.
b. Pelabelan ��D dengan 2 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:
3
6
15
16
8
11
7
14
4
12 1
9
2
10
135
24
23
22
21
20
19
18
17
Gambar 3.12: Pelabelan Graf ��D dengan 2 Rambut
Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi
ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 2 rambut maka diperoleh:
Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$� Z � 20$� Z 5 21$� Z 4 2�$� Z ^
2��� Z �[ 5 \ � � ^
2��� Z �� 5 \ � � ^
20�� Z �� 5 \ � � �
20�� Z �] 5 \ � � �
21�� Z �4 5 \ � � 5
21�� Z �� 5 \ � � 5
2��� Z �� 5 \ � � 4
2��� Z �� 5 \ � � 4
Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$��� Z �� 5 \ � � [� @ 5 \ �
2�$��� Z [ 5 \ � � [� @ 5 \ �
54��
20$0�� Z �� 5 \ � � �� @ 5 \ �
20$0�� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �
21$1�� Z ] 5 \ � � �� @ 5 \ �
21$1�� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �
2�$��� Z �_ 5 \ � � �� @ 5 \ �
2�$��� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �
2�$0$� Z �_ 5 \ � � �
20$1$� Z �^ 5 \ � � �
21$�$� Z �5 5 \ � � �
2�$�$� Z �� 5 \ � � [
Bukti bahwa ��D dengan 2 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �[ ��
2�$� � 2�$��� � 2��� � � [ � �� ��
20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �� � �� ��
20$� � 20$0�� � 20�� 5 � � � �] ��
21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � ] � �4 ��
21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � � � �� ��
2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �_ � �� ��
2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � � � �� ��
2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �_ � 5 ��
20$� � 20$1$� � 21$� 5 � �^ � 4 ��
21$� � 21$�$� � 2�$� 4 � �5 � ^ ��
2�$� � 2�$�$� � 2�$� � � �� � ^ ��
55��
Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q ��. Jadi
��D dengan 2 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.
c. Pelabelan ��D dengan 3 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:
3
6
15
16
8
11
7
14
412
1
9
2 1013
5
24
23 22
21
20
19
18
1732
31
30
29
28
27
26
25
Gambar 3.13: Pelabelan Graf ��D dengan 3 Rambut
Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi
ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 3 rambut maka diperoleh:
Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$� Z � 20$� Z 5 21$� Z 4 2�$� Z ^
2��� Z �[ 5 \ � � ^
2��� Z �� 5 \ � � ^
2��� Z �� 5 \ � � ^
20�� Z �� 5 \ � � �
20�� Z �] 5 \ � � �
20�� Z �^ 5 \ � � �
21�� Z �4 5 \ � � 5
21�� Z �� 5 \ � � 5
21�� Z �� 5 \ � � 5
2��� Z �� 5 \ � � 4
2��� Z �� 5 \ � � 4
56��
2��� Z �_ 5 \ � � 4
Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$��� Z �� 5 \ � � [� @ 5 \ �
2�$��� Z �� 5 \ � � [� @ 5 \ �
2�$��� Z [ 5 \ � � [� @ 5 \ �
20$0�� Z �_ 5 \ � � �� @ 5 \ �
20$0�� Z �� 5 \ � � �� @ 5 \ �
20$0�� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �
21$1�� Z �^ 5 \ � � �� @ 5 \ �
21$1�� Z ] 5 \ � � �� @ 5 \ �
21$1�� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �
2�$��� Z �5 5 \ � � �� @ 5 \ �
2�$��� Z �_ 5 \ � � �� @ 5 \ �
2�$��� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �
2�$0$� Z �5 5 \ � � �
20$1$� Z �[ 5 \ � � �
21$�$� Z �4 5 \ � � �
2�$�$� Z �] 5 \ � � [
Bukti bahwa ��D dengan 3 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �[ �]
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �� �]
2�$� � 2�$��� � 2��� � � [ � �� �]
20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �_ � �� �]
57��
20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �� � �] �]
20$� � 20$0�� � 20�� 5 � � � �^ �]
21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � �^ � �4 �]
21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � ] � �� �]
21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � � � �� �]
2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �5 � �� �]
2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �_ � �� �]
2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � � � �_ �]
2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �5 � 5 �]
20$� � 20$1$� � 21$� 5 � �[ � 4 �]
21$� � 21$�$� � 2�$� 4 � �4 � ^ �]
2�$� � 2�$�$� � 2�$� � � �] � ^ �]
Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q �]. Jadi
��D dengan 3 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.
d. Pelabelan ��D dengan 4 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:
3
6
15
16
811
7 14
412
1
9
21013
5
24
23
2221
2019
18
17 32
31
30
29
28
27
26
25
33
40
39
38
37
36
35
34
Gambar 3.14: Pelabelan Graf ��D dengan 4 Rambut
Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi
ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 4 rambut maka diperoleh:
Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:
58��
2�$� Z � 20$� Z 5 21$� Z 4 2�$� Z ^
2��� Z �[ 5 \ � � ^
2��� Z �� 5 \ � � ^
2��� Z �� 5 \ � � ^
2��� Z �] 5 \ � � ^
20�� Z �� 5 \ � � �
20�� Z �] 5 \ � � �
20�� Z �^ 5 \ � � �
20�� Z �[ 5 \ � � �
21�� Z �4 5 \ � � 5
21�� Z �� 5 \ � � 5
21�� Z �� 5 \ � � 5
21�� Z �_ 5 \ � � 5
2��� Z �� 5 \ � � 4
2��� Z �� 5 \ � � 4
2��� Z �_ 5 \ � � 4
2��� Z �5 5 \ � � 4
Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$��� Z �] 5 \ � � [� @ 5 \ �
2�$��� Z �� 5 \ � � [� @ 5 \ �
2�$��� Z �� 5 \ � � [� @ 5 \ �
2�$��� Z [ 5 \ � � [� @ 5 \ �
20$0�� Z �5 5 \ � � �� @ 5 \ �
59��
20$0�� Z �_ 5 \ � � �� @ 5 \ �
20$0�� Z �� 5 \ � � �� @ 5 \ �
20$0�� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �
21$1�� Z �[ 5 \ � � �� @ 5 \ �
21$1�� Z �^ 5 \ � � �� @ 5 \ �
21$1�� Z ] 5 \ � � �� @ 5 \ �
21$1�� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �
2�$��� Z �4 5 \ � � �� @ 5 \ �
2�$��� Z �5 5 \ � � �� @ 5 \ �
2�$��� Z �_ 5 \ � � �� @ 5 \ �
2�$��� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �
2�$0$� Z �4 5 \ � � �
20$1$� Z �� 5 \ � � �
21$�$� Z �� 5 \ � � �
2�$�$� Z �^ 5 \ � � [
Bukti bahwa ��D dengan 4 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �] � �[ �^
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �� �^
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �� �^
2�$� � 2�$��� � 2��� � � [ � �] �^
20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �5 � �� �^
20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �_ � �] �^
20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �� � �^ �^
60��
20$� � 20$0�� � 20�� 5 � � � �[ �^
21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � �[ � �4 �^
21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � �^ � �� �^
21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � ] � �� �^
21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � � � �_ �^
2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �4 � �� �^
2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �5 � �� �^
2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �_ � �_ �^
2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � � � �5 �^
2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �4 � 5 �^
20$� � 20$1$� � 21$� 5 � �� � 4 �^
21$� � 21$�$� � 2�$� 4 � �� � ^ �^
2�$� � 2�$�$� � 2�$� � � �^ � ^ �^
Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q �^. Jadi
��D dengan 4 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.
e. Pelabelan ��D dengan 5 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:
3
6
15
16
811
714
412
1
9
2 10
13
5
24
23
22
21
2019
18
1732
31 3029
28
27
26
2533
40
39
38
37
36
35
34
48
47
46
45
44
43
42
41
Gambar 3.15: Pelabelan Graf ��D dengan 5 Rambut
Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi
ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 5 rambut maka diperoleh:
61��
Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$� Z � 20$� Z 5 21$� Z 4 2�$� Z ^
2��� Z �[ 5 \ � � ^
2��� Z �� 5 \ � � ^
2��� Z �� 5 \ � � ^
2��� Z �] 5 \ � � ^
2��� Z �^ 5 \ [ � ^
20�� Z �� 5 \ � � �
20�� Z �] 5 \ � � �
20�� Z �^ 5 \ � � �
20�� Z �[ 5 \ � � �
20�� Z �� 5 \ [ � �
21�� Z �4 5 \ � � 5
21�� Z �� 5 \ � � 5
21�� Z �� 5 \ � � 5
21�� Z �_ 5 \ � � 5
21�� Z �5 5 \ [ � 5
2��� Z �� 5 \ � � 4
2��� Z �� 5 \ � � 4
2��� Z �_ 5 \ � � 4
2��� Z �5 5 \ � � 4
2��� Z �4 5 \ [ � 4
Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:
62��
2�$��� Z �^ 5 \ [ � [� @ 5 \ �
2�$��� Z �] 5 \ [ � [� @ 5 \ �
2�$��� Z �� 5 \ [ � [� @ 5 \ �
2�$��� Z �� 5 \ [ � [� @ 5 \ �
2�$��� Z [ 5 \ [ � [� @ 5 \ [
20$0�� Z �4 5 \ [ � �� @ 5 \ �
20$0�� Z �5 5 \ [ � �� @ 5 \ �
20$0�� Z �_ 5 \ [ � �� @ 5 \ �
20$0�� Z �� 5 \ [ � �� @ 5 \ �
20$0�� Z � 5 \ [ � �� @ 5 \ [
21$1�� Z �� 5 \ [ � �� @ 5 \ �
21$1�� Z �[ 5 \ [ � �� @ 5 \ �
21$1�� Z �^ 5 \ [ � �� @ 5 \ �
21$1�� Z ] 5 \ [ � �� @ 5 \ �
21$1�� Z � 5 \ [ � �� @ 5 \ [
2�$��� Z �� 5 \ [ � �� @ 5 \ �
2�$��� Z �4 5 \ [ � �� @ 5 \ �
2�$��� Z �5 5 \ [ � �� @ 5 \ �
2�$��� Z �_ 5 \ [ � �� @ 5 \ �
2�$��� Z � 5 \ [ � �� @ 5 \ [
2�$0$� Z �� 5 \ [ � �
20$1$� Z �� 5 \ [ � �
21$�$� Z �� 5 \ [ � �
63��
2�$�$� Z �[ 5 \ [ � [
Bukti bahwa ��D dengan 5 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �^ � �[ [[
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �] � �� [[
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �� [[
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �] [[
2�$� � 2�$��� � 2��� � � [ � �^ [[
20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �4 � �� [[
20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �5 � �] [[
20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �_ � �^ [[
20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �� � �[ [[
20$� � 20$0�� � 20�� 5 � � � �� [[
21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � �� � �4 [[
21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � �[ � �� [[
21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � �^ � �� [[
21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � ] � �_ [[
21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � � � �5 [[
2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �� � �� [[
2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �4 � �� [[
2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �5 � �_ [[
2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �_ � �5 [[
2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � � � �4 [[
2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �� � 5 [[
64��
20$� � 20$1$� � 21$� 5 � �� � 4 [[
21$� � 21$�$� � 2�$� 4 � �� � ^ [[
2�$� � 2�$�$� � 2�$� � � �[ � ^ [[
Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q [[. Jadi
��D dengan 5 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.
f. Pelabelan ��D dengan 6 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:
35
34
3332
31
3029
28
27
26
25
24
23
2221
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
50
49
48
47
46
45
44
43
42
4140
39
3837
36
53
52
51
54
55
56
Gambar 3.16: Pelabelan Graf ��D dengan 6 Rambut
Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi
ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 6 rambut maka diperoleh:
Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$� Z � 20$� Z 5 21$� Z 4 2�$� Z ^
2��� Z �[ 5 \ � � ^
2��� Z �� 5 \ � � ^
2��� Z �� 5 \ � � ^
2��� Z �] 5 \ � � ^
2��� Z �^ 5 \ [ � ^
2�"� Z [[ 5 \ 4 � ^
20�� Z �� 5 \ � � �
65��
20�� Z �] 5 \ � � �
20�� Z �^ 5 \ � � �
20�� Z �[ 5 \ � � �
20�� Z �� 5 \ [ � �
20"� Z [� 5 \ 4 � �
21�� Z �4 5 \ � � 5
21�� Z �� 5 \ � � 5
21�� Z �� 5 \ � � 5
21�� Z �_ 5 \ � � 5
21�� Z �5 5 \ [ � 5
21"� Z [4 5 \ [ � 5
2��� Z �� 5 \ � � 4
2��� Z �� 5 \ � � 4
2��� Z �_ 5 \ � � 4
2��� Z �5 5 \ � � 4
2��� Z �4 5 \ [ � 4
2�"� Z [� 5 \ 4 � 4
Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$��� Z �[ 5 \ 4 � [� @ 5 \ �
2�$��� Z �^ 5 \ 4 � [� @ 5 \ �
2�$��� Z �] 5 \ 4 � [� @ 5 \ �
2�$��� Z �� 5 \ 4 � [� @ 5 \ �
2�$��� Z �� 5 \ 4 � [� @ 5 \ [
66��
2�$�"� Z [ 5 \ 4 � [� @ 5 \ 4
20$0�� Z �� 5 \ 4 � �� @ 5 \ �
20$0�� Z �4 5 \ 4 � �� @ 5 \ �
20$0�� Z �5 5 \ 4 � �� @ 5 \ �
20$0�� Z �_ 5 \ 4 � �� @ 5 \ �
20$0�� Z �� 5 \ 4 � �� @ 5 \ [
20$0"� Z � 5 \ 4 � �� @ 5 \ 4
21$1�� Z �� 5 \ 4 � �� @ 5 \ �
21$1�� Z �� 5 \ 4 � �� @ 5 \ �
21$1�� Z �[ 5 \ 4 � �� @ 5 \ �
21$1�� Z �^ 5 \ 4 � �� @ 5 \ �
21$1�� Z ] 5 \ 4 � �� @ 5 \ [
21$1"� Z � 5 \ 4 � �� @ 5 \ 4
2�$��� Z �� 5 \ 4 � �� @ 5 \ �
2�$��� Z �� 5 \ 4 � �� @ 5 \ �
2�$��� Z �4 5 \ 4 � �� @ 5 \ �
2�$��� Z �5 5 \ 4 � �� @ 5 \ �
2�$��� Z �_ 5 \ 4 � �� @ 5 \ [
2�$�"� Z � 5 \ 4 � �� @ 5 \ 4
2�$0$� Z [� 5 \ 4 � �
20$1$� Z �] 5 \ 4 � �
21$�$� Z [_ 5 \ 4 � �
2�$�$� Z [� 5 \ 4 � [
67��
Bukti bahwa ��D dengan 6 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �[ � �[ 4�
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �^ � �� 4�
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �] � �� 4�
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �] 4�
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �^ 4�
2�$� � 2�$�"� � 2�"� � � [ � [[ 4�
20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �� � �� 4�
20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �4 � �] 4�
20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �_ � �^ 4�
20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �_ � �[ 4�
20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �� � �� 4�
20$� � 20$0"� � 20"� 5 � � � [� 4�
21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � �� � �4 4�
21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � �� � �� 4�
21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � �[ � �� 4�
21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � �^ � �_ 4�
21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � ] � �5 4�
21$� � 21$1"� �� 21"� 4 � � � [4 4�
2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �� � �� 4�
2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �� � �� 4�
2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �4 � �_ 4�
2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �5 � �5 4�
68��
2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �_ � �4 4�
2�$� � 2�$�"� �� 2�"� ^ � � � [� 4�
2�$� � 2�$0$� � 20$� � � [� � 5 4�
20$� � 20$1$� � 21$� 5 � �] � 4 4�
21$� � 21$�$� � 2�$� 4 � [_ � ^ 4�
2�$� � 2�$�$� � 2�$� � � [� � ^ 4�
Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q 4�. Jadi
��D dengan 6 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.
Untuk lebih jelasnya pola pelabelan pada graf Hairy Cycle ��D dapat dilihat
dalam tabel berikut:
Tabel 3.4: Pelabelan ��D pada titik pusat dan sisi antar titik pusat / 2�$� 20$� 21$� 2�$� � � 5 4 ^ � � 5 4 ^ � � 5 4 ^ � � 5 4 ^ [ � 5 4 ^
4 � 5 4 ^ / � 5 4 ^
Tabel 3.5: Pelabelan ��D pada sisi antar titik pusat / 2�$0$� 20$1$� 21$�$� 2�$�$� � �� 5 \ � � � ] 5 \ � � � �_ 4 \ � � � �� 5 \ � � [ � �_ 5 \ � � � �^ 5 \ � � � �5 4 \ � � � �� 5 \ � � [ � �5 5 \ � � � �[ 5 \ � � � �4 4 \ � � � �] 5 \ � � [ � �4 5 \ � � � �� 5 \ � � � �� 4 \ � � � �^ 5 \ � � [ [ �] 5 \ [ � � �� 5 \ [ � � �� 4 \ [ � � �[ 5 \ [ � [ 4 [� 5 \ 4 � � �] 5 \ 4 � � [_ 4 \ 4 � � [� 5 \ 4 � [ / 5/ � � 5/ � � 5/ � � 5/ � [
69��
Tabel 3.6: Pelabelan ��D pada titik rambut / 2�>� 20>� 21>� 2�>� � �[ 5 \ � � ^ �� 5 \ � � � �4 5 \ � � 5 �� 5 \ � � 4 � �[ 5 \ � � ^
�� 5 \ � � ^ �� 5 \ � � � �] 5 \ � � �
�4 5 \ � � 5 �� 5 \ � � 5
�� 5 \ � � 4 �� 5 \ � � 4
� �[ 5 \ � � ^ �� 5 \ � � ^ �� 5 \ � � ^
�� 5 \ � � � �] 5 \ � � � �^ 5 \ � � �
�4 5 \ � � 5 �� 5 \ � � 5 �� 5 \ � � 5
�� 5 \ � � 4 �� 5 \ � � 4 �_ 5 \ � � 4
� �[ 5 \ � � ^ �� 5 \ � � ^ �� 5 \ � � ^ �] 5 \ � � ^
�� 5 \ � � � �] 5 \ � � � �^ 5 \ � � � �[ 5 \ � � �
�4 5 \ � � 5 �� 5 \ � � 5 �� 5 \ � � 5 �_ 5 \ � � 5
�� 5 \ � � 4 �� 5 \ � � 4 �_ 5 \ � � 4 �5 5 \ � � 4
[ �[ 5 \ � � ^ �� 5 \ � � ^ �� 5 \ � � ^ �] 5 \ � � ^ �^ 5 \ [ � ^
�� 5 \ � � � �] 5 \ � � � �^ 5 \ � � � �[ 5 \ � � � �� 5 \ [ � �
�4 5 \ � � 5 �� 5 \ � � 5 �� 5 \ � � 5 �_ 5 \ � � 5 �5 5 \ [ � 5
�� 5 \ � � 4 �� 5 \ � � 4 �_ 5 \ � � 4 �5 5 \ � � 4 �4 5 \ [ � 4
4 �[ 5 \ � � ^ �� 5 \ � � ^ �� 5 \ � � ^ �] 5 \ � � ^ �^ 5 \ [ � ^ [[ 5 \ 4 � ^
�� 5 \ � � � �] 5 \ � � � �^ 5 \ � � � �[ 5 \ � � � �� 5 \ [ � � [� 5 \ 4 � �
�4 5 \ � � 5 �� 5 \ � � 5 �� 5 \ � � 5 �_ 5 \ � � 5 �5 5 \ [ � 5 [4 5 \ 4 � 5
�� 5 \ � � 4 �� 5 \ � � 4 �_ 5 \ � � 4 �5 5 \ � � 4 �4 5 \ [ � 4 [� 5 \ 4 � 4
/ 5, � ^ 5, � � 5, � 5 5, � 4
Tabel 3.7: Pelabelan ��D pada sisi antara titik pusat dan titik rambut / 2�$�>� 20$0>� 21$1>� 2�$�>� 1 [ 5 \ � � 4� @ 5 \ � � 5 \ � � �� @ 5 \ � � 5 \ 4 � �� @ 5 \ � � 5 \ � � �� @ 5 \ � 2 �� 5 \ � � [� @ 5 \ �
[ 5 \ � � [� @ 5 \ � �� 5 \ � � �� @ 5 \ � � 5 \ � � �� @ 5 \ �
] 5 \ 4 � �� @ 5 \ � � 5 \ 4 � �� @ 5 \ �
�_ 5 \ � � �� @ 5 \ � � 5 \ � � �� @ 5 \ �
3 �� 5 \ � � [� @ 5 \ � �� 5 \ � � [� @ 5 \ � [ 5 \ � � [� @ 5 \ �
�_ 5 \ � � �� @ 5 \ � �� 5 \ � � �� @ 5 \ � � 5 \ � � �� @ 5 \ �
�^ 5 \ 4 � �� @ 5 \ � ] 5 \ 4 � �� @ 5 \ � � 5 \ 4 � �� @ 5 \ �
�5 5 \ � � �� @ 5 \ � �_ 5 \ � � �� @ 5 \ � � 5 \ � � �� @ 5 \ �
4 �] 5 \ � � [� @ 5 \ � �� 5 \ � � [� @ 5 \ � �� 5 \ � � [� @ 5 \ � [ 5 \ � � [� @ 5 \ �
�5 5 \ � � �� @ 5 \ � �_ 5 \ � � �� @ 5 \ � �� 5 \ � � �� @ 5 \ � � 5 \ � � �� @ 5 \ �
�[ 5 \ 4 � �� @ 5 \ � �^ 5 \ 4 � �� @ 5 \ � ] 5 \ 4 � �� @ 5 \ � � 5 \ 4 � �� @ 5 \ �
�4 5 \ � � �� @ 5 \ � �5 5 \ � � �� @ 5 \ � �_ 5 \ � � �� @ 5 \ � � 5 \ � � �� @ 5 \ �
5 �^ 5 \ [ � [� @ 5 \ � �] 5 \ [ � [� @ 5 \ � �� 5 \ [ � [� @ 5 \ � �� 5 \ [ � [� @ 5 \ � [ 5 \ [ � [� @ 5 \ [
�4 5 \ [ � �� @ 5 \ � �5 5 \ [ � �� @ 5 \ � �_ 5 \ [ � �� @ 5 \ � �� 5 \ [ � �� @ 5 \ � � 5 \ [ � �� @ 5 \ [
�� 5 \ 4 � �� @ 5 \ � �[ 5 \ 4 � �� @ 5 \ � �^ 5 \ 4 � �� @ 5 \ � ] 5 \ 4 � �� @ 5 \ � � 5 \ 4 � �� @ 5 \ [
�� 5 \ [ � �� @ 5 \ � �4 5 \ [ � �� @ 5 \ � �5 5 \ [ � �� @ 5 \ � �_ 5 \ [ � �� @ 5 \ � � 5 \ [ � �� @ 5 \ [
/ 5/ � [� @ 5, 5/ � �� @ 5, 5/ � �� @ 5, 5/ � �� @ 5,
Berdasarkan hasil beberapa pelabelan graf Hairy Cycle diatas, maka dapat
dibuat generalisasi dalam bentuk teorema sebagai berikut:
Teorema 3.2:
Graf Hairy Cycle ��D dengan / rambut bilangan asli adalah total sisi ajaib.
70��
Bukti:
Pelabelan total sisi ajaib pada suatu graph � dengan order ' dan ukuran (
adalah fungsi bijektif 2 dari � O ke himpunan bilangan bulat {1,2,3, …, ' � (}
sedemikian hingga untuk masing-masing sisi IJ di � berlaku 2I� � 2IJ� �
2J� Q, dengan k konstanta. Maka untuk membuktikan teorema 3.2 perlu
ditunjukkan bahwa :
i) � adalah fungsi bijektif 2 dari � O ke himpunan bilangan bulat {1, 2, 3,
…, ' � (}
ii) Untuk masing-masing sisi IJ di � berlaku 2I� � 2IJ� � 2J� Q
Misal:
��� �$� ��� ��� � �*� �0$� 0�� 0�� � 0*� �1$� 1�� 1�� � 1*� ��$� ��� ��� � �*�
yang dikelompokkan sebagai berikut:
���� �$� ��� ��� ��� � �*�
���� �0$� 0�� 0�� 0�� � 0*�
���� �1$� 1�� 1�� 1�� � 1*�
���� ��$� ��� ��� ��� � �*�
Dimana:
�$: titik pusat ���� ��� ��� ��� � �*: titik ujung ����
0$: titik pusat ���� 0�� 0�� 0�� � 0*: titik ujung ����
1$: titik pusat ���� 1�� 1�� 1�� � 1*: titik ujung ����
�$: titik pusat ���� ��� ��� ��� � �*: titik ujung ����
Sedangkan �$� 0$� 1$ dan �$ saling terhubung.
�� �$��� �$��� � �$�*� �$0$� 0$0�� 0$0�� � 0$0*� 0$1$� 1$1�� 1$1�� �
71��
1$1*� 1$�$� �$��� �$��� � �$�*� �$�$�
Yang dikelompokkan sebagai berikut:
��� �$��� �$��� � �$�*� �$0$�
��� �0$0�� 0$0�� � 0$0*� 0$1$�
��� �1$1�� 1$1�� � 1$1*� 1$�$�
��� ��$��� �$��� � �$�*� �$�$�
Jadi order dan ukuran di ��D dengan m rambut adalah:
'�� �/ � ��� 8ab�(�� �/ � ��.
Maka ' � ( �/ � �� � �/ � ��
5/ � ��
Graf Hairy Cycle ��D dengan / rambut dapat digambar sebagai berikut:
0d
0c0b
0a
1a
ma
4a
3a2a
1b
2b
3b4b mb 1c
3c2c
4c
mc
1d
4d3d
2d
md Gambar 3.17: Graf ��D Dengan / Rambut
Dengan pola pelabelan sebagai berikut:
7
68
3
33 +n
3)12( ++ nm
39 +n
37 +n35 +n
13 −n
15 −n
17 −n
19 −n1)12( −+ nm 43 +n
47 +n45 +n
49 +n
4)12( ++ nm
23 +n
29 +n
27 +n
25 +n
2)12( ++ nm Gambar 3.18: Pelabelan Graf ��D Dengan / Rambut
72��
Pelabelan total sisi ajaib didefinisikan sebagai fungsi 2 dari ��� O ��
ke ������� � ' � (!, maka dihasilkan pola pelabelan sebagai berikut:
a. 2�$� Z �
b. 2�>� Z 5, � ^ untuk , ������ �/
c. 2�$�>� Z 5/ � [� @ 5, untuk , ������ �/
d. 2�$0$� Z 5/ � � untuk , ������ �/
e. 20$� Z 5
f. 20>� Z 5, � � untuk , ������ �/
g. 20$0>� Z 5/ � �� @ 5, untuk , ������ �/
h. 20$1$� Z 5/ � � untuk , ������ �/
i. 21$� Z 4
j. 21>� Z 5, � 5 untuk , ������ �/
k. 21$1>� Z 5/ � �� @ 5, untuk , ������ �/
l. 21$�$� Z 5/ � � untuk , ������ �/
m. 2�$� Z ^
n. 2�>� Z 5, � 4 untuk , ������ �/
o. 2��>� Z 5/ � �� @ 5, untuk , ������ �/
p. 2�$�$� Z 5/ � [ untuk , ������ �/
Maka:
i) Akan ditunjukkan bahwa � adalah fungsi bijektif 2 dari ��� O �� ke
himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, …, ' � (}.
1) � adalah fungsi injektif
73��
Untuk titik di �, ambil �> dan �- titik di � dengan 2�>� 2�-�. Akan
dibuktikan , . sedemikian hingga �> �-.
a. Untuk � c , c �, dan � c . c �.
Karena 2I>� 2I-� maka I> I- , jadi , .
b. Untuk � c , c /� dan � c . c /.
Karena 2�>� 2�-� maka:
5�, � ^ 5�. � ^
5, 5.
jadi , ..
c. Untuk � c , c /� dan � c . c /.
Karena 20>� 20-� maka:
5�, � � 5�. � �
5, 5.
jadi , ..
d. Untuk � c , c /� dan � c . c /.
Karena 21>� 21-� maka:
�5�, � � 5��. � �
5, 5.
jadi , ..
e. Untuk � c , c /� dan � c . c /.
Karena 2�>� 2�-� maka:
5�, � � 5�. � �
5, 5.
74��
jadi , ..
Untuk sisi di �, Ambil 6$6> dan 6$6- sisi di � dengan 26$6>�
26$6-�. Akan dibuktikan , . sedemikian hingga 6$6> 6$6- .
a. Untuk � c , c /, dan � c . c /.
Karena 2�$�>� 2�$�-� maka:
5/ � [ @ 5, 5/ � [ @ 5.
@5, @5.
jadi , ..
b. Untuk � c , c /, dan � c . c /
Karena 20$0>� 20$0>� maka:
5/ � � @ 5, 5/ � � @ 5.
@5, @5.
jadi �, ..
c. Untuk � c , c /, dan � c . c /
Karena 21$1>� 21$1>� maka:
5/ � � @ 5, 5/ � � @ 5.
@5, @5.
jadi , ..
d. Untuk � c , c /, dan � c . c /
Karena 2�$�>� 2�$�>� maka:
5/ � � @ 5, 5/ � � @ 5.
@5, @5.
jadi , ..
75��
Jadi 2 merupakan fungsi injektif dari ��� O �� ke ������� � ' � (!
2) � adalah fungsi surjektif
Akan ditunjukkan bahwa ��� O �� dipetakan ke ������� � ' � (!.
Menurut definisi pelabelan bahwa untuk setiap elemen di ��� akan
dipetakan pada bilangan asli sebanyak ' dan setiap elemen di �� akan
dipetakan pada bilangan asli sebanyak (, maka banyaknya prapeta dan peta
adalah sama. Sehingga dapat disimpulkan bahwa � c 2�� c ' � ( dan
� c 2 � c ' � (. Artinya ��� O �� dipetakan ke ��� �� �� � ' � (!.
Karena P��� O ��P P��� �� �� � ' � (!P dan karena 2�� adalah
injektif maka sudah pasti 2�� adalah surjektif.
Karena 2�� injektif juga sekaligus surjektif, maka 2�� bijektif.
ii). Akan ditunjukkan bahwa untuk masing-masing sisi IJ di � berlaku:
2I� � 2IJ� � 2J� Q
a. Untuk sisi �$�> di � diperoleh:
2�$� � 2�$�>� � 2�>� � � 5/ � [� @ 5, � 5, � ^� 5/ � �[
b. Untuk sisi 0$0> di � diperoleh:
20$� � 20$0>� � 20>� 5 � 5/ � �� @ 5, � 5, � �� 5/ � �[
c. Untuk sisi 1$1> di � diperoleh:
21$� � 21$1>� � 21>� 4 � 5/ � �� @ 5, � 5, � 5� 5/ � �[
d. Untuk sisi 1$1> di � diperoleh:
21$� � 21$1>� � 21>� ^ � 5/ � �� @ 5, � 5, � 4� 5/ � �[
e. Untuk sisi �$0$ di � diperoleh:
2�$� � 2�$0$� � 20$� � � 5/ � �� � 5 5/ � �[
76��
f. Untuk sisi 0$1$ di � diperoleh:
20$� � 20$1$� � 21$� 5 � 5/ � �� � 4 5/ � �[
g. Untuk sisi 1$�$ di � diperoleh:
21$� � 21$�$� � 2�$� 4 � 5/ � �� � ^ 5/ � �[
h. Untuk sisi �$�$ di � diperoleh:
2�$� � 2�$�$� � 2�$� ^ � 5/ � [� � � 5/ � �[
Jadi graf Hairy Cycle ��D dengan / rambut adalah total sisi ajaib dengan
bilangan ajaib: Q 5/ � ��
3.3 Graf Hairy Cycle WeD Dengan Y Rambut
Bentuk graf Hairy Cycle ��D dengan / rambut adalah sebagai berikut:
1e
1c
1b
0d0e
0c0b
1d
0a
1a
ma
4a
3a
2a
2b 3b4b
mb
3c
2c
4c
mc
md4d
3d2d
me
4e3e
2e Gambar 3.19: Graf ��D dengan / Rambut
a. Pelabelan ��D dengan 1 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:
1
16
15
14
13
12 11
10
9 8
7
6
5
4
3
2
20
19 18
17
Gambar 3.20: Pelabelan Graf ��D dengan 1 Rambut
77��
Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi
ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 1 rambut maka diperoleh:
Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �
2�$� Z [ 2)$� Z �
2��� Z �_ [ \ � � [
20�� Z 4 [ \ � � �
21�� Z ^ [ \ � � �
2��� Z 5 [ \ � � �
2)�� Z ] [ \ � � �
Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$��� Z �� �_ \ � � 5� @ [ \ �
20$0�� Z �� �_ \ � � ]� @ [ \ �
21$1�� Z �[ �_ \ � � �_� @ [ \ �
2�$��� Z �� �_ \ � � 4� @ [ \ �
2)$)�� Z �� �_ \ � � ^� @ [ \ �
2�$0$� Z �] �_ \ � � ]
20$1$� Z �5 �_ \ � � 5
21$�$� Z �^ �_ \ � � ^
2�$)$� Z �4 �_ \ � � 4
2)$�$� Z �_ �_ \ � � �_
Bukti bahwa ��D dengan 1 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �_ ��
78��
20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � 4 ��
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �[ � ^ ��
2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �� � 5 ��
2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �� � ] ��
2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �] � � ��
20$� � 20$1$� � 21$� � � �5 � � ��
21$� � 21$�$� � 2�$� � � �^ � [ ��
2�$� � 2�$)$� � 2)$� [ � �4 � � ��
2)$� � 2)$�$� � 2�$� � � �_ � � ��
Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q ��. Jadi
��D dengan 1 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.
b. Pelabelan ��D dengan 2 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:
1
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2 20
19
18
1721
30
29 28
27
26
25
24
23
22
Gambar 3.21: Pelabelan Graf ��D dengan 2 Rambut
Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi
ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 2 rambut maka diperoleh:
Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �
2�$� Z [ 2)$� Z �
79��
2��� Z �_ [ \ � � [
2��� Z �[ [ \ � � [
20�� Z 4 [ \ � � �
20�� Z �� [ \ � � �
21�� Z ^ [ \ � � �
21�� Z �� [ \ � � �
2��� Z 5 [ \ � � �
2��� Z �� [ \ � � �
2)�� Z ] [ \ � � �
2)�� Z �� [ \ � � �
Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$��� Z �� �_ \ � � 5� @ [ \ �
2�$��� Z �5 �_ \ � � 5� @ [ \ �
20$0�� Z �� �_ \ � � ]� @ [ \ �
20$0�� Z �] �_ \ � � ]� @ [ \ �
21$1�� Z �[ �_ \ � � �_� @ [ \ �
21$1�� Z �_ �_ \ � � �_� @ [ \ �
2�$��� Z �� �_ \ � � 4� @ [ \ �
2�$��� Z �4 �_ \ � � 4� @ [ \ �
2)$)�� Z �� �_ \ � � ^� @ [ \ �
2)$)�� Z �^ �_ \ � � ^� @ [ \ �
2�$0$� Z �] �_ \ � � ]
20$1$� Z �5 �_ \ � � 5
80��
21$�$� Z �^ �_ \ � � ^
2�$)$� Z �4 �_ \ � � 4
2)$�$� Z �_ �_ \ � � �_
Bukti bahwa ��D dengan 2 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �_ ��
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �5 � �[ ��
20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � 4 ��
20$� � 20$0�� � 20�� � � �] � �� ��
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �[ � ^ ��
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �_ � �� ��
2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �� � 5 ��
2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �4 � �� ��
2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �� � ] ��
2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �^ � �� ��
2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �] � � ��
20$� � 20$1$� � 21$� � � �5 � � ��
21$� � 21$�$� � 2�$� � � �^ � [ ��
2�$� � 2�$)$� � 2)$� [ � �4 � � ��
2)$� � 2)$�$� � 2�$� � � �_ � � ��
Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q ��. Jadi
��D dengan 2 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.
c. Pelabelan ��D dengan 3 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:
81��
1
16
15
14 13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
20
19
18
17
21
30
29
28
27 26
25
24
23
22
40
39 38
37
36
35
34
33
32 31
Gambar 3.22: Pelabelan Graf ��D dengan 3 Rambut
Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi
ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 3 rambut maka diperoleh:
Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �
2�$� Z [ 2)$� Z �
2��� Z �_ [ \ � � [
2��� Z �[ [ \ � � [
2��� Z �_ [ \ � � [
20�� Z 4 [ \ � � �
20�� Z �� [ \ � � �
20�� Z �4 [ \ � � �
21�� Z ^ [ \ � � �
21�� Z �� [ \ � � �
21�� Z �^ [ \ � � �
2��� Z 5 [ \ � � �
2��� Z �� [ \ � � �
2��� Z �5 [ \ � � �
82��
2)�� Z ] [ \ � � �
2)�� Z �� [ \ � � �
2)�� Z �] [ \ � � �
Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$��� Z �� �_ \ � � 5� @ [ \ �
2�$��� Z �5 �_ \ � � 5� @ [ \ �
2�$��� Z �� �_ \ � � 5� @ [ \ �
20$0�� Z �� �_ \ � � ]� @ [ \ �
20$0�� Z �] �_ \ � � ]� @ [ \ �
20$0�� Z �� �_ \ � � ]� @ [ \ �
21$1�� Z �[ �_ \ � � �_� @ [ \ �
21$1�� Z �_ �_ \ � � �_� @ [ \ �
21$1�� Z �[ �_ \ � � �_� @ [ \ �
2�$��� Z �� �_ \ � � 4� @ [ \ �
2�$��� Z �4 �_ \ � � 4� @ [ \ �
2�$��� Z �� �_ \ � � 4� @ [ \ �
2)$)�� Z �� �_ \ � � ^� @ [ \ �
2)$)�� Z �^ �_ \ � � ^� @ [ \ �
2)$)�� Z �� �_ \ � � ^� @ [ \ �
2�$0$� Z �] �_ \ � � ]
20$1$� Z �5 �_ \ � � 5
21$�$� Z �^ �_ \ � � ^
2�$)$� Z �4 �_ \ � � 4
83��
2)$�$� Z �_ �_ \ � � �_
Bukti bahwa ��D dengan 3 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �_ ��
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �5 � �[ ��
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �_ ��
20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � 4 ��
20$� � 20$0�� � 20�� � � �] � �� ��
20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � �4 ��
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �[ � ^ ��
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �_ � �� ��
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �[ � �^ ��
2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �� � 5 ��
2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �4 � �� ��
2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �� � �5 ��
2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �� � ] ��
2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �^ � �� ��
2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �� � �] ��
2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �] � � ��
20$� � 20$1$� � 21$� � � �5 � � ��
21$� � 21$�$� � 2�$� � � �^ � [ ��
2�$� � 2�$)$� � 2)$� [ � �4 � � ��
2)$� � 2)$�$� � 2�$� � � �_ � � ��
84��
Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q ��. Jadi
��D dengan 3 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.
d. Pelabelan ��D dengan 4 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:
1
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
20
19
18
17
21
30
2928
27
26
25
24
23
22
40
39
38
3736
35
34
33
32
31
50
49 48
47
46
45
44
43
42
41
Gambar 3.23: Pelabelan Graf ��D dengan 4 Rambut
Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi
ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 4 rambut maka diperoleh:
Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �
2�$� Z [ 2)$� Z �
2��� Z �_ [ \ � � [
2��� Z �[ [ \ � � [
2��� Z �_ [ \ � � [
2��� Z �[ [ \ � � [
20�� Z 4 [ \ � � �
20�� Z �� [ \ � � �
20�� Z �4 [ \ � � �
20�� Z �� [ \ � � �
85��
21�� Z ^ [ \ � � �
21�� Z �� [ \ � � �
21�� Z �^ [ \ � � �
21�� Z �� [ \ � � �
2��� Z 5 [ \ � � �
2��� Z �� [ \ � � �
2��� Z �5 [ \ � � �
2��� Z �� [ \ � � �
2)�� Z ] [ \ � � �
2)�� Z �� [ \ � � �
2)�� Z �] [ \ � � �
2)�� Z �� [ \ � � �
Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$��� Z �� �_ \ � � 5� @ [ \ �
2�$��� Z �5 �_ \ � � 5� @ [ \ �
2�$��� Z �� �_ \ � � 5� @ [ \ �
2�$��� Z �5 �_ \ � � 5� @ [ \ �
20$0�� Z �� �_ \ � � ]� @ [ \ �
20$0�� Z �] �_ \ � � ]� @ [ \ �
20$0�� Z �� �_ \ � � ]� @ [ \ �
20$0�� Z �] �_ \ � � ]� @ [ \ �
21$1�� Z �[ �_ \ � � �_� @ [ \ �
21$1�� Z �_ �_ \ � � �_� @ [ \ �
86��
21$1�� Z �[ �_ \ � � �_� @ [ \ �
21$1�� Z �_ �_ \ � � �_� @ [ \ �
2�$��� Z �� �_ \ � � 4� @ [ \ �
2�$��� Z �4 �_ \ � � 4� @ [ \ �
2�$��� Z �� �_ \ � � 4� @ [ \ �
2�$��� Z �4 �_ \ � � 4� @ [ \ �
2)$)�� Z �� �_ \ � � ^� @ [ \ �
2)$)�� Z �^ �_ \ � � ^� @ [ \ �
2)$)�� Z �� �_ \ � � ^� @ [ \ �
2)$)�� Z �^ �_ \ � � ^� @ [ \ �
2�$0$� Z �] �_ \ � � ]
20$1$� Z �5 �_ \ � � 5
21$�$� Z �^ �_ \ � � ^
2�$)$� Z �4 �_ \ � � 4
2)$�$� Z [_ �_ \ � � �_
Bukti bahwa ��D dengan 4 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �_ [�
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �5 � �[ [�
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �_ [�
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �5 � �[ [�
20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � 4 [�
20$� � 20$0�� � 20�� � � �] � �� [�
20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � �4 [�
87��
20$� � 20$0�� � 20�� � � �] � �� [�
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �[ � ^ [�
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �_ � �� [�
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �[ � �^ [�
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �_ � �� [�
2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �� � 5 [�
2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �4 � �� [�
2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �� � �5 [�
2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �4 � �� [�
2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �� � ] [�
2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �^ � �� [�
2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �� � �] [�
2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �^ � �� [�
2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �] � � [�
20$� � 20$1$� � 21$� � � �5 � � [�
21$� � 21$�$� � 2�$� � � �^ � [ [�
2�$� � 2�$)$� � 2)$� [ � �4 � � [�
2)$� � 2)$�$� � 2�$� � � [_ � � [�
Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q [�. Jadi
��D dengan 4 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.
e. Pelabelan ��D dengan 5 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:
88��
1
16
15
14
13
12
11
10
9
8
76
5
4
3
220
19 18
17
21
30
29
28
27
26
25
24
23
2240
39
38
37
36
35
3433
32
31
50
49
48
4746
45
44
43
4241
60
59 58
57
56
55
54
53
52
51
Gambar 3.24: Pelabelan Graf ��D dengan 5 Rambut
Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi
ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 5 rambut maka diperoleh:
Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �
2�$� Z [ 2)$� Z �
2��� Z �_ [ \ � � [
2��� Z �[ [ \ � � [
2��� Z �_ [ \ � � [
2��� Z �[ [ \ � � [
2��� Z �_ [ \ [ � [
20�� Z 4 [ \ � � �
20�� Z �� [ \ � � �
20�� Z �4 [ \ � � �
20�� Z �� [ \ � � �
20�� Z �4 [ \ [ � �
21�� Z ^ [ \ � � �
21�� Z �� [ \ � � �
89��
21�� Z �^ [ \ � � �
21�� Z �� [ \ � � �
21�� Z �^ [ \ [ � �
2��� Z 5 [ \ � � �
2��� Z �� [ \ � � �
2��� Z �5 [ \ � � �
2��� Z �� [ \ � � �
2��� Z �5 [ \ [ � �
2)�� Z ] [ \ � � �
2)�� Z �� [ \ � � �
2)�� Z �] [ \ � � �
2)�� Z �� [ \ � � �
2)�� Z �] [ \ [ � �
Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$��� Z [� �_ \ [ � 5� @ [ \ �
2�$��� Z �5 �_ \ [ � 5� @ [ \ �
2�$��� Z �� �_ \ [ � 5� @ [ \ �
2�$��� Z �5 �_ \ [ � 5� @ [ \ �
2�$��� Z �� �_ \ [ � 5� @ [ \ [
20$0�� Z [� �_ \ [ � ]� @ [ \ �
20$0�� Z �] �_ \ [ � ]� @ [ \ �
20$0�� Z �� �_ \ [ � ]� @ [ \ �
20$0�� Z �] �_ \ [ � ]� @ [ \ �
90��
20$0�� Z �� �_ \ [ � ]� @ [ \ [
21$1�� Z [[ �_ \ [ � �_� @ [ \ �
21$1�� Z [_ �_ \ [ � �_� @ [ \ �
21$1�� Z �[ �_ \ [ � �_� @ [ \ �
21$1�� Z �_ �_ \ [ � �_� @ [ \ �
21$1�� Z �[ �_ \ [ � �_� @ [ \ [
2�$��� Z [� �_ \ [ � 4� @ [ \ �
2�$��� Z �4 �_ \ [ � 4� @ [ \ �
2�$��� Z �� �_ \ [ � 4� @ [ \ �
2�$��� Z �4 �_ \ [ � 4� @ [ \ �
2�$��� Z �� �_ \ [ � 4� @ [ \ [
2)$)�� Z [� �_ \ [ � ^� @ [ \ �
2)$)�� Z �^ �_ \ [ � 4� @ [ \ �
2)$)�� Z �� �_ \ [ � 4� @ [ \ �
2)$)�� Z �^ �_ \ [ � 4� @ [ \ �
2)$)�� Z �� �_ \ [ � 4� @ [ \ [
2�$0$� Z [] �_ \ [ � ]
20$1$� Z [5 �_ \ [ � 5
21$�$� Z [^ �_ \ [ � ^
2�$)$� Z [4 �_ \ [ � 4
2)$�$� Z 4_ �_ \ [ � �_
Bukti bahwa ��D dengan 5 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:
2�$� � 2�$��� � 2��� � � [� � �_ 4�
91��
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �5 � �[ 4�
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �_ 4�
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �5 � �[ 4�
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �_ 4�
20$� � 20$0�� � 20�� � � [� � 4 4�
20$� � 20$0�� � 20�� � � �] � �� 4�
20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � �4 4�
20$� � 20$0�� � 20�� � � �] � �� 4�
20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � �4 4�
21$� � 21$1�� �� 21�� � � [[ � ^ 4�
21$� � 21$1�� �� 21�� � � [_ � �� 4�
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �[ � �^ 4�
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �_ � �� 4�
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �[ � �^ 4�
2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � [� � 5 4�
2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �4 � �� 4�
2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �� � �5 4�
2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �4 � �� 4�
2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �� � �5 4�
2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � [� � ] 4�
2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �^ � �� 4�
2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �� � �] 4�
2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �^ � �� 4�
92��
2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �� � �] 4�
2�$� � 2�$0$� � 20$� � � [] � � 4�
20$� � 20$1$� � 21$� � � [5 � � 4�
21$� � 21$�$� � 2�$� � � [^ � [ 4�
2�$� � 2�$)$� � 2)$� [ � [4 � � 4�
2)$� � 2)$�$� � 2�$� � � 4_ � � 4�
Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q 4�. Jadi
��D dengan 5 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.
f. Graf Hairy Cycle ��D dengan 6 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:
1
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
220
19
18
17
21
30
29
28
27
26
25
24
23
22
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
50
49
48
4746
45
44
43
42
41
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
62
61
68
67
66
65
64
63
69
70
Gambar 3.25: Pelabelan Graf ��D dengan 6 Rambut
Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi
ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 6 rambut maka diperoleh:
Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �
2�$� Z [ 2)$� Z �
2��� Z �_ [ \ � � [
2��� Z �[ [ \ � � [
93��
2��� Z �_ [ \ � � [
2��� Z �[ [ \ � � [
2��� Z �_ [ \ [ � [
2�"� Z �[ [ \ 4 � [
20�� Z 4 [ \ � � �
20�� Z �� [ \ � � �
20�� Z �4 [ \ � � �
20�� Z �� [ \ � � �
20�� Z �4 [ \ [ � �
20"� Z �� [ \ 4 � �
21�� Z ^ [ \ � � �
21�� Z �� [ \ � � �
21�� Z �^ [ \ � � �
21�� Z �� [ \ � � �
21�� Z �^ [ \ [ � �
21"� Z �� [ \ 4 � �
2��� Z 5 [ \ � � �
2��� Z �� [ \ � � �
2��� Z �5 [ \ � � �
2��� Z �� [ \ � � �
2��� Z �5 [ \ [ � �
2�"� Z �� [ \ 4 � �
2)�� Z ] [ \ � � �
94��
2)�� Z �� [ \ � � �
2)�� Z �] [ \ � � �
2)�� Z �� [ \ � � �
2)�� Z �] [ \ [ � �
2)"� Z �� [ \ 4 � �
Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:
2�$��� Z 4� �_ \ 4 � 5� @ [ \ �
2�$��� Z [5 �_ \ 4 � 5� @ [ \ �
2�$��� Z [� �_ \ 4 � 5� @ [ \ �
2�$��� Z �5 �_ \ 4 � 5� @ [ \ �
2�$��� Z �� �_ \ 4 � 5� @ [ \ [
2�$�"� Z �5 �_ \ 4 � 5� @ [ \ 4
20$0�� Z 4� �_ \ 4 � ]� @ [ \ �
20$0�� Z [] �_ \ 4 � ]� @ [ \ �
20$0�� Z [� �_ \ 4 � ]� @ [ \ �
20$0�� Z �] �_ \ 4 � ]� @ [ \ �
20$0�� Z �� �_ \ 4 � ]� @ [ \ [
20$0"� Z �] �_ \ 4 � ]� @ [ \ 4
21$1�� Z 4[ �_ \ 4 � �_� @ [ \ �
21$1�� Z 4_ �_ \ 4 � �_� @ [ \ �
21$1�� Z [[ �_ \ 4 � �_� @ [ \ �
21$1�� Z [_ �_ \ 4 � �_� @ [ \ �
21$1�� Z �[ �_ \ 4 � �_� @ [ \ [
95��
21$1"� Z �_ �_ \ 4 � �_� @ [ \ 4
2�$��� Z 4� �_ \ 4 � 4� @ [ \ �
2�$��� Z [4 �_ \ 4 � 4� @ [ \ �
2�$��� Z [� �_ \ 4 � 4� @ [ \ �
2�$��� Z �4 �_ \ 4 � 4� @ [ \ �
2�$��� Z �� �_ \ 4 � 4� @ [ \ [
2�$�"� Z �4 �_ \ 4 � 4� @ [ \ 4
2)$)�� Z 4� �_ \ 4 � ^� @ [ \ �
2)$)�� Z [^ �_ \ 4 � ^� @ [ \ �
2)$)�� Z [� �_ \ 4 � ^� @ [ \ �
2)$)�� Z �^ �_ \ 4 � ^� @ [ \ �
2)$)�� Z �� �_ \ 4 � ^� @ [ \ [
2)$)"� Z �^ �_ \ 4 � ^� @ [ \ 4
2�$0$� Z 4] �_ \ 4 � ]
20$1$� Z 45 �_ \ 4 � 5
21$�$� Z 4^ �_ \ 4 � ^
2�$)$� Z 44 �_ \ 4 � 4
2)$�$� Z ^_ �_ \ 4 � �_
Bukti bahwa ��D dengan 6 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:
2�$� � 2�$��� � 2��� � � 4� � �_ ^�
2�$� � 2�$��� � 2��� � � [5 � �[ ^�
2�$� � 2�$��� � 2��� � � [� � �_ ^�
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �5 � �[ ^�
96��
2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �_ ^�
2�$� � 2�$�"� � 2�"� � � �5 � �[ ^�
20$� � 20$0�� � 20�� � � 4� � 4 ^�
20$� � 20$0�� � 20�� � � [] � �� ^�
20$� � 20$0�� � 20�� � � [� � �4 ^�
20$� � 20$0�� � 20�� � � �] � �� ^�
20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � �4 ^�
20$� � 20$0"� � 20"� � � �] � �� ^�
21$� � 21$1�� �� 21�� � � 4[ � ^ ^�
21$� � 21$1�� �� 21�� � � 4_ � �� ^�
21$� � 21$1�� �� 21�� � � [[ � �^ ^�
21$� � 21$1�� �� 21�� � � [_ � �� ^�
21$� � 21$1�� �� 21�� � � �[ � �^ ^�
21$� � 21$1"� �� 21"� � � �_ � �� ^�
2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � 4� � 5 ^�
2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � [4 � �� ^�
2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � [� � �5 ^�
2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �4 � �� ^�
2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �� � �5 ^�
2�$� � 2�$�"� �� 2�"� [ � �4 � �� ^�
2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � 4� � ] ^�
2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � [^ � �� ^�
2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � [� � �] ^�
97��
2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �^ � �� ^�
2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �� � �] ^�
2)$� � 2)$)"� �� 2)"� � � �^ � �� ^�
2�$� � 2�$0$� � 20$� � � 4] � � ^�
20$� � 20$1$� � 21$� � � 45 � � ^�
21$� � 21$�$� � 2�$� � � 4^ � [ ^�
2�$� � 2�$)$� � 2)$� [ � 44 � � ^�
2)$� � 2)$�$� � 2�$� � � ^_ � � ^�
Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q ^�. Jadi
��D dengan 6 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.
Untuk lebih jelasnya, pola pelabelan pada graf Hairy Cycle ��D dapat
dilihat dalam tabel berikut:
Tabel 3.8: Pelabelan ��D pada titik pusat / 2�$� 20$� 21$� 2�$� 2)$� � � � � [ � � � � � [ � � � � � [ � � � � � [ � [ � � � [ � 4 � � � [ � / � � � [ �
Tabel 3.9: Pelabelan ��D pada sisi antar titik pusat / 2�$0$� 20$1$� 21$�$� 2�$)$� 2)$�$� � �] �_ \ � � ] �5 �_ \ � � 5 �^ �_ \ � � ^ �4 �_ \ � � 4 �_ �_ \ � � �_ � �] �_ \ � � ] �5 �_ \ � � 5 �^ �_ \ � � ^ �4 �_ \ � � 4 �_ �_ \ � � �_ � �] �_ \ � � ] �5 �_ \ � � 5 �^ �_ \ � � ^ �4 �_ \ � � 4 �_ �_ \ � � �_ � �] �_ \ � � ] �5 �_ \ � � 5 �^ �_ \ � � ^ �4 �_ \ � � 4 [_ �_ \ � � �_ [ [] �_ \ [ � ] [5 �_ \ � � 5 [^ �_ \ � � ^ [4 �_ \ � � 4 4_ �_ \ � � �_ 4 4] �_ \ 4 � ] 45 �_ \ � � 5 4^ �_ \ � � ^ 44 �_ \ � � 4 ^_ �_ \ � � �_ / �_/ � ] �_/ � 5 �_/ � ^ �_/ � 4 �_/ � �_
98��
Tabel 3.10: Pelabelan ��D pada titik rambut / 2�>� 20>� 21>� 2�>� 2)>� � �_ [ \ � � [ 4 [ \ � � � ^ [ \ � � � 5 [ \ � � � ] [ \ � � � � �_ [ \ � � [
�[ [ \ � � [ 4 [ \ � � � �� [ \ � � �
^ [ \ � � � �� [ \ � � �
5 [ \ � � � �� [ \ � � �
] [ \ � � � �� [ \ � � �
� �_ [ \ � � [ �[ [ \ � � [ �_ [ \ � � [
4 [ \ � � � �� [ \ � � � �4 [ \ � � �
^ [ \ � � � �� [ \ � � � �^ [ \ � � �
5 [ \ � � � �� [ \ � � � �5 [ \ � � �
] [ \ � � � �� [ \ � � � �] [ \ � � �
� �_ [ \ � � [ �[ [ \ � � [ �_ [ \ � � [ �[ [ \ � � [
4 [ \ � � � �� [ \ � � � �4 [ \ � � � �� [ \ � � �
^ [ \ � � � �� [ \ � � � �^ [ \ � � � �� [ \ � � �
5 [ \ � � � �� [ \ � � � �5 [ \ � � � �� [ \ � � �
] [ \ � � � �� [ \ � � � �] [ \ � � � �� [ \ � � �
[ �_ [ \ � � [ �[ [ \ � � [ �_ [ \ � � [ �[ [ \ � � [ �_ [ \ [ � [
4 [ \ � � � �� [ \ � � � �4 [ \ � � � �� [ \ � � � �4 [ \ [ � �
^ [ \ � � � �� [ \ � � � �^ [ \ � � � �� [ \ � � � �^ [ \ [ � �
5 [ \ � � � �� [ \ � � � �5 [ \ � � � �� [ \ � � � �5 [ \ [ � �
] [ \ � � � �� [ \ � � � �] [ \ � � � �� [ \ � � � �] [ \ [ � �
4 �_ [ \ � � [ �[ [ \ � � [ �_ [ \ � � [ �[ [ \ � � [ �_ [ \ [ � [ �[ [ \ 4 � [
4 [ \ � � � �� [ \ � � � �4 [ \ � � � �� [ \ � � � �4 [ \ [ � � �� [ \ 4 � �
^ [ \ � � � �� [ \ � � � �^ [ \ � � � �� [ \ � � � �^ [ \ [ � � �� [ \ 4 � �
5 [ \ � � � �� [ \ � � � �5 [ \ � � � �� [ \ � � � �5 [ \ [ � � �� [ \ 4 � �
] [ \ � � � �� [ \ � � � �] [ \ � � � �� [ \ � � � �] [ \ [ � � �� [ \ 4 � �
/ [, � [ [, � � [, � � [, � � [, � �
Tabel 3.11: Pelabelan ��D pada sisi antara titik pusat dan titik rambut / 2�$�>� 20$0>� 1 �� �_ \ � � 5� @ [ \ � �� �_ \ � � ]� @ [ \ � 2 �� �_ \ � � 5� @ [ \ �
�5 �_ \ � � 5� @ [ \ � �� �_ \ � � ]� @ [ \ � �] �_ \ � � ]� @ [ \ �
3 �� �_ \ � � 5� @ [ \ � �5 �_ \ � � 5� @ [ \ � �� �_ \ � � 5� @ [ \ �
�� �_ \ � � ]� @ [ \ � �] �_ \ � � ]� @ [ \ � �� �_ \ � � ]� @ [ \ �
4 �� �_ \ � � 5� @ [ \ � �5 �_ \ � � 5� @ [ \ � �� �_ \ � � 5� @ [ \ � �5 �_ \ � � 5� @ [ \ �
�� �_ \ � � ]� @ [ \ � �] �_ \ � � ]� @ [ \ � �� �_ \ � � ]� @ [ \ � �] �_ \ � � ]� @ [ \ �
5 [� �_ \ [ � 5� @ [ \ � �5 �_ \ [ � 5� @ [ \ � �� �_ \ [ � 5� @ [ \ � �5 �_ \ [ � 5� @ [ \ � �� �_ \ [ � 5� @ [ \ [
[� �_ \ [ � ]� @ [ \ � �] �_ \ [ � ]� @ [ \ � �� �_ \ [ � ]� @ [ \ � �] �_ \ [ � ]� @ [ \ � �� �_ \ [ � ]� @ [ \ [
6 4� �_ \ 4 � 5� @ [ \ � [5 �_ \ 4 � 5� @ [ \ � [� �_ \ 4 � 5� @ [ \ � �5 �_ \ 4 � 5� @ [ \ � �� �_ \ 4 � 5� @ [ \ [ �5 �_ \ 4 � 5� @ [ \ 4
4� �_ \ 4 � ]� @ [ \ � [] �_ \ 4 � ]� @ [ \ � [� �_ \ 4 � ]� @ [ \ � �] �_ \ 4 � ]� @ [ \ � �� �_ \ 4 � ]� @ [ \ [ �] �_ \ 4 � ]� @ [ \ 4
/ �_/ � 5� @ [, �_/ � ]� @ [,
99��
Tabel 3.11: Pelabelan ��D pada sisi antara titik pusat dan titik rambut (Lanjutan) 21$1>� 2�$�>� 2)$)>�
�[ �_ \ � � �_� @ [ \ � �� �_ \ � � 4� @ [ \ � �� �_ \ � � ^� @ [ \ � �[ �_ \ � � �_� @ [ \ � �_ �_ \ � � �_� @ [ \ �
�� �_ \ � � 4� @ [ \ � �4 �_ \ � � 4� @ [ \ �
�� �_ \ � � ^� @ [ \ � �^ �_ \ � � ^� @ [ \ �
�[ �_ \ � � �_� @ [ \ � �_ �_ \ � � �_� @ [ \ � �[ �_ \ � � �_� @ [ \ �
�� �_ \ � � 4� @ [ \ � �4 �_ \ � � 4� @ [ \ � �� �_ \ � � 4� @ [ \ �
�� �_ \ � � ^� @ [ \ � �^ �_ \ � � ^� @ [ \ � �� �_ \ � � ^� @ [ \ �
�[ �_ \ � � �_� @ [ \ � �_ �_ \ � � �_� @ [ \ � �[ �_ \ � � �_� @ [ \ � �_ �_ \ � � �_� @ [ \ �
�� �_ \ � � 4� @ [ \ � �4 �_ \ � � 4� @ [ \ � �� �_ \ � � 4� @ [ \ � �4 �_ \ � � 4� @ [ \ �
�� �_ \ � � ^� @ [ \ � �^ �_ \ � � ^� @ [ \ � �� �_ \ � � ^� @ [ \ � �^ �_ \ � � ^� @ [ \ �
[[ �_ \ [ � �_� @ [ \ � [_ �_ \ [ � �_� @ [ \ � �[ �_ \ [ � �_� @ [ \ � �_ �_ \ [ � �_� @ [ \ � �[ �_ \ [ � �_� @ [ \ [
[� �_ \ [ � 4� @ [ \ � �4 �_ \ [ � 4� @ [ \ � �� �_ \ [ � 4� @ [ \ � �4 �_ \ [ � 4� @ [ \ � �� �_ \ [ � 4� @ [ \ [
[� �_ \ [ � ^� @ [ \ � �^ �_ \ [ � ^� @ [ \ � �� �_ \ [ � ^� @ [ \ � �^ �_ \ [ � ^� @ [ \ � �� �_ \ [ � ^� @ [ \ [
4[ �_ \ 4 � �_� @ [ \ � 4_ �_ \ 4 � �_� @ [ \ � [[ �_ \ 4 � �_� @ [ \ � [_ �_ \ 4 � �_� @ [ \ � �[ �_ \ 4 � �_� @ [ \ [ �_ �_ \ 4 � �_� @ [ \ 4
4� �_ \ 4 � 4� @ [ \ � [4 �_ \ 4 � 4� @ [ \ � [� �_ \ 4 � 4� @ [ \ � �4 �_ \ 4 � 4� @ [ \ � �� �_ \ 4 � 4� @ [ \ [ �4 �_ \ 4 � 4� @ [ \ 4
4� �_ \ 4 � ^� @ [ \ � [^ �_ \ 4 � ^� @ [ \ � [� �_ \ 4 � ^� @ [ \ � �^ �_ \ 4 � ^� @ [ \ � �� �_ \ 4 � ^� @ [ \ [ �^ �_ \ 4 � ^� @ [ \ 4
�_/ � �_� @ [, �_/ � 4� @ [, �_/ � ^� @ [,
Berdasarkan hasil beberapa pelabelan graf Hairy Cycle diatas, maka dapat
dibuat generalisasi dalam bentuk teorema sebagai berikut:
Teorema 3.3:
Graf Hairy Cycle ��D dengan / rambut bilangan asli adalah total sisi ajaib.
Bukti:
Pelabelan total sisi ajaib pada suatu graph � dengan order ' dan ukuran (
adalah fungsi bijektif 2 dari � O ke himpunan bilangan bulat {1,2,3, …, ' � (}
sedemikian hingga untuk masing-masing sisi IJ di � berlaku 2I� � 2IJ� �
2J� Q, dengan k konstanta. Maka untuk membuktikan teorema 3.3 perlu
ditunjukkan bahwa :
100��
i) � adalah fungsi bijektif 2 dari � O ke himpunan bilangan bulat {1, 2, 3,
…, ' � (}
ii) untuk masing-masing sisi IJ di � berlaku 2I� � 2IJ� � 2J� Q
Misal:
��� �$� ��� ��� � �*� �0$� 0�� 0�� � 0*� �1$� 1�� 1�� � 1*� ��$� ��� ��� �
�*� �)$� )�� )�� � )*�
yang dikelompokkan sebagai berikut:
���� �$� ��� ��� ��� � �*�
���� �0$� 0�� 0�� 0�� � 0*�
���� �1$� 1�� 1�� 1�� � 1*�
���� ��$� ��� ��� ��� � �*�
���� �)$� )�� )�� )�� � )*�
Dimana:
�$: titik pusat ���� ��� ��� ��� � �*: titik ujung ����
0$: titik pusat ���� 0�� 0�� 0�� � 0*: titik ujung ����
1$: titik pusat ���� 1�� 1�� 1�� � 1*: titik ujung ����
�$: titik pusat ���� ��� ��� ��� � �*: titik ujung ����
)$: titik pusat ���� )�� )�� )�� � )*: titik ujung ����
Sedangkan �$� 0$� 1$� �$ dan )$ saling terhubung.
�� �$��� �$��� � �$�*� �$0$� 0$0�� 0$0�� � 0$0*� 0$1$� 1$1�� 1$1�� �
1$1*� 1$�$� �$��� �$��� � �$�*� �$)$� )$)�� )$)�� � )$)*� )$�$�
Yang dikelompokkan sebagai berikut:
��� �$��� �$��� � �$�*� �$0$�
101��
��� �0$0�� 0$0�� � 0$0*� 0$1$�
��� �1$1�� 1$1�� � 1$1*� 1$�$�
��� ��$��� �$��� � �$�*� �$)$�
��� �)$)�� )$)�� � )$)*� )$�$�
Jadi order dan ukuran di ��D dengan / rambut adalah:
'�� [/ � ��� 8ab�(�� [/ � ��.
Maka ' � ( [/ � �� � [/ � ��
�_/ � ��
Graf Hairy Cycle ��D dengan m rambut dapat digambar sebagai berikut:
1e
1c
1b
0d0e
0c
0b
1d
0a
1a
ma
4a
3a
2a
2b 3b4b
mb
3c
2c
4c
mc
md4d
3d2d
me
4e3e
2e Gambar 3.26: Graf ��D dengan / Rambut
Dengan pola pelabelan sebagai berikut:
11 +d
11 +b
1+n
53
2
4
11 +c
1
11 +e
1+me
14 +e
13 +e
12 +e
11 +a12 +a
13 +a
11 +−ma
1+mc14 +c
13 +c
12 +c1+md
14 +d13 +d
12 +d
12 +b
13 +b
14 +b
1+mb
Gambar 3.27: Pelabelan Graf ��D dengan / Rambut
102��
Pelabelan total sisi ajaib didefinisikan sebagai fungsi 2 dari ��� O ��
ke ������� � ' � (!, maka dihasilkan pola pelabelan sebagai berikut:
a. 2�$� Z �
b. 2�>� Z [, � [ untuk , ������ �/
c. 2�$�>� Z �_/ � 5� @ [, untuk , ������ �/
d. 2�$0$� Z �_/ � ] untuk , ������ �/
e. 20$� Z �
f. 20>� Z [, � � untuk , ������ �/
g. 20$0>� Z �_/ � ]� @ [, untuk , ������ �/
h. 20$1$� Z �_/ � 5 untuk , ������ �/
i. 21$� Z �
j. 21>� Z [, � � untuk , ������ �/
k. 21$1>� Z �_/ � �_� @ [, untuk , ������ �/
l. 21$�$� Z �_/ � ^ untuk , ������ �/
m. 2�$� Z [
n. 2�>� Z [, � � untuk , ������ �/
o. 2�$�>� Z �_/ � 4� @ [, untuk , ������ �/
p. 2�$)$� Z �_/ � 4 untuk , ������ �/
q. 2)$� Z �
r. 2)>� Z [, � � untuk , ������ �/
s. 2)$)>� Z �_/ � ^� @ [, untuk , ������ �/
t. 2)$�$� Z �_/ � �_ untuk , ������ �/
103��
Maka:
i) Akan ditunjukkan bahwa � adalah fungsi bijektif 2 dari ��� O �� ke
himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, …, ' � (}.
a. � adalah fungsi injektif
Untuk titik di �, ambil �> dan �- titik di � dengan 2�>� 2�-�. Akan
dibuktikan , . sedemikian hingga �> �-.
a. Untuk � c , c �, dan � c . c �.
Karena 2I>� 2I-� maka I> I- , jadi , ..
b. Untuk � c , c /� dan � c . c /.
Karena 2�>� 2�-� maka:
[, � [ [. � [
[, [.
jadi , ..
c. Untuk � c , c /� dan � c . c /.
Karena 20>� 20-� maka:
[, � � [. � �
[, [.
jadi , ..
d. Untuk � c , c /� dan � c . c /.
Karena 21>� 21-� maka:
[, � � [. � �
[, [.
jadi , ..
104��
e. Untuk � c , c /� dan � c . c /.
Karena 2�>� 2�-� maka:
[, � � [. � �
[, [.
jadi , ..
f. Untuk � c , c /� dan � c . c /.
Karena 2)>� 2)-� maka:
[, � � [. � �
[, [.�
jadi , ..
Untuk sisi di �, ambil 6$6> dan 6>6- sisi di � dengan 26$6>�
26$6-�. Akan dibuktikan , . sedemikian hingga 6$6> 6$6- .
a. Untuk � c , c /, dan � c . c /.
Karena 2�$�>� 2�$�-� maka:
�_/ � 5 @ [, �_/ � 5 @ [.
@[, @[.
jadi , ..
b. Untuk � c , c /, dan � c . c /
Karena 20$0>� 20$0>� maka:
�_/ � ] @ [, �_/ � ] @ [.
@[, @[.
jadi , ..
105��
c. Untuk � c , c /, dan � c . c /
Karena 21$1>� 21$1>� maka:
�_/ � �_ @ [, �_/ � �_ @ [.
@[, @[.
jadi , ..
d. Untuk � c , c /, dan � c . c /
Karena 2�$�>� 2�$�>� maka:
�_/ � 4 @ [, �_/ � 4 @ [.
@[, @[.
jadi , ..
e. Untuk � c , c /, dan � c . c /
Karena 2)$)>� 2)$)>� maka:
�_/ � ^ @ [, �_/ � ^ @ [.
@[, @[.
jadi , ..
Jadi 2 merupakan fungsi injektif dari ��� O �� ke ������� � ' � (!
b. � adalah fungsi surjektif
Akan ditunjukkan bahwa ��� O �� dipetakan ke ������� � ' � (!.
Menurut definisi pelabelan bahwa untuk setiap elemen di ��� akan
dipetakan pada bilangan asli sebanyak ' dan setiap elemen di �� akan
dipetakan pada bilangan asli sebanyak (, maka banyaknya prapeta dan peta
adalah sama. Sehingga dapat disimpulkan bahwa � c 2�� c ' � ( dan
� c 2 � c ' � (. Artinya ��� O �� dipetakan ke ��� �� �� � ' � (!.
106��
Karena P��� O ��P P��� �� �� � ' � (!P dan karena 2�� adalah injektif
maka sudah pasti 2�� adalah surjektif.
Karena 2�� injektif juga sekaligus surjektif, maka 2�� bijektif.
ii). Akan ditunjukkan bahwa untuk masing-masing sisi IJ di � berlaku:
2I� � 2IJ� � 2J� Q
a. Untuk sisi �$�> di � diperoleh:
2�$� � 2�$�>� � 2�>� � � �_/ � 5� @ [, � [, � [� �_/ � ��
b. Untuk sisi 0$0> di � diperoleh:
20$� � 20$0>� � 20>� � � �_/ � ]� @ [, � [, � �� �_/ � ��
c. Untuk sisi 1$1> di � diperoleh:
21$� � 21$1>� � 21>� � � �_/ � �_� @ [, � [, � �� �_/ � ��
d. Untuk sisi )$)> di � diperoleh:
2�$� � 2�$�>� � 2�>� [ � �_/ � 4� @ [, � [, � �� �_/ � ��
e. Untuk sisi )$)> di � diperoleh:
2)$� � 2)$)>� � 2)>� � � �_/ � ^� @ [, � [, � �� �_/ � ��
f. Untuk sisi �$0$ di � diperoleh:
2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �_/ � ]� � � �_/ � ��
g. Untuk sisi 0$1$ di � diperoleh:
20$� � 20$1$� � 21$� � � �_/ � 5� � � �_/ � ��
h. Untuk sisi 1$�$ di � diperoleh:
21$� � 21$�$� � 2�$� � � �_/ � ^� � [ �_/ � ��
i. Untuk sisi �$)$ di � diperoleh:
2�$� � 2�$)$� � 2)$� [ � �_/ � 4� � � �_/ � ��
107��
j. Untuk sisi )$�$ di � diperoleh:
2)$� � 2)$�$� � 2�$� � � �_/ � �_� � � �_/ � ��
Jadi graf Hairy Cycle ��D dengan / rambut adalah total sisi ajaib dengan
bilangan ajaib: Q �_/ � ��
�
�
����
�
BAB IV KESIMPULAN
3.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan dapat disimpulkan bahwa untuk
pelabelan graf Hairy Cycle ��� dengan / rambut dihasilkan salah satu pola
pelabelan sebagai berikut:
a. Untuk ��� dengan / rambut dihasilkan pola sebagai berikut:
2�$� f�$ �0$ �1$ �g 2�>� f�> �, � ���������6�h6Q�� c , c /�0> �, � ���������6�h6Q�� c , c /�1> �, � ���������6�h6Q�� c , c /�g 26$�$� f�$0$ 4/ � 40$1$ 4/ � [1$�$ 4/ � �g 26$6>� i�$�> 4/ � 4� @ �,��������6�h6Q�� c , c /0$0> 4/ � �� @ �,��������6�h6Q�� c , c /1$1> 4/ � [� @ �,��������6�h6Q�� c , c / g Sehingga dengan pola pelabelan tersebut diperoleh bilangan ajaib
Q 4/ � ].
b. Untuk ��� dengan / rambut dihasilkan pola sebagai berikut:
2�$� j�$ �0$ 51$ 4�$ ^g
2�>� j�> 5, � ^��������6�h6Q�� c , c /0> 5, � ���������6�h6Q�� c , c /1> 5, � 5��������6�h6Q�� c , c /�> 5, � 4��������6�h6Q�� c , c /g
109��
26$�$� j�$0$ 5/ � �0$1$ 5/ � �1$�$ 5/ � ��$�$ 5/ � [g
26$6>� j�$�> 5/ � [� @ 5,��������6�h6Q�� c , c /0$0> 5/ � �� @ 5,��������6�h6Q�� c , c /1$1> 5/ � �� @ 5,��������6�h6Q�� c , c /�$�> 5/ � �� @ 5,��������6�h6Q�� c , c /g Sehingga dengan pola pelabelan tersebut diperoleh bilangan ajaib
Q 5/ � �[.
c. Untuk ��� dengan / rambut dihasilkan pola sebagai berikut:
2�$� klmln�$ �0$ �1$ ��$ [)$ �
g
2�>� klmln�> 5, � ^��������6�h6Q�� c , c /0> 5, � ���������6�h6Q�� c , c /1> 5, � 5��������6�h6Q�� c , c /�> 5, � 4��������6�h6Q�� c , c /)> 5, � 4��������6�h6Q�� c , c /
g
26$�$� klmln�$0$ �_/ � ]0$1$ �_/ � 51$�$ �_/ � ^�$)$ �_/ � 4)$�$ �_/ � �_
g
26$6>� klmln�$�> �_/ � 5� @ [,��������6�h6Q�� c , c /0$0> �_/ � ]� @ [,��������6�h6Q�� c , c /1$1> �_/ � �_� @ [,��������6�h6Q�� c , c /�$�> �_/ � 4� @ [,��������6�h6Q�� c , c /�$�> �_/ � ^� @ [,��������6�h6Q�� c , c /
g
Sehingga dengan pola pelabelan tersebut diperoleh bilangan ajaib
Q �_/ � ��.
110��
3.2 Saran
Dalam penelitian ini, peneliti menggunakan graf Hairy Cycle ���
dengan � �� �� ����[ dan dengan rambut yang sama pada setiap titik sikel
� sebanyak / rambut bilangan asli. Bagi peneliti lain yang ingin
mengembangkan penelitian serupa, peneliti menyarankan pada graf yang
sama namun dengan rambut tiap titik pada sikelnya berbeda, misalnya:
0a
0b
0c
1a
4a
3a
2a
ta
1b
2b3b
4b
ub
1c
3c
2c
4c
vc
Gambar 4.1: Graf ��� Dengan Rambut h� 6� ������Dimana h N 6 N �� o�h� 6� �� + �
Dengan melabeli graf tersebut, apakah graf Hairy Cycle dengan
model tersebut merupakan pelabelan total sisi ajaib? Atau lebih lanjut,
apakah graf Hairy Cycle ��� dengan jumlah rambut yang sama atau berbeda
pada setiap �-nya merupakan super sisi ajaib? Peneliti juga menyarankan
untuk penelitian graf Hairy Cycle dengan menggunakan metode pelabelan
yang berbeda.
�
�
111
DAFTAR PUSTAKA
Abdussakir. 2007. Ketika Kyai Mengajar Matematika. Malang: UIN-Malang Press.
Abdussakir, dkk. 2009. TEORI GRAF: Topik Dasar Untuk Tugas Akhir dan Skripsi. Malang: UIN-Malang Press.
Al-Asqolani, Ibnu Hajar.__. Bulughul Marom min Adillatil Ahkam. Semarang: Al-Haromain.
Al-Ghozali, Imam. 1995. Mukhtashar Ihya’ Ulumuddin. Diterjemahkan oleh Zaid Husaein Al-Hamid. Jakarta: Pustaka Amani.
Arifin, Ahmad. 2000. Aljabar. Bandung: Penerbit ITB.
Barrientos, Christian. 2005. Graceful Graphs With Pendant Edges. Australian Journal of Combinatorics volume 33 Hal: 99-107. http//cims.clayton.edu (diakses pada tanggal 10 November 2010)
Barter, Robert G. and Sherbert, Donal R. 2000. Introduction to Real Analysis. New York: John Wiley & Sons.
Chartrand, G and Lesniak, L. 1986. Graph and Digraph: Second Edition California: A Division Wadsworth.
Fathoni, Achmad. 2009. Pelabelan Super Sisi Ajaib Pada Graf Cartepillar. Skripsi Tidak Diterbitkan. Malang: Jurusan Matematika Fak. Saintek UIN MALIKI Malang.
Fitria, Lala. 2007. Pelabelan Super Sisi Ajaib (Super Edge Magic Labeling) Pada Graf Star p��q (n Bilangan Asli). Skripsi Tidak Diterbitkan. Malang: Jurusan Matematika Fak. Saintek UIN MALIKI Malang.
Gallian, Joseph. 2005. A Dynamic Survey of Graph Labeling. http//www.combinatories.org/survey/ds6.pdf. (diakses pada tanggal 10 November 2010)
Gafur, A. 2008. Eksentrik Digraf dari Graf Star, Graf Double Star, Graf Komplit Bipartit dan Pelebelan Konsekutif pada Graf Sikel dan Graf Bipartit Komplit.
112��
http://www.infogigi.com//�(diakses pada tanggal 10 November 2010)
Limbong, A. dan Prijono, A. 2000. Matematika Diskrit. Bandung: CV Utomo.
Munir, Rinaldi. 2005. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika
Nada, Bahrin. 2008. Pelabelan Total Sisi Ajaib (Edge Magic Total Labeling),Konstanta Ajaib Terkecil, Graf Sikel, Graf Lintasan, dan Star. Skripsi Tidak Diterbitkan. Malang: Jurusan Matematika Fak. Saintek UIN MALIKI Malang.
Lipschutz, S. dan Lipson, M.L. 2002. Seri Penyelesaian Soal Schaum: Matematika Diskrit 2 (Terjemahan). Jakarta: Salemba Teknika.
Pradhan, P dan Kumar, Ajay. 2009. Graceful Graphs from Hairy Cycles. Journal of natural & Physical Science_volume 23(1-2) Hal:79-84. http//www.gkvharidwar.org/journal (diakses pada tanggal 10 November 2010)
Wilson, R.J dan Watkins, J.J. 1990. Graph An Introductory Approach: A first
Course In Discrete Mathematics. New York: John Wiley & Sons.
Wojciechowski, Jerzy. _. Minimale Quitability of Hairy Cycles. http//citeseerx.ist.psu.edu. (diakses pada tanggal 10 November 2010)
�
KEMENTRIAN AGAMA RI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI Jl. Gajayana No. 50 Dinoyo Malang (0341) 551343 Fax. (0341) 572533
BUKTI KONSULTASI SKRIPSI
Nama : Nuril Anwar Hamdani NIM : 07610081 Fakultas/Jurusan : Sains dan Teknologi/Matematika Judul skripsi : Pelabelan Total Sisi Ajaib Pada Graf Hairy Cycle ��� Pembimbing I : Abdussakir, M.Pd Pembimbing II :Dr. H. Ahmad Barizi, M.A
No Tanggal HAL Tanda Tangan 1 02-11-2010 Konsultasi Masalah 1. 2 15-11-2010 Konsultasi BAB III 2. 3 20-11-2010 Revisi BAB III 3. 4 28-11-2010 Revisi BAB III 4. 5 03-12-2010 ACC BAB III 5. 6 03-12-2010 Konsultasi BAB I dan II 6. 7 24-12-2010 Konsultasi Kajian Agama 7. 8 06-01-2011 Revisi BAB I dan II
Konsultasi IV 8.
9 10-01-2011 ACC BAB I dan II 9. 10 11-01-2011 ACC Kajian Agama 10. 11 11-01-2011 Konsultasi Keseluruhan 11. 12 11-01-2011 ACC Keseluruhan 12.
Malang, 11 Januari 2011 Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika
Abdussakir, M.Pd NIP.19751006 200312 1 001
�
Recommended