View
118
Download
10
Category
Preview:
Citation preview
PERSAMAAN FRESNEL
Penurunan keempat persamaan Fresnel.
1. πΈ tegak lurus bidang jatuh
Menurut hukum Faraday
π β
π
πl = β ππ
ππ‘β
π΄
πa
Pada bidang batas abcd (ππ βͺ dan ππ βͺ) diperoleh
π β π
πl = 0, karena luas abcd = 0.
maka
π β π
πl = 0 atau πΈπβ₯ ππ + πΈπβ₯ ππ β πΈπ‘β₯ ππ = 0
πΈπβ₯ + πΈπβ₯ = πΈπ‘β₯ (1.1)
Menurut hukum Ampere
π β
π
πl = π0πΌ + π0π0 ππ
ππ‘β
π΄
πa
Karena I = 0 dan A = 0, maka
π β
π
πl = 0 = β π΅πβ₯ ππ + π΅πβ₯ ππ + π΅π‘β₯ ππ
Pada bidang tangensial diperoleh
π΅πβ₯ cos π = π΅π‘β₯ cos πβ² + π΅πβ₯ cos π
βπ΅πβ₯ cos π + π΅πβ₯ cos π = βπ΅π‘β₯ cos πβ²
βπ1π»πβ₯ cos π + π1π»πβ₯ cos π = βπ2π»π‘β₯ cos πβ²
Jika medium transparan, π1 β π2 β π0 , sehinga dapat diambil bentuk
π»πβ₯ cos π β π»πβ₯ cos π = π»π‘β₯ cos πβ² (1.2)
Karena π΅ =1
π£πΈ =
1
πππΈ, maka
πΈ = π» π
π (1.3a)
π»πβ₯ = πΈπβ₯ π1
π1 (1.3b)
π»πβ₯ = πΈπβ₯ π1
π1 (1.3c)
π»π‘β₯ = πΈπ‘β₯ π1
π1 (1.3d)
Mengingat π = ππ
π0π0, untuk media yang transparan π β π0 sehingga
π = π
π0=
πΎππ0
π0= πΎπ = ππ
Dengan substitusi persamaan (1.3b,c,d) ke dalam persamaan (1.2)
π1
π1πΈπβ₯ cos π β
π1
π1πΈπβ₯ cos π =
π2
π2πΈπ‘β₯ cos πβ²
Mengingat π1 β π2 β π0
π1πΈπβ₯ cos π β π1πΈπβ₯ cos π = π2πΈπ‘β₯ cos πβ² (1.6)
Bila persamaan (1.5) dikalikan π1 cos π, kemudian dipersamakan dengan persamaan (1.6),
diperoleh:
π1πΈπβ₯ cos π + π1πΈπβ₯ cos π = π1πΈπ‘β₯ cos π
π1πΈπβ₯ cos π β π1πΈπβ₯ cos π = π2πΈπ‘β₯ cos πβ²
____________________________________________________________ +
2π1πΈπβ₯ cos π = π1 cos π + π2 cos πβ² πΈπ‘β₯
Atau
πΈπ‘β₯
πΈπβ₯=
2π1 cos π
π1 cos π + π2 cos πβ²
Mengingat hukum Snells π1 sin π = π2 sin πβ² atau π2 = π1sin π
sin πβ²
πΈπ‘β₯
πΈπβ₯=
2π1 cos π
π1sin πβ²sin πβ²
cos π + π1sin πsin πβ²
cos πβ²
πΈπ‘β₯
πΈπβ₯=
2π1 cos π sin πβ²
π1 sin πβ² cos π + π1 sin π cos πβ²
πΈπ‘β₯
πΈπβ₯=
2 cos π sin πβ²
sin πβ² cos π + sin π cos πβ²
Menggunakan kesamaan trigonometri sinπ cosπ + cos π sin π = sin(π + π), diperoleh
πΈπ‘β₯
πΈπβ₯=
2 cos π sin πβ²
sin π + πβ²
Inilah koefisien transmisi/refraksi, T:
πβ₯ =2 cos π sin πβ²
sin π+πβ² (1.7)
Bila persamaan (1.5) dikalikan dengan π2 cos πβ² dan dipersamakan dengan persamaan (1.6):
π2πΈπβ₯ cos πβ² + π2πΈπβ₯ cos πβ² = π2πΈπ‘β₯ cos πβ²
π1πΈπβ₯ cos π β π1πΈπβ₯ cos π = π2πΈπ‘β₯ cos πβ²
_______________________________________________________________________________ _
β π1 cos π β π2 cos πβ² πΈπβ₯ + π1 cos π + π2 cos πβ² πΈπ‘β₯ = 0
Atau
πΈπβ₯
πΈπβ₯=
π1 cos π β π2 cos πβ²
π1 cos π + π2 cos πβ²
Mengingat hukum Snells π1 sin π = π2 sin πβ² atau π2 = π1sin π
sin πβ²
πΈπβ₯
πΈπβ₯=
π1sin πβ²sin πβ²
cos π β π1sin πsin πβ²
cos πβ²
π1sin πβ²sin πβ²
cos π + π1sin πsin πβ²
cos πβ²
πΈπβ₯
πΈπβ₯=
sin πβ² cos π β cos πβ² sin π
sin πβ² cos π + cos πβ² sin π
Menggunakan kesamaan trigonometri sinπ cosπ + cos π sin π = sin(π + π), dan
sinπ cos π β cos π sinπ = sin(π β π) diperoleh
πΈπβ₯
πΈπβ₯=
sin πβ² β π
sin πβ² + π = β
sin π β πβ²
sin π + πβ²
Inilah koefisien refleksi, R:
π β₯ = βsin πβπβ²
sin π+πβ² (1.8)
2. πΈ sejajar bidang jatuh
Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, pada bidang batas abcd (ππ βͺ dan ππ βͺ)
diperoleh
π΅πβ₯ + π΅πβ₯ = π΅π‘β₯ (2.1a)
atau
π1π»πβ₯ + π1π»πβ₯ = π2π»π‘β₯ (2.1b)
Pada bidang tangensial
πΈπβ₯ cos π β πΈπβ₯ cos π = πΈπ‘β₯ cos πβ²
Karena π = π, maka
πΈπβ₯ cos π β πΈπβ₯ cos π = πΈπ‘β₯ cos πβ² (2.2)
Substitusi persamaan (1.3a) ke dalam persamaan (2.1b)
π1πΈπβ₯ π1
π1+ π1πΈπβ₯
π1
π1= π2πΈπ‘β₯
π2
π2
Mengingat untuk medium transparan π1 β π2 β π0
πΈπβ₯ π1 + πΈπβ₯ π1 = πΈπ‘β₯ π2
Akhirnya diperoleh:
π1πΈπβ₯ + π1πΈπβ₯ = π2πΈπ‘β₯ (2.3)
Bila persamaan (2.2) dikalikan π1 dan persamaan (2.3) dikalikan cos π lalu keduanya
dipersamakan (dikurangi):
π1πΈπβ₯ cos π β π1πΈπβ₯ cos π = π1πΈπ‘β₯ cos πβ²
π1πΈπβ₯ cos π + π1πΈπβ₯ cos π = π2πΈπ‘β₯ cos π
_____________________________________________________________ +
2π1πΈπβ₯ cos π = π1 cos πβ² + π2 cos π πΈπ‘β₯
Atau
πΈπ‘β₯
πΈπβ₯=
2π1 cos π
π1 cos πβ² + π2 cos π
Mengingat hukum Snells π1 sin π = π2 sin πβ² atau π2 = π1sin π
sin πβ²
πΈπ‘β₯
πΈπβ₯=
2π1 cos π
π1sin πβ²sin πβ²
cos πβ² + π1sin πsin πβ²
cos π
πΈπ‘β₯
πΈπβ₯=
2 cos π sin πβ²
sin πβ² cos πβ² + sin π cos π
Mengingat kesamaan trigonometri sinπ cos π =1
2sin 2π
πΈπ‘β₯
πΈπβ₯=
2 cos π sin πβ²
12 sin 2πβ² + sin 2π
Mengingat kesamaan trigonometri sinπ + sin π = 2 sin1
2(π + π) cos
1
2(π β π)
πΈπ‘β₯
πΈπβ₯=
2 cos π sin πβ²
sin π + πβ² cos π β πβ²
Inilah koefisien transmisi, T:
πβ₯ =2 cos π sin πβ²
sin π+π β² cos πβπβ² (2.4)
Bila persamaan (2.2) dikalikan π2 dan persamaan (2.3) dikalikan cos πβ² lalu keduanya
dipersamakan (dikurangi):
π2πΈπβ₯ cos π β π2πΈπβ₯ cos π = π2πΈπ‘β₯ cos πβ²
π1πΈπβ₯ cos πβ² + π1πΈπβ₯ cos πβ² = π2πΈπ‘β₯ cos πβ²
_____________________________________________________________ _
π2 cos π β π1 cos πβ² πΈπβ₯ β π2 cos π + π1 cos πβ² πΈπβ₯ = 0
Atau
πΈπβ₯
πΈπβ₯=
π2 cos π β π1 cos πβ²
π2 cos π + π1 cos πβ²
Mengingat hukum Snells π1 sin π = π2 sin πβ² atau π2 = π1sin π
sin πβ²
πΈπβ₯
πΈπβ₯=
π1sin πsin πβ²
cos π β π1sin πβ²sin πβ²
cos πβ²
π1sin πsin πβ²
cos π + π1sin πβ²sin πβ²
cos πβ²
πΈπβ₯
πΈπβ₯=
sin π cos π β sin πβ² cos πβ²
sin π cos π + sin πβ² cos πβ²
Mengingat kesamaan trigonometri sinπ cos π =1
2sin 2π
πΈπβ₯
πΈπβ₯=
12
sin 2π β12
sin 2πβ²
12
sin 2π +12
sin 2πβ²
Mengingat kesamaan trigonometri sinπ + sin π = 2 sin1
2(π + π) cos
1
2(π β π) dan
sinπ β sinπ = 2 cos1
2(π + π) sin
1
2(π β π)
πΈπβ₯
πΈπβ₯=
cos(π + πβ²) sin(π β πβ²)
sin(π + πβ²) cos(π β πβ²)=
tan(π β πβ²)
tan(π + πβ²)
Inilah koefisien refleksi, R:
π β₯ =tan (πβπ β² )
tan (π+π β² ) (2.5)
Akhirnya dapat dirangkumkan keempat persamaan Fresnel:
πβ₯ =2 cos π sin πβ²
sin π + πβ²
π β₯ = βsin π β πβ²
sin π + πβ²
πβ₯ =2 cos π sin πβ²
sin π + πβ² cos π β πβ²
π β₯ =tan(π β πβ²)
tan(π + πβ²)
Recommended