6
PERSAMAAN FRESNEL Penurunan keempat persamaan Fresnel. 1. tegak lurus bidang jatuh Menurut hukum Faraday ā‹… l = āˆ’ ā‹… a Pada bidang batas abcd ( ā‰Ŗ dan ā‰Ŗ) diperoleh ā‹… l =0, karena luas abcd = 0. maka ā‹… l =0 atau āŠ„ + āŠ„ āˆ’ āŠ„ =0 āŠ„ + āŠ„ = āŠ„ (1.1) Menurut hukum Ampere ā‹… l = 0 + 0 0 ā‹… a Karena I = 0 dan A = 0, maka ā‹… l =0= āˆ’ āŠ„ + āŠ„ + āŠ„ Pada bidang tangensial diperoleh āˆ„ cos = āˆ„ cos ā€² + āˆ„ cos āˆ’ āˆ„ cos + āˆ„ cos = āˆ’ āˆ„ cos ā€²

Persamaan Fresnel.pdf

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Persamaan Fresnel.pdf

PERSAMAAN FRESNEL

Penurunan keempat persamaan Fresnel.

1. šø tegak lurus bidang jatuh

Menurut hukum Faraday

š„ ā‹…

š‘™

š‘‘l = āˆ’ šœ•š

šœ•š‘”ā‹…

š“

š‘‘a

Pada bidang batas abcd (š‘Žš‘‘ ā‰Ŗ dan š‘š‘ ā‰Ŗ) diperoleh

š„ ā‹…š‘™

š‘‘l = 0, karena luas abcd = 0.

maka

š„ ā‹…š‘™

š‘‘l = 0 atau šøš‘–āŠ„ š‘Žš‘ + šøš‘ŸāŠ„ š‘Žš‘ āˆ’ šøš‘”āŠ„ š‘š‘‘ = 0

šøš‘–āŠ„ + šøš‘ŸāŠ„ = šøš‘”āŠ„ (1.1)

Menurut hukum Ampere

š ā‹…

š‘™

š‘‘l = šœ‡0š¼ + šœ‡0šœ€0 šœ•š„

šœ•š‘”ā‹…

š“

š‘‘a

Karena I = 0 dan A = 0, maka

š ā‹…

š‘™

š‘‘l = 0 = āˆ’ šµš‘–āŠ„ š‘Žš‘ + šµš‘ŸāŠ„ š‘Žš‘ + šµš‘”āŠ„ š‘š‘‘

Pada bidang tangensial diperoleh

šµš‘–āˆ„ cos š‘– = šµš‘”āˆ„ cos š‘Ÿā€² + šµš‘Ÿāˆ„ cos š‘–

āˆ’šµš‘–āˆ„ cos š‘– + šµš‘Ÿāˆ„ cos š‘– = āˆ’šµš‘”āˆ„ cos š‘Ÿā€²

Page 2: Persamaan Fresnel.pdf

āˆ’šœ‡1š»š‘–āˆ„ cos š‘– + šœ‡1š»š‘Ÿāˆ„ cos š‘– = āˆ’šœ‡2š»š‘”āˆ„ cos š‘Ÿā€²

Jika medium transparan, šœ‡1 ā‰ˆ šœ‡2 ā‰ˆ šœ‡0 , sehinga dapat diambil bentuk

š»š‘–āˆ„ cos š‘– āˆ’ š»š‘Ÿāˆ„ cos š‘– = š»š‘”āˆ„ cos š‘Ÿā€² (1.2)

Karena šµ =1

š‘£šø =

1

šœ‡šœ€šø, maka

šø = š» šœ‡

šœ€ (1.3a)

š»š‘–āˆ„ = šøš‘–āŠ„ šœ‡1

šœ€1 (1.3b)

š»š‘Ÿāˆ„ = šøš‘ŸāŠ„ šœ‡1

šœ€1 (1.3c)

š»š‘”āˆ„ = šøš‘”āŠ„ šœ‡1

šœ€1 (1.3d)

Mengingat š‘› = šœ€šœ‡

šœ–0šœ‡0, untuk media yang transparan šœ‡ ā‰ˆ šœ‡0 sehingga

š‘› = šœ€

šœ€0=

š¾š‘’šœ€0

šœ€0= š¾š‘’ = šœ€š‘Ÿ

Dengan substitusi persamaan (1.3b,c,d) ke dalam persamaan (1.2)

šœ€1

šœ‡1šøš‘–āŠ„ cos š‘– āˆ’

šœ€1

šœ‡1šøš‘ŸāŠ„ cos š‘– =

šœ€2

šœ‡2šøš‘”āŠ„ cos š‘Ÿā€²

Mengingat šœ‡1 ā‰ˆ šœ‡2 ā‰ˆ šœ‡0

š‘›1šøš‘–āŠ„ cos š‘– āˆ’ š‘›1šøš‘ŸāŠ„ cos š‘– = š‘›2šøš‘”āŠ„ cos š‘Ÿā€² (1.6)

Bila persamaan (1.5) dikalikan š‘›1 cos š‘–, kemudian dipersamakan dengan persamaan (1.6),

diperoleh:

š‘›1šøš‘–āŠ„ cos š‘– + š‘›1šøš‘ŸāŠ„ cos š‘– = š‘›1šøš‘”āŠ„ cos š‘–

š‘›1šøš‘–āŠ„ cos š‘– āˆ’ š‘›1šøš‘ŸāŠ„ cos š‘– = š‘›2šøš‘”āŠ„ cos š‘Ÿā€²

____________________________________________________________ +

2š‘›1šøš‘–āŠ„ cos š‘– = š‘›1 cos š‘– + š‘›2 cos š‘Ÿā€² šøš‘”āŠ„

Atau

šøš‘”āŠ„

šøš‘–āŠ„=

2š‘›1 cos š‘–

š‘›1 cos š‘– + š‘›2 cos š‘Ÿā€²

Mengingat hukum Snells š‘›1 sin š‘– = š‘›2 sin š‘Ÿā€² atau š‘›2 = š‘›1sin š‘–

sin š‘Ÿā€²

šøš‘”āŠ„

šøš‘–āŠ„=

2š‘›1 cos š‘–

š‘›1sin š‘Ÿā€²sin š‘Ÿā€²

cos š‘– + š‘›1sin š‘–sin š‘Ÿā€²

cos š‘Ÿā€²

Page 3: Persamaan Fresnel.pdf

šøš‘”āŠ„

šøš‘–āŠ„=

2š‘›1 cos š‘– sin š‘Ÿā€²

š‘›1 sin š‘Ÿā€² cos š‘– + š‘›1 sin š‘– cos š‘Ÿā€²

šøš‘”āŠ„

šøš‘–āŠ„=

2 cos š‘– sin š‘Ÿā€²

sin š‘Ÿā€² cos š‘– + sin š‘– cos š‘Ÿā€²

Menggunakan kesamaan trigonometri sinš‘Ž cosš‘ + cos š‘Ž sin š‘ = sin(š‘Ž + š‘), diperoleh

šøš‘”āŠ„

šøš‘–āŠ„=

2 cos š‘– sin š‘Ÿā€²

sin š‘– + š‘Ÿā€²

Inilah koefisien transmisi/refraksi, T:

š‘‡āŠ„ =2 cos š‘– sin š‘Ÿā€²

sin š‘–+š‘Ÿā€² (1.7)

Bila persamaan (1.5) dikalikan dengan š‘›2 cos š‘Ÿā€² dan dipersamakan dengan persamaan (1.6):

š‘›2šøš‘–āŠ„ cos š‘Ÿā€² + š‘›2šøš‘ŸāŠ„ cos š‘Ÿā€² = š‘›2šøš‘”āŠ„ cos š‘Ÿā€²

š‘›1šøš‘–āŠ„ cos š‘– āˆ’ š‘›1šøš‘ŸāŠ„ cos š‘– = š‘›2šøš‘”āŠ„ cos š‘Ÿā€²

_______________________________________________________________________________ _

āˆ’ š‘›1 cos š‘– āˆ’ š‘›2 cos š‘Ÿā€² šøš‘–āŠ„ + š‘›1 cos š‘– + š‘›2 cos š‘Ÿā€² šøš‘”āŠ„ = 0

Atau

šøš‘ŸāŠ„

šøš‘–āŠ„=

š‘›1 cos š‘– āˆ’ š‘›2 cos š‘Ÿā€²

š‘›1 cos š‘– + š‘›2 cos š‘Ÿā€²

Mengingat hukum Snells š‘›1 sin š‘– = š‘›2 sin š‘Ÿā€² atau š‘›2 = š‘›1sin š‘–

sin š‘Ÿā€²

šøš‘ŸāŠ„

šøš‘–āŠ„=

š‘›1sin š‘Ÿā€²sin š‘Ÿā€²

cos š‘– āˆ’ š‘›1sin š‘–sin š‘Ÿā€²

cos š‘Ÿā€²

š‘›1sin š‘Ÿā€²sin š‘Ÿā€²

cos š‘– + š‘›1sin š‘–sin š‘Ÿā€²

cos š‘Ÿā€²

šøš‘ŸāŠ„

šøš‘–āŠ„=

sin š‘Ÿā€² cos š‘– āˆ’ cos š‘Ÿā€² sin š‘–

sin š‘Ÿā€² cos š‘– + cos š‘Ÿā€² sin š‘–

Menggunakan kesamaan trigonometri sinš‘Ž cosš‘ + cos š‘Ž sin š‘ = sin(š‘Ž + š‘), dan

sinš‘Ž cos š‘ āˆ’ cos š‘Ž sinš‘ = sin(š‘Ž āˆ’ š‘) diperoleh

šøš‘ŸāŠ„

šøš‘–āŠ„=

sin š‘Ÿā€² āˆ’ š‘–

sin š‘Ÿā€² + š‘– = āˆ’

sin š‘– āˆ’ š‘Ÿā€²

sin š‘– + š‘Ÿā€²

Inilah koefisien refleksi, R:

š‘…āŠ„ = āˆ’sin š‘–āˆ’š‘Ÿā€²

sin š‘–+š‘Ÿā€² (1.8)

Page 4: Persamaan Fresnel.pdf

2. šø sejajar bidang jatuh

Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, pada bidang batas abcd (š‘Žš‘‘ ā‰Ŗ dan š‘š‘ ā‰Ŗ)

diperoleh

šµš‘–āŠ„ + šµš‘ŸāŠ„ = šµš‘”āŠ„ (2.1a)

atau

šœ‡1š»š‘–āŠ„ + šœ‡1š»š‘ŸāŠ„ = šœ‡2š»š‘”āŠ„ (2.1b)

Pada bidang tangensial

šøš‘–āˆ„ cos š‘– āˆ’ šøš‘Ÿāˆ„ cos š‘Ÿ = šøš‘”āˆ„ cos š‘Ÿā€²

Karena š‘– = š‘Ÿ, maka

šøš‘–āˆ„ cos š‘– āˆ’ šøš‘Ÿāˆ„ cos š‘– = šøš‘”āˆ„ cos š‘Ÿā€² (2.2)

Substitusi persamaan (1.3a) ke dalam persamaan (2.1b)

šœ‡1šøš‘–āˆ„ šœ€1

šœ‡1+ šœ‡1šøš‘Ÿāˆ„

šœ€1

šœ‡1= šœ‡2šøš‘”āˆ„

šœ€2

šœ‡2

Mengingat untuk medium transparan šœ‡1 ā‰ˆ šœ‡2 ā‰ˆ šœ‡0

šøš‘–āˆ„ šœ€1 + šøš‘Ÿāˆ„ šœ€1 = šøš‘”āˆ„ šœ€2

Akhirnya diperoleh:

š‘›1šøš‘–āˆ„ + š‘›1šøš‘Ÿāˆ„ = š‘›2šøš‘”āˆ„ (2.3)

Bila persamaan (2.2) dikalikan š‘›1 dan persamaan (2.3) dikalikan cos š‘– lalu keduanya

dipersamakan (dikurangi):

š‘›1šøš‘–āˆ„ cos š‘– āˆ’ š‘›1šøš‘Ÿāˆ„ cos š‘– = š‘›1šøš‘”āˆ„ cos š‘Ÿā€²

š‘›1šøš‘–āˆ„ cos š‘– + š‘›1šøš‘Ÿāˆ„ cos š‘– = š‘›2šøš‘”āˆ„ cos š‘–

_____________________________________________________________ +

2š‘›1šøš‘–āˆ„ cos š‘– = š‘›1 cos š‘Ÿā€² + š‘›2 cos š‘– šøš‘”āˆ„

Page 5: Persamaan Fresnel.pdf

Atau

šøš‘”āˆ„

šøš‘–āˆ„=

2š‘›1 cos š‘–

š‘›1 cos š‘Ÿā€² + š‘›2 cos š‘–

Mengingat hukum Snells š‘›1 sin š‘– = š‘›2 sin š‘Ÿā€² atau š‘›2 = š‘›1sin š‘–

sin š‘Ÿā€²

šøš‘”āˆ„

šøš‘–āˆ„=

2š‘›1 cos š‘–

š‘›1sin š‘Ÿā€²sin š‘Ÿā€²

cos š‘Ÿā€² + š‘›1sin š‘–sin š‘Ÿā€²

cos š‘–

šøš‘”āˆ„

šøš‘–āˆ„=

2 cos š‘– sin š‘Ÿā€²

sin š‘Ÿā€² cos š‘Ÿā€² + sin š‘– cos š‘–

Mengingat kesamaan trigonometri sinš‘Ž cos š‘Ž =1

2sin 2š‘Ž

šøš‘”āˆ„

šøš‘–āˆ„=

2 cos š‘– sin š‘Ÿā€²

12 sin 2š‘Ÿā€² + sin 2š‘–

Mengingat kesamaan trigonometri sinš‘Ž + sin š‘ = 2 sin1

2(š‘Ž + š‘) cos

1

2(š‘Ž āˆ’ š‘)

šøš‘”āˆ„

šøš‘–āˆ„=

2 cos š‘– sin š‘Ÿā€²

sin š‘– + š‘Ÿā€² cos š‘– āˆ’ š‘Ÿā€²

Inilah koefisien transmisi, T:

š‘‡āˆ„ =2 cos š‘– sin š‘Ÿā€²

sin š‘–+š‘Ÿ ā€² cos š‘–āˆ’š‘Ÿā€² (2.4)

Bila persamaan (2.2) dikalikan š‘›2 dan persamaan (2.3) dikalikan cos š‘Ÿā€² lalu keduanya

dipersamakan (dikurangi):

š‘›2šøš‘–āˆ„ cos š‘– āˆ’ š‘›2šøš‘Ÿāˆ„ cos š‘– = š‘›2šøš‘”āˆ„ cos š‘Ÿā€²

š‘›1šøš‘–āˆ„ cos š‘Ÿā€² + š‘›1šøš‘Ÿāˆ„ cos š‘Ÿā€² = š‘›2šøš‘”āˆ„ cos š‘Ÿā€²

_____________________________________________________________ _

š‘›2 cos š‘– āˆ’ š‘›1 cos š‘Ÿā€² šøš‘–āˆ„ āˆ’ š‘›2 cos š‘– + š‘›1 cos š‘Ÿā€² šøš‘Ÿāˆ„ = 0

Atau

šøš‘Ÿāˆ„

šøš‘–āˆ„=

š‘›2 cos š‘– āˆ’ š‘›1 cos š‘Ÿā€²

š‘›2 cos š‘– + š‘›1 cos š‘Ÿā€²

Mengingat hukum Snells š‘›1 sin š‘– = š‘›2 sin š‘Ÿā€² atau š‘›2 = š‘›1sin š‘–

sin š‘Ÿā€²

šøš‘Ÿāˆ„

šøš‘–āˆ„=

š‘›1sin š‘–sin š‘Ÿā€²

cos š‘– āˆ’ š‘›1sin š‘Ÿā€²sin š‘Ÿā€²

cos š‘Ÿā€²

š‘›1sin š‘–sin š‘Ÿā€²

cos š‘– + š‘›1sin š‘Ÿā€²sin š‘Ÿā€²

cos š‘Ÿā€²

Page 6: Persamaan Fresnel.pdf

šøš‘Ÿāˆ„

šøš‘–āˆ„=

sin š‘– cos š‘– āˆ’ sin š‘Ÿā€² cos š‘Ÿā€²

sin š‘– cos š‘– + sin š‘Ÿā€² cos š‘Ÿā€²

Mengingat kesamaan trigonometri sinš‘Ž cos š‘Ž =1

2sin 2š‘Ž

šøš‘Ÿāˆ„

šøš‘–āˆ„=

12

sin 2š‘– āˆ’12

sin 2š‘Ÿā€²

12

sin 2š‘– +12

sin 2š‘Ÿā€²

Mengingat kesamaan trigonometri sinš‘Ž + sin š‘ = 2 sin1

2(š‘Ž + š‘) cos

1

2(š‘Ž āˆ’ š‘) dan

sinš‘Ž āˆ’ sinš‘ = 2 cos1

2(š‘Ž + š‘) sin

1

2(š‘Ž āˆ’ š‘)

šøš‘Ÿāˆ„

šøš‘–āˆ„=

cos(š‘– + š‘Ÿā€²) sin(š‘– āˆ’ š‘Ÿā€²)

sin(š‘– + š‘Ÿā€²) cos(š‘– āˆ’ š‘Ÿā€²)=

tan(š‘– āˆ’ š‘Ÿā€²)

tan(š‘– + š‘Ÿā€²)

Inilah koefisien refleksi, R:

š‘…āˆ„ =tan (š‘–āˆ’š‘Ÿ ā€² )

tan (š‘–+š‘Ÿ ā€² ) (2.5)

Akhirnya dapat dirangkumkan keempat persamaan Fresnel:

š‘‡āŠ„ =2 cos š‘– sin š‘Ÿā€²

sin š‘– + š‘Ÿā€²

š‘…āŠ„ = āˆ’sin š‘– āˆ’ š‘Ÿā€²

sin š‘– + š‘Ÿā€²

š‘‡āˆ„ =2 cos š‘– sin š‘Ÿā€²

sin š‘– + š‘Ÿā€² cos š‘– āˆ’ š‘Ÿā€²

š‘…āˆ„ =tan(š‘– āˆ’ š‘Ÿā€²)

tan(š‘– + š‘Ÿā€²)