Upload
sunkar-e-gautama
View
118
Download
10
Embed Size (px)
Citation preview
PERSAMAAN FRESNEL
Penurunan keempat persamaan Fresnel.
1. 𝐸 tegak lurus bidang jatuh
Menurut hukum Faraday
𝐄 ⋅
𝑙
𝑑l = − 𝜕𝐁
𝜕𝑡⋅
𝐴
𝑑a
Pada bidang batas abcd (𝑎𝑑 ≪ dan 𝑏𝑐 ≪) diperoleh
𝐄 ⋅𝑙
𝑑l = 0, karena luas abcd = 0.
maka
𝐄 ⋅𝑙
𝑑l = 0 atau 𝐸𝑖⊥ 𝑎𝑏 + 𝐸𝑟⊥ 𝑎𝑏 − 𝐸𝑡⊥ 𝑐𝑑 = 0
𝐸𝑖⊥ + 𝐸𝑟⊥ = 𝐸𝑡⊥ (1.1)
Menurut hukum Ampere
𝐁 ⋅
𝑙
𝑑l = 𝜇0𝐼 + 𝜇0𝜀0 𝜕𝐄
𝜕𝑡⋅
𝐴
𝑑a
Karena I = 0 dan A = 0, maka
𝐁 ⋅
𝑙
𝑑l = 0 = − 𝐵𝑖⊥ 𝑎𝑏 + 𝐵𝑟⊥ 𝑎𝑏 + 𝐵𝑡⊥ 𝑐𝑑
Pada bidang tangensial diperoleh
𝐵𝑖∥ cos 𝑖 = 𝐵𝑡∥ cos 𝑟′ + 𝐵𝑟∥ cos 𝑖
−𝐵𝑖∥ cos 𝑖 + 𝐵𝑟∥ cos 𝑖 = −𝐵𝑡∥ cos 𝑟′
−𝜇1𝐻𝑖∥ cos 𝑖 + 𝜇1𝐻𝑟∥ cos 𝑖 = −𝜇2𝐻𝑡∥ cos 𝑟′
Jika medium transparan, 𝜇1 ≈ 𝜇2 ≈ 𝜇0 , sehinga dapat diambil bentuk
𝐻𝑖∥ cos 𝑖 − 𝐻𝑟∥ cos 𝑖 = 𝐻𝑡∥ cos 𝑟′ (1.2)
Karena 𝐵 =1
𝑣𝐸 =
1
𝜇𝜀𝐸, maka
𝐸 = 𝐻 𝜇
𝜀 (1.3a)
𝐻𝑖∥ = 𝐸𝑖⊥ 𝜇1
𝜀1 (1.3b)
𝐻𝑟∥ = 𝐸𝑟⊥ 𝜇1
𝜀1 (1.3c)
𝐻𝑡∥ = 𝐸𝑡⊥ 𝜇1
𝜀1 (1.3d)
Mengingat 𝑛 = 𝜀𝜇
𝜖0𝜇0, untuk media yang transparan 𝜇 ≈ 𝜇0 sehingga
𝑛 = 𝜀
𝜀0=
𝐾𝑒𝜀0
𝜀0= 𝐾𝑒 = 𝜀𝑟
Dengan substitusi persamaan (1.3b,c,d) ke dalam persamaan (1.2)
𝜀1
𝜇1𝐸𝑖⊥ cos 𝑖 −
𝜀1
𝜇1𝐸𝑟⊥ cos 𝑖 =
𝜀2
𝜇2𝐸𝑡⊥ cos 𝑟′
Mengingat 𝜇1 ≈ 𝜇2 ≈ 𝜇0
𝑛1𝐸𝑖⊥ cos 𝑖 − 𝑛1𝐸𝑟⊥ cos 𝑖 = 𝑛2𝐸𝑡⊥ cos 𝑟′ (1.6)
Bila persamaan (1.5) dikalikan 𝑛1 cos 𝑖, kemudian dipersamakan dengan persamaan (1.6),
diperoleh:
𝑛1𝐸𝑖⊥ cos 𝑖 + 𝑛1𝐸𝑟⊥ cos 𝑖 = 𝑛1𝐸𝑡⊥ cos 𝑖
𝑛1𝐸𝑖⊥ cos 𝑖 − 𝑛1𝐸𝑟⊥ cos 𝑖 = 𝑛2𝐸𝑡⊥ cos 𝑟′
____________________________________________________________ +
2𝑛1𝐸𝑖⊥ cos 𝑖 = 𝑛1 cos 𝑖 + 𝑛2 cos 𝑟′ 𝐸𝑡⊥
Atau
𝐸𝑡⊥
𝐸𝑖⊥=
2𝑛1 cos 𝑖
𝑛1 cos 𝑖 + 𝑛2 cos 𝑟′
Mengingat hukum Snells 𝑛1 sin 𝑖 = 𝑛2 sin 𝑟′ atau 𝑛2 = 𝑛1sin 𝑖
sin 𝑟′
𝐸𝑡⊥
𝐸𝑖⊥=
2𝑛1 cos 𝑖
𝑛1sin 𝑟′sin 𝑟′
cos 𝑖 + 𝑛1sin 𝑖sin 𝑟′
cos 𝑟′
𝐸𝑡⊥
𝐸𝑖⊥=
2𝑛1 cos 𝑖 sin 𝑟′
𝑛1 sin 𝑟′ cos 𝑖 + 𝑛1 sin 𝑖 cos 𝑟′
𝐸𝑡⊥
𝐸𝑖⊥=
2 cos 𝑖 sin 𝑟′
sin 𝑟′ cos 𝑖 + sin 𝑖 cos 𝑟′
Menggunakan kesamaan trigonometri sin𝑎 cos𝑏 + cos 𝑎 sin 𝑏 = sin(𝑎 + 𝑏), diperoleh
𝐸𝑡⊥
𝐸𝑖⊥=
2 cos 𝑖 sin 𝑟′
sin 𝑖 + 𝑟′
Inilah koefisien transmisi/refraksi, T:
𝑇⊥ =2 cos 𝑖 sin 𝑟′
sin 𝑖+𝑟′ (1.7)
Bila persamaan (1.5) dikalikan dengan 𝑛2 cos 𝑟′ dan dipersamakan dengan persamaan (1.6):
𝑛2𝐸𝑖⊥ cos 𝑟′ + 𝑛2𝐸𝑟⊥ cos 𝑟′ = 𝑛2𝐸𝑡⊥ cos 𝑟′
𝑛1𝐸𝑖⊥ cos 𝑖 − 𝑛1𝐸𝑟⊥ cos 𝑖 = 𝑛2𝐸𝑡⊥ cos 𝑟′
_______________________________________________________________________________ _
− 𝑛1 cos 𝑖 − 𝑛2 cos 𝑟′ 𝐸𝑖⊥ + 𝑛1 cos 𝑖 + 𝑛2 cos 𝑟′ 𝐸𝑡⊥ = 0
Atau
𝐸𝑟⊥
𝐸𝑖⊥=
𝑛1 cos 𝑖 − 𝑛2 cos 𝑟′
𝑛1 cos 𝑖 + 𝑛2 cos 𝑟′
Mengingat hukum Snells 𝑛1 sin 𝑖 = 𝑛2 sin 𝑟′ atau 𝑛2 = 𝑛1sin 𝑖
sin 𝑟′
𝐸𝑟⊥
𝐸𝑖⊥=
𝑛1sin 𝑟′sin 𝑟′
cos 𝑖 − 𝑛1sin 𝑖sin 𝑟′
cos 𝑟′
𝑛1sin 𝑟′sin 𝑟′
cos 𝑖 + 𝑛1sin 𝑖sin 𝑟′
cos 𝑟′
𝐸𝑟⊥
𝐸𝑖⊥=
sin 𝑟′ cos 𝑖 − cos 𝑟′ sin 𝑖
sin 𝑟′ cos 𝑖 + cos 𝑟′ sin 𝑖
Menggunakan kesamaan trigonometri sin𝑎 cos𝑏 + cos 𝑎 sin 𝑏 = sin(𝑎 + 𝑏), dan
sin𝑎 cos 𝑏 − cos 𝑎 sin𝑏 = sin(𝑎 − 𝑏) diperoleh
𝐸𝑟⊥
𝐸𝑖⊥=
sin 𝑟′ − 𝑖
sin 𝑟′ + 𝑖 = −
sin 𝑖 − 𝑟′
sin 𝑖 + 𝑟′
Inilah koefisien refleksi, R:
𝑅⊥ = −sin 𝑖−𝑟′
sin 𝑖+𝑟′ (1.8)
2. 𝐸 sejajar bidang jatuh
Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, pada bidang batas abcd (𝑎𝑑 ≪ dan 𝑏𝑐 ≪)
diperoleh
𝐵𝑖⊥ + 𝐵𝑟⊥ = 𝐵𝑡⊥ (2.1a)
atau
𝜇1𝐻𝑖⊥ + 𝜇1𝐻𝑟⊥ = 𝜇2𝐻𝑡⊥ (2.1b)
Pada bidang tangensial
𝐸𝑖∥ cos 𝑖 − 𝐸𝑟∥ cos 𝑟 = 𝐸𝑡∥ cos 𝑟′
Karena 𝑖 = 𝑟, maka
𝐸𝑖∥ cos 𝑖 − 𝐸𝑟∥ cos 𝑖 = 𝐸𝑡∥ cos 𝑟′ (2.2)
Substitusi persamaan (1.3a) ke dalam persamaan (2.1b)
𝜇1𝐸𝑖∥ 𝜀1
𝜇1+ 𝜇1𝐸𝑟∥
𝜀1
𝜇1= 𝜇2𝐸𝑡∥
𝜀2
𝜇2
Mengingat untuk medium transparan 𝜇1 ≈ 𝜇2 ≈ 𝜇0
𝐸𝑖∥ 𝜀1 + 𝐸𝑟∥ 𝜀1 = 𝐸𝑡∥ 𝜀2
Akhirnya diperoleh:
𝑛1𝐸𝑖∥ + 𝑛1𝐸𝑟∥ = 𝑛2𝐸𝑡∥ (2.3)
Bila persamaan (2.2) dikalikan 𝑛1 dan persamaan (2.3) dikalikan cos 𝑖 lalu keduanya
dipersamakan (dikurangi):
𝑛1𝐸𝑖∥ cos 𝑖 − 𝑛1𝐸𝑟∥ cos 𝑖 = 𝑛1𝐸𝑡∥ cos 𝑟′
𝑛1𝐸𝑖∥ cos 𝑖 + 𝑛1𝐸𝑟∥ cos 𝑖 = 𝑛2𝐸𝑡∥ cos 𝑖
_____________________________________________________________ +
2𝑛1𝐸𝑖∥ cos 𝑖 = 𝑛1 cos 𝑟′ + 𝑛2 cos 𝑖 𝐸𝑡∥
Atau
𝐸𝑡∥
𝐸𝑖∥=
2𝑛1 cos 𝑖
𝑛1 cos 𝑟′ + 𝑛2 cos 𝑖
Mengingat hukum Snells 𝑛1 sin 𝑖 = 𝑛2 sin 𝑟′ atau 𝑛2 = 𝑛1sin 𝑖
sin 𝑟′
𝐸𝑡∥
𝐸𝑖∥=
2𝑛1 cos 𝑖
𝑛1sin 𝑟′sin 𝑟′
cos 𝑟′ + 𝑛1sin 𝑖sin 𝑟′
cos 𝑖
𝐸𝑡∥
𝐸𝑖∥=
2 cos 𝑖 sin 𝑟′
sin 𝑟′ cos 𝑟′ + sin 𝑖 cos 𝑖
Mengingat kesamaan trigonometri sin𝑎 cos 𝑎 =1
2sin 2𝑎
𝐸𝑡∥
𝐸𝑖∥=
2 cos 𝑖 sin 𝑟′
12 sin 2𝑟′ + sin 2𝑖
Mengingat kesamaan trigonometri sin𝑎 + sin 𝑏 = 2 sin1
2(𝑎 + 𝑏) cos
1
2(𝑎 − 𝑏)
𝐸𝑡∥
𝐸𝑖∥=
2 cos 𝑖 sin 𝑟′
sin 𝑖 + 𝑟′ cos 𝑖 − 𝑟′
Inilah koefisien transmisi, T:
𝑇∥ =2 cos 𝑖 sin 𝑟′
sin 𝑖+𝑟 ′ cos 𝑖−𝑟′ (2.4)
Bila persamaan (2.2) dikalikan 𝑛2 dan persamaan (2.3) dikalikan cos 𝑟′ lalu keduanya
dipersamakan (dikurangi):
𝑛2𝐸𝑖∥ cos 𝑖 − 𝑛2𝐸𝑟∥ cos 𝑖 = 𝑛2𝐸𝑡∥ cos 𝑟′
𝑛1𝐸𝑖∥ cos 𝑟′ + 𝑛1𝐸𝑟∥ cos 𝑟′ = 𝑛2𝐸𝑡∥ cos 𝑟′
_____________________________________________________________ _
𝑛2 cos 𝑖 − 𝑛1 cos 𝑟′ 𝐸𝑖∥ − 𝑛2 cos 𝑖 + 𝑛1 cos 𝑟′ 𝐸𝑟∥ = 0
Atau
𝐸𝑟∥
𝐸𝑖∥=
𝑛2 cos 𝑖 − 𝑛1 cos 𝑟′
𝑛2 cos 𝑖 + 𝑛1 cos 𝑟′
Mengingat hukum Snells 𝑛1 sin 𝑖 = 𝑛2 sin 𝑟′ atau 𝑛2 = 𝑛1sin 𝑖
sin 𝑟′
𝐸𝑟∥
𝐸𝑖∥=
𝑛1sin 𝑖sin 𝑟′
cos 𝑖 − 𝑛1sin 𝑟′sin 𝑟′
cos 𝑟′
𝑛1sin 𝑖sin 𝑟′
cos 𝑖 + 𝑛1sin 𝑟′sin 𝑟′
cos 𝑟′
𝐸𝑟∥
𝐸𝑖∥=
sin 𝑖 cos 𝑖 − sin 𝑟′ cos 𝑟′
sin 𝑖 cos 𝑖 + sin 𝑟′ cos 𝑟′
Mengingat kesamaan trigonometri sin𝑎 cos 𝑎 =1
2sin 2𝑎
𝐸𝑟∥
𝐸𝑖∥=
12
sin 2𝑖 −12
sin 2𝑟′
12
sin 2𝑖 +12
sin 2𝑟′
Mengingat kesamaan trigonometri sin𝑎 + sin 𝑏 = 2 sin1
2(𝑎 + 𝑏) cos
1
2(𝑎 − 𝑏) dan
sin𝑎 − sin𝑏 = 2 cos1
2(𝑎 + 𝑏) sin
1
2(𝑎 − 𝑏)
𝐸𝑟∥
𝐸𝑖∥=
cos(𝑖 + 𝑟′) sin(𝑖 − 𝑟′)
sin(𝑖 + 𝑟′) cos(𝑖 − 𝑟′)=
tan(𝑖 − 𝑟′)
tan(𝑖 + 𝑟′)
Inilah koefisien refleksi, R:
𝑅∥ =tan (𝑖−𝑟 ′ )
tan (𝑖+𝑟 ′ ) (2.5)
Akhirnya dapat dirangkumkan keempat persamaan Fresnel:
𝑇⊥ =2 cos 𝑖 sin 𝑟′
sin 𝑖 + 𝑟′
𝑅⊥ = −sin 𝑖 − 𝑟′
sin 𝑖 + 𝑟′
𝑇∥ =2 cos 𝑖 sin 𝑟′
sin 𝑖 + 𝑟′ cos 𝑖 − 𝑟′
𝑅∥ =tan(𝑖 − 𝑟′)
tan(𝑖 + 𝑟′)