Upload
sunkar-e-gautama
View
118
Download
10
Embed Size (px)
Citation preview
PERSAMAAN FRESNEL
Penurunan keempat persamaan Fresnel.
1. šø tegak lurus bidang jatuh
Menurut hukum Faraday
š ā
š
šl = ā šš
šš”ā
š“
ša
Pada bidang batas abcd (šš āŖ dan šš āŖ) diperoleh
š ā š
šl = 0, karena luas abcd = 0.
maka
š ā š
šl = 0 atau šøšā„ šš + šøšā„ šš ā šøš”ā„ šš = 0
šøšā„ + šøšā„ = šøš”ā„ (1.1)
Menurut hukum Ampere
š ā
š
šl = š0š¼ + š0š0 šš
šš”ā
š“
ša
Karena I = 0 dan A = 0, maka
š ā
š
šl = 0 = ā šµšā„ šš + šµšā„ šš + šµš”ā„ šš
Pada bidang tangensial diperoleh
šµšā„ cos š = šµš”ā„ cos šā² + šµšā„ cos š
āšµšā„ cos š + šµšā„ cos š = āšµš”ā„ cos šā²
āš1š»šā„ cos š + š1š»šā„ cos š = āš2š»š”ā„ cos šā²
Jika medium transparan, š1 ā š2 ā š0 , sehinga dapat diambil bentuk
š»šā„ cos š ā š»šā„ cos š = š»š”ā„ cos šā² (1.2)
Karena šµ =1
š£šø =
1
šššø, maka
šø = š» š
š (1.3a)
š»šā„ = šøšā„ š1
š1 (1.3b)
š»šā„ = šøšā„ š1
š1 (1.3c)
š»š”ā„ = šøš”ā„ š1
š1 (1.3d)
Mengingat š = šš
š0š0, untuk media yang transparan š ā š0 sehingga
š = š
š0=
š¾šš0
š0= š¾š = šš
Dengan substitusi persamaan (1.3b,c,d) ke dalam persamaan (1.2)
š1
š1šøšā„ cos š ā
š1
š1šøšā„ cos š =
š2
š2šøš”ā„ cos šā²
Mengingat š1 ā š2 ā š0
š1šøšā„ cos š ā š1šøšā„ cos š = š2šøš”ā„ cos šā² (1.6)
Bila persamaan (1.5) dikalikan š1 cos š, kemudian dipersamakan dengan persamaan (1.6),
diperoleh:
š1šøšā„ cos š + š1šøšā„ cos š = š1šøš”ā„ cos š
š1šøšā„ cos š ā š1šøšā„ cos š = š2šøš”ā„ cos šā²
____________________________________________________________ +
2š1šøšā„ cos š = š1 cos š + š2 cos šā² šøš”ā„
Atau
šøš”ā„
šøšā„=
2š1 cos š
š1 cos š + š2 cos šā²
Mengingat hukum Snells š1 sin š = š2 sin šā² atau š2 = š1sin š
sin šā²
šøš”ā„
šøšā„=
2š1 cos š
š1sin šā²sin šā²
cos š + š1sin šsin šā²
cos šā²
šøš”ā„
šøšā„=
2š1 cos š sin šā²
š1 sin šā² cos š + š1 sin š cos šā²
šøš”ā„
šøšā„=
2 cos š sin šā²
sin šā² cos š + sin š cos šā²
Menggunakan kesamaan trigonometri sinš cosš + cos š sin š = sin(š + š), diperoleh
šøš”ā„
šøšā„=
2 cos š sin šā²
sin š + šā²
Inilah koefisien transmisi/refraksi, T:
šā„ =2 cos š sin šā²
sin š+šā² (1.7)
Bila persamaan (1.5) dikalikan dengan š2 cos šā² dan dipersamakan dengan persamaan (1.6):
š2šøšā„ cos šā² + š2šøšā„ cos šā² = š2šøš”ā„ cos šā²
š1šøšā„ cos š ā š1šøšā„ cos š = š2šøš”ā„ cos šā²
_______________________________________________________________________________ _
ā š1 cos š ā š2 cos šā² šøšā„ + š1 cos š + š2 cos šā² šøš”ā„ = 0
Atau
šøšā„
šøšā„=
š1 cos š ā š2 cos šā²
š1 cos š + š2 cos šā²
Mengingat hukum Snells š1 sin š = š2 sin šā² atau š2 = š1sin š
sin šā²
šøšā„
šøšā„=
š1sin šā²sin šā²
cos š ā š1sin šsin šā²
cos šā²
š1sin šā²sin šā²
cos š + š1sin šsin šā²
cos šā²
šøšā„
šøšā„=
sin šā² cos š ā cos šā² sin š
sin šā² cos š + cos šā² sin š
Menggunakan kesamaan trigonometri sinš cosš + cos š sin š = sin(š + š), dan
sinš cos š ā cos š sinš = sin(š ā š) diperoleh
šøšā„
šøšā„=
sin šā² ā š
sin šā² + š = ā
sin š ā šā²
sin š + šā²
Inilah koefisien refleksi, R:
š ā„ = āsin šāšā²
sin š+šā² (1.8)
2. šø sejajar bidang jatuh
Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, pada bidang batas abcd (šš āŖ dan šš āŖ)
diperoleh
šµšā„ + šµšā„ = šµš”ā„ (2.1a)
atau
š1š»šā„ + š1š»šā„ = š2š»š”ā„ (2.1b)
Pada bidang tangensial
šøšā„ cos š ā šøšā„ cos š = šøš”ā„ cos šā²
Karena š = š, maka
šøšā„ cos š ā šøšā„ cos š = šøš”ā„ cos šā² (2.2)
Substitusi persamaan (1.3a) ke dalam persamaan (2.1b)
š1šøšā„ š1
š1+ š1šøšā„
š1
š1= š2šøš”ā„
š2
š2
Mengingat untuk medium transparan š1 ā š2 ā š0
šøšā„ š1 + šøšā„ š1 = šøš”ā„ š2
Akhirnya diperoleh:
š1šøšā„ + š1šøšā„ = š2šøš”ā„ (2.3)
Bila persamaan (2.2) dikalikan š1 dan persamaan (2.3) dikalikan cos š lalu keduanya
dipersamakan (dikurangi):
š1šøšā„ cos š ā š1šøšā„ cos š = š1šøš”ā„ cos šā²
š1šøšā„ cos š + š1šøšā„ cos š = š2šøš”ā„ cos š
_____________________________________________________________ +
2š1šøšā„ cos š = š1 cos šā² + š2 cos š šøš”ā„
Atau
šøš”ā„
šøšā„=
2š1 cos š
š1 cos šā² + š2 cos š
Mengingat hukum Snells š1 sin š = š2 sin šā² atau š2 = š1sin š
sin šā²
šøš”ā„
šøšā„=
2š1 cos š
š1sin šā²sin šā²
cos šā² + š1sin šsin šā²
cos š
šøš”ā„
šøšā„=
2 cos š sin šā²
sin šā² cos šā² + sin š cos š
Mengingat kesamaan trigonometri sinš cos š =1
2sin 2š
šøš”ā„
šøšā„=
2 cos š sin šā²
12 sin 2šā² + sin 2š
Mengingat kesamaan trigonometri sinš + sin š = 2 sin1
2(š + š) cos
1
2(š ā š)
šøš”ā„
šøšā„=
2 cos š sin šā²
sin š + šā² cos š ā šā²
Inilah koefisien transmisi, T:
šā„ =2 cos š sin šā²
sin š+š ā² cos šāšā² (2.4)
Bila persamaan (2.2) dikalikan š2 dan persamaan (2.3) dikalikan cos šā² lalu keduanya
dipersamakan (dikurangi):
š2šøšā„ cos š ā š2šøšā„ cos š = š2šøš”ā„ cos šā²
š1šøšā„ cos šā² + š1šøšā„ cos šā² = š2šøš”ā„ cos šā²
_____________________________________________________________ _
š2 cos š ā š1 cos šā² šøšā„ ā š2 cos š + š1 cos šā² šøšā„ = 0
Atau
šøšā„
šøšā„=
š2 cos š ā š1 cos šā²
š2 cos š + š1 cos šā²
Mengingat hukum Snells š1 sin š = š2 sin šā² atau š2 = š1sin š
sin šā²
šøšā„
šøšā„=
š1sin šsin šā²
cos š ā š1sin šā²sin šā²
cos šā²
š1sin šsin šā²
cos š + š1sin šā²sin šā²
cos šā²
šøšā„
šøšā„=
sin š cos š ā sin šā² cos šā²
sin š cos š + sin šā² cos šā²
Mengingat kesamaan trigonometri sinš cos š =1
2sin 2š
šøšā„
šøšā„=
12
sin 2š ā12
sin 2šā²
12
sin 2š +12
sin 2šā²
Mengingat kesamaan trigonometri sinš + sin š = 2 sin1
2(š + š) cos
1
2(š ā š) dan
sinš ā sinš = 2 cos1
2(š + š) sin
1
2(š ā š)
šøšā„
šøšā„=
cos(š + šā²) sin(š ā šā²)
sin(š + šā²) cos(š ā šā²)=
tan(š ā šā²)
tan(š + šā²)
Inilah koefisien refleksi, R:
š ā„ =tan (šāš ā² )
tan (š+š ā² ) (2.5)
Akhirnya dapat dirangkumkan keempat persamaan Fresnel:
šā„ =2 cos š sin šā²
sin š + šā²
š ā„ = āsin š ā šā²
sin š + šā²
šā„ =2 cos š sin šā²
sin š + šā² cos š ā šā²
š ā„ =tan(š ā šā²)
tan(š + šā²)