predavanje 9

Glava 1

Furijeov trigonometrijski red.

Furijeov integral

1.0.1 Razvijanje funkcija u Furijeov red, na intervalu (0, ℓ).Produzenje poluintervala

U raznim problemima fizike i tehnike javlja se potreba da se u Furijeov red razvije funkcija u nekomkonacnom intervalu, recimo (0, ℓ). To moze da se postigne tako sto cemo izvrsiti translaciju koordinatnogsistema (odnosno uvesti smenu) za ℓ/2, pa zatim, za, u opstem slucaju neprekidnu funkciju f(x), izvrsitiproduzenje, kako je to ranije objasnjeno (ℓ izabrati za period).

Drugi nacin, koji je prakticniji, sastoji se u sledecem. Uzeti da je period 2ℓ i prosiriti polaznu funkciju nainterval (−ℓ, 0). Tada, posto je funkcija data samo na intervalu (0, ℓ), mozemo da izvrsimo njeno prosirenjena interval (−ℓ, 0), tako da je njeno prosirenje parna ili neparna funkcija. Ovaj postupak demonstriran jena slici 4.3.

Slika 1.1: Produzenje neperiodicne funkcije

Ovakvo prosirenje je pogodno, jer u ovim slucajevima razvijanje funkcije u Furijeov red svodi se na

1

Furijeov sinus ili kosinus red (zbog parnosti ili neparnosti prosirene funkcije), a zadrzavamo se samo uintervalu u kome je polazna funkcija definisana.

Primer. Razviti u Furijeov red funkciju

f(x) =

2k

ℓx, 0 < x <

ℓ

2,

2k

ℓ(ℓ − x),

ℓ

2< x < ℓ.

Resenje. Prvo skicirajmo datu funkciju.

Slika 1.2:

Prema uslovima teoreme o konvergentnosti Furijeovog reda, potrebno je da je funkcija periodicna. Zbogtoga cemo da izvrsimo produzenje polazne funkcije i to na: a) parnu i b) neparnu periodicnu funkciju.

a) Prvo skicirajmo ovako prosirenu funkciju, prema uputstvu datom ranije.

Slika 1.3:

U ovom slucaju (parna funkcija), prema (??), dobijamo:

a0

2=

1

ℓ

2k

ℓ

ℓ/2∫

0

xdx +2k

ℓ

ℓ∫

ℓ/2

(ℓ − x) dx

,

an =2

ℓ

2k

ℓ

ℓ/2∫

0

x cosnπ

ℓxdx +

2k

ℓ

ℓ∫

ℓ/2

(ℓ − x) cosnπ

ℓxdx

,

bn = 0.

2

Integracijom dobijamo za koeficijente Furijeovog reda:

a0

2=

k

2,

an =4k

n2π2

(

2 cosnπ

2− cosnπ − 1

)

,

bn = 0.

Analizirajuci gornje izraze vidimo da su razliciti od nule (an 6= 0) samo clanovi n = 2, 6, 10, 14, . . . ,pa Furijeov red polazne parno prosirene funkcije ima oblik

f(x) =k

2−

16k

π2

(

1

22cos

2π

ℓx +

1

62cos

6π

ℓx + . . .

)

.

b) Skicirajmo sada neparno prosirenje.

Slika 1.4:

U ovom slucaju (neparna funkcija), prema (??), dobijamo:

an = 0,

bn =2

ℓ

2k

ℓ

ℓ/2∫

0

x sinnπ

ℓxdx +

2k

ℓ

ℓ∫

ℓ/2

(ℓ − x) sinnπ

ℓxdx

.

Odavde, parcijalnom integracijom, dobijamo

bn =8k

n2π2sin

nπ

2.

Konacno, Furijeov red, za neparno prosirenje, dobija oblik

f(x) =8k

π2

(

1

12sin

π

ℓx −

1

32sin

3π

ℓx +

1

52sin

5π

ℓx − . . .

)

.

1.0.2 Aproksimacija funkcije trigonometrijskim polinomom. Srednja kvadratna

greska

Neka je data periodicna dunkcija f(x), periode 2π, koja moze da se predstavi Furijeovim redom.Aproksimirajmo posmatranu funkciju trigonometrijskim polinomom N -tog reda

f(x) ≈α0

2+

N∑

k=1

(αk cos kx + βk sin kx) ≡ PN (x). (1.1)

3

Koeficijenti ovog polinoma, αk i βk, su za sada neodre -deni. Mozemo da ih izrazimo na vise nacina.Me -dutim, jasno je da nas interesuje onaj oblik za koji imamo najbolju aproksimaciju, tj. najmanju greskuaproksimacije, pri fiksiranom N .

U tom cilju, prvo definisimo gresku aproksimacije. I gresku mozemo da definisemo na vise nacina.Najprirodnije je definisati je izrazom

|f(x) − PN (x)| = ∆N , za x ∈ [−ℓ, ℓ].

Me -dutim, u postavljenom zadatku, pogodnije je da se greska definise preko integrala i to u obliku

∆N =1

2π

π∫

−π

[f(x) − PN (x)]2

dx. (1.2)

Ovako definisano ∆N zove se srednja kvadratna greska. Postavljeni zadatak se sastoji u tome da, zafiksno N , odredimo oblik koeficijenata αk i βk, polinoma (1.1), tako da ∆N bude minimalno.

Posmatrajmo prvo podintegralnu funkciju. Kako je (f −PN )2 = f2 − 2fPN + P 2N , to iz (1.2) dobijamo

∆N =1

2π

π∫

−π

[f(x) − PN (x)]2

dx =1

2π

π∫

−π

[

f2 − 2fPN + P 2N

]

dx. (1.3)

Dalje, kako po pretpostavci, funkciju f(x) mozemo da predstavimo konvergentnim Furijeovim redom, toza

∫

fPN dx dobijamo

π∫

−π

f PN dx =

=

π∫

−π

[

a0

2+

∞∑

k=1

(ak cos kx + bk sin kx)

]

·

[

α0

2+

N∑

k=1

(αk cos kx + βk sinkx)

]

dx =

= π

[

a0α0

2+

N∑

k=1

(akαk + bkβk)

]

. (1.4)

Ovde smo iskoristili da je∫

cos kxdx = 0,∫

sin kxdx = 0 i∫

sin kx cos kxdx = 0.Na slican nacin dobijamo i za

∫

P 2N dx

π∫

−π

P 2N dx = π

[

α20

2+

N∑

k=1

(

α2k + β2

k

)

]

. (1.5)

Iz poslednje dve relacije (1.4) i (1.5), dobijamo

π∫

−π

[

P 2N − 2fPN

]

dx = π

{

(α0 − a0)2

2+

N∑

k=1

[

(αk − ak)2 + (βk − bk)2]

}

−

− π

[

a20

2+

N∑

k=1

(

a2k + b2

k

)

]

, (1.6)

pri cemu smo iskoristili sledece veze:

(αk − ak)2 = α2k − 2αkak + a2

k, α2k − 2akαk = (αk − ak)2 − a2

k

(βk − bk)2

= β2k − 2βkbk + b2

k, β2k − 2bkβk = (βk − bk)2 − b2

k.

4

Ako sada zamenimo (1.6) u (1.3), dobijamo

2∆N =1

π

π∫

−π

f2 dx −

[

a20

2+

N∑

k=1

(

a2k + b2

k

)

]

+ (1.7)

+

{

(α0 − a0)2

2+

N∑

k=1

[

(αk − ak)2

+ (βk − bk)2]

}

.

Kako je zadatak da se odrede koeficijenti αk i βk, tako da ∆N bude minimalno, to iz (1.7) zakljucujemoda treba da vazi

(α0 − a0)2

2+

N∑

k=1

[

(αk − ak)2

+ (βk − bk)2]

= 0. (1.8)

Jasno je da bi se ovaj clan stalno povecavao (zbir kvadrata), sa porastom N , pa bi na taj nacin i samagreska rasla. Iz tog razloga smo uzeli da je jednak nuli.

Iz relacija (1.8) dobijamo za trazene koeficijente:

α0 = a0, αk = ak, βk = bk. (1.9)

Odavde zakljucujemo da je najbolja srednjekvadratna aproksimacija, za integrabilnu, periodicnu funkcijuf(x), za x ∈ [−π, π], data trigonometrijskim polinomom PN (x) ciji su koeficijent Furijeovi koeficijentifunkcije f(x).

Neke posledice

Zapazimo da je greska

∆N =1

2π

π∫

−π

[f(x) − PN (x)]2 dx

nenegativna, jer je podintegralna funkcija kvadrat realne funkcije. Odatle sledi, prema (1.7) i (1.8), da je

2∆N =1

π

π∫

−π

f2(x) dx −

[

a20

2+

N∑

k=1

(

a2k + b2

k

)

]

≥ 0,

odnosno

1

π

π∫

−π

f2(x) dx ≥a20

2+

N∑

k=1

(

a2k + b2

k

)

, za N = 0, 1, . . . , (1.10)

Ovaj izraz (1.10) poznat je u literaturi kao Beselova nejednakost. Dalje, zapazimo da leva strananejednakosti ne zavisi od N . Odatle sledi da pri N → ∞ desna strana ostaje ogranicena, a to znaci da jered kvadrata Furijeovih koeficijenata

a20

2+

∞∑

k=1

(

a2k + b2

k

)

konvergentan.Kao posledica ove konvergencije je

limk→∞

ak = 0, limk→∞

bk = 0,

5

tj.

limk→∞

ak = 0 ⇒ limk→∞

π∫

−π

f(x) cos kxdx = 0, (1.11)

limk→∞

bk = 0 ⇒ limk→∞

π∫

−π

f(x) sin kxdx = 0. (1.12)

Dakle, Furijeovi koeficijenti ogranicene i integrabilne funkcije teze nuli, kad k → ∞.Relacije (1.11) i (1.12) poznate su u literaturi kao Rimanova teorema.Ako ∆N → 0, kada N → ∞, tada nejednakost (1.10) postaje

1

π

π∫

−π

f2(x) dx =a20

2+

∞∑

k=1

(

a2k + b2

k

)

. (1.13)

Pokazimo sada kako se prethodne relacije mogu prosiriti na proizvoljan (ali konacan) period (−ℓ, ℓ).Posmatrajmo neku periodicnu funkciju ϕ(t), sa periodom (−π, π), tj. ϕ(t) = ϕ(t+2π), i neku periodicnu

funkciju f(x), sa periodom (−ℓ, ℓ), tj. f(x) = f(x + 2ℓ). Uvedimo sada smenu x =ℓ

πt, pri cemu je

f(x) = f

(

ℓ

πt

)

= ϕ(t).

Prema prethodnim smenama imamo

ϕ(t + 2π) = f

[

ℓ

π(t + 2π)

]

= f

(

ℓ

πt + 2ℓ

)

= f(x + 2ℓ) = f(x) = ϕ(t).

Dalje, za trigonometrijske redove je

ϕ(t) =a0

2+

∞∑

k=1

(ak cos kt + bk sinkt)

f(x) =a0

2+

∞∑

k=1

(

ak coskπ

ℓx + bk sin

kπ

ℓx

)

,

gde su odgovarajuci koeficijenti, recimo ak

ak =1

π

π∫

−π

ϕ(t) cos kt dt =1

ℓ

ℓ∫

−ℓ

f(x) coskπ

ℓxdx.

Ovde smo izvrsili smenu granica integracije, jer je:

za t1 = −π x1 =ℓ

π(−π) = −ℓ

a za t2 = π x2 =ℓ

π(π) = ℓ,

a diferencijal dt =π

ℓdx, odnosno

1

πdt =

1

ℓdx.

Dakle, pokazali smo za koeficijente ak kako se izracunavaju za proizvoljan period. Na slican nacin dobijamoi izraz za bk.

6

Lako moze da se pokaze da relacija (1.13) vazi i za proizvoljan period 2ℓ, tj.

1

ℓ

ℓ∫

−ℓ

f2(x) dx =a20

2+

∞∑

k=1

(

a2k + b2

k

)

. (1.14)

Ova relacija (1.14) poznata je kao Parsevalova 1 identicnost Furijeovog reda.Napomenimo, da u slucaju da je funkcija periodicna na intervalu (a, b), tada, kao i u prethodnom

slucaju, dobijamo (za period b − a)

f(x) =a0

2+

∞∑

k=1

ak cos2πk

b − a(x − a) + bk sin

2πk

b − a(x − a),

ak =2

b − a

b∫

a

f(x) cos2πk

b − a(x − a) dx,

bk =2

b − a

b∫

a

f(x) sin2πk

b − a(x − a) dx.

1.0.3 Kompleksan oblik Furijeovog reda

Ako iskoristimo Ojlerove formule za kompleksne brojeve:

coskπx

ℓ=

ekπx

ℓi + e−

kπx

ℓi

2, sin

kπx

ℓ=

ekπx

ℓi − e−

kπx

ℓi

2i,

Furijeov red funkcije f(x) mozemo da napisemo u obliku

f(x) =a0

2+

∞∑

k=1

ak − bki

2e

kπx

ℓi +

∞∑

k=1

ak + bki

2e−

kπx

ℓi =

=a0

2+

−1∑

−∞

ak + bki

2e

kπx

ℓi +

∞∑

1

ak − bki

2e

kπx

ℓi =

=

∞∑

−∞

ckekπx

ℓi.

Ovde je

ck =

ak − bki

2k > 0,

a0

2k = 0,

ak + bki

2k < 0,

pri cemu ck moze da se odredi relacijom

ck =1

2ℓ

ℓ∫

−ℓ

f(x)e−kπx

ℓi dx.

1Marie Antoine Parseval (1755-1836), poznati francuski matematicar.

7

1.0.4 Furijeov integral

Predstavljanje funkcije Furijeovim redom se veoma koristi u mnogim problemima matematicke fizike,ali vazi samo za periodicne funkcije. Pokazali smo kako neka funkcija, definisana u konacnom intervalu(a, b) moze da se prosiri tako da dobijemo periodicnu parnu ili neparnu funkciju. Me -dutim, cesti suproblemi u kojima se javljaju funkcije definisane u intervalu (−∞,∞), a nisu periodicne. Tu klasu funkcijane mozemo da prosirimo na periodicne funkcije, na opisani nacin. Postavlja se pitanje: da li je moguceprosiriti Furijeovu ideju i na takve funkcije?

Posmatrajmo neku funkciju f(x), koja je delimicno glatka funkcija u intervalu [−ℓ, ℓ]. Njen Furijeovred (??) je oblika

f(x) =a0

2+

∞∑

k=1

(

ak coskπ

ℓx + bk sin

kπ

ℓx

)

, (1.15)

pri cemu su koeficijenti ak i bk odre -deni relacijama (??)

ak =1

ℓ

ℓ∫

−ℓ

f(t) coskπ

ℓt dt, bk =

1

ℓ

ℓ∫

−ℓ

f(t) sinkπ

ℓt dt, k = 0, 1, 2, . . . (1.16)

Zamenom (1.16) u (1.15), a s obzirom da je

coskπ

ℓx cos

kπ

ℓt + sin

kπ

ℓx sin

kπ

ℓt = cos

kπ

ℓ(x − t),

dobijamo

f(x) =1

2ℓ

ℓ∫

−ℓ

f(t) dt +∞∑

k=1

1

ℓ

ℓ∫

−ℓ

f(t) coskπ

ℓ(t − x) dt. (1.17)

Prethodno postavljeno pitanje svodi se na pitanje: cemu teze ovi integrali kada ℓ → ∞ ?Pretpostavimo da je funkcija f(x) apsolutno integrabilna u intervalu (−ℓ, ℓ), tj.

ℓ∫

−ℓ

|f(t)| dt < M, gde je M konacan broj.

Koristeci ovaj uslov, dobijamo

limℓ→∞

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1

2ℓ

ℓ∫

−ℓ

f(t) dt

∣

∣

∣

∣

∣

∣

≤ limℓ→∞

1

2ℓ

ℓ∫

−ℓ

|f(t)| dt < limℓ→∞

1

2ℓM = 0. (1.18)

Iskoristivsi (1.18), relacija (1.17) postaje

f(x) = limℓ→∞

∞∑

k=1

1

ℓ

ℓ∫

−ℓ

f(t) coskπ

ℓ(t − x) dt. (1.19)

Uvedimo smenu

αk =kπ

ℓ, k = 0, 1, 2, . . .

pri cemu je

∆αk = αk+1 − αk =(k + 1)π

ℓ−

kπ

ℓ=

π

ℓ(1.20)

8

i1

ℓ=

∆αk

π. (1.21)

Iz smene se vidi da se novo uvedena promenljiva αk menja u intervalu (0, +∞).Koristeci ove smene, relacija (1.19) dobija oblik

f(x) =1

πlim

ℓ→∞

∞∑

k=1

∆αk

ℓ∫

−ℓ

f(t) cosαk(t − x) dt, (1.22)

odnosno, kada pre -demo na granicnu vrednost

f(x) =1

π

∞∫

0

dα

∞∫

−∞

f(t) cosα(t − x) dt. (1.23)

Relacija (1.23) poznata je u literaturi kao Furijeova formula, a odgovarajuci integral kao Furijeov

integral.

Teorema 1 Neka je funkcija f(x):

- deo po deo (delimicno) glatka u svakom konacnom intervalu i

- apsolutno integrabilna u intervalu (−∞,∞).

Tada funkcija f(x)moze da se zameni Furijeovim integralom (1.23) za svako x, sem u tackama prekidaprve vrste xo, u kojima vrednost funkcije f(xo) treba zameniti sa

f(xo − 0) + f(xo + 0)

2.

Furijeovu formulu mozemo da predstavimo i relacijom

f(x) =

∫

∞

0

[A(λ) cosλx + B(λ) sin λx] dλ, (1.24)

gde je:

A(λ) =1

π

∞∫

−∞

f(x) cosλxdx,

B(λ) =1

π

∞∫

−∞

f(x) sin λxdx.

9