PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO - BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA INFORMÁTICA

PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO - BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA

INFORMÁTICA

MÉTODOS NUMÉRICOS DE DETERMINAÇÃO DE RAÍZES: BISSEÇÃO, SECANTE E NEWTON-RAPHSON

Professor.: Aquiles Burlamaqui

CONTEÚDO

Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos

Fase I Fase II

Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

METODOLOGIA Aulas

Teórico-Práticas: Em todas as aulas haverão uma discussão inicial, onde

serão construídos os conceitos assim como as atividades práticas que servirão como parâmetros para avaliação.

Avaliação: A avaliação será feita em cima das prática vistas em

sala de aula assim como provas escritas e participação, de maneira a avaliar o aluno continuamente.

“Eu escutei e esqueci. Eu vi e lembrei. Eu fiz e Entendi.” Confucius

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Fase I Fase II

Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

CONTEXTO DA AULA NA DISCIPLINA Esta aula de está inserida no contexto da

disciplina de Cálculo Numérico cujos objetivos são: Apresentar o cálculo do ponto de vista

computacional. Desenvolver as técnicas destinadas a compensar

as restrições das representações numéricas. Pré-requisitos:

Cálculo I Introdução à Programação

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CONTEÚDO

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Fase I Fase II

Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

BIBLIOGRAFIA Rugiero, Márcia A. G. & Lopes, Vera L.R.

Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais. 2 ed. Makron Books, 1996.

Sperandio, Décio et al. Cálculo Numérico: Características Matemáticas e Computacionais. Prentice-Hall, 2003.

Franco, Neide M.B.. Cálculo Numérico. Prentice-Hall, 2006.

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Fase I Fase II

Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

MOTIVAÇÃO A busca por zeros de funções:

- em diversas áreas da ciência, surgem modelos matemáticos definidos por uma equação do tipo

f(x) = 0 Algumas funções podem ter suas raízes

calculadas analiticamente, porém outras são de difícil solução ou de solução desconhecida (polinômios de ordem maior que 3, por exemplo), sendo necessário a solução por métodos numéricos

Desejamos portanto encontrar um valor para x tal que f() = 0

Iremos discutir métodos numéricos de implementação computacionalmente viável para encontrar um valor para dentro de um intervalo com uma precisão razoável

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Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

IDÉIA CENTRAL DOS MÉTODOS Fase I

Localizar ou isolar uma região que contenha a raiz e definir um valor aproximado inicial

Fase IIRefinamento ou seja melhorar

sucessivamente a aproximação inicial obtida na fase I até se obter uma aproximação para a raiz real dentro de uma precisão prefixada

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Fase I Fase II

Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

FASE I Nesta fase fazemos uma análise

teórica e gráfica da função f(x) O sucesso da fase II depende da

precisão desta análise Usamos o Teorema de Cauchy:

seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b]

se f(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x = entre a e b que é zero de f(x)

a prova deste teorema pode ser encontrada em [Guidorizzi, 2001] 14

FASE I : ANÁLISE GRÁFICA

Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]

15

FASE I : ANÁLISE GRÁFICA

16

Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]

se f(a)f(b) > 0 então podemos ter várias situações no intervalo [a, b]. Estas situações e a análise gráfica são discutidas com mais detalhes em [Guidorizzi, 2001] e [Leithold, 1994]

FASE I : ANÁLISE GRÁFICA Vimos portanto, que a análise gráfica do função f(x)

é fundamental para se obter boas aproximações para a raiz

É suficiente o uso de um dos processos a seguir:i ) Esboçar o gráfico de f(x) e localizar a região onde a

curva intercepta o eixo das abcissas;

ii ) A partir da equação f(x) = 0 obter a equação equivalente g(x) = h(x) e esboçar seus gráficos. Os pontos de cruzamento das curvas são os zeros procurados, pois f()=0 g() = h()

iii ) Usar softwares para traçar gráficos

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FASE I : EXEMPLO COM PROCESSO I

18

Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]

FASE I : EXEMPLO COM PROCESSO II

19

Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]

FASE I : TABELA DE VARIAÇÃO DO SINAL

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Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]

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FASE II: REFINAMENTO

Há vários métodos para refinamento da raiz

Todos pertencem a classe dos métodos iterativos onde um conjunto de instruções é repetido formando cada passo ou ciclo

Eles fornecem uma aproximação da raiz

É importante:Definir o critério de paradaEstudar a convergência e sua eficiência

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CRITÉRIOS DE PARADA

Existem vários tipo de critérios de parada

Analise do valor da funcao:

Erro absoluto:

Erro relativo:

Limites do intervalo:

iii xx

)(xf

i

iii

x

xx

2

ab

FASE II: PSEUDO-CÓDIGO

Ler dados iniciaisRealizar cálculos e aproximação iniciaisk = 1

Enquanto !criterioSatisfeito E k < limMaxcriterioSatisfeito =

calcularNovaAproximacao()k = k + 1

Fim enquantoExibirResultados()

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FASE 1

FASE 2

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FASE II: MÉTODO DA BISSEÇÃO Usando-se o teorema já apresentado

se f(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x = entre a e b que é zero de f(x)

Divide-se ao meio o intervalo [a, b] sucessivamente até que (b-a) < Cada novo xk = (ak + bk)/2 será o novo ak+1 ou

bk+1 de modo a manter válido o teorema acima

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FASE II: MÉTODO DA BISSEÇÃO

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Ex: Achar a raiz da equação no intervalo [2,3] com o erro absoluto

10)( 3 xxf1,0

017*2)3(*)2( ff

62,5)5,2(5,22/)32(0 fx

39,1)25,2(25,22/)5,22(1 fx

40,0)15,2(12,22/)25,22(2 fx

46,0)18,2(18,22/)25,212,2(3 fx

06,012,218,2

5,22 ba

32 ba

25,22 ba

25,212,2 ba

FASE II: MÉTODO DA BISSEÇÃO

Vantagens: Simples Converge sempre

Desvantagens: convergencia lenta

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FASE II: MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Supondo uma aproximação x0 para a raiz de

f(x), no ponto (x0, f(x0)) passa apenas uma única reta tangente, que é a derivada de f(x) em x0. Esta reta tangente corta o eixo x na coordenada x1,definindo por sua vez, o ponto (x1, f(x1))

Por este novo ponto também passa uma única reta tangente que corta o eixo x em x2. Esta nova coordenada define outro ponto (x2, f(x2)) que repete todo o processo

x0,x1,... são aproximações cada vez melhores para a raiz da função, o Xk+1 pode ser obtido a partir do Xk através da função: 31

FASE II: MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

32

FASE II: MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (FORMULAÇÃO E ANÁLISE GRÁFICA)

33

Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]

ConvergênciaCaso se escolha x0 de forma que x1 saia do

intervalo [a,b] o método poderá não convergir.

Ex: Ache a raiz da equaçãopara o erro relativo , ou seja:

)ln()( 2 xxxf

FASE II: MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

Se

Então

xxxf1

2)(

x0=0,5

65,03

44,05,0

)5,0(

)5,0(5,01

f

fx

)ln()( 2 xxxf

65,0)65,0(

)65,0(65,02

f

fx

01,065,0

65,065,0

FASE II: MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Vantagens:

SimplesRápida convergência

Desvantagens:Nem sempre convergeNecessidade de se conhecer a derivada da

funçãoMuito sensível à estimativa inicialSe a derivada for nula o método falha

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FASE II: MÉTODO DA SECANTE

Uma grande desvantagem do método de Newton é a necessidade de se obter f’(x) e calcular seu valor numérico a cada iteração

Uma forma de se contornar este problema é substituir a derivada f’(x) pelo quociente das diferenças

f’(xk) ( f(xk) - f(xk-1) ) / ( xk - xk-1)

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FASE II: MÉTODO DA SECANTE

39

40

Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]

FASE II: MÉTODO DA SECANTE

FASE II: MÉTODO DA SECANTE Vantagens:

Simples Rápida convergência como o método deNewton

e não necessita do conhecimento da derivada da função

Desvantagens: Nem sempre converge Muito sensível à estimativa inicial Se a derivada for nula o método falha

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Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

FASE II: COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS APRESENTADOS O método da Bisseção sempre converge para uma

solução O esforço computacional do método da bisseção

cresce demasiadamente quando se aumenta a exatidão da raiz desejada

Deve ser usado apenas para diminuir o intervalo que contém a raiz para posterior aplicação de outro método, como o método de Newton, por exemplo

O método da Secante é uma aproximação para o método de Newton

Ao contrário do método da Bisseção o método da Secante e de Newton podem não convergir

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FASE II: COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS APRESENTADOS O método da bisseção é bastante simples por não

exigir o conhecimento da derivada da equação em questão, porém possui uma convergência lenta

O método de Newton é o que apresenta a convergência mais rápida, porém exige o conhecimento da derivada analítica da função em questão

O método da Secante é mais lento que o de Newton, porém não exige o conhecimento da derivada analítica da função em questão

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DEMONSTRAÇÃO PRÁTICA DOS MÉTODOS EM AÇÃO

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EXERCÍCIOS PARA OS ALUNOS Implementar os métodos apresentados, de

preferência com visualização gráfica Para uma coleção de funções dadas na lista de

exercícios

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Fase I Fase II

Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa

PESQUISA Em cima de suas implementações:

Encontrar situações de não convergência e explicar o que está acontecendo

Definir diferentes critérios de parada, comparar os resultados obtidos e o número de iterações necessários para cada método

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Professor.: Aquiles Burlamaquiaquilesburlamaqui@gmail.com

http://aquilesburlamaqui.wikidot.com

OBRIGADO!FIM.