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- 1 -
Problema 1º Vamos a calcular en primer lugar las rigideces de las barras. En todo lo que sigue considérese la numeración de nudos indicada en la figura.
4 m3 m
6 m
P = 12000 N3 m
1
2 3
4
El pilar 1-2 se encuentra empotrado en su base y presenta una articulación en su extremo superior, por lo tanto:
EI43
LEI3K12
12 ==
Lo mismo puede decirse del pilar 4-3: EIEI33
LEI3K43
43 ===
El dintel 2-3 se encuentra doblemente articulado; no tiene sentido, en consecuencia, hablar de rigidez de dicho elemento, puesto que los momentos en ambos extremos serán nulos, sea cual sea la carga que soporte la estructura. Una vez calculadas las rigideces pasamos a establecer las ecuaciones de barra: 1) Pilar 1-2
0M
EI163M;
LKKMM
21
121212
1212112
e1212
*
=
Δ=Δ
+θ+=
2) Dintel 2-3
0M0M
32
23
==
3) Pilar 4-3
434343
4343443
e4343
34
EI31M;
LKKMM
0M*
Δ=Δ
+θ+=
=
- 2 -
1
2 3
4
ΔΔ
Por la hipótesis de inextensibilidad de las barras, el único desplazamiento transversal relativo posible es el indicado en la figura (donde sólo se ha representado dicho movimiento), verificándose adicionalmente que Δ12 = Δ43 = Δ. Pasemos ahora a establecer las ecuaciones de nudo. 1) Nudo 2
000MMM 23212 +=⇒+= Dada la configuración de los enlaces de las barras de la estructura, articulación entre el pilar y el dintel, la ecuación anterior degenera en una identidad de la que resulta imposible obtener información adicional alguna. 2) Nudo 3 Se produce la misma situación que en el nudo 2.
000MMM 34323 +=⇒+= A continuación, procedemos a establecer las ecuaciones de desplazamiento. Para ello seccionamos idealmente la estructura según la dirección de los desplazamientos transversales desconocidos (ver figura). Posteriormente establecemos ecuaciones de equilibrio de fuerzas según esas direcciones.
4
1
21T
32
34T21T
P = 12000 N
34T
Ecuación de equilibrio de la sección superior: Σ X = 0; T21 + T34 = 0. Las ecuaciones de equilibrio de barra permiten relacionar la ecuación anterior con los desplazamientos desconocidos.
- 3 -
P = 12000 N
T
12N
12
12M
N
21N
21
T21
21T
2 23N23T
23NT23
N43
M43
43T
N
N
34
34
34T
332N
34T
32
T32
N
32T
Considerando el equilibrio de los pilares 1-2 y 3-4, ver figura anterior, resulta: ΣΜ = 0; M12 + T21 L12 = 0 ΣΜ = 0; M43 + T34 L43 = 0 Donde en ambos casos se han tomado momentos respecto a la base. En consecuencia:
Δ−=−=
Δ−=−=
91
LM
T
643
LM
T
43
4334
12
1221
Y por lo tanto:
⎩⎨⎧
==
⇒=Δ⇒=Δ−Δ−0M0M
0091
643
43
12
Una vez conocidos los momentos en los extremos de las barras, se pueden obtener los cortantes a partir de las ecuaciones de equilibrio de barra. 1) Pilar 1-2 Σx = 0; N12 + N21 = 0. Σy = 0; T12 + T21 = 0. ΣΜ = 0; M12 + T21 L12 = 0; T21 = 0; T12 = 0. 2) Pilar 4-3 Σx = 0; N43 + N34 = 0. Σy = 0; T43 + T34 = 0. ΣΜ = 0; M43 + T34 L43 = 0; T34 = 0; T43 = 0. 3) Dintel 2-3 Σx = 0; N23 + N32 = 0. Σy = 0; T23 + T32 – 12000 = 0.
N60002PT;N6000
2PT;0
2L
PLT;0M 233223
2332 =====−=Σ
- 4 -
Por último, calculamos los axiales a partir de las ecuaciones de equilibrio de nudo (ver figura anterior). 1) Nudo 2 ΣX = 0; T21 – N23 = 0; N23 = N32 = 0. ΣY = 0; T23 + N21 = 0; N21 = - 6000 N; N12 = 6000 N. 2) Nudo 3 ΣX = 0; T34 + N32 = 0; N23 = N32 = 0. Ecuación redundante. ΣY = 0; T32 + N34 = 0; N34 = - 6000 N; N43 = 6000 N.
- 5 -
Problema 2º Analice el pórtico de la figura determinando el valor de las fuerzas en los extremos de cada una de las barras que lo componen. Se admite que todas las barras tienen igual rigidez a flexión (EI = Cte.).
1,64
kN
/m
3,28
kN
/m
1,86 kN/m
1
2 3
4
1) Cálculo de la rigidez de las barras, ij
ijbij L
EI4K = :
a) Pilares
EI8,0EI8,05EI4
LEI4
K pp
p
pp ====
b) Dintel
EI667,0EI32EI
32
6EI4
LEI4
K dd
d
dd ≈====
2) Movimientos conocidos.
a) Por empotramiento en los apoyos: θ1 = θ4 = 0 b) Por inextensibilidad de las barras. El único desplazamiento transversal relativo posible es el
indicado en la figura (donde sólo se ha representado dicho movimiento), verificándose adicionalmente que Δ12 = Δ43 = Δ.
- 6 -
3) Ecuaciones de barra, considérese la numeración expresada en la figura:
Δ+θ+−=Δ+θ+=θ+θ+=θ+θ+−=Δ+θ+=Δ+θ+−=
EI24,0EI4,0333,6833MEI24,0EI8,0333,6833MEI667,0EI333,05580M
EI333,0EI667,05580MEI24,0EI8,0667,3416M
EI24,0EI4,0667,3416M
343
334
3232
3223
221
212
4) Equilibrio de nudos:
a) M2 = M21 + M23 = 0; 1,467EIθ2 + 0,333EIθ3 +0,24EIΔ = 2163,333 b) M3 = M32 + M34 = 0; 0,333EIθ2 + 1,467EIθ3 +0,24EIΔ = –12413,333
5) Ecuación de desplazamiento (ver figura adjunta):
2T21T21
3T34T34
4
3,28
kN
/m
1,86 kN/m
1,64
kN
/m
1
a) T21 + T34 = 0 b) Considerado el equilibrio de las barras 1-2 y 3-4, resulta (ver figura adjunta):
i) Barra 1-2
520500MMT
020500T5MM;0M
211221
2121121
++−=
=+++=∑
ii) Barra 4-3
541000MM
T
041000T5MM;0M
344334
3434434
++−=
=+++=∑
Y, en consecuencia:
61500EI96,0EI12,0EI12,061500MMMM
05
61500MMMMTT
3243342112
433421123421
−=Δ+θ+θ⇒−=+++
=++++
−=+
6) Cálculo de desplazamientos y giros.
Resolviendo el sistema: 1,467EIθ2 + 0,333EIθ3 +0,24EIΔ = 2163,333 0,333EIθ2 + 1,467EIθ3 +0,24EIΔ = –12413,33
- 7 -
1,200EIθ2 + 1,200EIθ3 + 0,96EIΔ= – 61500
EI7,85416;
EI57,2114;
EI8,14968
32 −=Δ=θ=θ
7) Cálculo de momentos.
M12 = -17929,2 Nm M21 = -5108,3 Nm M23 = 5108,3 Nm M32 = 11975 Nm M34 = -11975 Nm M43 = -26487,5 Nm
8) Equilibrio de barras.
32TT23
T12
N12
12M
21T
23T
2N23
23N
21T
N21
N21
T32
332N
N32
1,86 kN/m
1,64
kN
/m
M
N43
43T
43
T34
N34
3,28
kN
/m
M21
T34
N34
M21 M34
M34
M23
M23 32M
M32
a) Barra 1-2
∑∑∑
−==⇒=+++=
=++=
−=⇒=+=
N5,8707TN;5,075T020500T5MM;0M
08200TT;0y
NN0NN;0x
12212121121
2112
21122112
- 8 -
b) Barra 2-3
∑∑∑
−=−=⇒=+++=
=++=
−=⇒=+=
N8,2732TN;2,8427T033480T6MM;0M
011160TT;0y
NN0NN;0x
23323232232
3223
23323223
c) Barra 4-3
∑∑∑
−=−=⇒=+++=
=++=
−=⇒=+=
N5,15892TN;5,507T041000T5MM;0M
016400TT;0y
NN0NN;0x
43343434434
3443
34433443
9) Equilibrio de nudos.
a) Nudo 2.
N8,2732NN8,2732N0NT;0Y
N5,507NN5,507N0NT;0X
12212123
32232321
−=⇒=⇒=+=
−=⇒=⇒=−=
∑∑
b) Nudo 3.
N2,8427NN2,8427N0NT;0Y
N5,507N0NT;0X
43343432
323234
−=⇒=⇒=+=
−=⇒=−=
∑∑
- 9 -
Problema 6º Analice el pórtico de la figura determinando el valor de las fuerzas en los extremos de cada una de las barras que lo componen. Se admite que todas las barras tienen igual rigidez a flexión (EI = cte).
12,64 m
15°
4,00 m
1
2
3
4
5
1 kN/m
a) Movimientos
• Por condiciones de sustentación: θ1 = θ5 = 0 Δ12 = 0
• Por la hipótesis de inextensibilidad de las barras:
( ) Δ=×Δ
=α
Δ=Δ=Δ
Δ=Δ
932,1º15sen2sen2
54543423
54
1
2
3
4
5
3'
4'
3''
Δ54
Δ54
Δ Δ23 34
15°
- 10 -
b) Ecuaciones de barra Barra 1-2. Empotrada – articulada.
( )EI75,0EI
43
lEI3
K12
1212 ===
0M
0l
KKMM
21
12
1212112
e1212
=
=Δ
±θ+=
Barra 2-3. Empotrada – articulada. ( )
( )
EI459,0EI543,63K
m543,6º15cos2
m64,12l
lEI3
K
23
23
23
2323
==⇒
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
==
=
Δ+θ=Δ
±θ+=
=
EI136,0EI459,0l
KKMM
0M
323
2323323
e3232
23
Barra 3-4. Empotrada – articulada. ( )
EI459,0EI543,63
lEI3
K34
3434 ===
( ) ( )0M
kNm169,5M
mkN966,0º15cosm
kN1º15cosqq8
lqM
EI136,0EI459,0169,5l
KKMM
43
e34
34y34
234y34e
34
334
3434334
e3434
=
=⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=×==
=
Δ−θ+=Δ
±θ+=
M34e
q = 0,966 kN/m 34y
Barra 5-4 Empotrada – articulada. ( )
EI75,0EI43
lEI3
K54
5454 ===
0M
EI1875,0l
KKMM
45
54
5454554
e5454
=
Δ=Δ
±θ+=
c) Equilibrio de nudos (momentos) Nudo 3
( ) ( )EI631,5EI135,0EI459,0169,5EI135,0EI459,00
MMM
333
34233
−=θ⇒Δ−θ++Δ+θ=
+=
- 11 -
d) Ecuaciones adicionales
04llqf2TlTM0M 343445343232O =+++−⇒=∑
N32
N32
N45
N45
T32
T32
T45
T45
M32
M32
1 kN/m
O
2f = 3,387 m
l2 = 6,32 m
l = 6,543 m34
( ) m387,3º15tg32,62f22
lftg =××=⇒=α
Del equilibrio de las barras 2-3 y 4-5 se obtiene: Barra 2-3.
23
32322332322 l
MT0lTM;0M −=⇒=+=∑
Barra 5-4
54
54455445545 l
MT0lTM;0M −=⇒=+=∑
Y por tanto:
( ) ( )EI965,59
4387,3EI1875,0EI135,0EI459,02
232,6543,61
04llq
lf2M
ll
MM
3
343454
5423
343232
=Δ⇒×Δ+Δ+θ×=××
=+−−−
e) Momentos en los extremos
kNm273,11MkNm571,5M
kNm571,5M
54
34
32
=−=
=
- 12 -
N12
M12
T12
N21
N21
N23 N23
N32
N32 N34
N34
N43N43
N45
N45
N54
T21
T21
T23
T23
T32
T32 T34
T34
T43
T43
T45
T45
T54
M32
M32 M34
M34
M54
R
1 kN/m
- 13 -
f) Equilibrio de barras Barra 1-2
0TT0lTM;0M
0TT;0y
0NN;0x
21122121121
2112
2112
==⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
=+=
=+=
=+=
∑∑∑
Barra 2-3
⎩⎨⎧
−==
⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
=+=
=+=
=+=
∑∑∑
kN851,0TkN851,0T
0lTM;0M
0TT;0y
0NN;0x
32
23
2332322
3223
3223
Barra 4-3
( ) ( )
⎩⎨⎧
==
⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=+=
=+=
=×==
−=+⇒=++=
∑
∑
∑
kN012,4TkN309,2T
2l
qlTM;0M
lqTT;0ym
kN259,0º15senmkN1º15senqq
693,1NN0lqNN;0x
43
34234
y343443343
34y344334
34x34
433434x344334
Barra 5-4
⎩⎨⎧
−==
⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
=+=
=+=
=+=
∑∑∑
kN818,2TkN818,2T
0lTM;0M
0TT;0y
0NN;0x
45
54
5445545
4554
4554
g) Equilibrio de nudos (fuerzas) Nudo 4
( ) ( )( ) ( )∑
∑=⇒−=⇒=+=
=⇒−=⇒=+=
kN909,4NkN909,4Nº15senNNº15cosT;0Y
kN298,2NkN992,3NTº15cosNº15senT;0X
5445434543
3443454343
Nudo 3 ( ) ( ) ( ) ( )
kN145,3NkN145,3Nº15senTº15cosNº15cosNº15senT;0X
2332
32323434
=⇒−=⇒
=++=∑
Nudo 2 ( ) ( )
( ) ( ) ⎩⎨⎧
==⇒−=
⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
=++=
=++=
∑∑
kN818,2RkN636,1NkN636,1N
0º15senNNº15cosT;0Y
º15cosNº15senTTR;0X 1221
232123
232321
- 14 -
Problema 7º Analice el pórtico de la figura determinando el valor de las fuerzas en los extremos de cada una de las barras que lo componen. Se admite que todas las barras tienen igual rigidez a flexión (EI = cte).
50°
2,50 m
9,36 m
4,00 m
4,5 kN/m
1
5
3
4
2
a) Movimientos
• Por condiciones de sustentación: θ1 = θ4 = θ5 = 0
• Por la hipótesis de inextensibilidad de las barras: PORTICO INTRASLACIONAL. b) Ecuaciones de barra Barra 1-2. Empotrada – Empotrada.
( )
( )
EI766,0EI22,54K
m22,5º50sen
4l
lEI4
K
12
12
12
1212
==⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
==
=
2112212e2121
2212112e1212
EI766,0K5,0KMM
EI383,0K5,0KMM
θ=θ+θ+=
θ=θ+θ+=
Barra 2-5. Empotrada – Empotrada. ( )
EI60,1EI50,24
lEI4
K25
2525 ===
2225525e5252
2525225e2525
EI80,0K5,0KMM
EI60,1K5,0KMM
θ=θ+θ+=
θ=θ+θ+=
Barra 2-3. Empotrada – Empotrada. ( )
( )
EI667,0EI00,64K
m00,6º50tg
436,9l
lEI4
K
23
23
23
2323
==⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=−=
=
23232332e3232
32323223e2323
EI333,0EI667,05,13K5,0KMM
EI333,0EI667,05,13K5,0KMM
θ+θ+−=θ+θ+=
θ+θ+=θ+θ+=
- 15 -
( )
( )kNm5,13
12
m00,6mkN5,4
12lq
M
kNm5,1312
m00,6mkN5,4
12lq
M
2222323e
23
2222323e
23
−=×
−=−=
=×
==
4,5 kN/m
M23e M32
e
Barra 2-5. Empotrada – Empotrada.
( )EIEI
00,44
lEI4
K43
4343 ===
3443343e3434
3343443e4343
EIK5,0KMM
EI5,0K5,0KMM
θ=θ+θ+=
θ=θ+θ+=
c) Equilibrio de nudos (momentos) Nudo 2
( ) ( ) ( )5,13EI333,0EI033,3
EI333,0EI667,05,13EI6,1EI766,00MMMM
32
3222
2523212
−=θ+θθ+θ++θ+θ=
++=
Nudo 3
( ) ( )5,13EI667,1EI333,0
EIEI333,0EI667,05,130MMM
32
323
34323
=θ+θθ+θ+θ+−=
+=
EI190,9;
EI460,5
32 =θ−=θ
d) Momentos en los extremos
kNm190,9M;kNm595,4MkNm188,9M;kNm918,12MkNm368,4M;kNm736,8M
kNm182,4M;kNm091,2M
3443
3223
5225
2112
==−==−=−=−=−=
e) Equilibrio de barras Barra 1-2
⎩⎨⎧
=−=
⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
=++=
=+=
=+=
∑∑∑
kN202,1TkN202,1T
0lTMM;0M
0TT;0y
0NN;0x
21
12
212121121
2112
2112
- 16 -
N12
M12
T12
N21T21
M21N21
T21
M21
N23
N23
T23
T23
M23
M23
N25
M25
T25
N52
T52
N25
T25
M25
M52
4,5 kN/m
N34
N43
T34
T43
M43
N34M34
M34
M32M32
T34
T32
T32
N32N32
- 17 -
Barra 2-5
⎩⎨⎧
=−=
⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
=++=
=+=
=+=
∑∑∑
kN241,5TkN541,5T
0lTMM;0M
0TT;0y
0NN;0x
52
25
255252252
5225
5225
Barra 2-3
⎩⎨⎧
==
⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=++=
=+=
=+=
∑
∑∑
kN878,12TkN122,14T
2l
qlTMM;0M
lqTT;0y
0NN;0x
32
23223
23233232232
23233223
3223
Barra 4-3
⎩⎨⎧
−==
⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
=++=
=+=
=+=
∑∑∑
kN446,3TkN446,3T
0lTMM;0M
0TT;0y
0NN;0x
34
43
343434434
3443
3443
f) Equilibrio de nudos (fuerzas) Nudo 3
kN878,12NkN878,12N0TN;0Y
kN446,3NkN446,3TN;0X
43343234
323432
=⇒−=⇒=+=
=⇒−===
∑∑
Nudo 2 ( ) ( )
( ) ( ) kN639,5NkN639,5N0º50senNº50cosTTN;0Y
kN082,12NkN082,12NNº50cosNTº50senT;0X
522521212325
122123212521
=⇒−=⇒=+++=
=⇒−=⇒+=+=
∑∑
- 18 -
Problema 8º Analice el pórtico de la figura determinando el valor de las fuerzas en los extremos de cada una de las barras que lo componen. Se admite que todas las barras tienen igual rigidez a flexión (EI = cte).
20,00 m
5,00 m
10°
65 kg/m 130 kg/m
1
2
3
4
Diagrama de sólido libre
65 kg/m 130 kg/m
R
Y1
X4
Y4
M4
a) Movimientos
• Por condiciones de sustentación: θ1 = θ4 = 0 Δ43 = 0
• Por la hipótesis de inextensibilidad de las barras: Δ=Δ=Δ 2312
- 19 -
Δ12Δ23
10°1
1'
2''
2'
3
4
2
b) Ecuaciones de barra Barra 1-2. Articulada – Empotrada.
( )
( )
EI295,0EI154,103K
m154,10º10cos
10l
lEI3
K
12
12
12
1212
==⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
==
=
Δ−θ+=Δ
±θ+=
=
EI029,0EI295,0762,837l
KKMM
0M
212
1212212
e2121
12
kgm762,8378lqM
21212e
21 ==
65 kg/m
M21e
Barra 2-3. Empotrada – Articulada.
( )
( )
EI295,0EI154,103K
m154,10º10cos
10l
lEI3
K
12
23
23
2323
==⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
==
=
0M
EI029,0EI295,0523,1675l
KKMM
32
223
2323223
e2323
=
Δ+θ+−=Δ
±θ+=
kgm523,16758lq
M22323e
23 −=−=
- 20 -
M23e
130 kg/m
Barra 4-3. Empotrada – Articulada. ( )
EI6,0EI53
lEI3
K43
4343 ===
0M
0l
KKMM
34
43
4343443
e4343
=
=Δ
±θ+=
c) Equilibrio de nudos (momentos) Nudo 2
( ) ( )
EI809,1417
EI029,0EI295,0523,1675EI029,0EI295,0762,8370MMM
2
22
23212
=θ⇒
Δ+θ+−+Δ−θ+=+=
d) Ecuaciones adicionales
0Mf23QlT
4lQ0M 23X1223YO =++=⇒=∑
O
N23
N23
T23
T23
M23
M23
130 kg/m
l2 = 10,00 m
12
Y1
2f = 3,527 m
l = 10,154 m
Q
Y
X
( )( ) kg00,650º10cosQQ
kg613,114º10senQQ
kg027,660m154,10mkg65lqQ
Y
X
1212
====
=×==
Del equilibrio de la barra 2-3
∑ =+= 23
223
2323233 M2
lqlT;0M
- 21 -
( )
EI284,209006
2154,10130EI029,0EI295,0523,16752763,1
23613,114
210650
2
2
=Δ⇒
×−Δ+θ+−×+××=×
e) Momentos en los extremos
kgm477,4824Mkgm477,4824M
23
21
=−=
f) Equilibrio de barras Barra 1-2
⎩⎨⎧
=−=
⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=++=
=++=
=+=
∑
∑∑
kg105,145Tkg132,805T
02
lqlTM;0M
0lqTT;0y
0NN;0x
21
12212
122121211
12122112
2112
Barra 2-3
⎩⎨⎧
−=−=
⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=++=
=++=
=+=
∑
∑∑
kg15,1135Tkg909,184T
02
lqlTM;0M
0lqTT;0y
0NN;0x
32
23223
232332232
23233223
3223
Barra 4-3
0TT0lTM;0M
0TT;0y
0NN;0x
34434334434
3443
3443
==⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
=+=
=+=
=+=
∑∑∑
g) Equilibrio de nudos (fuerzas) Nudo 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
kg776,83Nkg776,83Nkg966,141Nkg966,141N
º10senNº10cosTº10cosTº10senN;0Y
º10cosNº10senTº50cosNº10senT;0X
3223
1221
21212323
23232121
=⇒−=−=⇒=
++==
++==
∑∑
Nudo 3 ( ) ( )
( ) ( ) kg45,1132Nkg45,1132Nº10senNº10cosTN;0Y
kg613,114Rº10senTº10cosN;0X
4334323234
3232
−=⇒=⇒=+=
−==+=
∑∑
- 22 -
N12
N21N21
N23
N23
N32
N32
N34
N34
N43
T12
T21
T21T23
T23 T32
T32
T34
T34
T43
M21M21
M23
M23
M43
130 kg/m
R
65 kg/m
- 23 -
Otra manera Considerando los apoyos del dintel, éste puede analizarse según el modelo:
65 kg/m 130 kg/m
65 kg/m 130 kg/m
X3Y1 Y3
f = 1,763 m
l = 20 m
l2 = 10 m
( )( ) kg00,650º10cosQQ
kg613,114º10senQQ
kg027,660m154,10mkg65lqQ
Y
X
1212
====
=×==
( )( ) kg1300º10cosPP
kg225,229º10senPP
kg05,1320m154,10mkg130lqP
Y
X
2323
====
=×==
X3Y1 Y3
Q
Y
X
PP
P
Y
X
⎩⎨⎧
−=−=
⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=++=
=+++=
−=⇒=+=
∑
∑∑
kg45,1132Ykg552,817Y
2fPl
43P
2lqlY;0M
0PQYY;0Y
kg613,114XQPX;0X
3
1
XY
212
1231
YY31
3XX3
Equilibrio de barras Barra 1-2
( )( ) kg132,805º10cosYT
kg966,141º10senYN
112
112
−==−==
- 24 -
⎩⎨⎧
−==
⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=++=
=++=
=⇒=+=
∑
∑∑
kgm48,4824Mkg105,145T
02
lqlTM;0M
0lqTT;0y
kg966,141N0NN;0x
21
21212
122121211
12122112
212112
Barra 2-3 ( ) ( )( ) ( ) kg15,1135º10cosYº10senXT
kg776,83º10senYº10cosXN
3332
3332
−=+==−=
⎩⎨⎧
=−=
⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=++=
=++=
−=⇒=+=
∑
∑∑
kgm48,4824Mkg909,184T
02
lqlTM;0M
0lqTT;0y
kg776,83N0NN;0x
23
23223
232332232
23233223
233223
Barra 4-3
0TT0lTM;0M
0TT;0y
0NN;0x
34434334434
3443
3443
==⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
=+=
=+=
=+=
∑∑∑
Por último, considerando el nudo 3
kg45,1132Nkg45,1132YNkg613,114RXR
43334
3
−=⇒=−=−=⇒=
- 25 -
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