View
80
Download
1
Category
Preview:
DESCRIPTION
R óżniczkowanie numeryczne. niesymetryczny iloraz różnicowy. symetryczny iloraz różnicowy. y. f(x+h). f(x). f(x-h). x-h. x. x+h. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Różniczkowanie numeryczne
hfxfxfh
xfhxfxf )(''
2
1)(')(';
)()()('
2)('''6
1)(')(';
2
)()()(' hfxfxf
h
hxfhxfxf
symetryczny iloraz różnicowy
niesymetryczny iloraz różnicowy
Wzory powyższe można wyprowadzić różniczkując wielomian interpolacyjny odpowiednio o węzłach w x i x+h (wielomian pierwszego stopnia) lub x-h, i oraz x+h (wielomian drugiego stopnia).
f(x-h)
f(x)
x
y
f(x+h)
x-h x+h
Za wartość h można przyjąć liczbę rzędu pierwiastka kwadratowego dokładności obliczania wartości funkcji czyli w ogromnej większości przypadków dokładność maszynową. Z jednej strony zmniejszenie h daje teoretycznie lepsze przybliżenie pochodnej ilorazem różnicowym ale z drugiej strony zbyt małe h powoduje że przy odejmowaniu bliskich sobie wartości funkcji tracimy dużo cyfr znaczących. Dla liczb podwójnej precyzji gdzie =10-15 h=10-7.
Pochodne cząstkowe pierwszego obliczamy numerycznie w identyczny sposób inkrementując kolejne zmienne. Wynikiem jest wektor pochodnych (gradientu).
Jeżeli chcemy obliczyć pochodne cząstkowe tylko w jednym punkcie to symetryczne ilorazy różnicowe są 2 razy droższe od niesymetrycznych.
2)4(
2
)(12
1)('')(''
)(2)()()(')(')(''
hfxfxf
h
xfhxfhxf
h
hxfhxfxf
Drugie pochodne: wzór drugiego rzędu (3 punkty)
Drugie pochodne: inny wzór drugiego rzędu (4 punkty)
2)4(
2
)(12
11)('')(''
6
)2(6)(24)(30)(12)(''
hfxfxf
h
hxfhxfxfhxfxf
Całkowanie numeryczne
b
a
dxxfxpfI )()()( p(x) – funkcja wagowa (zwykle stała)
],[)(0
baxxfAfS k
N
kkk
S(f): kwadratura
x1, x2,..., xN: węzły kwadratury
Mamy dwa rodzaje kwadratur: kwadratury Newtona-Coatesa i kwadratury Gaussa.
Kwadratury Newtona-Cotesa
W kwadraturze Newtona-Coatesa rzędu N przybliżamy funkcję podcałkową przez wielomian interpolacyjny Lagrange’a stopnia N o równoodległych węzłach. Funkcja wagowa p(x)=1.
Kwadratura prosta: jeden wielomian dla całego przedziału całkowania (mało praktyczne).
Kwadratura złożona: przedział całkowania dzieli się na podprzedziały i w każdym prowadzi się odpowiedni wielomian interpolacyjny.
)(,
)()1(
)!(!
)1()(
)())(()(
)())(()()(
)()()(
)()(
0
11
11
0
0
khaffN
abh
dtkt
Nttt
kNkhdxxA
xxxxxxxx
xxxxxxxxx
xfxxL
xfALIfS
k
NkNb
a
kk
Nkkkkkok
Nkkok
N
kkkn
N
kkkN
2]2/[2
)()( )(
Nr
fCfE rr Błąd kwadratury
Rząd kwadratury (r)
N=1: wzór trapezów
1
1
1
01
13
1
1
22)(
''12
1''
2
1)(
m
kkmo
m
kkk
b
a
o
fhffh
ffh
fS
fhdxbxaxffE
ffhfS
kwadratura prosta
kwadratura złożona
x1
y
xo=a x2xn=b
błąd
N=2: wzór Simpsona
131242
2/
121222
145
21
423
43
)(
90
1
43
1)(
mmmo
m
kkkk
o
ffffffffh
fffh
fS
fhfE
fffhfS
kwadratura prosta
kwadratura złożona
błąd
Schemat Romberga
)(;;2
)()(2
12
0
ikikiikii
kikioi
xffkhaxab
h
bfaffhTi
Dzielimy przedział całkowania na 2i segmentów. Następnie definiujemy (wzór trapezów):
Z wartości Toi można następnie wyliczyć przybliżenia całki odpowiadające wzorowi parabol (Simpsona) (T1i):
12201,0
1,01
iiii
TTTT
Ogólnie dla kwadratury m-tego rzędu:
122,11,1
1,1
m
imimiimmi
TTTT
30211203
201102
1001
00
TTTT
TTT
TT
T
Kwadratury McLaurina
x1
(x0+h)
y
xo=a xn=b x2
(x0+2h)
f(x0+h/2)
f(x1+h/2)f(x2+h/2)
20
hxhffS
Kwadratura prosta
Kwadratura złożona
1
0 2
n
ii
hxfhfS
Kwadratury Gaussa
Kwadraturą Gaussa nazywamy kwadraturę o maksymalnym rzędzie przy ustalonej liczbie węzłów. Jeżeli liczba węzłów wynosi N+1 to maksymalny rząd kwadratury wynosi 2(N+1). Węzły nie są równoodległe (zaleta: można całkować numerycznie w przedziałach nieograniczonych).
Do kwadratur Gaussa używa się wielomianów ortogonalnych.
b
a
srsr
Nn
srdxxPxPxpPP
xPxPxPxP
,0)()(,
)(,),(),()( 10
Kwadratury Gaussa-Legendre’a(przedział całkowania skończony, funkcja podcałkowa ograniczona)
)(')()2(
222
)(2222
)(
1waga1!2
1)(
12
0
1
1
2
kNkNk
b
a
N
kkk
n
n
n
nn
xPxPNA
xabba
t
tfAab
dxxabba
fab
dttf
xpxdx
d
nxP
xk są kolejnymi pierwiastkami wielomianu Legendre’a PN+1
x
ta b
1
1
xxxxP
xxxP
xxxP
xxP
xxP
xP
1570638
1
330358
1
352
1
132
1
1
355
244
33
22
1
0
5 pierwszych wielomianów Legendre’a
Węzły i współczynniki kwadratur Gaussa-Legendre’a dla N=1, 2, 3, 4
N k Węzły xk Współczynniki Ak
1 0; 1 1
2 0; 2
1
5/9
8/9
3 0; 3
1;2
0.347855
0.652145
4
0;4
1;3
2
0.236927
0.478629
0.568889
3/1
0
5/3
339981.0
861136.0
0
538469.0
906180.0
Błąd kwadratury Gaussa-Legendre’a
ba
fNN
NabfE N
N
)()!22()32(
)!1()()( )22(
3
432
Kwadratury Gaussa-Jacobiego(przedział całkowania skończony ale funkcja podcałkowa
nie musi być ograniczona)
Eulera)Γ(funkcja1
!2,;,;22
22242
22)(
22)1()1(
2
1111!2
)1(),;(
1,,)1()1()(waga
0
1
21
0
1
1
dtetx
NxJxJNN
NNNA
xabba
ttfA
dxxabba
fxxab
dttftp
xxdt
dxx
nxJ
xxxp
tx
kNkNk
kkk
N
kk
b
a
nn
n
n
n
n
n
Wielomiany ortogonalne są wielomianami Jacobiego
Błąd kwadratury Gaussa-Jacobiego
11
)()!22(32)32(
2!1222)( )22(
32
NN
fNNN
NNNNfE
Jeżeli ==-1/2 mamy kwadratury Czebyszewa z wielomianami Czebyszewa, Tn(x).
22
)12(cos
1
1
1)(
2
N
kx
NA
xxp
k
k
1184832
52016
188
34
12
1
2466
355
244
33
22
1
0
xxxxT
xxxxT
xxxT
xxxT
xxT
xxT
xT
Przykład zastosowania kwadratury Gaussa-Czebyszewa
424778.96
5cos3
6
3cos3
6cos3
3
3,
6
5cos,
6
3cos,
6cos
)21ywprowadzam(1
3
1
1
210210
1
12
1
0
S
AAAxxx
xydyy
ydx
xx
x
Wartość dokładna:
f(y)
p(y)
Kwadratury Gaussa-Laguerre’a dla przedziału (0,
)()(
)!1(
)()()(
)1()(
)(
2'
1
2
0 0
kNkNk
N
kkk
x
xnn
nxn
n
x
xLxL
NA
xfAfSdxxfe
exdx
dexL
exp
xk – pierwiastki wielomianu Laguerre’a stopnia n+1
Wielomiany Laguerre’a
Kwadratury Gaussa-Hermite’a dla przedziału (-
)()('
)!1(2
)()()(
)1()(
)(
21
2
0 0
2
22
2
kNkN
N
k
N
kkk
x
xn
nxn
n
x
xHxH
NA
xfAfSdxxfe
edx
dexH
exp
xk – pierwiastki wielomianu Hermite’a stopnia n+1
Wielomiany Hermite’a
Błąd kwadratury Gaussa-Laguerre’a
,0!22
!1 222
NfN
NfE
Błąd kwadratury Gaussa-Hermite’a
,!222
!1 221
NN
fN
NfE
Recommended