Różniczkowanie numeryczne

hfxfxfh

xfhxfxf )(''

2

1)(')(';

)()()('

2)('''6

1)(')(';

2

)()()(' hfxfxf

h

hxfhxfxf

symetryczny iloraz różnicowy

niesymetryczny iloraz różnicowy

Wzory powyższe można wyprowadzić różniczkując wielomian interpolacyjny odpowiednio o węzłach w x i x+h (wielomian pierwszego stopnia) lub x-h, i oraz x+h (wielomian drugiego stopnia).

f(x-h)

f(x)

x

y

f(x+h)

x-h x+h

Za wartość h można przyjąć liczbę rzędu pierwiastka kwadratowego dokładności obliczania wartości funkcji czyli w ogromnej większości przypadków dokładność maszynową. Z jednej strony zmniejszenie h daje teoretycznie lepsze przybliżenie pochodnej ilorazem różnicowym ale z drugiej strony zbyt małe h powoduje że przy odejmowaniu bliskich sobie wartości funkcji tracimy dużo cyfr znaczących. Dla liczb podwójnej precyzji gdzie =10-15 h=10-7.

Pochodne cząstkowe pierwszego obliczamy numerycznie w identyczny sposób inkrementując kolejne zmienne. Wynikiem jest wektor pochodnych (gradientu).

Jeżeli chcemy obliczyć pochodne cząstkowe tylko w jednym punkcie to symetryczne ilorazy różnicowe są 2 razy droższe od niesymetrycznych.

2)4(

2

)(12

1)('')(''

)(2)()()(')(')(''

hfxfxf

h

xfhxfhxf

h

hxfhxfxf

Drugie pochodne: wzór drugiego rzędu (3 punkty)

Drugie pochodne: inny wzór drugiego rzędu (4 punkty)

2)4(

2

)(12

11)('')(''

6

)2(6)(24)(30)(12)(''

hfxfxf

h

hxfhxfxfhxfxf

Całkowanie numeryczne

b

a

dxxfxpfI )()()( p(x) – funkcja wagowa (zwykle stała)

],[)(0

baxxfAfS k

N

kkk

S(f): kwadratura

x1, x2,..., xN: węzły kwadratury

Mamy dwa rodzaje kwadratur: kwadratury Newtona-Coatesa i kwadratury Gaussa.

Kwadratury Newtona-Cotesa

W kwadraturze Newtona-Coatesa rzędu N przybliżamy funkcję podcałkową przez wielomian interpolacyjny Lagrange’a stopnia N o równoodległych węzłach. Funkcja wagowa p(x)=1.

Kwadratura prosta: jeden wielomian dla całego przedziału całkowania (mało praktyczne).

Kwadratura złożona: przedział całkowania dzieli się na podprzedziały i w każdym prowadzi się odpowiedni wielomian interpolacyjny.

)(,

)()1(

)!(!

)1()(

)())(()(

)())(()()(

)()()(

)()(

0

11

11

0

0

khaffN

abh

dtkt

Nttt

kNkhdxxA

xxxxxxxx

xxxxxxxxx

xfxxL

xfALIfS

k

NkNb

a

kk

Nkkkkkok

Nkkok

N

kkkn

N

kkkN

2]2/[2

)()( )(

Nr

fCfE rr Błąd kwadratury

Rząd kwadratury (r)

N=1: wzór trapezów

1

1

1

01

13

1

1

22)(

''12

1''

2

1)(

m

kkmo

m

kkk

b

a

o

fhffh

ffh

fS

fhdxbxaxffE

ffhfS

kwadratura prosta

kwadratura złożona

x1

y

xo=a x2xn=b

błąd

N=2: wzór Simpsona

131242

2/

121222

145

21

423

43

)(

90

1

43

1)(

mmmo

m

kkkk

o

ffffffffh

fffh

fS

fhfE

fffhfS

kwadratura prosta

kwadratura złożona

błąd

Schemat Romberga

)(;;2

)()(2

12

0

ikikiikii

kikioi

xffkhaxab

h

bfaffhTi

Dzielimy przedział całkowania na 2i segmentów. Następnie definiujemy (wzór trapezów):

Z wartości Toi można następnie wyliczyć przybliżenia całki odpowiadające wzorowi parabol (Simpsona) (T1i):

12201,0

1,01

iiii

TTTT

Ogólnie dla kwadratury m-tego rzędu:

122,11,1

1,1

m

imimiimmi

TTTT

30211203

201102

1001

00

TTTT

TTT

TT

T

Kwadratury McLaurina

x1

(x0+h)

y

xo=a xn=b x2

(x0+2h)

f(x0+h/2)

f(x1+h/2)f(x2+h/2)

20

hxhffS

Kwadratura prosta

Kwadratura złożona

1

0 2

n

ii

hxfhfS

Kwadratury Gaussa

Kwadraturą Gaussa nazywamy kwadraturę o maksymalnym rzędzie przy ustalonej liczbie węzłów. Jeżeli liczba węzłów wynosi N+1 to maksymalny rząd kwadratury wynosi 2(N+1). Węzły nie są równoodległe (zaleta: można całkować numerycznie w przedziałach nieograniczonych).

Do kwadratur Gaussa używa się wielomianów ortogonalnych.

b

a

srsr

Nn

srdxxPxPxpPP

xPxPxPxP

,0)()(,

)(,),(),()( 10

Kwadratury Gaussa-Legendre’a(przedział całkowania skończony, funkcja podcałkowa ograniczona)

)(')()2(

222

)(2222

)(

1waga1!2

1)(

12

0

1

1

2

kNkNk

b

a

N

kkk

n

n

n

nn

xPxPNA

xabba

t

tfAab

dxxabba

fab

dttf

xpxdx

d

nxP

xk są kolejnymi pierwiastkami wielomianu Legendre’a PN+1

x

ta b

1

1

xxxxP

xxxP

xxxP

xxP

xxP

xP

1570638

1

330358

1

352

1

132

1

1

355

244

33

22

1

0

5 pierwszych wielomianów Legendre’a

Węzły i współczynniki kwadratur Gaussa-Legendre’a dla N=1, 2, 3, 4

N k Węzły xk Współczynniki Ak

1 0; 1 1

2 0; 2

1

5/9

8/9

3 0; 3

1;2

0.347855

0.652145

4

0;4

1;3

2

0.236927

0.478629

0.568889

3/1

0

5/3

339981.0

861136.0

0

538469.0

906180.0

Błąd kwadratury Gaussa-Legendre’a

ba

fNN

NabfE N

N

)()!22()32(

)!1()()( )22(

3

432

Kwadratury Gaussa-Jacobiego(przedział całkowania skończony ale funkcja podcałkowa

nie musi być ograniczona)

Eulera)Γ(funkcja1

!2,;,;22

22242

22)(

22)1()1(

2

1111!2

)1(),;(

1,,)1()1()(waga

0

1

21

0

1

1

dtetx

NxJxJNN

NNNA

xabba

ttfA

dxxabba

fxxab

dttftp

xxdt

dxx

nxJ

xxxp

tx

kNkNk

kkk

N

kk

b

a

nn

n

n

n

n

n

Wielomiany ortogonalne są wielomianami Jacobiego

Błąd kwadratury Gaussa-Jacobiego

11

)()!22(32)32(

2!1222)( )22(

32

NN

fNNN

NNNNfE

Jeżeli ==-1/2 mamy kwadratury Czebyszewa z wielomianami Czebyszewa, Tn(x).

22

)12(cos

1

1

1)(

2

N

kx

NA

xxp

k

k

1184832

52016

188

34

12

1

2466

355

244

33

22

1

0

xxxxT

xxxxT

xxxT

xxxT

xxT

xxT

xT

Przykład zastosowania kwadratury Gaussa-Czebyszewa

424778.96

5cos3

6

3cos3

6cos3

3

3,

6

5cos,

6

3cos,

6cos

)21ywprowadzam(1

3

1

1

210210

1

12

1

0

S

AAAxxx

xydyy

ydx

xx

x

Wartość dokładna:

f(y)

p(y)

Kwadratury Gaussa-Laguerre’a dla przedziału (0,

)()(

)!1(

)()()(

)1()(

)(

2'

1

2

0 0

kNkNk

N

kkk

x

xnn

nxn

n

x

xLxL

NA

xfAfSdxxfe

exdx

dexL

exp

xk – pierwiastki wielomianu Laguerre’a stopnia n+1

Wielomiany Laguerre’a

Kwadratury Gaussa-Hermite’a dla przedziału (-

)()('

)!1(2

)()()(

)1()(

)(

21

2

0 0

2

22

2

kNkN

N

k

N

kkk

x

xn

nxn

n

x

xHxH

NA

xfAfSdxxfe

edx

dexH

exp

xk – pierwiastki wielomianu Hermite’a stopnia n+1

Wielomiany Hermite’a

Błąd kwadratury Gaussa-Laguerre’a

,0!22

!1 222

NfN

NfE

Błąd kwadratury Gaussa-Hermite’a

,!222

!1 221

NN

fN

NfE