METODY NUMERYCZNE DLA INŻYNIERÓW

  • View
    214

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of METODY NUMERYCZNE DLA INŻYNIERÓW

  • METODY NUMERYCZNE DLA INYNIERW

    (notatki do wykadu)

    eugeniusz.rosolowski@pwr.wroc.pl

    Wrocaw, marzec 2012

  • Spis Treci 1. Wstp ......................................................................................................... 52. Liniowe ukady rwna .......................................................................... 9

    2.1. Wprowadzenie ..................................................................................................... 92.2. Metoda eliminacji Gaussa ................................................................................. 102.3. Metoda rozkadu LU ......................................................................................... 132.4. Iteracyjne metody rozwizywania ukadu rwna liniowych ................... 17

    3. Rozwizywanie rwna nieliniowych ............................................... 213.1. Zagadnienia jednowymiarowe ........................................................................ 21

    Metoda prostej iteracji....................................................................................... 21Metoda poowienia ............................................................................................ 22Metoda Newtona ............................................................................................... 23Metoda siecznych .............................................................................................. 23Metody wielokrokowe: algorytm Aitkena .................................................... 24

    3.2. Rozwizywanie ukadw rwna nieliniowych .......................................... 25Metoda Newtona-Raphsona ............................................................................ 25Metoda siecznych .............................................................................................. 27

    4. Interpolacja .............................................................................................. 294.1. Wprowadzenie ................................................................................................... 294.2. Wielomian interpolacyjny Newtona ............................................................... 304.3. Numeryczne rniczkowanie funkcji dyskretnej ......................................... 34

    5. Aproksymacja ......................................................................................... 355.1. Wprowadzenie ................................................................................................... 355.2. Aproksymacja redniokwadratowa ................................................................ 365.3. Filtr wygadzajcy .............................................................................................. 405.4. Filtr rniczkujcy ............................................................................................. 425.5. Przykad obliczeniowy ...................................................................................... 435.6. Metoda Najmniejszych Kwadratw z wykorzystaniem rozkadu

    macierzy wedug wartoci szczeglnych SVD ........................................... 446. Cakowanie numeryczne ...................................................................... 47

    6.1. Wprowadzenie ................................................................................................... 476.2. Metoda Simpsona .............................................................................................. 47

    7. Numeryczne rozwizywanie rwna rniczkowych zwyczajnych ............................................................................................ 497.1. Wprowadzenie ................................................................................................... 497.2. Metody jednokrokowe ...................................................................................... 51

    Metoda Eulera .................................................................................................... 51Metoda trapezw ............................................................................................... 53Metody Rungego-Kutty .................................................................................... 53Dokadno metody .......................................................................................... 54Stabilno metody ............................................................................................. 55

    7.3. Metody wielokrokowe ...................................................................................... 58Metody Geara ..................................................................................................... 58Niejawna metoda Rungego-Kutty .................................................................. 59

  • Spis treci 4

    7.4. Metody ekstrapolacyjno-interpolacyjne ......................................................... 598. Literatura ................................................................................................. 61Skorowidz ...................................................................................................... 63

  • 1. Wstp

    Niniejszy skrypt zawiera opis gwnych zagadnie prezentowanych na wykadzie Metody numeryczne dla inynierw, ktry jest przeznaczony dla studentw kierunku Automatyka i Robotyka na Wydziale Elektrycznym Politechniki Wrocawskiej.

    Metody numeryczne s podstawowym narzdziem analitycznym w rkach wspczesnego inyniera i std te nietrudno znale wyczerpujc literatur na ten temat o rnym stopniu zaawansowania - niektre propozycje podane s w kocowej czci pracy. Kade jednak ujcie tego tematu jest przeznaczone dla okrelonego czytelnika, o odpowiednim stopniu przygotowania i z myl o specyficznym zastosowaniu prezentowanych metod. Gwnym celem niniejszego opracowania jest prezentacja podstawowych metod numerycznych stosowanych w obliczeniach w elektrotechnice.

    Zakada si, e Czytelnik zna podstawowy kurs algebry i analizy matematycznej. Wymagana jest rwnie podstawowa znajomo zasad tworzenia algorytmw obliczeniowych. Wykonanie prezentowanych przykadw obliczeniowych wymaga rwnie elementarnej znajomoci korzystania z komputerw.

    Z wykadem zwizane s wiczenia laboratoryjne, w trakcie ktrych s praktycznie ilustrowane zagadnienia przedstawiane na wykadzie. Podstawowym narzdziem programowym, stosowanym do opisu poszczeglnych procedur obliczeniowych, jak i do oblicze w laboratorium komputerowym jest MATLAB. Program ten jest stosowany tu zarwno do formuowania i sprawdzania prostych algorytmw numerycznych, jak i do rozwizywania bardziej zoonych zagadnie z wykorzystaniem gotowych procedur.

    Pakiet programowy MATLAB, jak wiele innych tego typu programw przeznaczonych do rozwizywania zada inynierskich, zawiera spor liczb gotowych procedur numerycznych, ktre s dostpne w postaci pojedynczych instrukcji. Mona zatem spyta, jaki jest cel dodatkowego wykadu na ten temat, skoro wystarczy si zapozna z instrukcj obsugi odpowiedniego programu komputerowego. Jednak kady uytkownik tego typu oprogramowania specjalistycznego natrafia na problemy zwizane z wyborem odpowiednich procedur (czsto do rozwizania tego samego zadania mona zastosowa rne algorytmy), interpretacji bdw, dokadnoci wynikw, rozwizywania zagadnie niestandardowych, czy wreszcie rozumienia i interpretacji tekstu instrukcji. Wana jest take umiejtno formuowania modeli matematycznych analizowanych zjawisk, ktre pozwalaj okreli poszukiwane parametry lub zalenoci midzy nimi. W takich przypadkach wymagana jest niekiedy pogbiona znajomo zagadnie analizy numerycznej.

    W praktyce inynierskiej metody numeryczne s narzdziem sucym do formuowania i rozwizywania praktycznych zagadnie obliczeniowych. a take do przeksztacenia znanych modeli cigych do adekwatnych postaci dyskretnych. Z tego punktu widzenia metody numeryczne s tu traktowane jako wygodny i wydajny sposb rozwizywania zada inynierskich. Przygotowanie i rozwizanie takiego typu zada wie si zazwyczaj z wykonaniem nastpujcych dziaa:

  • Wstp 6

    - okrelenie modelu matematycznego analizowanego zjawiska lub opis stanu obserwowanego systemu;

    - wybranie (opracowanie) odpowiedniej metody oblicze numerycznych; - analiza i weryfikacja poprawnoci przyjtego modelu oraz wykonanych

    oblicze. W niniejszym wykadzie bdziemy si zajmowa gwnie drugim z

    wymienionych dziaa. czy si ono z podaniem sposobu (algorytmu) numerycznego rozwizania postawionego zadania. W obliczeniach prowadzonych z zastosowaniem metod numerycznych naley si liczy ze specyfik stosowanych narzdzi. Liczby reprezentowane w komputerze s przedstawiane z ograniczon dokadnoci, ktra zaley od liczby bitw uytych do ich zapisu. Wynikajce std bdy najczciej nie maj znaczenia w dalszym wykorzystaniu wynikw oblicze. Niekiedy jednak warto bdw powstajcych w poszczeglnych etapach oblicze jest tak dua, e kontynuowanie oblicze staje si niemoliwe (przekroczenie zakresu) lub uzyskane wyniki zawieraj niedopuszczalne bdy.

    Mona wyrni nastpujce cztery rda bdw, ktre ograniczaj dokadno kocowych wynikw:

    1. bdy w danych wejciowych 2. przybliony model zjawiska 3. bdy aproksymacji modelu 4. bdy zaokrgle Bdy danych wejciowych le poza procesem oblicze, jednak stosowanie

    odpowiednich procedur moe prowadzi do redukcji ich wpywu na wynik (na przykad, wygadzanie danych pomiarowych). Problem ten czy si zatem z drugim z wymienionych rde bdw. Naley jednak podkreli, e bdy danych wejciowych, w oglnym przypadku, s nieusuwalne.

    Bdny lub przybliony model analizowanego procesu wynika z uproszcze przyjmowanych w trakcie formuowania modelu matematycznego zjawiska lub opisu stanu. Wynika to z potrzeby redukcji zoonoci modelu, ktra jest przyjmowana w sposb wiadomy lub z braku odpowiednich danych, tak e analizowany proces jest przedstawiany w sposb uproszczony.

    Bd metody jest zwizany z tym, e poprawny model jest aproksymowany za pomoc uproszc