View
4
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Reglerteknik 6
William Sandqvist william@kth.se
Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln
Kapitel 10
Föreläsning 6 kap 10
William Sandqvist william@kth.se
Reglersystemets egenskaper
Stabilitet är den viktigaste egenskapen. Ett ostabilt system är oanvändbart.
Stabilitet är viktigast
William Sandqvist william@kth.se
Regulatorn är den del av överförings-funktionen man kan påverka. Med den kan man kompensera för ”brister” i processens överföringsfunktion.
Segway är i sig instabil, det är regulatorn som gör den till ett användbart fordon.
Stabilitet är viktigast
William Sandqvist william@kth.se
Men även om processen är stabil, kan felaktiga regulatorinställningar resultera i ett ostabilt system!
Kretsöverföring: )()()()( sGsGsGsG GPRK ⋅⋅=
)(sGK
(Open loop)
Nyquistkriteriet för stabilitet
William Sandqvist william@kth.se
(eg. Det förenklade Nyquistkriteriet)
Man studerar det öppna systemet GK. Kommer en sinusformad störning att växa till en ”större kopia” efter ett varv?
I så fall kommer den, i ett slutet system, att växa varv efter varv helt ostabilt!
)(sGK
U
Harry Nyquist
Nyquistkriteriet för stabilitet
William Sandqvist william@kth.se
(eg. Det förenklade Nyquistkriteriet)
• Finns det något ω då insignal och utsignal till GK är i ”fas”? )()( ωϕω KK jG =∠
°−180°−= 360 dvs. i fas
( = kopia)!
• Har amplituden ökat något vid den frekvensen?
1)()( >= ωω KK AjG
i så fall blir det slutna systemet instabilt!
• Detta ω kallas för ωπ – egensvängningsfrekvensen.
°−= 180)( πωϕK+°−180
Nyquistkriteriet för stabilitet
William Sandqvist william@kth.se
(eg. Det förenklade Nyquistkriteriet)
stabiltAKK 1)(180)( 1
Stabilitetsmarginaler
William Sandqvist william@kth.se
Hur stabilt är ett ”stabilt” system? Om systemet slits, eller utsätts för extrema temperaturer så att överföringsfunktionen blir något förändrad – kan det då bli instabilt? Man vill ha siffervärden på hur långt ifrån ”stabilitetsgränsen” som systemet ligger.
• Fasmarginal )(
1
πωKm A
A =
)(180 CKm ωϕΦ +°=
• Amplitudmarginal °−= 180: Kϕωπ
1: =KC AωAm 2…5
Φm 30°…60°
Typiskt:
William Sandqvist william@kth.se
Polbestämning för stabilitet
William Sandqvist william@kth.se
s-planet. s = σ + jω
Förstärkning → ← Dämpning
Ökande frekvens ↑
Ostabilt!
• Slutna systemets överföringsfunktion.
Polbestämning för stabilitet
William Sandqvist william@kth.se
En överföringsfunktion är stabil om nämnarpolynomet inte har rötter som ger poler i högra halvplanet.
Gyllene regeln
William Sandqvist william@kth.se
Ex. stabilt?
William Sandqvist william@kth.se
51 =G+− 65
122 ++
=ss
GY
1155
5655
6551
6515
1
2
2
2
2
21
21
++=
=+++
=
+++
++⋅
=⋅+
⋅=
ss
ssss
ssGG
GGGTOT
Quadratic Equation Solver
X
X
= Stabilt!
Re
Im
William Sandqvist william@kth.se
Routh-Hurwitz metod
William Sandqvist william@kth.se
Man kan ta reda på om det finns det någon rot i högra halvplanet eller ej, utan att man behöver lösa hela nämnarpolynomet! Edward Routh
Adolf Hurwitz
0012 23 +++++ sss
012011Början på
Routh-tabellen
udda potenser jämna potenser
Routh-Hurwitz metod
William Sandqvist william@kth.se
12 23 +++ sss
5,0012011Fortsätt-
ningen på Routh-tabellen
5,02
1112=
⋅−⋅
Routh-Hurwitz metod
William Sandqvist william@kth.se
12 23 +++ sss
005,0012011Fortsätt-
ningen på Routh-tabellen
02
0102=
⋅−⋅
Routh-Hurwitz metod
William Sandqvist william@kth.se
12 23 +++ sss
1005,0012011Fortsätt-
ningen på Routh-tabellen
15,0
0215,0=
⋅−⋅
Routh-Hurwitz metod
William Sandqvist william@kth.se
12 23 +++ sss
001005,0012011Fortsätt-
ningen på Routh-tabellen
05,0
0205,0=
⋅−⋅
Routh-Hurwitz metod
William Sandqvist william@kth.se
12 23 +++ sss
001005,0012011Routh-
tabellen är nu klar. 3+1 rader för gradtal 3.
Alla i första kolumnen har positivt tecken ⇒ Stabilt!
Routh-Hurwitz metod
William Sandqvist william@kth.se
Ett annat nämnarpolynom: 92 23 +++ sss
005,3092011
−5,3
29112
−=⋅−⋅
Minst en i första kolumnen är negativ (teckenbyte) ⇒ ostabilt!
Nu kan man sluta att räkna.
Routh-Hurwitz metod
William Sandqvist william@kth.se
Routh’s metod kan enkelt ge algebraiska vilkor för stabilitet. – Hur stor förstärkning K kan integratorn maximalt ha?
sKG =1+
−22 )1(
3s
G+
=
2
2 3 2
2
33 3(1 )
3 (1 ) 3 2 31(1 )
TOT
KK Ks sG K s s K s s s K
s s
⋅+= = =
+ + + + ++ ⋅+
1 2
1 21TOT
G GGG G⋅
=+ ⋅
Routh-Hurwitz metod
William Sandqvist william@kth.se
Ksss 32 23 +++
00300032011
232
K
KK−
Vilkor för stabilitet:
03032
>>−
KK
320
William Sandqvist william@kth.se
10.1 Stabilitet
William Sandqvist william@kth.se
xxyyya +=−+ 6)Vilka processer är stabila?
xyyyb 3862) =−+xxyyyc 42110) +=++
uuyyyyd 523) +′=+′−′′+′′′uuyyyye 347) +′′=+′+′′+′′′uuyyyyf 763) +′=+′+′′+′′′
62) 2 −−
+ss
sg
423)
2
+++
sssh
10.1 e lösning, Stabilitet
William Sandqvist william@kth.se
Inga teckenbyten, stabilt
» pole(tf([1,3,0],[1,7,1,4])) ans = -6.9390 -0.0305+ 0.7586i -0.0305- 0.7586i
MATLAB 4723 +++ sss
400047011
73 7
37
4117
=
=⋅−⋅
poler i vhp, stabilt
Routh 47
3347
:}{347)
23
2223
++++
=+=+++
+′′=+′+′′+′′′
sssss
UYUUsYYsYsYs
Luuyyyye
10.1 f lösning, Stabilitet
William Sandqvist william@kth.se
teckenbyte, ostabilt
» pole(tf([1,7],[1,3,1,6])) ans = -3.2583 0.1291+ 1.3509i 0.1291- 1.3509i
MATLAB 6323 +++ sss
6001063011
−
13
6113−=
⋅−⋅
poler i hhp, ostabilt
Routh 63
7763
:}{763)
2323
++++
=+=+++
+′=+′+′′+′′′
ssss
UYUUsYYsYsYs
Luuyyyyf
10.1 g lösning, Stabilitet
William Sandqvist william@kth.se
» pole(tf([1,2],[1,-1,-6])) ans = 3 -2
MATLAB
pol i hhp, ostabilt
25
216
21
62) 412 ±=+±=−−
+ sss
sg
poler i hhp, ostabilt
10.1 h lösning, Stabilitet
William Sandqvist william@kth.se
44
23)2
−=+
++ ss
ssh pol i vhp, stabilt
» pole(tf([1,3,2],[1,4])) ans = -4
MATLAB
pol i vhp, stabilt
William Sandqvist william@kth.se
Statisk noggrannhet
William Sandqvist william@kth.se
– När systemet väl är stabilt försöker man också att uppfylla ytterligare prestandakrav.
• Statisk noggrannhet – litet kvarvarande fel.
+
−R PG
+ Y+Regulator Process
V
RG
• Börvärdesändringar • Processtörningar
Kvarvarande fel?
Statisk noggrannhet e0 e1 eV
William Sandqvist william@kth.se
• Gränsvärde vid stegformad börvärdesändring:
• Gränsvärde vid rampformad börvärdesändring:
• Gränsvärde vid stegformad processtörning:
Bevis i appendix.
William Sandqvist william@kth.se
Kommer Du ihåg OP-följaren?
OP-Förstärkning 100000 ggr
William Sandqvist william@kth.se
Om OP-förstärkning 5 ggr?
William Sandqvist william@kth.se
Vi ändrar OP-modellen från Aol=100K till Aol=5.
Nu är förstärkningen bara fem gånger!
Om OP-förstärkning 5 ggr?
e0 = 1-0,8333 = 0,1666
16% fel!
William Sandqvist william@kth.se
1666,0151
11
lim00
=⋅+
⇒⋅+
=→
PRs GG
ae
0,1666 5
Operationsförstärkaren
William Sandqvist william@kth.se
Operationsförstärkarens förstärkningskurva faller en dekad/dekad i Bodediagrammet. Trots att den har 100000 ggr förstärkning kan den därför stabilt motkopplas enda ned till förstärkningen ett.
Frekvenskurvan faller brantare först vid lägre förstärkning än ett (under 0dB). Vid tillverkningen har man lagt till en kondensator för att få denna effekt! • Men till reglerteknikens processer kan man av stabilitetsskäl oftast bara använda ”låga” förstärkningsvärden.
William Sandqvist william@kth.se
Ex. utan/med Integrerande regulator
William Sandqvist william@kth.se
P
P
P
PsP
P
sV KKK
KKTsK
TsKK
TsK
e+−
=++
−=
+⋅+
⋅+
−=
→→ 11lim
11
11lim
00
• Processtörning. Proportionell regulator K
Litet kvarvarande fel eV kräver hög regulatorförstärkning K – Risk för stabilitetsproblem.
PR
Psv GG
aGe⋅+⋅−
=→ 1
lim0
Ex. utan/med Integrerande regulator
William Sandqvist william@kth.se
• Processtörning. Integrerande regulator 1/T1s
• Inget kvarvarande fel!
00)1(
lim
111
11lim
1
1
0
1
0=−=
++−
=
+⋅
⋅+
⋅+
−=
→→PP
PsP
P
sV KKTssTsTK
TsK
sT
TsK
e
För att eliminera kvarstående fel efter en stegformad process-störning krävs en integrerande regulator.
PR
Psv GG
aGe⋅+⋅−
=→ 1
lim0
William Sandqvist william@kth.se
Fel vid börvärdesändring
William Sandqvist william@kth.se
• Börvärdesändring. Stegformad börvärdesändring.
För att eliminera kvarstående fel efter en stegformad börvärdesändring krävs att antingen regulatorn eller processen är integrerande.
Här har det ingen betydelse var integreringen är placerad.
0 0 om eller integrerandeR Pe G G=
Sammanfattning e0 eV
William Sandqvist william@kth.se
+
−R PG
+ Y+Regulator Process
V
RG e = 0
För att eliminera en steg-börvärdesändring R krävs: • GR eller GP är integrerande För att eliminera en steg-störning V krävs: • GR är integrerande
William Sandqvist william@kth.se
Ex. Steg, ramp börvärde/störning
William Sandqvist william@kth.se
01) integrering 0PG es
∝ ⇒ =1
1 0 0) ramp lim lim (1 ) 3 331 1(1 )
s s
h h he s ss ss s
→ →= = =
+ + + ++
2
0 0
3(1 )) steg lim lim3 (1 ) 3 31(1 )
v s s
aa as se
s s as s
→ →
−−+= = = −+ ++
+
3
)1(1
ssGP +
=
Störning:
Börvärde: integrering
Ex. steg, ramp börvärde/störning
William Sandqvist william@kth.se
0 11) 0 2) 3)3 3Vh ae e e= = = −
3Vae =
1 3he =00 =e !
!
William Sandqvist william@kth.se
10.14 Statisk noggrannhet
William Sandqvist william@kth.se
?=K+−
R)101)(1(
1ss ++
Y?1,00 =e
Ställ in regulatorns förstärkning K så att .1,00 =e
10.14 lösning 10% fel
William Sandqvist william@kth.se
?=K+−
R)101)(1(
1ss ++
Y?1,00 =e
11
11
1
)101)(1(11
1lim1
1lim000 +
=+
=
++⋅+
=⋅+
=→→ KK
ssKGG
es
PRs
99,01,01,01,011,01
1>⇒>⇒+
William Sandqvist william@kth.se
Snabbhet
William Sandqvist william@kth.se
• Stigtid tr
Stigtiden kan enkelt mätas med oscilloskop, de har ofta någon ”inbyggd mätfunktion” för detta.
Stigtidsmarkeringar på oscilloskopskärm
För överföringsfunktioner som har höga gradtal är det dock besvärligt att beräkna vilket exakt värde stigtiden bör ha. Därför använder man tumregler när man värderar stigtidsmätningar.
Snabbhet, tumregel
William Sandqvist william@kth.se
För ofta förekommande, ”normala”, överföringsfunktioner använder man följande aproximativa tumregel:
Kretsöverföringen, den öppna överföringsfunktionen, har överkorsningsfrekvensen ωC i Bodediagammet. ( Skärningen med A(ω) = 1 )
1=ACω
Crt ω
4,1≈
A
ω
William Sandqvist william@kth.se
Avläsning av felen e0 e1 ur Bodediagrammet
William Sandqvist william@kth.se
Typ 0 Typ 1 Lutning 1 dekad/dekad
)0( ≈ωA
Ur kretsöverföringen (öppna systemet)
11
1ω
=⇒ e∞=⇒ 1e
)0(11
0 ≈+=⇒
ωAe 00 =⇒ e
1ω0≈ω
1=A 1=A
Sammanfattning av Bodediagrammet
11
1ω
=eC
rt ω4,1
≈
Fel vid ramp- störning
Stigtid vid börvärdessteg
Stabilitet Amplitud-marginal
Stabilitet Fasmarginal
Typ 1
William Sandqvist william@kth.se
0
1
11 ( 0)
eA
eω
=+ ≈
= ∞
William Sandqvist william@kth.se
10.17 Bodediagram
William Sandqvist william@kth.se
????? 10 ====Φ= eetA rmm
)(sGK+−
RY
10.17 a Bodediagram
William Sandqvist william@kth.se
10.17 a lösn Bodediagram
William Sandqvist william@kth.se
5,24,0
1==mA
°=Φ 45m
integrator00 =e
25,18,0
11 ==e
75,18,04,1==rt
Typ 1
10.17 b Bodediagram
William Sandqvist william@kth.se
10.17 b lösn Bodediagram
William Sandqvist william@kth.se
°=Φ 20m
25,0
1==mA
2,041
10 =+=e
∞=1e
56,05,24,1==rt
Typ 0
10.17 c Bodediagram
William Sandqvist william@kth.se
10.17 c lösn Bodediagram
William Sandqvist william@kth.se
integrator00 =e
25,18,0
11 ==e
7,024,1==rt
8,326,01
==mA
°=Φ 70m
Typ 1
10.17 d Bodediagram
William Sandqvist william@kth.se
10.17 d lösn Bodediagram
William Sandqvist william@kth.se
°=Φ 70m
6,162,01
==mA
25,031
10 =+=e
∞=1e
75,024,1==rt
Typ 0
William Sandqvist william@kth.se
Styrsignalstorlek?
William Sandqvist william@kth.se
Hur stor blir styrsignalen U ? Det är ingen mening med en matematiskt perfekt regulator som genererar orimliga styrsignaler under regleringen!
Styrsignalöverföringsfunktioner
William Sandqvist william@kth.se
RP
R
GGG
RU
+=
1 RPR
GGG
WU
+−
=1
RP
PR
GGGG
VU
+−
=11 RP
R
GGG
VU
+−
=12
Styrsignalaktiviteten kan simuleras, eller studeras med Bodediagram.
Styrsignalöverföringsfunktioner
William Sandqvist william@kth.se
RP
R
GGG
RU
+=
1 RPR
GGG
WU
+−
=1
RP
R
GGG
VU
+−
=12
För höga frekvenser är det vanligt att GP → 0. Styr-signalerna beror då mest på regulatorns högfrekvens-egenskaper:
RRP
R GGG
G∞→∞→
=+ ωω
lim1
lim
0≈
William Sandqvist william@kth.se
Reglerteknik 6Föreläsning 6 kap 10Stabilitet är viktigastStabilitet är viktigastNyquistkriteriet för stabilitetNyquistkriteriet för stabilitetNyquistkriteriet för stabilitetStabilitetsmarginalerSlide Number 9Polbestämning för stabilitetPolbestämning för stabilitetGyllene regelnEx. stabilt?Slide Number 14Routh-Hurwitz metodRouth-Hurwitz metodRouth-Hurwitz metodRouth-Hurwitz metodRouth-Hurwitz metodRouth-Hurwitz metodRouth-Hurwitz metodRouth-Hurwitz metodRouth-Hurwitz metodSlide Number 2410.1 Stabilitet10.1 e lösning, Stabilitet10.1 f lösning, Stabilitet10.1 g lösning, Stabilitet10.1 h lösning, StabilitetSlide Number 30Statisk noggrannhetStatisk noggrannhet e0 e1 eVSlide Number 33Kommer Du ihåg OP-följaren?Om OP-förstärkning 5 ggr?Om OP-förstärkning 5 ggr?OperationsförstärkarenSlide Number 38Ex. utan/med Integrerande regulatorEx. utan/med Integrerande regulatorSlide Number 41Fel vid börvärdesändringSammanfattning e0 eVSlide Number 44Ex. Steg, ramp börvärde/störningEx. steg, ramp börvärde/störningSlide Number 4710.14 Statisk noggrannhet10.14 lösning 10% felSlide Number 50SnabbhetSnabbhet, tumregelSlide Number 53Avläsning av felen e0 e1 ur BodediagrammetSammanfattning av BodediagrammetSlide Number 5610.17 Bodediagram10.17 a Bodediagram10.17 a lösn Bodediagram10.17 b Bodediagram10.17 b lösn Bodediagram10.17 c Bodediagram10.17 c lösn Bodediagram10.17 d Bodediagram10.17 d lösn BodediagramSlide Number 66Styrsignalstorlek?StyrsignalöverföringsfunktionerStyrsignalöverföringsfunktionerSlide Number 70
Recommended