View
228
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
vvv
Citation preview
III. AKAR-AKAR PERSAMAAN
Sewaktu SLTP, kita belajar memperoleh akar-akar suatu persamaan melalui :
x12 , merupakan akar-akar dari suatu persamaan :
Kemudian yang muncul di benak kita adalah apakah arti dari akar suatu persamaan ?
Beberapa definisi dari arti sebuah akar-akar persamaan adalah :
Akar dari suatu f ( x ) adalah suatu nilai sehingga f ( x ) , atau sering juga disebut
sebagai persamaan pembuat nol ( zeros of equation ).
Sebagai contoh dapat diberikan ilustrasi berikut :
Andaikata kita mempunyai suatu parasit yang berkecepatan :
. . . . . persamaan explisit
t : adalah waktu, merupakan independent variable
V : adalah kecepatan, merupakan dependent variable
g : adalah percepatan gravitasi
c : adalah koefisien drag
m : adalah massa
Persamaan explisit diatas, dapat diubah menjadi persamaan implisit berikut :
f ( c ) = 0 akan diperoleh akar-akar dari c
dalam menyelesaikan akar-akar suatu persamaan dikenal beberapa metode sebagai
berikut :
1. Metode Grafis
Andaikata kita mempunyai fungsi :
x f ( x )
0 1
0.2 0.619
0.4 0.270
0.6 -0.051
0.8 -0.351
1.0 -0.632
f ( 0.57 ) = e-0.57 - 0.57
= - 0.0045 0
2. Metode Setengah Interval (Bisection Method)
1 Perkirakan akar terkecil xe dan akar terbesar xu ; kemudian check f ( xe ) . f ( xu ) < 0
2 Perkiraan akar kemudian adalah :
3 Buatlah suatu elevasi :
I II
a. Bila : f ( xe ) . f ( xr ) < 0 akar pada sub interval pertama; sehingga :
xe xr xu
ROOT : 0.570.25
0.5
0.75
1.0
0.60.50.40.30.20.1
xu = xr kembali ke step 2
b. Bila : f ( xe ) . f ( xr ) > 0 akar pada sub interval kedua; sehingga :
xe = xr kembali ke step 2
c. Bila : f ( xe ) . f ( xr ) = 0 maka akar persamaan adalah xr dan proses perhitungan
dihentikan.
Catatan :
Proses di 3.c tergantung pada set-nya akurasi yang dikehendaki, misalnya 0.00001
d.
e. Apakah perhitungan cukup akurat.
Contoh :
f ( x ) = e -x - x
akar persamaannya 0.56714329
- Perkirakan : xe = 0
xu = 1
xr = = 0.5
Et = 0.56714329 - 0.5 = 0.06714329
f ( xe ) . f ( xr ) = 1 . (0.10653) = 0.10653 > 0
Akar pada interval kedua, yaitu antara 0.5 dan 1.0
xe = 0.5
xu = 1
xr =
f ( xe ) . f ( xr ) = f ( 0.5 ) . f ( 0.75 )
= - 0.030 < 0
Jadi akar terletak antara 0.5 dan 0.75
xe = 0.5
xu = 0.75
xr =
f ( xe ) . f ( xu ) = f ( 0.5 ) . f ( 0.625 )
= - 0.010 < 0
Akar diantara 0.5 dan 0.625
xe = 0.5
xu = 0.625
xr =
.
.
.dan seterusnya
Kriteria pembatas :
ditentukan, misalnya 0.1 % dan sebagainya
3. Aturan Descartes
Jumlah akar positip adalah sama dengan jumlah / kali perubahan tanda dari
persamaan
Jumlah akar negatif adalah sama dengan jumlah repetisi dari tanda koefisien
persamaan tadi
Contoh :
Perubahan tanda 2x repetisi 1x
Akar-akar : 11.2 ; 2.5 ; -1.5
Dari batasan yang ada diatas maka :
1. Ada dua akar bertanda positip
2. Ada satu akar bertanda negatip
Memperkirakan akar terbesar dan terkecil .
Akar terbesar diperkirakan dengan mengambil persamaan linear :
x = - an-1
e.j. : xmax = 12.2
atau :
Dari akar-akar persamaan :
x ( x2 - 12.2 x + 7.45 ) = 0
xmax = 11.55
Perkiraan akar terkecil :
7.45 x + 42 = 0
xsmallest : -5.64
atau :
12.2 x2 - 7.45 x - 42 = 0
xs = -1.58
4. Metode Substitusi
Andaikata kita harus memperoleh akar dari :
x3 - 3 x + 1 = 0
Persamaan tersebut dapat dituliskan pula :
3 x = x3 + 1 x =
x = f ( x )
Sedemikian pula, bila f = 0 sehingga
= F ( )
Bila nilai awal x(1) dari kar diberikan, maka suatu urutan x(2),
x(3) . . .diberikan dalam "RECURRENCE RELATION" :
x(j+i) = F ( x(j) )
hubungan tersebut mempunyai suatu harapan akan converge ke
(yaitu akar persamaan)
Converge akan terjadi untuk suatu nilai
0 < < 1
Sehingga : akan terjadi bila : dengan demikian :
atau
karena
Bila proses dilanjutkan :
Perhatikan : f ( x ) = x3 - 3x + 1 = 0
f ( -2 ) = -8 + 6 + 1 = -1ada satu akar -1 < 3 > -2
f ( -1 ) = -1 + 3 + 1 = +3
f ( 0 ) = +1ada satu akar 0 >
f ( 1 ) = 1 - 3 + 1 = -1
f ( 1 ) = -1ada satu akar 2 >
f ( x ) = x3 - 3x + 1 = 0
x = F ( x ) = ( x3 + 1 )
FI ( x ) = x2
bila
Bila F () (1-k) + k F ()
Sehingga :
Bila : k = -0.5, maka :
F (x ) =
FI (x ) =
=
x2 < 5 ( i )
FI( x ) < 1 dan 3
x (1) = 0.5
x(2) =
x(3) =
.
.x(9) = 0.3471961 akar 1
x(1) = 1.5
x(2) =
x(3) = 1.528319
.
.
x (9) = 1.532089 . . . . . . . akar kedua
x(1) = - 1.5
x(2) =
.
.
.x(11) = -1879385
5. Metode Newton-Raphson
Misalkan :
f ( x ) = e-x - x , Nilai awal = 0
fI ( x ) = - e-x - 1
xi+1 = x1 = 0
x2 = 0 -
x0
i xi % =
0 0 100 % TV = True Value
1 0.5 11.8 RV = Real Value
2 0.566311003 0.47 =
3 0.567143165 0.0000220
4 0.567143290 < 10-8
5.1 Pitfall (blunder) / Masalah Terhadap Metode Newton Raphson
Metode ini sangat effisien kecuali untuk akar-akar ganda, dimana sukar untuk konvergen
Contoh :
f ( x ) = x10 - 1
cari akar positip, dimulai dengan x = 0.5
iterasi xi
0 0.5
1 51.65
2 46.65
3 41.8365
4 37.65285
5 33.887565
Akar sebenarnya adalah x = 1 . Terlihat bahwa konvergensinya adalah sangat lambat.
6. Metode Secant
xi+1 = xi -
Dalam metode ini perlu adanya dua nilai asumsi awal
Contoh :
f ( x ) = e-x - x akar sebenarnya : 0.56714329
x-1 = 0
x-0 = 1
x-1 = 0 f ( x-1 ) = 1
x-0 = 1 f ( x-0 ) = -0.63212
x1 = 1 - = 8 %
x0 = 1 f (x0 ) = -0.63212
x1 = 0.61270 f( x1 ) = -0.07081
Iterasi kedua
x2 = 0.61270 -
= 0.58 %
Iterasi ketiga :
x-1 = 0.61270 f ( x-1 ) = -0.07081
x-2 = 0.56384 f ( x-0 ) = 0.00518
x3 = 0.56384 -
= 0.56717
= 0.0048 %
7. Beberapa Contoh Soal dan Pembahasan
Permasalahan 1:
Frekuensi getaran bebas dari sebuah beam seragam dapat dirumuskan sebagai berikut :
cos ( kl ) cosh ( kl ) = -1
Tuliskan program (dalam FORTRAN) yang dapat menghitung akar-akar persamaan
tersebut dengan metode "Incremental Search Method" yang digabungkan dengan Interval
Halving Method. Hitung tiga frekuensi natural pertama dengan ketepatan 5 digit
dibelakang koma. Bandingkan hasilnya dengan perhitungan manual. Sertakan pula flow
chart, listing program dan out put komputer
Permasalahan 2 :
Pilih dan tentukan suatu persamaan dimana akarnya adalah real. Gunakan program
sederhana untuk menghitung akar nya dan bandingkan dengan perhitungan manual.
Kumpulkan hasilnya berupa listing program, flowchart, dan print out hasil
Perbahasan
Permasalahan 1 :
Perhitungan manual
F ( x ) = Cosh ( kx ) . Cos ( kx ) + 1
Akar dari Cosh x Cos x dalam arah x positif adalah
Mencari akar :
- pilih x1 = 1.6 f ( x1 ) = 0.9247393
x2 = 2.0 f ( x2 ) = -0.5656258
= 1.8
f ( ) = 0.2939756
f ( x ) = Cosh ( x ) Cos x +1
f ( x ) = Cosh ( x ) Cos ( x )
3
3221
10
F ( x)
- akar berada diantara x = 1.8 dan x = 2.0
x1 = 1.8 f ( x1 ) = 0.2939756
x2 = 2.0 f ( x2 ) = -0.5656258
= 1.9
- akar berada diantara x = 1.8 dan x = 2.0
x1 = 1.8 f ( x1 ) = 0.2939756
x2 = 2.0 f ( x2 ) = -0.5656258
= 1.9 f ( ) = -0.1049169
- akar berada diantara x = 1.8 dan x = 1.9
x1 = 1.8 f ( x1 ) = 0.2939756
x2 = 1.9 f ( x2 ) = -0.1049169
= 1.85 f ( ) = 0.1019814
- akar berada diantara x = 1.85 dan x = 1.9
x1 = 1.85 f ( x1 ) = 0.1019814
x2 = 1.9 f ( x2 ) = -0.1049169
= 1.875 f ( ) = 0.0004306
Seperti prosedur sebelumnya :
x1 = 1.875 f ( x1 ) = 0.0004306
x2 = 1.9 f ( x2 ) = -0.1049169
= 1.8875 f ( ) = -0.051764
kemudian :
x1 = 1.875 f ( x1 ) = 0.0004306
x2 = 1.88125 f ( x2 ) = -0.0255476
= 1.878125 f ( ) = -0.0125288
kemudian :
x1 = 1.875 f ( x1 ) = 0.0004306
x2 = 1. 878125 f ( x2 ) = -0.0125288
= 1.8765625 f ( ) = -0.0060416
kemudian :
x1 = 1.875 f ( x1 ) = 0.0004306
x2 = 1. 8765625 f ( x2 ) = -0.0060416
= 1.8757813 f ( ) = -0.0028037
kemudian :
x1 = 1.875 f ( x1 ) = 0.0004306
x2 = 1.8757813 f ( x2 ) = -0.0028037
= 1.8753907 f ( ) = -0.0011862
kemudian :
x1 = 1.875 f ( x1 ) = 0.0004306
x2 = 1.8753907 f ( x2 ) = -0.0011862
= 1.8751954 f ( ) = -0.0003778
kemudian :
x1 = 1.875 f ( x1 ) = 0.0004306
x2 = 1.8751954 f ( x2 ) = -0.0003778
= 1.8750977 f ( ) = -0.0000264
kemudian :
x1 = 1.8750977 f ( x1 ) = -0.0000264
x2 = 1.8751954 f ( x2 ) = -0.0003778
= 1.8751466 f ( ) = -0.0001758
kemudian :
x1 = 1.8750977 f ( x1 ) = -0.0000264
x2 = 1.8751466 f ( x2 ) = -0.0001758
= 1.8751222 f ( ) = -0.0000748
kemudian :
x1 = 1.8750977 f ( x1 ) = -0.0000264
x2 = 1.8751222 f ( x2 ) = -0.0000748
= 1.87511 f ( ) = -0.0000243
kemudian :
x1 = 1.8750977 f ( x1 ) = -0.0000264
x2 = 1.87511 f ( x2 ) = -0.0000243
= 1.8751039 f ( ) = -0.0000009
kemudian :
x1 = 1.8751039 f ( x1 ) = -0.0000009
x2 = 1.87511 f ( x2 ) = -0.0000243
= 1.875107 f ( ) = -0.0000119
akar pertama adalah x = 1.875107
- Akar kedua :
Ditentukan : x1 = 4.6 f ( x1 ) = -4.5792724
x2 = 4.8 f ( x2 ) = 6.3136791
= 4.7 f ( ) = 0.3188944
kemudian :
x1 = 4.6 f ( x1 ) = -4.5792724
x2 = 4.7 f ( x2 ) = 0.3188944
= 4.65 f ( ) = -2.2606573
kemudian :
x1 = 4.65 f ( x1 ) = -2.2606573
x2 = 4.7 f ( x2 ) = 0.3188944
= 4.675 f ( ) = -1.0043654
kemudian :
x1 = 4.675 f ( x1 ) = -1.0043654
x2 = 4.7 f ( x2 ) = 0.3188944
= 4.6875 f ( ) = -0.3512151
kemudian :
x1 = 4.6875 f ( x1 ) = -0.3512151
x2 = 4.7 f ( x2 ) = 0.3188944
= 4.69375 f ( ) = -0.0182938
kemudian :
x1 = 4.69375 f ( x1 ) = -0.0182938
x2 = 4.7 f ( x2 ) = 0.3188944
= 4.696875 f ( ) = 0.1497652
kemudian :
x1 = 4.69375 f ( x1 ) = -0.0182938
x2 = 4.696875 f ( x2 ) = 0.1497652
= 4.6953125 f ( ) = 0.0656021
kemudian :
x1 = 4.69375 f ( x1 ) = -0.0182938
x2 = 4.6953125 f ( x2 ) = 0.0656021
= 4.6945313 f ( ) = 0.0236208
kemudian :
x1 = 4.69375 f ( x1 ) = -0.0182938
x2 = 4.6945313 f ( x2 ) = 0.0236208
= 4.6941407 f ( ) = 0.0026565
kemudian :
x1 = 4.69375 f ( x1 ) = -0.0182938
x2 = 4.6941407 f ( x2 ) = 0.0026565
= 4.6939454 f ( ) = -0.0078194
kemudian :
x1 = 4.6939454 f ( x1 ) = -0.0078194
x2 = 4.6941407 f ( x2 ) = 0.0026565
= 4.6940431 f ( ) = -0.0025793
kemudian :
x1 = 4.6940431 f ( x1 ) = -0.0025793
x2 = 4.6941407 f ( x2 ) = 0.0026565
= 4.6940919 f ( ) = 0.0000412
kemudian :
x1 = 4.6940431 f ( x1 ) = -0.0025793
x2 = 4.6940919 f ( x2 ) = 0.0000412
= 4.6940675 f ( ) = -0.0012678
kemudian :
x1 = 4.6940675 f ( x1 ) = -0.0012678
x2 = 4.6940919 f ( x2 ) = 0.0000412
= 4.6940797 f ( ) = -0.006133
kemudian :
x1 = 4.6940797 f ( x1 ) = -0.006133
x2 = 4.6940919 f ( x2 ) = 0.0000412
= 4.690858 f ( ) = -0.1728719
Akar kedua adalah x = 4.6940797
- Akar ketiga :
Ditentukan : x1 = 7.8 f ( x1 ) = 66.841864
x2 = 7.9 f ( x2 ) = -61.040369
= 7.85 f ( ) = 6.1078946
kemudian :
x1 = 7.85 f ( x1 ) = 6.1078946
x2 = 7.9 f ( x2 ) = -61.040369
= 7.875 f ( ) = -26.644331
kemudian :
x1 = 7.85 f ( x1 ) = 6.1078946
x2 = 7.875 f ( x2 ) = -26.644331
= 7.8625 f ( ) = -10.065256
kemudian :
x1 = 7.85 f ( x1 ) = 6.1078946
x2 = 7.8625 f ( x2 ) = -10.065256
= 7.85625 f ( ) = -1.9282546
kemudian :
x1 = 7.85 f ( x1 ) = 6.1078946
x2 = 7.85625 f ( x2 ) = -1.9282546
= 7.853125 f ( ) = 2.1023872
kemudian :
x1 = 7.853125 f ( x1 ) = 2.1023872
x2 = 7.85625 f ( x2 ) = -1.9282546
= 7.8546875 f ( ) = 0.090213
kemudian :
x1 = 7.8546875 f ( x1 ) = 0.090213
x2 = 7.85625 f ( x2 ) = -1.9282546
= 7.8554688 f ( ) = -0.9182981
kemudian :
x1 = 7.8554688 f ( x1 ) = 0.090213
x2 = 7.85625 f ( x2 ) = -0.9182981
= 7.8550782 f ( ) = -0.4138458
kemudian :
x1 = 7.8554688 f ( x1 ) = 0.090213
x2 = 7.8550782 f ( x2 ) = -0.4138458
= 7.8548829 f ( ) = -0.161864
kemudian :
x1 = 7.8554688 f ( x1 ) = 0.090213
x2 = 7.8548829 f ( x2 ) = -0.161864
= 7.8547852 f ( ) = -0.0358132
kemudian :
x1 = 7.8554688 f ( x1 ) = 0.090213
x2 = 7.8547852 f ( x2 ) = -0.0358132
= 7.8547364 f ( ) = 0.027203
kemudian :
x1 = 7.8547364 f ( x1 ) = 0.027203
x2 = 7.8547852 f ( x2 ) = -0.0358132
= 7.8547608 f ( ) = -0.0043366
kemudian :
x1 = 7.8547364 f ( x1 ) = 0.027203
x2 = 7.8547608 f ( x2 ) = -0.0043366
= 7.8547486 f ( ) = 0.0114011
Akar ketiga adalah x =7.8547608
Jadi ketiga akar tersebut adalah :
x = 1.875107
x = 4.694797
x = 7.8547608
Penyelesaian dengan menggunakan komputer didapatkan akar-akar sebagai berikut :
x = 1.875104
x = 4.694090
x = 7.854758
Dari hasil tersebut, maka perhitungan tangan cukup akurat.
Adapun flowchart nya dapat dilihat pada halaman berikut.
S T A R T
WRITETHE ROOT ARE
DO 8 I = 1,3 8
DC = 0,5XEN = XST+ DXXST = XST+ DX
4
FXST = COSH(XST) * COS(XST) + 1FXEN = COSH(XEN) * COS(XEN) + 1
IS FXST * FXEN. LT. 0,0
XST = XST + DX XEN = XST - DX FXST = COSH(XST) * COS(XST) + 1
YES 3
COSH X = e + e
ITER = L . 0.5 /1.10L . 2
XST = - 0.1
X -X
N6
N
2
Recommended