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Scalar
743
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
Vector
543
3
4
5
속도, 위치, 힘 등의 물리량의 덧셈은vector 처럼 더해짂다.
vector 량은 크기와 방향을 갖고 있다.따라서 vector 량을 기술할 때에는 크기와 방향을 모두 명시하여야 한다.
vector 량을 scalar 량과 구분하기 위해vector 량은 굵은 활자로 표시하거나위에 화살표를 표시한다.(예) 속도(velocity) v 또는v
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
Vector의 표현
크기 : 화살표의 길이
벡터 A
A
방향 : 화살표의 방향
(예) 속도 벡터 v
벡터를 평행이동하여도 의미에는 변화가 없다
][s
mvx
][s
mvy
또는, 벡터 의 x 성분과 y 성분을 밝혀도 된다.
yx AA ,
A
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
A
x
y
이 때 x 축에 수선을 그어보자.
수선이 x 축과 만난 지점만큼이벡터 A 의 x 성분이다.
xA
벡터 A 의 x 성분© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
A
x
y
마찬가지로 y 축에수선을 그어보자.
수선이 y 축과 만난 지점만큼이벡터 A 의 y 성분이다.
xA
yA
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
A
x
y
벡터 A 는 직교좌표계에서x 성분과 y 성분으로 표현한다.
xA
yA
yx AAA ,
그림에서 한 칸이 1 이라면, 벡터 A 는 얼마인가?
2,5A
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
x
y벡터 A 와 벡터 B 의 덧셈은평행사변형법으로 한다.
A
B
벡터의 덧셈
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
x
y벡터 A 와 벡터 B 의 덧셈은평행사변형법으로 한다.
A
B
즉, 벡터 A 와 벡터 B 를 평행이동시켜서 평행사변형을 만들었을 때, 대각선이 그 합이된다.
BA
벡터의 덧셈
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
x
y벡터 A 와 벡터 B 의 덧셈은평행사변형법으로 한다.
A
B
즉, 벡터 A 와 벡터 B 를 평행이동시켜서 평행사변형을 만들었을 때, 대각선이 그 합이된다.
BA
그림에서 A + B 는 얼마인가?
2,5A
5,2B
52,25 BA
7,7
벡터의 덧셈
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
x
y
A
B
BA
그림에서 A + B 는 얼마인가?
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
1,4A
6,2B
x
y
A
B
BA
그림에서 A + B 는 얼마인가?
1,4A
6,2B
61,24 BA
7,6
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
(예) 일 때, 를 구하여라.
Vector 와 scalar 의 곱
A
A
2
A
방향은 변화하지 않으면서 크기만 바뀐다
5,3A
A
2 )10,6(2 A
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
x
y
벡터의 뺄셈 BA
A
B
BA
B
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
x
y
벡터의 뺄셈 BA
A
B
BA
B
BA
그림에서 한 칸이 1 이라면, A - B 는 얼마인가?
1,4A
3,2B
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
x
y
벡터의 뺄셈 BA
A
B
BA
B
BA
그림에서 한 칸이 1 이라면, A - B 는 얼마인가?
1,4A
3,2B
31,24 BA
2,2
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
벡터의 크기
yx AAA ,
A
x
y
xA
yA
앞에서 벡터 A 를 x-성분과y-성분으로 표현하였다.
이 때, 벡터 A 의 크기는바로 벡터 A 의 길이이다.
A
또는 A
22
yx AAA
그림에서 A 는 얼마인가?
2,5A
22 25 A
29
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
벡터의 크기
yx AAA ,
A
x
y
xA
yA
앞에서 벡터 A 를 x-성분과y-성분으로 표현하였다.
이 때, 벡터 A 의 크기는바로 벡터 A 의 길이이다.
A
또는 A
22
yx AAA
그림에서 A 는 얼마인가?
2,5A
22 25 A
29
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
단위 벡터 의 크기는1 이며, 차원이 없다.
단위 벡터
yx AAA ,
A
x
y
xA
yA
어떤 벡터 A 의 방향 성분만뽑아낸 것이 단위벡터이다.
22
yx AAA
단위 벡터의 크기는 1 이며,차원이 없다.
A
A
AA
ˆ
A
예를 들어, 속도 벡터 V 의경우, x-성분 Vx 나 y-성분Vy 의 차원이 (길이/시갂)이다.
V
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
단위 벡터
s
m
s
mA 2,5
A
x
y
xA
yA
어떤 벡터 A 가 속도 벡터라하자.
22
yx AAA
22
25
s
m
s
m
s
m29
A
A
그림에서 1 칸은 1 m/s 를나타낸다 하자.
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
단위 벡터
s
m
s
mA 2,5
A
x
y
xA
yA
s
mA 29
A
A
A
AA
ˆ
s
m
s
m
s
m
29
2,5
29
2,
29
5
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
x
y
연습문제. 그림에서 힘 벡터 A 방향의 단위벡터를 구하여라.
NA 5,7
NA 22 57
N74
A
AA
ˆ
74
5,
74
7
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
xx
yx 방향과 y 방향의 단위 벡터
x 방향의 단위 벡터를 x
y 방향의 단위 벡터를 y
라 한다.
y
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
라고 쓰기도 한다.
zyx ˆ,ˆ,ˆ
kji ˆ,ˆ,ˆ
대신,
x
y단위 벡터를 이용한 벡터의 표현
벡터 A 는 단위 벡터의 합으로표현할 수 있다.
x
y
yx AAA ,
xAxˆ
x 방향 단위 벡터를 Ax 배
y 방향 단위 벡터를 Ay 배yAyˆ
한 것을 더하면 벡터 A 가 된다.
yx AAA ,
yAxA yxˆˆ
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
x
y단위 벡터를 이용한 벡터의 표현
x
y
yx ˆ5ˆ7
그림에서 한 칸이 1 일 때, 벡터 A 를 단위 벡터로표현하여라.
5,7A
x7
y5
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
x
y
A
B
먼저, 벡터 A 와 벡터 B 를단위 벡터를 사용하여 표현하자.
BA
yBxB
yAxABA
yx
yx
ˆˆ
ˆˆ
단위 벡터를 이용한 벡터의 덧셈
yAxAA yxˆˆ
yBxBB yxˆˆ
yBA
xBABA
yy
xx
ˆ
ˆ
xAxˆ
yAyˆ xBx
ˆ
yByˆ
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
x
y
A
B
BA
연습문제.
그림에서 A + B 를 단위벡터로 표현하여 계산하라.
단위 벡터를 이용한 벡터의 덧셈
yxA ˆ1ˆ4
yxB ˆ6ˆ2
yxyxBA ˆ6ˆ2ˆ1ˆ4
yxBA ˆ7ˆ6
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
x
y벡터의 스칼라 곱
A
B
두 벡터를 곱하여 스칼라(숫자)가 나오는 것을 스칼라 곱또는 내적이라고 한다.
BA
내적을 표현하기 위해서는반드시 중갂에 점을 찍어야한다.
cosAB
cosBA
//AB
//B
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
예제. 다음을 계산하여라.
yx ˆˆ
xx ˆˆ
cosˆˆ yx 90cos11 0
cosˆˆ xx 0cos11 1
예제. 다음 그림에서 A = 1 , B = 2, = 30 ° 이다.
A
B
BA
cosAB
30cos21
3
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
x
y직교하는 두 벡터의 스칼라 곱
서로 직교하는 두 벡터
A
B
와
BA
cosBABA
두 벡터의 사이각은 90도이므로,
090coscos
0BA
직교하는 두 벡터의 스칼라 곱은 0 이다.
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
A
B
가 있다.
를 계산하여라.
x
y단위 벡터 자신과의 스칼라 곱 x 방향의 단위 벡터를 x
y 방향의 단위 벡터를 y
라 하자.
x
y
이 때 는 얼마인가?xx ˆˆ
cosˆˆˆˆ xxxx
단위 벡터 자신과의 사이각은0도이므로,
10coscos
1ˆˆ xx
단위 벡터와 자신과의 스칼라 곱은 1 이다.
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
단위 벡터의 크기는 1 이고,
x
y직교하는 두 단위 벡터의 스칼라 곱
yx ˆˆ
cosBABA
두 벡터의 사이각은 90도이므로,
090coscos
0ˆˆ yx
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
를 계산하여라.
x
y
를 적용하면,
cosˆˆˆˆ yxyx
벡터의 크기 yx AAA ,
A
x
y
xA
yA
A
또는 A
22
yx AAA
벡터 A 와 자기자신과의스칼라 곱은 얼마인가?
0cosAAAA
AA
2A
벡터와 자신과의 스칼라 곱은 벡터의 크기의 제곱과 같다.
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
단위 벡터로 표현된 두 벡터의 스칼라 곱
두 벡터의 스칼라 곱을 구해보자.
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
yAxAA yxˆˆ
yBxBB yxˆˆ
yBxByAxABA yxyxˆˆˆˆ
yByAxByAyBxAxBxA yyxyyxxxˆˆˆˆˆˆˆˆ
0ˆˆ yx
yyxx BABABA
이므로1ˆˆ xx
1ˆˆ yy
x
y
A
B
yyxx BABABA
yxA ˆ1ˆ6
yxB ˆ5ˆ3
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
단위 벡터로 표현된 두 벡터의 스칼라 곱
그림에서 한 칸이 1 이라면, A . B 는 얼마인가?
5136
23
예제. 다음 두 벡터의 내적을 구하여라.
)5,3,2(A
251312
)2,1,1(B
BA
zzyyxx BABABA
11
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
x
y
A
B
yxA ˆ1ˆ6
yxB ˆ5ˆ3
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
단위 벡터로 표현된 두 벡터의 사잇각 구하기
그림에서 A 와 B 의 사잇각은 얼마인가?
23 yyxx BABABA
cosBA
22 16 A
22 53 B
3437
23cos
57.49
(예제) 정육면체의 체대각선 두 개 사이의 각을 구하라.
0,1,1x
y
z
1,0,0
A
B
1,1,1 A
1,1,1B
3A
3B
1111111 BA
cosAB cos3
3
1cos 52.70
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x
y벡터의 벡터 곱
A
B
두 벡터를 곱하여 벡터가나오는 것을 벡터 곱 또는외적이라고 한다.
BA
외적을 표현하기 위해서는반드시 중갂에 X 를표기하여야 한다.
sinAB
sinBA
ABB
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A X B 의 크기 :
x
y벡터의 벡터 곱
A
B
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A X B 의 방향 :
A
B
벡터 A 를 벡터 B 방향으로돌려주는 회젂을 오른손 네손가락으로 가리켜보아라.
이 때 엄지손가락은 지면을뚫고 나오는 방향이 될 것이다. 이것이 바로 벡터 곱의방향이다.
notation
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
오른손잡이 좌표계와 왼손잡이 좌표계
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
zyx ˆˆˆ
오른손잡이가볼 때 이 좌표계에서는
zyx ˆˆˆ
벡터의 외적
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
zyx ˆˆˆ xzy ˆˆˆ yxz ˆˆˆ
BA
zByBxBzAyAxA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ
zByBxBxA zyxxˆˆˆˆ
zByBxByA zyxyˆˆˆˆ
zByBxBzA zyxzˆˆˆˆ
yzzy BABAx ˆ
0ˆˆ xx
zxxz BABAy ˆ
xyyx BABAz ˆ
벡터의 외적
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
zyx
zyx
BBB
AAA
zyx
BA
ˆˆˆ
yzzy BABAx ˆ
zxxz BABAy ˆ
xyyx BABAz ˆ
(예제) 이고 이다. 를구하여라.
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
zyx
zyx
BBB
AAA
zyx
BA
ˆˆˆ
zyxA ˆˆ3ˆ2
zyxB ˆ3ˆ2ˆ
BA
321
132
ˆˆˆ
zyx
xyzzyx ˆ2ˆ63ˆ4ˆˆ9
zyx ˆ7ˆ5ˆ11
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