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SEMICONDUCTEURS DOPESEmmanuel Rosencher
0: Courbure de bandeA: Éléments de théorie du dopage n et dopage pB: Niveau de Fermi et densité de porteurs dans les bandesC: DégénérescenceD: Impuretés et compensationE: Zone de charges d’espace et jonction SchottkyF: Techniques de dopage des semiconducteurs
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COURBURE DE BANDE
On superpose un potentiel extérieur qui varie peu sur une distanceinteratomique (formalisme de la fonction enveloppe):
( )rrφ
( ) ( )rqrW ˆˆˆ rr φ−=Perturbation:
( ) ( )rqErkEc
22
m2k
ccrrr h φ−+≈,
( ) ( )rqErkEvm22k2
vvrrr h φ−−≈,
Perturbation d’ordre 1 pour un paquet d’ondes électroniques centrés en k et r:
( ) ( ) ( )rErrH knnm22k2
nknnm2
2pkn0
rrr rhrr
r,,
ˆ,
~~~~̂ Ψ
+=Ψ
=Ψ
Électron de la bande n décrit par l’hamiltonien de masse effective
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rrkErrqrWH knnknnm2
2pkn0
rrrrrr rrr
r,,
ˆ,
~,~ˆ~ˆ~̂ Ψ=Ψ
−=Ψ+ φ
Nouvelle équation de Schrödinger:
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Structure de bande
( )c
22
m2k
cEkE h+=
Champ électrique perturbateur
( )rqHH 0 φ−= ˆˆ ( ) ( )rqEr,kEc
22
m2k
c φ−+= h
cE
vE
+ = ( )rEc
( )rEv
( )rφ
( ) ( )rqErE cc φ−=
( ) ( )rqErE vv φ−=
DIAGRAMME DE BANDE
cristalm2
2p0 VH += ˆˆ
Hamiltonien de l’électron dans le cristal
nm2
2p0H ˆ~̂ =
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LE NIVEAU DE FERMI EST CONSTANT DANSTOUTE STRUCTURE A L’EQUILIBRE THERMODYNAMIQUE
+
-FE
+
-
( )( ) ( )
kTFErqcE
kTFErcE
eNeNrn cc
−−− −−==
rrr
φ
( )( ) ( )
kTFErqvE
kTFErvE
eNeNrp cv
−−− ++==
rrr
φ
FE
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DEPLETION - ACCUMULATION
( )( ) ( )
kTrq
kTrq
kTFEcE
eneeNrn 0c
rrr
φφ ++−==
−
0<φ
0>φ 0qE <−= φ
0qE >−= φ
0n
0p
( )( ) ( )
kTrq
kTrq
kTFEvE
epeeNrp 0v
rrr
φφ −−+==
−
accumulation
déplétion
( ) ( ) kTEvc
geNNrprn/−
=rr…et toujours à l’équilibre thermodynamique
FE
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UTILISATION DES SEMICONDUCTEURS POUR LA LOGIQUE
( )( )
kTrq
enrn 0
rr
φ+= !!!!!1840 103e −− ≈
En imposant des variations de potentiel dans un semiconducteur, on peut moduler la densité locales de porteurs et donc la conductivitéélectrique sur des dizaines d’ordre de grandeurs !!!
( ) Volt1rq −=rφ
K300àmeV25kT =
µm1≈
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SEMICONDUCTEURS DOPESEmmanuel Rosencher
A: Éléments de théorie du dopage n et dopage pB: Niveau de Fermi et densité de porteurs dans les bandesC: DégénérescenceD: Impuretés et compensationE: Zone de charges d’espace et jonction SchottkyF: Techniques de dopage des semiconducteurs
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Tableau de Mendeleev
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Tableau de Mendeleev
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Niveaux donneurs hydrogénoïdes
P+ Si
Si
Si
SiSi
Si SiSi
−+ +→ eDD0
RyRyE 2R
eff2
R0c m1
mm
Dεε
==∆DE∆
Le électron sur un niveau donneur hydrogénoïde se comporte comme un électron dans un atome d’hydrogène:• de masse mC• dans un milieu d’indice effectif εR• avec comme origine des énergies, la bas de la bande de
conduction du semiconducteur
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Atome d’hydrogène dans la bande de conduction d’un semiconducteur
( ) ( ) ( )rErrV Dr1
4q
atm2 0R
2
0
2Ψ=Ψ
−
+∆− εεπ.h
Hamiltonien de masse effective
RyRyE 2R
eff2
R0c m1
mm
Dεε
==∆( ) ( ) ( )rEEr cDccr1
4q
m2 0R
2
c
2Ψ∆−=Ψ
−
∆− ~~. εεπ
h
Niveaux hydrogénoïdes et Hamiltonien de masse effective
Atome d’hydrogène dans le vide
( ) ( )rRyrr1
4q
m2 0
2
0
2Ψ=Ψ
−∆− επ.h
eV613Ry2
4q
2m
0
2
2 .≈
= επh
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Niveaux accepteurs hydrogénoïdes
Le électron sur un niveau accepteur hydrogénoïde se comporte comme un électron dans un atome d’hydrogène:• de masse -mv• dans un milieu d’indice effectif εR• avec comme origine des énergies, le haut de la bande de
valence du semiconducteur
B- Si
Si
Si
SiSi
Si SiSi
δ+−− →+ AeA0
+− +→ hAA0
RyRyE 2R
eff2
R0v m1
mm
Aεε
==∆
AE∆
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EXEMPLE : HYDROGENOÏDE DANS LE SILICIUM
45453030Théorique
65464944 Exp.
GaBAsPImpureté
0v m50m .=
13R =ε
0c m30m .=
Plus l’impureté est grosse,
plus le cristal est déformé,
plus le niveau est profond
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SEMICONDUCTEURS DOPES
A: Éléments de théorie du dopage n et dopage pB: Niveau de Fermi et densité de porteurs dans les bandesC: DégénérescenceD: Impuretés et compensationE: Zone de charges d’espace et jonction SchottkyF: Techniques de dopage des semiconducteurs
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Probabilités d’occupation des niveaux hydrogénoïdes
Combien d’électrons ont quitté les niveaux hydrogénoïdes donneurs?
( )D
0D
kTFEDE
21
NN
e1
1DF Ef == −
+
( )( )DFD0DDD Ef1NNNN −=−=+
kTDEFE
e21
1DD NN
−+
+ =
Combien d’électrons occupent les niveaux hydrogénoïdes accepteurs?
( )AA
kTFEAE
41
NN
e1
1AF Ef
−
− ==
+
( )AFAA EfNN =+
kTFEAE
41 e1
1AA NN −
+
− =
FE
( )EfF
E
cEDE
FE
( )EfFVEAE
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Niveau de Fermi EF dans le cas le plus généralpour un semiconducteur non dégénéré
Neutralité +− +=+ DA NpNn
kTFEcE
eNn c
−−=
kTFEvE
eNp v
−
=
Occupation des bandes
kTDEFE
e21
1DD NN
−+
+ =
kTFEAE
41e1
1AA NN −
+
− =Occupation des niveauxhydrogénoïdes
kTEE Fc >>−si
semiconducteur non dégénéré si kTEE vF >>−
Une équation à une inconnue : FE
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Un exemple typique où la connaissance de l’équation maîtresse…
… n’a aucun intérêt physique !
kTDEFE
kTFEvE
kTFEAE
41
kTFEcE
e21
1Dv
e1
1Ac NeNNeN
−
−
−
−
++
−+=+
Equation à une inconnue EF
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Semiconducteur dopé n :régime d’ionisation totale des porteurs (1)
( ) 0Ef DF ≈ kTEE FD >>− (Cond 1)
La température est suffisamment haute pour que tous les niveaux donneurs soient ionisés
DDA NpNpnNn +≈+==+ +−
2inpn =
2n4NN 2
i2
DDn++
=
Cas1: Le gap du semiconducteur est suffisamment élevés (ou la température suffisamment basse) pour que la densité de porteurs intrinsèques soient négligeables
iD nN >> Cond 2 DNn =
Régime d’épuisement des donneursFE
DE
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Semiconducteur dopé nrégime d’ionisation totale des porteurs (2)
eldegTT >1ln
EEdégel
DNcN
DckT−
−=avec
Cond 3: non dégénérescence
cF EE <<
Cond 1
kTEE FD >>−
cD NN < Limitation fondamentale dela microélectronique !!!Dans Si, ND < 3 1019 cm-3
Dc
NN
cF lnkTEE −=DNn =
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Cas 2: Di Nn >> (Cond 4)
kT2gE
eNNnpn vci−
===
Régime intrinsèque(c.à.d indépendant du dopage)
Cond 4 iTT > ( )Dvc
gN/NNln
2/EikT =avec
c
vvc
N
N2
kT2
EEFi lnE += +
Semiconducteur dopé nrégime intrinsèque
FEDE
2n4NN 2
i2
DDn++
=
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Semiconducteur dopé nrégime de gel des porteurs
igel TTT <<<Cond 5:
np<< += DNn
kTDEFE
kTFEcE
e21
1Dc NeN
−
−
+
−=FE solution de
DcDc
NN2
2kT
2EE
F lnE −= +
kT2DEcE
cD en2
NN−
−= Régime exponentiellement activé
PC
FEDE
22/45
cE
DE
iE
TiTgelT dégelT
T/1gelT/1dégelT/1iT/1
n
DN
épuisementgel intrinsèque
intrinsèque
épuisement
gel
LES DIFFERENTS REGIMES THERMIQUES
23/45
1.30.08720010000.21 (Mg)0.12 (Si)≈ 10-61.40.131.30.190.133.2GaN
0.460.03540085000.026 ( C)0.006 (Si)2.1 1060.530.0670.490.0740.0671.42GaAs
1.50.06350015000.045 (B)0.45 (P)1.1 10100.811.180.490.160.190.981.12Si
0.60.037190039000.01 (B)0.012 (P)2.4 10130.180.220.280.0440.0821.640.67Ge
µtµe∆Ε∆Enimdtmdemhhmlhm transm longEg
trous 300K
Électr. 300KtrouElectr.trous mtelectron me
Conductivitéthermique(W/cm.°C)
Energiedu
phonon optique
(eV)
mobilité(cm2/V.s)
Profondeur accepteur
(eV)
Profondeur donneur
(eV)
Concentration intrinsèque
(cm -3)
masses effectives de
densité d'états
masses effectives de conduction
Gap (eV)
PARAMETRES DE QUELQUES SEMICONDUCTEURS
gel à 300 K !
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Comportement de différents semiconducteurs
0 200 400 600 800 1000
1E15
1E16
1E17Nd = 1016 cm-3
GaN
Si
GaAs
Den
sité
(cm
-3)
Température (K)
0 200 400 600 800 1000
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0 Nd = 1016 cm-3
Si GaN
GaAs
Niv
eau
de
Fer
mi (
eV)
Température (K)
Si = 4 meV
Sb= 39 meV
Si = 120 meV
25/45
100 200 300 400 500 600
1000000
1E7
1E8
1E9
1E10
1E11
1E12
1E13
1E14
1E15
1E16
GaAs
Si
Ge
Intr
insi
c ca
rrie
r den
sity
(cm
-3)
Temperature (K)
Pourquoi le Germanium a disparu …
jamais isolantà 300 K!
→ pas d’application en logique
Totalementisolant à 300K→micro-onde
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SEMICONDUCTEURS DOPES
A: Éléments de théorie du dopage n et dopage pB: Niveau de Fermi et densité de porteurs dans les bandesC: DégénérescenceD: Impuretés et compensationE: Zone de charges d’espace et jonction SchottkyF: Techniques de dopage des semiconducteurs
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Semiconducteur dégénérés:
( ) ( )dEEEfn F ρ∫=
Probabilité d’occupation
Nombre d’états accessibles
( ) ( )F
e1
1F EEYEf
kTFEE −≈= −
+
( ) dEEEnF
C2c
2
E
E
21c
23m2
21 ∫ −
= /
/
hπ
( ) c2/3m2
21
c EEE2c
2−
=
hπρ
( ) 23cF
23m2
31 EEn
2c
2/
/−
=
hπ
La densité de porteurs est indépendante de la température(régime métallique)
E
FEcE
( )EfF
cD NN >
28/45
0 1 2 3 4 5 6 7
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
Ferm
i lev
el (e
V)
Normalized carrier density (n/Nc)
bande de conduction
Évolution du niveau de Fermi en fonction de la densité de porteurs
dégénérescence
Évolution lente du niveau de Fermi avec la densité
Seuil des MOS +++
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SEMICONDUCTEURS DOPES
A: Éléments de théorie du dopage n et dopage pB: Niveau de Fermi et densité de porteurs dans les bandesC: DégénérescenceD: Impuretés et compensationE: Zone de charges d’espace et jonction SchottkyF: Techniques de dopage des semiconducteurs
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DEFAUTS PROFONDS DANS LES SEMICONDUCTEURS
Liaisons pendantes Impuretés métalliques
Au
Le niveau de Fermi est bloqué sur le niveau d’impureté: Au, Cu = silicon killerPas de porteurs libres dans le semiconducteur → semi-isolant (GaAs:Cr)
FE
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DEFAUTSPROFONDS
DANS Si et
GaAs
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SEMICONDUCTEURS DOPES
A: Éléments de théorie du dopage n et dopage pB: Niveau de Fermi et densité de porteurs dans les bandesC: DégénérescenceD: Impuretés et compensationE: Zone de charges d’espace et jonction SchottkyF: Techniques de dopage des semiconducteurs
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métal
vide
eV14.≈eV43.≈
Jonction Schottky
eV30.≈eV40.≈
eV70.≈
silicium métal silicium
msφ eV40a .≈φ
Marché: Capteur hyperfréquence (radar)Alimentation à hachageÉlectronique non linéaire (varactor)…
34/45
++ + ++ ++
++DN
++ + ++ ++
Zone de charges d’espace: concept
aφφ =
neutre+++++++++++++
W
aCQ φ=
SWNqQ D=
WS
sc0C εε≈DNq
asc0W φεε≈
cm/Fd1085.8 140
−=ε317
D cm10N −=Volt1a =φ
13sc =ε
µm1.0W ≈ Origine de la micro-électronique !!!
0=φneutre
35/45
µm1≈
Zone de charge d’espace: outil logique
36/45
+++ + ++ + ++
W Calcul de la zone de charge d’espace: principe
Gauss
Courbure de bande
Répartition des charges
Électrostatique
( )sc0
xqdxd E
εερ=
E
( )xEdxd −=φ
φ
( )xρ
ρDN
W
The
rmod
ynam
ique
(Fer
mi)
( ) ( )xqExE cc φ−=aφ
FE
( )kT
rq
ceNφ
=
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Calcul de la zone de charge d’espace Calcul exact (1)
( ) ( )( )
−≈−=
++ kT
xqe1NxnNx DD
φρ(1)
Thermodynamiquedes semiconducteurs
( )R0xq
dxd E εε
ρ=(2)Poisson
( )xEdxd −=φ(3)Electrostatique
−−=
+ kTq
R0D
22
e1Nq
dxd
φ
εεφ( )xφ solution de :
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Approximation de la zone désertée (2)
( ) ( )( )
−=−=
+ kTxq
e1NxnNx DD
φρ
( ) DNx ≈ρ
( ) 0x ≈ρ
( ) 0x <φpour
pour ( ) 0x ≈φ
( )R0
xqdxd E
εερ=
( ) 0x <φpour
pour ( )Wx≥
( ) )( WxxER0DNq −= εε
( ) 0xE = ( ) 0x ≈φ
( )Wx0 <<
( )xEdxd −=φ pour
pour Wx≥
( ) 22
Nq WxxR0
D )( −−= εεφ
( ) 0x =φ
Wx0 <<
Pour 0x = ( ) 22
Nqa W0
R0Dεεφφ −==
DaR0
Nq2
Wφεε
=
39/45
0 1 2 3 4 5
0.01
0.1
1
10 1014 cm-3
1016 cm-3
1020 cm-3
1018 cm-3
Spa
ce c
harg
e la
yer
thic
knes
s (µ
m)
Surface potential (V)
effet tunnel
Largeur de zone de charges d’espace
Loi de Schottky-Mott
Sir Neville Mott
Walter Schottky
aVW∝
40/45
Longueur de Debye
−−=
+ kTq
R0D
22
e1Nq
dxd
φ
εεφ( )xφ solution de :
Que se passe-t-il près de φ(x) ≈0 ? φφ εε qkT1Nq
dxd
R0D
2
2
/+≈
( )xφ
( )xE
0( ) xdex λφ −−∝
Variation exponentielle dela courbure de bande
Variation exponentielle dela densité de porteurs
( )qkT
DNqR0
dεελ =
Longueur de Debye
1E15 1E16 1E17
0.01
0.1
Deb
ye le
ngth
(µm
)
Carrier density (cm-3)
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SEMICONDUCTEURS DOPES
A: Éléments de théorie du dopage n et dopage pB: Niveau de Fermi et densité de porteurs dans les bandesC: DégénérescenceD: Impuretés et compensationE: Zone de charges d’espace et jonction SchottkyF: Techniques de dopage des semiconducteurs
42/45
SiO2
n Si
photoresist
UV light
MaskP ion beam
Recuit - diffusion
Dopage local
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ND xt ∂∂
∂∂ −=Φ
Loi de Fick
0N xt =Φ+ ∂∂
∂∂
Équation de continuité
Exemple de solution
( ) 0Nt0xN == ,
( ) 00t0xN ==> ,
( ) 0txN =∞→ ,NDN 2x
2t ∂
∂∂∂ =
3.684.7P
3.51.0B
EA (eV)D0 (cm2/s)
kTAE0 eDD
/−=
Arrhenius
Diffusion du dopant
( )
=
tDx
0 erfcNtxN ,
-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
1E13
1E14
1E15
1E16
1E17
1E18
1E19
1E20
Con
cent
ratio
n (c
m-3
)
Profondeur (µm)
103 s
104 s
105 s
T = 1250 K
Tendance: Recuit rapide
44/45
Contact ohmiquenm51−
n
n+
Resistance vs dopage Si
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