Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik...

Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt

27.01.2009 1Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost

Einleitung Definitionen

Maximaler Dynamischer Fluss – Algorithmusvon Ford-Fulkerson

Techniken zur Lösung dynamischer FlussProbleme

Ausblick Anwendung: Evakuierung

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 2

Bisherige Netzwerkflussprobleme

Netzwerk =

▪ Gerichteter Graph G = (V,E)

▪

▪ Quelle s und Senke t,

▪

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 3

Fluss :f V V

G, c, s, t

Kapazitätsfunktion c :V V ,s V t V

Beispiel aus dem „Cormen“

Zeitliche Komponente wird nicht beachtet! Wenig realistisch für viele Anwendungen

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 4

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 5

,

, lg

,

,

lg

lg ,

, lg

9

7

5

5

8

6

...

Definiere Transit-Zeiten

Vancouver Edmonton

Vancouver Ca ary

Edmonton

Edmonton Saskatoon

Ca ary

Ca ary Edmonton

Saskatoon Ca ary

Dynamische Netzwerkflüsse besitzenzeitliche Komponente

Netzwerk =

▪

▪

Restliche Komponenten des Netzwerks sindgleich

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 6

G, c, s, t,

:Zeit Funktion V V

:Fluss f V V Zeit

Einheit, die zum Zeitpunkt von y nach z ge-schickt wird, erreicht z zum Zeitpunkt

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 7

, : ( ) ( )yz zy yzyz E t f t f t

t

yzt

a b

(0) 1, (0) 0baabf f

0T3ab

a b

(3) 0, (3) 1ab baf f

3T3ab

Menge an Fluss im Netzwerk bleibt erhalten

Fluss an einem Knotens:

Gesamtfluss ist Fluss in die Senke innerhalbder Zeit T:

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 8

=0

\{ , }: ( ) 0T

t zy

Vzy V s t f t

=0

| ( ) | ( )y

T

t zz

Vyf T f t

| ( ) | | ( ) |tf T f T

Die Kapazitätsfunktion bezieht sich auf jedeneinzelnen Zeitschritt

Wir benutzen keinen “Holdover-Flow” [Speicherung von Fluss an Knoten]

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 9

a b

(0) 1abf

0T1, 3ab abc

a b

(1) 1abf

1T1, 3ab abc

Fluss Fluss

Transport von Gütern

Steigerung der Effizienz

Senkung der Kosten

Evakuierungsberechnungen

Erstellen von Evakuierungsplänen

Optimierung von Gebäudearchitektur

Finden von “Bottlenecks” bei Evakuierungen

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 10

Algorithmus von Ford-Fulkerson [1]

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 11

Idee des AlgorithmusEine beispielhafte DurchführungBeweis

Ford-Fulkerson im statischen Netzwerk Solange es einen augmentierenden Weg von s nach t im

Restgraphen gibtAugmentiere f um diesen Weg

Ford-Fulkerson im dynamischen Netzwerk Jeder Knoten besitzt einen zeitlichen Zustand

Für jeden Zeitpunkt T werden maximale statischeFlüsse im Restnetz berechnet

Es werden im Restnetz nur Kanten betrachtet, die “zeitlich zulässig” sind

Berechnung einzelner Flüsse, die zeitlich wiederholtwerden

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 12

Knoten (0..n) sind nummeriert

Knoten 0 entspricht der Quelle und n der Senke

Zeitlicher Zustand von Knoten i: Statischer Fluss im Netz: Kapazität der Kanten: Menge an Zerlegungen des Flusses in Wege

von Quelle zur Senke:

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 13

0i

,{ }i jx

,i jc

, , ,Kante ist zulässig i j i j j i i jij x c

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 14

,{ }

initialisiere alle mit

solange

solange augmentierender Pfad existiert

v augmentierender Pfad (*)

augmentiere Fluss gemäß v

für alle von der Quelle nicht erreichte

i

n

i j

T

x

0

n Knoten i

++

Berechne Zerlegung des Flusses (Chain-Decomposition)

i

Routine I a)

Routine II

Routine I b)

(*) = betrachte zusätzlich nur zeitlich zulässige Kanten im Restnetzwerk

Nach Beendigung der Routine I liegtstatischer Fluss vor

Routine II zerlegt diesen Fluss in Wege von der Quelle zur Senke, so dass diese den gesamten Fluss ergeben

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 15

,{ }i jx

,

, ,

0

0

solange Weg P von nach n mit Fluss h existiert

wobei für alle enthaltenen Kanten gilt

i j

i j i j

ij x h

P

x x h

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 16

, ,

, , ,

Inv a)

Inv b)

0j i i j i j

j i i j i j i j

x

x c

, ,max(0, )t t t

i j j i i j

über P(i), 0 , sei ein Pfad von 0 nach ni k

Hochgestelltes t bedeutet “Zustand” nach täußeren Schleifendurchläufen, insbesondere:

, ,max(0, )i j j i i j

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 17

1

( ), ( 1)0 ( ( ),) ( 1) ( 1, )

I) Pfade P von Quelle zur Senke, über die Fluss fließt, gilt:

( ) : 0tk t

P i P ii P i P Pi P m mt m

, , , , , , ,II) Sei der Wert des Flusses { }: ·i i j i j i j ij j i j i jv x tv x c

1

, ,,

III) | ( ) | · und | ( ) | ist maximalT

i j i ji j

f T c f T

*Beweis siehe Tafel bzw. [1]

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 18

,

, ,,

,

,0

,

0

Knoten:

Kanten: mit

Superquelle / Supersenke

i j

tt i j

t

tt

i ji j

i j

i t T

i j c c

t T

Äußere Schleife von Routine I wird genau T+1

oft durchgeführt, da in Routine I b) beijeder Durchführung um 1 inkrementiert wird

Augmentierende Pfade werden beliebigausgewählt, es können maximal integraleaugmentierende Pfade gefunden werden

Zusätzlich wird in jedem äußeren Durchlaufeinmal kein augmentierender Pfad gefundenwerden

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 19

n

(| || | | | )O E f E T

| |f

Routine I liefert einen statischenNetzwerkfluss

Routine II berechnet für diesen statischenFluss eine Zerlegung in einzelne Pfade

Diese Zerlegung entspricht dem Finden der augmentierenden Pfade im statischen Netz

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 20

(| || |)O E f

“Dynamischer” Ford-Fulkerson: Mit Edmonds-Karp:

Im Expanded-Netzwerk mit statischem Ford-Fulkerson

Im Expanded-Netzwerk mit Edmonds-Karp

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 21

(| || | | | )O E f E T2(| | | | | | )O E V E T

(| || | )O E f T

2 3(| | | | )O E V T

Gemäß II) und III) gilt

Maximaler Fluss in einem dynamischenNetzwerk entspricht einem “Minimum-Cost Circulation” im erweiterten Netzwerk, wobeiKosten der Zeit entsprechen

erweitertes Netzwerk ist Netzwerk mit Kante

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 22

, , ,| ( ) | · ·i j i j i jt xf t v

,0 ,00 ( 1) mit und nnn T c

“Time-Expanded Networks”

Grundlage für Lösung des maximalenFlussproblems in dynamischen Netzwerkenmittels “Minimum-Cost Circulation”

kann in streng polynomieller Zeit bestimmtwerden

(Standard-)Chain-Decomposable Flows

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 23

Möglichkeit der Reduktion dynamischerNetzwerkflussprobleme auf statische Probleme

Laufzeit und Platzbedarf nehmen polynomiellzu

Viele dynamische Probleme werden über Time-Expanded Networks gelöst

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 24

Ford-Fulkerson haben Zerlegung von dynamischen Flüssen eingeführt

Dabei werden nur Pfade entlang der Flussrichtung betrachtet

Verallgemeinerung: Fluss wird entgegen der eigentlichen zeitlichen Richtung zugelassen

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 25

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 26

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 27

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 28

mehrere Quellen und mehrere Senken jede Quelle hat bestimmtes Angebot an Fluss Ziel: Sende den gesamten Fluss in minimaler

Zeit durch das Netzwerk

Modelliert Evakuierungssituation

Hoppe: erster polynomieller Algorithmusmittels Chain-Decomposable Flows

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 29

maximiert für jeden Zeitschritt den eingehenden Fluss in die Quellen

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 30

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 31

Beispiel-Berechnungen von Nadine Baumann

[1] Ford, L.R. and Fulkerson, D.R., Constructing maximal dynamic flows from static flows. Operations Research. v6. 419-433

[2] Ford, L.R. and Fulkerson, D.R., Flows in Networks. 1962. Princeton University Press, Princeton, NJ

[3] R. K. Ahuja, T. L. Magnanti, and J. B. Orlin. Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications. Prentice Hall, NJ, 1993

[4] Bruce Edward Hoppe, Efficient dynamic network flow algorithms, Cornell University, Ithaca, NY, 1996

[5] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, and C. Stein. Introduction to Algorithms. 2nd edition, McGraw-Hill Book Company, Boston, MA, 2001

[6] Nadine Baumann, Evacuation by Earliest Arrival Flows, UniversitätPotsdam, 2007

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 32