Seminario di Matematica Prof. Vigna 29 Maggio 2008 Riccardo Cristoferi Corso di Laurea in Matematica...

Seminario di Matematica

Prof. Vigna

29 Maggio 2008

Riccardo Cristoferi

Corso di Laurea in Matematica

Università di Trento

Notazione e terminologia

Una per tutte – Seminario di Matematica –Cristoferi Riccardo

Uno spazio affine è una terna ordinata ),,( XX

X X

dove

è un insieme, è uno spazio vettoriale e

soddisfa a:

XXX :

)()(,,)1 QRRPQPXRQP

vPQctXQXvXP ..!,)2

Se è finitamente generato, si poneX )dim()dim( XX

Notazione e terminologia

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

Dati ),,( XX ),,( YY spazi affini, sia .XO

Sia YXf : una funzione insiemistica.

,

Definiamo

XXO :OPP

f è detta mappa affine se la funzione che fa commutare il

diagramma

Of

YX O )(Of

YX

è lineare.Of

f

Notazione e terminologia

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Uno spazio affine euclideo è una quaterna ordinata ),,,,( XX

),,( XX

.X

dove è uno spazio affine euclideo, e

è un prodotto scalare su

,

In tale spazio possiamo definire la distanza fra due punti come

QPQPQPQPdXQP ,||:),(,

ovvero se rispetta tutte le distanze.

Notazione e terminologia

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Una mappa affine fra due spazi affini euclidei

è detta isometria se la sua giacitura è ortogonale:

f YX ,

f

wvwfvfXwv ,)(),(,

Il Teorema

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Sia ),,,,( XX .2)dim( X

XXf :

uno spazio affine euclideo, e sia

Sia inoltre una funzione (insiemistica!) t.c.

1))(),((1),(, QfPfdQPdXQP

Allora f è un’isometria.

:Teorema

Dimostrazione

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Siano ctXCBA .,,

1),(),(),( CAdCBdBAd

allora

:1Lemma

CBA ,, non sono allineati

e quindi formano un riferimento affine di .X

Dimostrazione

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Costruiamo una mappa affine ..: ctXX

AAf ))((

BBf ))((

CCf ))((

:2Lemma è un’isometria.

allora

Idea dimostrazione

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C

A B

C

A Bf

f(B)f(A)

f(C)

Se dimostro che

XId

allora ho vinto.

Idea dimostrazione

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B

C

A

Come dimostro che è l’identità?

2. fissa tutti i punti dell’uni - reticolo

3. fissa tutte le rette del reticolo

4. fissa tutti i punti

1. rispetta la distanza

3

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Dimostrazione - rispetta la distanza 3

:3Lemma

XQP , 3),( QPd

XGE , ),,(),,,( GEQGEP

Siano t.c.

Allora esistono t.c.

sono unitriangoli.

P

Q

E G23

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Dimostrazione - rispetta la distanza 3

:6Lemma

Siano XQP , t.c. .1),( QPdAllora

),,(),,,(..,! SRQSRPctXSR

sono unitriangoli. Inoltre 3),( SRd

P

Q

R S

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Dimostrazione - rispetta la distanza 3

Allora è impossibile costruire un unitriangolo i cui vertici stanno

sulla circonferenza di centro e raggio

:5Lemma

Sia .XP

P 1

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Dimostrazione - rispetta la distanza 3

:4Lemma

Siano 3),(.., QPdctXQP

Allora

3),(1),(.. QEdPEdctE

P

Q

E

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Dimostrazione - fissa tutti i punti del reticolo

BA

C

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Dimostrazione - fissa le rette del reticolo

:eDefinizion

Sia ),( G un sottogruppo di .Gè detto denso se in ogni intervallo di c’è un elementodi .G

Noi considereremo il sottogruppo )],3[( ZZ dove

},3{]3[ ZbaconbaZZ

naturaleka ,0,

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Dimostrazione - fissa le rette del reticolo

:11Lemma

)],3[( ZZ è denso in

:12Lemma

anmactknm 3.., naturali

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Dimostrazione - fissa le rette del reticolo

:10Lemma

Sia distanza rispettata da , n un naturale positivo.

Se

nQPdXQP ),(,

allora

nQPd ))(),((

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Dimostrazione - fissa le rette del reticolo

:4eroposizionP

Sia X P

Consideriamo 0X proiezione ortogonale di )(X su P.

Allora .0 XX

:.Dim

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Dimostrazione - fissa le rette del reticolo

xvOX

xnm 30

vnmON )3(

mvOM

1 nxm

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Dimostrazione - fissa le rette del reticolo

:13Lemma

Se vnmOX )3( con O

punto del reticolo, allora fissa . X

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Dimostrazione - fissa le rette del reticolo

2 xxvOX

:.Dim

vXXdOQ 2))(,(4

2))(,(432 XXdnmx

vnmOP )3(

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Dimostrazione - fissa tutti i punti

P

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Dimostrazione - fissa tutti i punti

P

r

s

L M

N

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Conclusione