Series de Taylor y Fourier

SERIES DE TAYLOR Y FOURIER.

Departamento de Electricidad.

Área de Matemática General.

Docente: Lcdo. Wuilmer Colmenares.

Realizado por:

Anchundia, Yelitza C.I 18.948.435

Albornoz, José C.I 14.409.267

García, Cristian C.I 18.476.297

Guichaner, Pedro C.I 15.469.956

Ciudad Bolívar Abril del 2010.

RESEÑA HISTORICA SERIE FOURIER.

La historia del análisis de Fourier tiene más de 200 años. Sus orígenes principian

unos 60 años antes del momento en que Jean Baptiste Joseph Fourier presentó la

primera versión de su trabajo sobre la teoría de la conducción del calor a la

Academia de París (1807). El año 1750 es un buen punto de partida: Fernando VI

era rey de España, y Jorge II de Inglaterra; las colonias de América del norte

estaban en medio de las guerras con los nativos y los franceses; unos años después

Carlos III creaba el virreynato del Río de la Plata (1776). Voltaire, Rousseau y Kant

estaban escribiendo sus libros en Europa; Bach acababa de morir, y Mozart estaba

pronto a nacer; y el cálculo de Leibnitz y Newton, publicado 75 años antes, estaba

permitiendo la creación de poderosas nuevas teorías sobre la mecánica celeste y la

mecánica del continuo.

En ese momento los esfuerzos de los físicos y matemáticos se concentraban en dos

problemas principales, que sentarían las bases de lo que posteriormente se

conocería como análisis de Fourier:

El problema de la cuerda vibrante o la propagación del sonido en un medio elástico.

La determinación de las órbitas de los planetas a partir de mediciones.

Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la

superposición de senoides generados por osciladores electrónicos de amplitud

variable cuyas frecuencias ya están determinadas, Análisis en el comportamiento

armónico de una señal, Reforzamiento de señales.

Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal

de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de

Laplace y/o Solución en régimen permanente senoidal en el dominio de la

frecuencia.

La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten

soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que

obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de

placas, etc.

Concepto.

En Matemática, la transformada de Fourier es una aplicación que hace

corresponder a una función f con valores complejos y definida en la recta, otra

función g definida de la manera siguiente:

Donde f es L1, o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral

de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado

de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta

forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no

es universal. En la práctica las variables x y Xi suelen estar asociadas a dimensiones

(como el espacio -metros-, frecuencia -segundos^-1-,...) y entonces es correcto

utilizar la fórmula alternativa:

De forma que la constante beta cancela la dimensiones asociadas a las variables

obteniendo un exponente a dimensional.

La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de

continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores

e incluso a espacios de funciones generalizadas.

Además, tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e

ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de

señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la

propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada

de Fourier suele considerarse como la descomposición de una señal en

componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de

frecuencias de la señal f.

La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus

generalizaciones es denominada análisis armónico.

Propiedades:

Linearidad

Dualidad

Cambio de escala

Transformada de la conjugada

Translación en el tiempo

Translación en frecuencia

Derivación en el tiempo

Derivación en la frecuencia

Transformada de la integral

Transformada de la Convolucion

Teorema de Parseval.

Demostraciones De Propiedades:

Dualidad.

Cambio de Escala.

Transformada de la conjugada.

Translación en el tiempo.

Translación en frecuencia.

Derivación en el tiempo.

Derivación en la frecuencia.

Convolucion.

Debido a que va a ser necesario utilizarlo, definamos primeramente la Convolucion

de dos señales:

Demostración de conmutativilidad.

Integración en el Tiempo.

Transformada de la Convolucion.

Teorema de Parseval.

El teorema de Parseval es una solución particular de la propiedad:

Ejercicios de Series de Fourier.

Calcular la serie compleja de Fourier para:

f (t+2) = f (t) Û T=2 Û w 0= p rad/s

Ejercicio de Fourier aplicado a la Ingeniera Eléctrica.

Datos del Circuito:

Entonces tenemos el siguiente procedimiento:

Analíticamente tenemos:

RESEÑA HISTORICA SERIE TAYLOR.

El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita

para lograr un resultado finito, pero lo descartó por considerarlo imposible: el

resultado fueron las paradojas de Zenón Posteriormente, Aristóteles propuso una

resolución filosófica a la paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedó

resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y después Arquímedes. Fue a través del

método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones

geométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito.

Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después.

En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos

similares fueron dados por Madhava of Sangamagrama. A pesar de que hoy en día

ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos

hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de la

serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno,

coseno, tangente y arcotangente.

En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series

de Maclaurin. Pero recién en 1715 se presentó una forma general para construir

estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook

Taylor, de quién recibe su nombre.

Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor de

Edimburgo, quién publicó el caso especial de las series de Taylor en el siglo XVIII.

Concepto.

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es

infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la

serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera más compacta como:

Donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la

derivada cero de f es definida como la propia f y y son ambos definidos como uno.

PROPIEDADES.

Función exponencial y logaritmo natural.

Serie Geométrica.

Teorema del Binomio.

para

y cualquier complejo.

Funciones Trigonométricas.

Donde Bs son los Números de Bernoulli.

Funciones Hiperbólicas.

Función W de Lambert.

Los números Bk que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Números de

Bernoulli Los valores C( α, n) del desarrollo del binomio son los coeficientes

binomiales. Los Ek del desarrollo de sec(x) son Números de Euler.

Ejercicios de Series de Taylor.

Ejercicio de Taylor aplicado a la Ingeniera Eléctrica.