Statika 2 M. Vokáˇc Diferenciální rovnice Mohrova analogie...

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Statika 23. prednáška

Pruhybová cáraVetknuté nosníky

Miroslav Vokácmiroslav.vokac@klok.cvut.cz

CVUT v Praze, Fakulta architektury

2. listopadu 2016

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Pruhybová cára ohýbaného nosníkuZnaménková konvence velicin

+q

xz

+M

+w

+ϕ

q. . . spojité zatížení je kladnéve smeru osy zM. . . kladný ohybový momenttáhne dolní vláknaw . . . pruhyb je kladný ve smeruosy zϕ. . . natocení prurezu je kladnépo smeru hodinových rucicek

Protože natocení prurezu ϕ je velmi malé, mužemepredpokládat ϕ(x) .

= tan (ϕ(x)) = w ′(x).

Budeme p redpokládat ohýbané nosníky s konstantnímpru rezem po celé délce, tj. s konstatní ohybovou tuhostípru rezu EI.

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Odvození vztahu pro krivost

ℓ

ℓ+∆ℓσ(z) σ(z)

zM M

Predpokládejme prut ohýbanýkonstantním ohybovým momentem M.

Pro ε(z) lze odvodit:ℓ

ℓ+∆ℓ= 1

1+ε(z) =

+z ⇒ ε(z) = z

Dosazením do Hookeova zákovazískáme: σ(z) = Eε(z) = E z

Dosazením do podmínky ekvivalence:M =

∫

Aσ(z) z dA = E

∫

Az2 dA

Proto mužeme vyjádrit:1=

MEI

1. . . je krivost

EI. . . je ohybová tuhost prurezu

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Odvození diferenciální rovnice pruhybovécáry

q(x)

w(x)

ϕ(x)

ℓ

x

z

Krivost funke w(x) jematematicky definována:1=

∣

∣

∣

∣

w ′′(x)

{1+w ′2(x)}3/2

∣

∣

∣

∣

Protože w(x) ≪ ℓ prox ∈ 〈0, ℓ〉, predpokládáme1

.= |w ′′(x)|, a proto platí:

−w ′′(x) =M(x)

EI

Dále musí platit Schwedlerovy vety:

M ′(x) = V (x)

V ′(x) = −q(x)

Diferenciální rovnice pruhybové cáry:

EI w ′v (x) = q(x)

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Diferenciální rovnice pruhybové cárya prubehy funkcí V (x), M(x), ϕ(x) a w(x)

q(x)

ℓ

x

z

V

M

ϕ

w

1◦

2◦

3◦

4◦

+

−

+

+

V ′(x) = −q(x)

M ′(x) = V (x)

ϕ′(x) = −M(x)EI

w′(x) = ϕ(x)

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Pruhyb prostého nosníku prímou integracíz diferenciální rovnice pruhybové cáry

q

ℓx

z

EI w ′v (x) = q(x) = qEI w ′′′(x) = −V (x) = qx + C1

EI w ′′(x) = −M(x) = q x2

2 + C1x + C2

EI w ′(x) = EI ϕ(x) = q x3

6 + C1x2

2 + C2x + C3

EI w(x) = q x4

24 + C1x3

6 + C2x2

2 + C3x + C4

Integracní konstanty se urcí z okrajových podmínek:1. Pro M(x) platí: M(0) = 0 M(ℓ) = 02. Pro w(x) platí: w(0) = 0 w(ℓ) = 0

Pruhyb uprostred rozpetí:

w(

ℓ

2

)

=5

384qℓ4

EI

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Mohrova analogie(Mohrovy vety)

Reálný (skutecný) nosník Duální (fiktivní) nosníkq(x)

ℓ

x

z

V

M

ϕ

w

1◦

2◦

3◦

4◦

+−

+

+−

+

V ′(x) = −q(x)

M ′(x) = V (x)

ϕ′(x) = −M(x)EI

w′(x) = ϕ(x)

qd(x) =M(x)EI

Vd

Md

+−

+

2◦

3◦

4◦

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Mohrova analogie(Mohrovy vety)

1. Natocení prurezu ϕ(x) na reálném nosníku odpovídáposouvající síle na duálním nosníku Vd (x).

2. Pruhyb w(x) na reálném nosníku odpovídá ohybovémumomentu na duálním nosníku Md (x).

3. Zatížení duálního nosníku odpovídá obrazci ohybovéhomomentu na reálném nosníku redukovaném ohybovoutuhostí prurezu, tj. qd (x) =

M(x)EI .

4. Duální nosník musí splnovat okrajové podmínky propruhybovou cáru dle následující tabulky. . .

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Mohrova analogieOkrajové podmínky pro sestavení duálního nosníku

Reálný (skutecný) nosník Duální (fiktivní) nosník

w = 0ϕ 6= 0

Md = 0Td 6= 0

w = 0ϕ = 0

Md = 0Td = 0

w 6= 0ϕ 6= 0

Md 6= 0Td 6= 0

w = 0ϕL = ϕP

Md = 0TdL = TdP

w 6= 0ϕL 6= ϕP

Md 6= 0TdL 6= TdP

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Pruhyb prostého nosníku Mohrovou analogií

F

ℓ

ℓ/2 ℓ/2x

z

Realny nosnık

Dualnı nosnık

+M

14Fℓ

qdQd Qd

Rd

ℓ/3 ℓ/6

ℓ

w =?

Zatížení na duálním nosníku:qd = Fℓ

4EI

Výslednice trojúhelníkovéhozatížení:Qd = 1

2ℓ2qd = 1

16Fℓ2

EI

Reakce na duálním nosníku:Rd = Qd = 1

16Fℓ2

EI

Pruhyb uprostred rozpetí:w(

ℓ2

)

= Md(

ℓ2

)

= Rdℓ2 − Qd

ℓ6

w(

ℓ

2

)

=148

Fℓ3

EI

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Plochy a težište nekterých parabolickýchobrazcu

Parabolická úsec

t

A = 23aℓ

12ℓ

12ℓ

ℓ

a t

A = 23aℓ

38ℓ

58ℓ

ℓ

a

Parabolický trojúhelník

t

A = 13aℓ

34ℓ

14ℓ

ℓ

a

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Príklad delení parabolických ploch M(x)pro Mohrovu analogii

Realny nosnıkq

w =?ℓ1 ℓ2

q

q

A

A B

M−

+

M1 = 18qℓ

22

|M3| = Aℓ1

|M2| =12ql

21

Dualnı nosnık

qd3 = Aℓ1EI

qd2 =qℓ2

1

2EI

qd1 =qℓ2

2

8EI

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Príklad delení parabolických ploch M(x)pro Mohrovu analogii

w1 =?

Realny nosnıkq

a b

ℓ

M

+

A

a2

a2

b2

b2

M1 = Aa− 12qa

2

M3 = 18qb

2

M2 = 18qa

2

Dualnı nosnık

qd2

qd3

qd1

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Mohrova analogiePríklad

Urcete pruhyb a natocení prurezu pro daný drevený trámv predepsaných bodech.

q = 3kNm−1F = 2kN

3m 1mw =?

ϕ =?

M

18q3

2 = 3,375 kNm

2kNm

+

−

Dualnı nosnıkqd2 = 3,375

EI

qd1 = 2EI

Modul pružnosti uvažujteE = 10 GPa.

90mm

130mm

Moment setrvacnosti prurezu:Iy = 1

12bh3

Iy = 112 . 90 . 1303

Iy = 16,478.106 mm4

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Mohrova analogiePríklad

q = 3kNm−1F = 2kN

3m 1mw =?

ϕ =?

Dualnı nosnıkqd2 = 3,375

EI

qd1 = 2EI

Qd2Bd

Qd3

Qd1Bd

a b

b c

Výslednice zatížení:

Qd1 = 12 . 1 . 2

EI =1EI

Qd2 = 23 . 3 . 3,375

EI = 6,75EI

Qd3 = 12 . 3 . 2

EI =3EI

Reakce na duálním nosníku:

y

a :Qd2 . 1,5 − Qd3 . 2 − Bd . 3 = 0

6,75EI . 1,5 − 3

EI . 2 − Bd . 3 = 0

Bd = 1,375EI

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Mohrova analogiePríklad

q = 3kNm−1F = 2kN

3m 1mw =?

ϕ =?

Dualnı nosnıkqd2 = 3,375

EI

qd1 = 2EI

Qd2Bd

Qd3

Qd1Bd

a b

b c

Pruhyb w :

w = −Bd . 1 + 23 .Qd1

w = − 1,375EI . 1 + 2

3 . 1EI

w = − 0,708EI

w = − 0,70810.106 . 16,478.10−6

w = −4,30.10−3 m

Natocení ϕ:

ϕ = −Bd = − 1,375EI

ϕ = − 1,37510.106 . 16,478.10−6

ϕ = −8,34.10−3 rad = −0,478◦

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Pruhyby prostého nosníku

Vzorce pro stanovení pruhybu bývají pro ruzná zatíženítabelovány ve Statických tabulkách.Horejší, J.; Šafka, J. a kol. Statické tabulky. Technickýpruvodce, svazek 51. Praha : SNTL, 1987.

Vybrané nejduležitejší prípady

q

ℓw(

ℓ2

)

= 5384

qℓ4

EI

F

ℓ2

ℓ2

w(

ℓ2

)

= 148

Fℓ3

EI

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Doporucené maximální hodnoty pruhybunosníku

◮ Pruhyb ohýbaného nosníku nemuže být natolik velký, abyomezoval použitelnost konstrukce (napr. znemožneníotevírání oken namerným pruhybem prekladu).

◮ Proto jsou v norme doporucené omezení.◮ Maximální hodnota je závislá na typu konstrukce (trám,

pruvlak, konzola, strop (omítnutý/neomítnutý), strecha,preklad, mostní objekt).

◮ Ruzná omezení jsou dána také pro zatížení douhodobáa krátkodobá.

◮ Maximální hodnota pruhybu je závislá i na materiálu(konstrukce drevené, ocelové, železobetonovéa z predpjatého betonu, hliníkové. . . )

◮ U konstrukcí pozemních staveb se doporucuje maximálníhodnota pruhybu od ℓ

200 do ℓ400 (podle typu konstrukce).

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Vetknuté nosníky a pruty typu vetknutí-kloub

Vetknuté nosníkyF

q

Nosník typu vetknutí-kloubF

q

◮ Vetknuté nosníky i pruty typu vetknutí-kloub lze rešitprímou integrací z difrerenciální rovnice pruhybové cáry.

◮ Výsledkem jsou funkce V (x), M(x), ϕ(x) i w(x).◮ Pusobí-li na nosník složka zatížení ve smeru osy x , lze

rešit staticky neurcitý tah a tlak z Hookeova zákona.◮ Reakce v podporách se urcí až z prubehu vnitrních sil

V (x), M(x) a N(x).

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Príklad vetknutého nosníkuF

ℓa bx

z

Nosník rozdelíme na 2 cásti:

w ′v (x) ={

w ′v1 (x) = 0 pro x ∈ 〈0, a〉

w ′v2 (x) = 0 pro x ∈ 〈a, ℓ〉

Integrujeme oba intervaly zvlášt’:EI w ′v

1 (x) = 0 ⇒ EI w1(x) = C11x3

6 + C12x2

2 + C13x + C14

EI w ′v2 (x) = 0 ⇒ EI w2(x) = C21

x3

6 + C22x2

2 + C23x + C24

Integracní konstanty se urcí z okrajových podmíneka podmínek spojitosti:

1. Okrajové podmínky:w1(0) = 0 w2(ℓ) = 0 w ′

1(0) = 0 w ′

2(ℓ) = 02. Podmínky spojitosti:

w1(a) = w2(a) w ′

1(a) = w ′

2(a) w ′′

1 (a) = w ′′

2 (a)−EI w ′′′

1 (a)− F = −EI w ′′′

2 (a)

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Príklad nosníku vetknutí-kloub

q

ℓx

z

Integrací diferenciální rovnice pruhybové cáry získáme:EI w ′v (x) = q ⇒ EI w(x) = q x4

24 + C1x3

6 + C2x2

2 + C3x + C4

Integracní konstanty se urcí z okrajových podmínek:

1. Okrajové podmínky pro pruhyb: w(0) = 0 w(ℓ) = 0

2. Okrajové podmínky pro natocení prurezu: w ′(0) = 0

3. Okrajové podmínky pro ohybový moment: w ′′(ℓ) = 0

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Vetknuté nosníky a pruty typu vetknutí-kloubMoment ve vetknutí pro vybrané typy zatížení

Ohybové momenty ve vetknutí bývají pro ruzná zatíženítabelovány ve Statických tabulkách.Horejší, J.; Šafka, J. a kol. Statické tabulky. Technickýpruvodce, svazek 51. Praha : SNTL, 1987.

Vybrané nejduležitejší prípady

Zatíženíprutu

MbaMaba b Mab

a b

q

ℓ Mab = Mba = − 112 qℓ2 Mab = − 1

8qℓ2

F

a b

ℓ

Mab = −Fab2

ℓ2

Mba = −Fba2

ℓ2

Mab = −F ab(ℓ+b)2ℓ2

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Vetknuté nosníky a pruty typu vetknutí-kloubDoplnek posouvající síly

F

a b

ℓ

a b

F

a b

Mab Mba

A0 = F bℓ

B0 = F aℓ

∆V ∆V

Posouvající síla V (x) se urcíjako posouvající síla naprostém nosníku V0(x)zvetšená o doplnekposouvajících sil ∆V :

V (x) = V0(x) +Mba − Mab

ℓ

Doplnek ∆V je na celém prutukonstantní.

Po urcení ohybových mometu ve vetknutí, reakcí A = A0 +∆Va B = B0 −∆V jsou známy všechny síly pro výpocet prubehuV (x) a M(x).

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Vetknuté nosníky a pruty typu vetknutí-kloubPríklad stanovení prubehu vnitrních sil

F = 5kN F = 5kN

A B

MbaMab

1 1 3m

5m

V

+

−

+7,72

+2,72

−2,28

M− −

+

−6,8

−3,2

+0,92

+3,64

Mab = − 5 . 1 . 42

52 − 5 . 2 . 32

52

Mab = −6, 8 kN m

Mba = − 5 . 4 . 12

52 − 5 . 3 . 22

52

Mba = −3, 2 kN m

∆V = −3,2−(−6,8)5 = +0, 72 kN

A = 5 . 45 + 5 . 3

5 + 0, 72A = +7, 72 kN

B = 5 . 15 + 5 . 2

5 − 0, 72B = +2, 28 kN

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Kontrolní otázka

Predpoklad, že prurez oýbaného nosníku zustává podeformaci rovinný a kolmý na pruhybovou cáru, nazýváme:

a) Schwedlerova veta

b) Steinerova veta

c) Bernoulli-Navierova hypotéza

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Kontrolní otázka

Pruhyb stredu rozpetí prostého nosníku rozpetí L zatíženéhospojitým zatížením q po celé jeho délce se vypocte:

a) w = 5384

qL2

EI

b) w = 5384

qL3

EI

c) w = 5384

qL4

EI

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Kontrolní otázka

Diferenciální rovnice pruhybové cáry w(x) má tvar:

a) EI w ′′(x) = q(x)

b) EI w ′′′(x) = q(x)

c) EI w ′′′′(x) = q(x)

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Kontrolní otázka

Podle Mohrovy analogie odpovídá funkci pruhybu na reálnémnosníku:

a) Funkce spojitého zatížení na duálním nosníku.

b) Funkce posouvající síly na duálním nosníku.

c) Funkce ohybového momentu na duálním nosníku.

Statika 2

M. Vokác

Diferenciální rovnicepruhybové cáry

Mohrova analogie

Vetknuté nosníky

Kontrolní otázky

Konec prednášky

Dekuji za pozornost.

Vysázeno systémem LATEX.Obrázky vytvoreny v systému METAPOST.