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8/16/2019 Sucesiones y Series 1
http://slidepdf.com/reader/full/sucesiones-y-series-1 1/11
Universidad Centroccidental “Lisandro Alvarado”
Decanato de Ingeniería CivilDepartamento de Ciencias Básicas
Matemática II
SU ESIONES Y SERIES
Definiciones y Teoremas
Realizado por:Ing. David González
MSc. en MatemáticasBarquisimeto. Mayo, 2010
8/16/2019 Sucesiones y Series 1
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Sucesiones y Series Infinitas 1
Realizada por : Ing. David A. González Barquisimeto, Mayo de 2010
SUCESIONESDEFINICIÓN: Una sucesión (o secuencia) es una función cuyo dominio es el conjuntode los enteros positivos {Z+ = 1, 2, 3,...}.
DEFINICIÓN: Una sucesión {an} tiene el límite L, si para todo > o existe un número
N>0 tal que Lan para todo entero n>N; escribimos entonces .Lalim nn
TEOREMA: Si , y f está definida para todo entero positivo, entonces
también cuando n Z+.
L)x(f limx
L)n (f limn
TEOREMA: Una sucesión {an} se dice que Converge a L si . Si la sucesión
no converge se dice que Diverge.
Lalim nn
TEOREMA: Si {an} y {bn} son sucesiones convergentes y c es una constante, entonces:
i. La sucesión constante {c} tiene a c como su límite
ii. n n
nn
alimcaclim
iii. n n
nn
Nnn
blimalim)ba(lim
iv. n n
nn
Nnn
blimalim)ba(lim
v. 0by0blimSi
blim
alim
b
alim nn
nnn
nn
n
n
n
DEFINICIÓN: Una sucesión {an} se dice que es:
i. Creciente si an an+1 para toda n Z+.
ii. Decreciente si an an+1 para toda n Z+.
iii. Estrictamente Creciente si an < an+1
iv. Estrictamente Decreciente si an > an+1
Una Función creciente o decreciente es MONÓTONA
DEFINICIÓN: Una sucesión {an} se dice que está acotada, si y sólo si tiene unacota superior y una cota inferior.
TEOREMA: Una Sucesión Monótona Acotada es Convergente.
TEOREMA: Una Sucesión Monótona Convergente es Acotada.
8/16/2019 Sucesiones y Series 1
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Sucesiones y Series Infinitas 2
Realizada por : Ing. David A. González Barquisimeto, Mayo de 2010
SERIES INFINITASSERIES INFINITAS CON TÉRMINOS CONSTANTES
DEFINICIÓN: Sea una serie infinita y sea {Sn} la sucesión de sumas parciales
que define esta serie infinita. Entonces, si existe y es igual a S, decimos que la
serie infinita dada es convergente y que S es la suma de la serie infinita dada. Si
no existe, se dice que la serie es divergente y la serie no tiene suma.
1n n
a
nn
Slim
nn
Slim
TEOREMA: Si es convergente, entonces
1n
na 0alim nn
, pero si 0alim nn
no
implica que sea convergente. Si
1n
an 0alim nn
, entonces es divergente.
1n
na
TEOREMA: Si y son dos series infinitas, que solamente difieren el los
primeros m términos (es decir, ak = bk si k > m), entonces ambas series convergen obien ambas series divergen.
1n
na
1n
nb
TEOREMA: Sea c cualquier constante distinta de cero.
i. Si la serie
es convergente y su suma es S, entonces la serie
también es convergente y su suma es Sc
1n
na
1n
nac .
ii. Si la serie
es divergente, entonces la serie también es divergente.1n
na
1n
nac
TEOREMA: Si y son dos series infinitas
convergentes cuyas sumas son, respectivamente S y
R, entonces:
1n
na
1n
nbTEOREMA: Si la Serie
es convergente y
1n
es divergente,
entonces la serie
1n
es
DIVERGENTE.
1n
na
nb
nn )ba(
i. es Convergente y su suma es S+R
1n
nn )ba(
ii. es Convergente y su suma es S-R.
1n
nn )ba(
8/16/2019 Sucesiones y Series 1
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Sucesiones y Series Infinitas 3
Realizada por : Ing. David A. González Barquisimeto, Mayo de 2010
CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS
TEOREMA: Una serie de términos positivos es convergente si y sólo si su sucesión desumas parciales tiene una cota superior.
TEOREMA (Criterio de Comparación Directa): Sea la serie una serie de
términos positivos.
1n
na
i. Si
es convergente y , entonces
es convergente.1n
nb Znba nn
1n
na
ii. Si
es divergente y , entonces
es divergente.1n
nb Znba nn
1n
na
TEOREMA (Criterio de Comparación por Paso al Límite): Sean y dos
series de términos positivos, y sea
1n
na
1n
nb
Lb
alim
n
n
n
, entonces:
i. Si L = 0 y
Converge, entonces
Converge.1n
nb1n
na
ii. Si L = + y
Diverge, entonces
Diverge.1n
nb1n
na
iii. Si L > 0, entonces las dos series Convergen o las dos series Divergen.
TEOREMA: Si es una serie Convergente de términos positivos, sus términos se
pueden agrupar en cualquier forma y la serie resultante también será Convergente ytendrá la misma suma que la serie dada.
1n
na
TEOREMA: Si es una serie Convergente de términos positivos, el orden de los
términos se puede modificar y la serie resultante también será Convergente y tendrá lamisma suma que la serie dada.
1n
na
TEOREMA (Criterio de la Integral): Sea f una función continua, positiva y decreciente
para toda x que pertenece a [1, +), entonces la serie infinita:
1N1
CONVERGEdx)x(f egralintlasiCONVERGE)n(f
Y es Divergente si la integral impropia crece sin límite, es decir: ó
sea que es Divergente.
b
1bdx)x(f lim
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Sucesiones y Series Infinitas 4
Realizada por : Ing. David A. González Barquisimeto, Mayo de 2010
SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS ALTERNANTES
DEFINICIÓN: Si an > 0 para todo entero positivo, entonces la serie: la
serie se llaman SERIES ALTERNANTES O ALTERNAS.
1n
n
1n a)1( y
1n
n
n
a)1(
TEOREMA (Criterio de las Series Alternantes): Sea la serie alterna
donde an > 0 y
1n
n
1n a)1( ,
Znaa n1n . Si 0alim n
n
, la Serie alternante es Convergente.
CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL
DEFINICIÓN: La serie infinita es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE (AC), si
la serie
1n
na
1n
na (Serie Modular Asociada) es Convergente. Si la Serie dada es
Convergente y su modular asociada es Divergente, se dice que la serie esCONDICIONALMENTE CONVERGENTE (CC).
TEOREMA: Si la Serie Infinita es AC, Converge y
1n
na
1n
n
1n
n aa .
TEOREMA (Criterio de la Razón): Sea la serie infinita para la cual toda an es
diferente de cero, y sea
1n
na
La
alim
n
1n
n
, entonces:
i. Si L < 1 la serie es Absolutamente Convergente.
ii. Si L > 1 ó si L = + la serie es Divergente.
iii. Si L = 1 No hay decisión sobre la Convergencia.
TEOREMA (Criterio de Raabe): Sea la serie infinita para la cual toda an es
diferente de cero, y sea
1n
na
La
a1nlimn
1nn
, entonces:
i. Si L > 1 la serie es Absolutamente Convergente.
ii. Si L < 1 Divergente.
iii. Si L = 1 Falla el Criterio.
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Sucesiones y Series Infinitas 5
Realizada por : Ing. David A. González Barquisimeto, Mayo de 2010
TEOREMA (Prueba de la Raíz): Sea la serie infinita para la cual toda an es
diferente de cero, y sea
1n
na
Lalim nn
n
, entonces:
i. Si L < 1 la serie es Absolutamente Convergente.
ii. Si L > 1 ó si L = + la serie es Divergente.
iii. Si L = 1 Falla el Criterio.
SERIES DE POTENCIA
NOTACIÓN: Usamos la notación para representar la serie. Cuando a = 0,
se convierte en una serie de potencia en x:
0n
n
n )ax(C
n
n
2
210
n
n
xCxCxCCxC
CRITERIOS DE SERIES DE POTENCIA
TEOREMA: Si la serie de potencia es convergente para x = x1 (x1 0),
entonces es Absolutamente Convergente para todos los valores de x para los cuales
0n
n
n xC
1xx .
TEOREMA: Si la serie de potencia es divergente para x = x2, entonces es
Divergente para todos los valores de x para los cuales
0n
n
n xC
2xx .
TEOREMA: Sea una serie de potencias. Exactamente una de las condiciones
siguientes se cumple:
0n
n
n xC
i. La serie converge solamente cuando x = 0
ii. La serie es Absolutamente Convergente para toda x.
iii. Existe un número R > 0 tal que la serie es absolutamente convergente para todos
los valores de x para los cuales Rx y es Divergente para todos los valores de
x para los cuales Rx .
NOTA: Hay que estudiar la serie de potencia en los extremos, para determinar laconvergencia y definir bien el intervalo.
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Sucesiones y Series Infinitas 6
Realizada por : Ing. David A. González Barquisimeto, Mayo de 2010
TEOREMA (Criterio de la Razón para Series de Potencia): Sea la serie infinita
para la cual toda an es diferente de cero, y sea
1n
na
La
alim
n
1n
n
, entonces:
i. Si L = 0, la serie es Absolutamente Convergente para toda x R.
ii. Si L = + (Excepto en x = 0 ó x = a) Converge sólo cuando x = 0 ó x = a. Rc = 0.
iii. Si L 0 ó L +, Entonces se toma L<1 para x1 < x < x2 la serie será
Absolutamente Convergente. Para x (x1, x2)2
xxR 12
c
DESARROLLO DE SERIES DE POTENCIA
TEOREMA (Series Geométricas de Potencias): Dada la funciónbx
a)x(f se
verifica que su desarrollo en series de potencia:
i. Centrada en x = 0 es: 0bx,bx
a
0n
n
b
x
b
a
ii. Centrada en x = c es: 0cbcx,bx
a
0n
n
cb
cx
cb
a
DIFERENCIACIÓN DE SERIES DE POTENCIASTEOREMA: Sea una serie de potencias cuyo Radio de Convergencia es R > 0.
Entonces si f es la función definida por , f’(x) existe para toda x en el
intervalo abierto (-R, R) y está dada por
0n
nn xC
0n
n
n xC)x(f
0n
nn xnC)x( 1f .
INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS
TEOREMA: Sea una serie de potencias cuyo Radio de Convergencia es R > 0.
Entonces si f es la función definida por , f(x) es integrable en todo
subintervalo cerrado de (-R, R), entonces
0n
nn xC
0n
n
n xC)x(f
0n
nx
1n
Cdt)t(f 1n
0x con Radio de C. = R.
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Sucesiones y Series Infinitas 7
Realizada por : Ing. David A. González Barquisimeto, Mayo de 2010
SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN
FÓRMULA DE TAYLOR:
n)n(
2
0n
n)n(
)ax(
!n
)a(f )ax(
!2
)a(''f )ax()a('f )a(f )ax(
!n
)a(f
FÓRMULA DE MACLAURIN:
n)n(
2
0n
n)n(
x!n
)0(f x
!2
)0(''f x)0('f )0(f )x(
!n
)0(f
SERIES NOTABLES
SERIES HIPERARMÓNICAS:
1Npn
1 SERIES GEOMÉTRICAS:
1N
1nr a
1n32
1N
1n r r r r 1ar a
Si r < 1, entonces le Serie Converge
a
Si p > 1, entonces la serie Converge.
Si p 1, entonces la serie Diverge.
En particular:
1N n
1 (Serie Armónica)
es Divergente. r 1
aS
r 1
)r 1(a n
nS
Si r 1, entonces le Serie Diverge
SERIES TELESCÓPICAS:
1N
)1n(b)n(b
)1n(b)n(bn nn
Slim
1nnn bba
1n
na
nn
1
1n
n blimLdondeLba
Donde a y Sn = b(1) – b(n+1) Convergen si existe.
TEOREMA (Series Telescópicas): Sean {an} y {bn} dos sucesiones tales que:
para toda x Z+. Entonces la serie converge si y sólo si la
sucesión {bn} converge y en este caso se tiene:
NOTA: Para aplicar este teorema se ha de considerar aquellas series tales
que cada término se pueda expresar como diferencia de la forma: a .
1n
na
1nnn bb
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Sucesiones y Series Infinitas 10
Realizada por : Ing. David A. González Barquisimeto, Mayo de 2010
4) Determine si la serie es Absolutamente Convergente, CondicionalmenteConvergente o Divergente:
.C.C:.spRen1
n)1()a
1n2
1n
.C.C:.spRe
)1n(n
1)1()b
1n
1n
.C. A:.spRe!n
2)1()c
1n
n1n
.C.C:.spRe1n
1)1()d
1n2
n
5) Encuentre el intervalo de convergencia para la Serie de Potencias dada:
)1,1(:.spRexn)a1n
n
)1,1(:.spRex)1n()b1n
1n2
)1,1[:.spRen
x
)c 1n
n
21
)2,2(:.spRe
2
x)1()d
1nn
nn
]3,1[:.spRe)1n(
)2x()e
1n2
1n
)2,16(:.spRe
3
)7x(n)f
1nn2
n2
6) Encuentre la representación en serie de potencias de f(x) y especifique el radiode convergencia y su intervalo:
2)1n(
1)x(f )a
x
0
2 dt)t1ln()x(f )b2)1n(
x)x(f )c
x23
1)x(f )d
x
0dt)t1ln()x(f )e
7) En los siguientes ejercicios obtenga los cuatro primeros elementos de lasucesión de sumas parciales {Sn} y obtenga una fórmula para Sn en términos den. Determine también si la serie infinita es Convergente o Divergente. Si esconvergente, obtenga su suma:
2
1
1n
S:.spRe)1n4()3n4(
2)a
Diverge:.spRen)b
1n
4
1
1n2
S:.spRe1n
1)c
1S:.spRenn
n1n)d
1n2
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