TEMA 3: Sucesiones y Series - y series sucesiones numricas series numricas series numricas de trminos positivos series alternadas series de trminos arbitrarios

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  • SUCESIONES Y SERIES

    TEMA 3: Sucesiones y Series

    Clculo para los Grados en Ingeniera

    EPIG - UNIOVI

    Curso 2010-2011

    Tema 3

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    SUCESIONES NUMRICASSERIES NUMRICASSERIES NUMRICAS DE TRMINOS POSITIVOSSERIES ALTERNADASSERIES DE TRMINOS ARBITRARIOSSERIES DE POTENCIASDESARROLLO de una FUNCIN en SERIE de POTENCIAS

    Deniciones

    SucesinUna sucesin de nmeros reales es una aplicacin a : N ! R.Si para cada n 2 N, a(n) = an , la sucesin a ser representadapor (an)n2N, o simplemente (an) .

    0

    a1 a2 a5a3a4

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    Ejemplos

    a) Se llama progresin aritmtica a la sucesin donde cada trmino seobtiene sumndole al anterior una cantidad constante d llamada distancia

    a1, a1 + d , a1 + 2d , . . . , a1 + (n 1)d , . . .

    an = a1 + (n 1)d ; sn =a1 + an2

    n

    b) Se llama progresin geomtrica a la sucesin donde cada trmino seobtiene multiplicando al anterior por una cantidad constante r llamadarazn

    a1, a1 r , a1 r2, . . . , a1 rn1, . . .

    an = a1 rn1; sn =a1 an r1 r

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    Lmite de una sucesin

    Se dice que l es lmite de la sucesin (an) y se representa

    limn!

    an = l o an ! l

    si

    8 > 0, 9N0 () tal que 8n > N0 ) jan l j <

    l

    a1 a2a3a4

    l l+

    a (n>Nn 0)

    Las sucesiones se clasican en: convergentes (con lmite nito), diver-gentes (con lmite innito) y oscilantes (cuando no existe lmite).

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    Subsucesin

    I Denicin

    Una sucesin (n), se dice que est contenida en la sucesin(n), o tambin que es una subsucesin de (n), si todos lostrminos de la sucesin (n) guran en los de (n) .

    I Proposicin

    Si una sucesin tiene lmite l , nito o no, todas sus subsucesionestienen tambin lmite l .

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    Propiedades de los lmites de sucesiones

    I Operaciones con lmites

    Sean (an) y (bn) dos sucesiones convergentes a los lmites a yb, respectivamente y 2 R. Entonces

    i) an ! aii) (an bn) ! a biii) (anbn) ! ab

    iv)anbn

    ! a

    b(si bn , b 6= 0)

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    Propiedades de los lmites de sucesionesI Sea f una de las siguientes funciones

    potencial: f (x) = xk raz: f (x) = x1/p , p 2 Nexponencial: f (x) = ax logaritmo: f (x) = loga(x), a > 0

    seno: f (x) = sen x coseno: f (x) = cos x

    Se verica que

    si an ! l entonces f (an)! f (l)

    I Potenciales-exponenciales

    Si (an) y (bn) son dos sucesiones convergentes a los lmites a yb, respectivamente y a > 0, entonces

    (an)bn ! ab

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    IndeterminacionesI Innitsimos e innitos

    Llamaremos sucesin innitsima o innitsimo a toda sucesincuyo lmite es cero

    limn!

    an = 0

    y llamaremos innito a toda sucesin divergente

    limn!

    An =

    I Casos de Indeterminacin

    0

    00

    1 0 00

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    Resolucin de Indeterminaciones

    I Sucesiones equivalentes

    Se dice que dos sucesiones (an) y (bn) son equivalentes si

    limn!

    anbn= 1

    y lo representaremos por an bn .

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    Resolucin de Indeterminaciones

    I Principio de sustitucin

    Sean (an),(bn), (cn) tres sucesiones de nmeros reales.Si an bn , entonces:i) Si existe lim

    n!ancn , tambin existe limn!

    bncn y adems

    limn!

    ancn = limn!bncn

    ii) Si existe limn!

    cnan , tambin existe limn!

    cnbny adems

    limn!

    cnan= limn!

    cnbn

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    sen an an tg anarc sen an an arc tg an

    1 cos an a2n2

    ln (1+ an) anean 1 an

    (1+ an) 1 an

    Tabla 1. Innitsimos equivalentescuando (an)! 0.

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    n! ennnp2n (Frmula de Stirling)

    a0np + a1np1 + . . . a0np

    lna0np + a1np1 + . . .

    ln np , (a0 > 0)

    Tabla 2. Innitos equivalentescuando (n)! .

    ln n np an n! nn

    Tabla 3. Jerarqua de Innitos.

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    Resolucin de Indeterminaciones

    1) Lmites de la formay00

    El principio de sustitucin y la jerarqua de innitos nos va a facilitar enmuchos casos el clculo de lmites de sucesiones cuyo clculo realizado deotro modo podra resultar muy laborioso.

    2) Lmites de la forma 0 Los lmites de la forma producto an bn siempre pueden ponerse en formade cociente sun ms que escribir

    an bn =an1/bn

    =bn1/an

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    Resolucin de Indeterminaciones3) Lmites de la forma El clculo del lmite de alguna sucesin cuyo trmino general es de estaforma indeterminada, suele facilitarse multiplicando y dividiendo por ex-presiones convenientes o bien escribindolo de esta forma

    an bn = an1 bn

    an

    4) Lmites de la forma (an)

    bn

    En las indeterminaciones que provienen de la forma (an)bn , esto es 0, 00

    y 1, se puede utilizar la tcnica siguiente, consistente en tomar logaritmos:

    L = limn!

    (an)bn ) ln L = ln lim

    n!(an)

    bn

    ln L = limn!

    bn ln an ) L = elimn!

    bn ln an

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    Otras propiedades

    I Criterio de Stolz

    Sean (an) y (bn) dos sucesiones tales que

    i) (bn) es una sucesin montona divergente o bien

    ii) an ! 0, bn ! 0 y (bn) es montona

    Se cumple que

    si existe el limn!

    an an1bn bn1

    , entonces limn!

    anbn= limn!

    an an1bn bn1

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    Otras propiedades

    I Lmites de la razn y de la raz

    Para toda sucesin (an) de nmeros positivos se verica que si

    limn!

    an+1an

    = l ) limn!

    npan = l

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    DenicinI Serie de nmeros reales

    Dada una sucesin de nmeros reales (an), se considera la nuevasucesin (Sn)

    Sn = a1 + a2 + . . .+ an =n

    k=1

    ak

    Al par ordenado de sucesiones ((an) , (Sn)) se le llama serie denmeros reales.

    I La serie ((an) , (Sn)) se representa por

    n=1

    an

    y la sucesin (Sn) se denomina sucesin de sumas parciales de laserie.

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    Denicin

    I Carcter de una serie

    Se dice que una serien=1

    an es convergente, divergente u os-

    cilante si la sucesin de sus sumas parciales (Sn) es convergente,divergente u oscilante.

    I Proposicin

    El carcter de una serie no cambia si se suprimen, en la misma,un nmero nito de trminos.

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