Titolo Precorso di Matematica. UGUALI ? Rettangoli uguali ?

titolo

Precorso di Matematica

UGUALI ?

Rettangoli uguali ?

Sig. ROSSI

Sig. NERI

A

B

A B=

Axè elemento di appartiene a

implica

sono un’unico insieme !

Bx

Bx Ax

A B=

Ax

Sig. ROSSI

Sig. NERI

A

BBA

COME INSIEMI DI PUNTI

UGUALI UGUALI COME FIGURECOME FIGURE

GEOMETRICHE GEOMETRICHE

unica figura geometricaunica figura geometrica

B C

A

AB = ACisoscele

PP QQ PP QQ

AB AC

come figure geometriche

come insiemi

Triangolo isoscele

A = B

Concetto di uguaglianza

A = B

A = B

B A

A B

B A

B A unico

oggetto

A = B C C

x + a = b a) a)

x = b a

Somma ai due membri

A = B

bxa

C C

a1

a1

ab

x

Prodotto ai due membri

a + x = b x = b a

a x = b x = b/a

equazioni algebriche di primo grado

Equazioni di primo grado

a + x > b x > b a

a x > b

disequazioni algebriche di primo grado

a/bx0a

a/bx0a

Disequazioni di primo grado

NNNUMERI NATURALI

0 1 2 3 4 5 ...{ } , , , , , ,

Numeri naturali

ZZ NUMERI INTERI

0 1 -1 2 -2 3 -3 4 - 4 5 -5 ...{ }

Numeri interi relativi

NN ZZE’ CONTENUTO INE’ SOTTOINSIEME DI

inclusione

ZZmn )m(n

l’operazione di SOTTRAZIONE si riconduce a

quella diADDIZIONE

Sottrazione come addizione

QQ NUMERI RAZIONALI

ab

: a , b Z , b 0 { }

Numeri razionali

ZZ QQNN

Inclusioni numeriche

121

ab b = 12

a = 1

QQ

Calcoli con le frazioni

125

ab b = 12

a = 5

QQ

ab b = 24

a = 10

2410

nbna

ba

QQ

ba

dc?

41

43

43

65

?66

44

43

65

33

22

12

minimo comune

denominatore

Minimo comun denominatore

dbbcda

43

65

644563

+

242018

24381219

Somma di due frazioni

43

65

+12

12

minimo comune denominatore

33 2519

ba

dc

dbca

0ba

x x1

ab

baab

ab

0a

ba 1

Prodotto di due frazioni

y1

xyx

0yQy,x l’operazione di

DIVISIONE si riconduce a quella di

MOLTIPLICAZIONE

Divisione come moltiplicazione

QQ ++caba)cb(a

proprietà distributiva

)dc()ba( d)ba(c)ba(

dbdacbca

Proprietà distributiva

abaa

QQ ++caba)cb(a

proprietà distributiva

bbba )ba()ba(

22 ba )ba)(ba(

Prodotti notevoli

QQ ++caba)cb(a

proprietà distributiva

)ba()ba( bbbaabaa22 bab2a 2)ba(

Quadrato del binomio

OO UU

0 1 2 3-1-2

RR NUMERI NUMERI REALIREALIQQ

2

Numeri reali

2 QQnon appartiene a

2ba 2

ba 2

2

2

b

a

22 b2a

il fattore 2 compare un numero pari

di volte

ASSURDO !

il fattore 2 compare un

numero pari di volte

il fattore 2 compare un

numero dispari di volte.

Irrazionalità della radice di 2

2 QQRRQQ

x QQRRx

IRRAZIONALE

infiniteinfinite cifre dopo la virgolacifre dopo la virgola

non periodichenon periodiche

3,031

Numeri irrazionali

APPROSSIMAZIONE PER TRONCAMENTOAPPROSSIMAZIONE PER TRONCAMENTO

2 1.414213562

1.41 10= 31.05926159

2 10

= 25= 32PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

!!Propagazione degli errori

a x2 + b x + c = 0

equazioni algebriche di secondo grado

0a

0ac

xab

xa 2

xa2

b2x2

2

2

a4

b 0ac

a4

b2

2

Equazioni di secondo grado

xa2

b2x2

2

2

a4

b 0ac

a4

b2

2

ac

a4

ba2

bx 2

22

ac

a4

ba2

bx 2

2

2

2

a4

ac4ba2b

x

a2

ac4bbx

2

discriminante

discriminante

FORMULA RIDOTTA

a x2 + 2k x + c = 0

a2

ac4k4k2x

2

a2

ack2k2 2 a

ackk 2

se b è un intero pari: b = 2 k

a x2 + b x + c = 0

Formula ridotta

a2

bx

a2a2b

a2a2b

x1

a2a2b

x2

Radici dell’equazione

a2a2b

x1

a2a2b

x2

a2b

2xx 21

ab

2

2

2

2

21 a4

ac4b

a4

bxx

2a4

ac4ac

ab

xx 21 ac

xx 21

Somma e prodotto delle radici

ab

xx 21 ac

xx 21

)xx)(xx(a 21

)xxxxxxx(a 21212

)xxx)xx(x(a 21212

ac

xab

xa 2

cxbxa 2

)xx)(xx(a

cxbxa

21

2

Fattorizzazione

)xx)(xx( 21

0cxbxa 2 )xx)(xx(a 21

disequazioni algebriche di secondo grado

0

21 xxxx oppure per positivo

1x 2xa > 0

segno di

21 xxx per negativo

stesso segno di a per valori esterni

segno opposto ad a per valori interni

Disequazioni di secondo grado

)xx)(xx( 21 a < 0 1x 2x

0cxbxa 2 )xx)(xx(a 21 0

segno di

21 xxxx oppure per negativo

21 xxx per positivo

stesso segno di a per valori esterni

segno opposto ad a per valori interni

opposto di

Radici reali e distinte

2o )xx(a

disequazioni algebriche di secondo grado

21 xx oxoxa > 0a < 0

0cxbxa 2 0

segno di

stesso segno di a per ogni oxx

disequazioni algebriche di secondo grado

a > 0a < 0

0cxbxa 2 0

segno di

stesso segno di a per ogni Rx

Nessuna radice reale

01x3x2 2 Esercizio

a2

ac4bbx

2

4

893x

413

1x

2/1x

2

1

1

a > 0

1x2/1x oppure2

1

02x3x2 2 Esercizio

a2

ac4bbx

2

4

1693x

0

a > 0

x di valore qualunque

Altro esercizio

Introduzione all’intersezione

A B

BA

BxeAx|x:BA

A BINTERSEZIONE

Definizione di intersezione

Esempio di intersezione

Concorso per Ricercatore Universitario

Art. 1Possono partecipare coloro che sono in possesso della Laurea in Scienze Ambientali e che, alla scadenza delle domande, non hanno ancora compiuto i trenta anni di età.

BA

ABlaureati

in Scienze

Ambientali

non ancora

trentenni

potenziali concorrenti

Esercizio

3|5x2|

35x2 A3)5x2( 35x2 B

2x2 1x [1,]

8x2 4x [,4]

BAS [1,4]

Esercizio con l’intersezione

x y = 0 x = 0oppure

y = 0

x

y

S ={ asse x , asse y }

Introduzione all’unione

A B

BxoppureAx|x:BA

BABA

UNIONE

Definizione di unione

Esempio di unione

Concorso per Ricercatore Universitario

Art. 1 Possono partecipare coloro che sono in possesso della Laurea in Scienze Ambientali o di quella in Scienze Biologiche.

laureati in

Scienze Ambientali

A BlaureatiIn

Scienze Biologiche

BA

potenziali concorrenti

)BA(#)B(#)A(#)BA(#

Esercizio

03x2x

03x

02xA

B

[,3]

[2,]

BAS [,3][2,]

03x

02x

3x

2x

3x

2x

Tutto R tranne l’intervallo ]3,2[]3,2[R

Esercizio con l’unione

A B

BA

BxeAx|x:BA

DIFFERENZA

Differenza di due insiemi

A

U

complementare

AU:A C

C A

COMPLEMENTARE

E S I T I DISPARI

PARI

LANCIO DI UN DADOLANCIO DI UN DADO

DISPARI = C ( PARI ) DISPARI = C ( PARI )

Introduzione alla probabilità

spazio campionario

A

P() = 1 P() = 1

probabilità

B

)BA(P)B(P)A(P)BA(P )BA(P)B(P)A(P)BA(P

LANCIO DI UN DADOLANCIO DI UN DADO

A

B62

63

)BA(P 62

63

)BA(P 64

61

64

61

spazio campionario

A

P(C A) = 1 P(A ) P(C A) = 1 P(A )

C A

)AA(P)A(P)A(P CC )AA(P)A(P)A(P CC 1)(P 1)(P

BA

A B

AC

A B

)BA( C

BA

AC BC

)B()A()BA( CCC

AC

BC

)B()A( CC

)BA( C

BA)B()A()BA( CCC

)B()A()BA( CCC leggi di DE MORGAN

Leggi di De Moargan

Regole di calcolo

uu

2tt 2vv

RR

4a3a

funzione

x)x(g

2x)x(h 2x)x(h

stessa funzione

4x3)x(f

)x(fx

dubbi nei calcolidubbi nei calcoli

vuvu

vuvu 222

vsinusin)vusin(

)v(f)u(f)vu(f

??????

Dubbi nei calcoli

)v(f)u(f)vu(f

)1(f:a

)11(f)2(f )1(f)1(f 2aaa

xa)x(f forma lineare

)111(f)3(f )1(f)1(f)1(f 3a

Conservazione delle somme

)v(f)u(f)vu(f

)1(f:a

)11(f)2(f )1(f)1(f 2aaa

xa)x(f

)111(f)3(f )1(f)1(f)1(f 3a

trasformazione di somme in prodotti

vuvu aaa

xa)x(f

)v(f)u(f)vu(f

)v(f

)u(f)vu(f

v

uvu

a

aa

xx

a

1a

1a0

)x(f

1)x(f

xx aa )x(f

1)0(f

)x(f

n

n

1

a

n

m

a

nn

1

aa

n mn

m

aa

deve essere : a > 0

xx aa

n

n

aa

n mn

1m aa

nn

1

a

Esercizio sulle radici

53 44

53 44 5

1

3

1

44

Esprimere mediante un’unica radice il numero:

Esercizio

5

1

3

1

4

15

8

415 84

0a,a R 1a xa a:)x(exp

funzione esponenziale di base a

Funzioni esponenziali

RR:f

RR :f 1

xexp)x(f a

xlog)x(f a1

logaritmo di x

in base a

x)x(ff 1

xa xloga

xxlogf a

2100log10

31000log10

15.0log2

2

12log4

xa xloga

vuvu aaa

v

uvu

a

aa

xx aa

vlogulog)vu(log aaa

vlogulogv

ulog aaa

xlog)x(log aa

xa)x(f xlog)x(f a1

Regole dei logaritmi

( R , + ) ( R+ , ) exp

log

R

x

xa)x(f

R

x

xa)x(f)v(f)u(f)vu(f )v(f)u(f)vu(f

Rx

x)x(f a

Rx

x)x(f a)v(f)u(f)vu(f )v(f)u(f)vu(f

Conservazione dei prodotti

Tabella 4.1

Pagina 308

Scrivere un’equazione di secondo grado con soluzioni: 3 e 5

0)5x)(3x(

015x5x3x2 015x8x2

1

15164x

514

314

1

14x

Scrivere una disequazione di secondo grado con insieme soluzione: ] 3 , 5 [

015x8x2

015x8x2

Scrivere una disequazione di secondo grado con insieme soluzione vuoto

015x2

01x2

0001.0x2

63 24

6

1

3

2

22

6

1

3

2

2

6

5

2

6 52 6 32

Fine del precorso

Fine del precorso