View
10
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
TKS 4003 Matematika II
Turunan Parsial (Partial Derivative)
Dr. AZ
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik
Universitas Brawijaya
Derivative Partial
Diketahui z = f(x,y) fungsi dengan dua peubah
(variabel) x dan y, karena x dan y merupakan
variabel bebas (independen) maka :
(i ). x berubah-ubah, sedangkan y tertentu.
(ii). y berubah-ubah, sedangkan x tertentu.
Derivative Partial (lanjutan)
Definisi :
i). Derivatif parsial terhadap peubah x
Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z
merupakan fungsi x , derivatif parsial z = f(x,y)
terhadap x adalah :
x
yxfyxxfyxf
xx
),(),(lim),(
0
Derivative Partial (lanjutan)
ii). Derivatif parsial terhadap perubah y
Jika y berubah-ubah dan x tertentu, maka z
merupakan fungsi y, derivatif parsial z = f(x,y)
terhadap y adalah :
Disebut derivatif parsial z = f(x,y) terhadap y.
y
)y,x(f)yy,x(f
0ylim)y,x(yf
y
z
Contoh
1. Menentukan nilai derivatif menggunakan limit
a. Tentukan derivatif parsial fungsi f terhadap x, jika
f(x,y) = x2 + 2y
Jawab : f(x,y) = x2 + 2y, maka :
x
)y,x()y,xx(lim)y,x(
0xx
fff
x
)y2x()y2)xx((lim
22
0x
)2(lim0
xxx
x2
Contoh (lanjutan)
b. Tentukan derivatif parsial fungsi f terhadap y , jika
f(x,y) = x2 + 2y
Jawab :
y
)y,x()yy,x(lim)y,x(
0Δyy
fff
2
2lim
)2())(2(lim
0Δy
22
0Δy
y
yxyyx
Contoh (lanjutan)
c. Jika z = ln(x2 + y2), tunjukkan bahwa :
Jawab :
Ditentukan terlebih dahulu :
Selanjutnya tentukan nilai :
2y
zy
x
zx
y
zdan
x
z
y
zy
x
zx
Contoh (lanjutan)
z = ln(x2 + y2), derivatif parsial terhadap x dan y :
dan
maka :
22
22
yx
x2
x
)yxln(
x
z
22
22
yx
y2
y
)yxln(
y
z
222
2222
yx
yy
yx
xx
y
zy
x
zx
Derivatif Parsial tingkat n
Jika fungsi z = f(x,y) mempunyai derivatif parsial di setiap titik (x,y) pada suatu daerah, maka : dan merupakan fungsi x dan y yang mungkin juga mempunyai derivatif parsial, yang disebut derivatif parsial tingkat dua. Derivatif parsial tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut :
)y,x(x
zxf
)y,x(
y
zyf
Derivatif Parsial tingkat n (lanjutan)
Contoh
Tentukan derivatif parsial tingkat dua untuk f(x,y) = x2y – 3xy + 2x2y2 Jawab : Derivatif parsial tingkat satu fungsi : fx(x,y) = 2xy – 3y + 4xy2 fy(x,y) = x2 – 3x + 4x2y Jadi derivatif parsial tingkat dua : fxx(x,y) = 2y + 4y2 fyy(x,y) = 4x2 fyx(x,y) = 2x – 3 + 8xy = 2x + 8xy – 3 dan fxy(x,y) = 2x – 3 + 8xy
= 2x + 8xy – 3
Derivative Total
Tinjau kembali fungsi z = f(x,y) x dan y peubah bebas. derivatif parsial fungsi tersebut terhadap x dan y : dan dengan mengambil dx = x dan dy = y diferensial total dari fungsi z dinyatakan dz didefinisikan sebagai berikut :
),( yxfx
zx
)y,x(yf
y
z
dyy
zdx
x
zdz
Diferensial Total n Variabel
1. Jika z = f(x1, x2, ..., xn ), maka :
2. Jika f(x1, x2, …, xn) = c, maka df = 0
catatan x1, x2, ..., xn bukan merupakan variabel
independen.
n
n
dxx
fdx
x
fdx
x
fdz
...2
2
1
1
Contoh
a. Tentukan diferensial total untuk :
r = s2θ + 3sθ2
Jawab :
karena r = s2θ + 3sθ2
maka :
dan
Jadi diferensial total z :
232
s
s
r
ss
r62
dssdssdr
dss
rdr 632 22
Contoh (lanjutan)
b. Tentukan diferensial total untuk :
Jawab :
karena
maka :
dan
Jadi diferensial total z :
22
2
1yx
ez
22
2
1yx
ez
22
2
1yx
xex
z
22
2
1yx
yey
z
22
2
1yx
eyxdyy
zdx
x
zdz
Latihan
1. Tentukan fx(x,y) dan fy(x,y), jika :
a. f(x,y) = x
2y
y
2x
b. f(x,y) = sin (3x + 2y)
c. f(x,y) = arc tan x
y
2. Tentukan derivatif parsial tingkat dua untuk z, jika : a. z = 22 yx
b. z = 2x2 – 5xy + y
2
c. z = yx
xy
3. a. Jika t
wtentukanmakatsytsxdenganxyxw
,,/ln 22
b. Jika ,cos;sinsin;sincos;22 zyxzyxw
2
;;2
saatpada
wtentukanmaka
Terima kasih dan
Semoga Lancar Studinya!
Recommended