Trabajo final calculo

Cálculo ll

Contenido del curso

Martin Eduardo Gonzalez Miranda

Matricula: 131430

Profesor: Carlos López Ruvalcaba

Integrales de Monomios Algebraicos

2. ∫ −𝑥3 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 = −𝑥4

4+ 𝑐

4. ∫ 5𝑥𝑑𝑥 = 5𝑥2

2+ 𝑐

6. ∫ 7𝑥2𝑑𝑥 = 7𝑥3

3+ 𝑐

8. ∫ −5𝑥4𝑑𝑥 = −5𝑥5

5= −𝑥5 + 𝑐

10. ∫3𝑋2

2∫ 𝑥2𝑑𝑥 =

2+ 𝑐

12. ∫– 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = −𝑎𝑥2

2+ 𝑐

14. ∫4𝑎𝑥3

𝑐𝑑𝑥 =

𝑐∫ 𝑥3𝑑𝑥 =

𝑐∗

𝑎𝑥4

𝑐+ 𝑐

16. ∫ 𝑥−2𝑑𝑥 = 𝑥−1

−1+ 𝑐 =

𝑥+ 𝑐

18. ∫ −4𝑥−2𝑑𝑥 = −4 ∫ 𝑥−2𝑑𝑥 = −4 ∗1

𝑥+ 𝑐 =

𝑥+ 𝑐

20. ∫−4𝑥−3

3𝑑𝑥 =

3∫ 𝑥−3𝑑𝑥 =

𝑥2=

3𝑥2+ 𝑐

22. ∫ 2𝑥3

2 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥3

2 𝑑𝑥 =4𝑥

5+ 𝑐

24. ∫1

2𝑑𝑡 =𝑡

3+ 𝑐

26. ∫ 3 √𝑥𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑥1

2 𝑑𝑥 = 2𝑥3

2 + 𝑐

28. ∫ −√𝑥23

2𝑑𝑥 = ∫ −

𝑥23

2𝑑𝑥 = −

3𝑥52

30. ∫𝑑𝑥

𝑥2= ∫ 𝑥−2𝑑𝑥 =

𝑥−1

−1+ 𝑐 = −

𝑥+ 𝑐

32. ∫2𝑑𝑥

𝑥2= ∫ 2𝑥−2 = 2 ∫ 𝑥−2 = −

𝑥+ 𝑐

34. ∫3𝑏𝑑𝑡

𝑡4= ∫ 3𝑏𝑡−4𝑑𝑡 = 3𝑏 ∫ 𝑡−4𝑑𝑡 = −

𝑡3+ 𝑐

36. ∫𝑑𝑢

𝑢12

= ∫ 𝑢−1

2𝑑𝑢 = 2𝑢1

2 + 𝑐

38. 2 ∫3𝑎𝑑𝑦

√𝑦= 2(3𝑎) ∫ 𝑦−

2𝑑𝑦 = 12𝑎𝑦1

2 + 𝑐

40. ∫ −𝑑𝑢

3√𝑢= −

3∫ 𝑢−

2𝑑𝑢 =2

2 + 𝑐

Integrales que conducen a la función logaritmo natural

1. ∫2

𝑥𝑑𝑥 = 2 ∫

𝑑𝑥

𝑥= 2 ln|𝑥| + 𝑐 = ln|𝑥2| + 𝑐

2. ∫ −𝑑𝑥

𝑥= − ln|𝑥| + 𝑐 = ln|𝑥−1| + 𝑐

3. ∫2𝑑𝑥

3𝑥=

𝑑𝑥

𝑥 =

3ln|𝑥| + 𝑐

4. 3 ∫𝑑𝑥

5𝑥=

𝑑𝑥

5ln|𝑥| + 𝑐

5. ∫𝑎𝑑𝑥

𝑥= 𝑎 ln|𝑥| + 𝑐 = ln|𝑥𝑎| + 𝑐

6. −2

6𝑑𝑥

𝑥= −4 ∫

𝑑𝑥

𝑥= −4 ln|𝑥| + 𝑐

7. ∫𝑏2𝑑𝑥

𝑥= 𝑏2 ∫

𝑑𝑥

𝑥= 𝑏2 ln|𝑥| + 𝑐

8. ∫4𝑑𝑟

𝑟= 4 ∫

𝑑𝑟

𝑟= 4 ln|𝑟| + 𝑐

Emplear diferenciales y la grafica de f para aproximar a) f (1.9) y b)

f (2.04).

)04.0(1

04.104.01

)2()04.2(

)1.0(1

9.01.01

)2()9.1(

)0,1(),1,2(

)04.2(

ndxdxxfdy

)1,2()2,0(

)04.2(

98.002.01

02.0)04.0(2

)2()04.2(

)1.0(2

05.15.01)9.1(

)2()9.1(

27.-Area. Se encuentra que la medición del lado de un cuadrado es

igual a 12 pulgadas, con un posible error de 64

1 de pulgada. Usar

diferenciales para aproximar el posible error propagado en el calculo

del area del cuadrado.

29.- Area. Se mide el radio del extremo de un tronco y se encuentra que

es igual a 14 pulgadas, con un posible error de de pulgada. Utilizar

diferenciales para aproximar el posible error propagado en el calculo

del area del extremo del tronco.

errorindv

inindxxdv

1)(12((33

errordv

ininxdxdv

1)(12(22

errorinininxdxda

99.21)4

1)(14(22

31.- Area. La medición del lado de un cuadrado produce un valor igual

a 15 cm, con un posible error de 0.05 cm.

a) Aproximar el error porcentual en el calculo del area del

cuadrado.

b) Estimar el máximo error porcentual permisible en la medición

del lado si el error en el calculo del area no fue mayor de 2.5%

%66.0100.5.2

_15)05.0)(15(22

porcentualError

areaerrorininxdxdx

Máximo error porcentual de lado= 1.25%

%25.1187.0

%10015

1875.030

625.5_

625.5)_)(15(2

625.5)100

%5.2(25.2

100.25.2

ladoerror

Integral de la potencia de una suma

2) ∫ (7x2 – 1)3/2 x dx = 1/2 ∫ (7x2 – 1)3/2 x dx= (1/2)(1/14) ∫(7x2 –

1)3 x dx=1/28 * (7x2 – 1)4/4 = 1/112 *(7x2 – 1)4 + c

4) ∫ x (2+x2) dx = ½ * (2 + x2)2 /2 = ¼ (2 + x2)2 + c

6) ∫(x3 + 2)3 x2 dx = 1/3 * ∫(x3 + 2)3 x2 dx = 1/3 * (x3 + 2)4 /4 = 1/12

* (x3 + 2)4 +c

8) ∫- (4-x)3 2 dx= 2 ∫ -(4-x)3 dx = 2 * (4-x)4/4 = ½ (4-x)4 + c

10) ∫ u √𝟑 − 𝟐𝒖𝟐 du = ∫u * (3- 2u2)1/2 du = -1/4∫ u * (3- 2u2)1/2 du =

-1/4 * (3-2u2)3/2 / 3/2 = -1/6 √(3 − 2𝑢2)3 + c

12) ∫3x dx/ (x2 + 3)2 = ∫ 3x dx * (x2 + 3)-2 = 3/2 ∫ x dx * (x2 + 3)-2 =

3/2 * (x2 + 3)-1/-1 =-3/2 * 1/(x2 + 3) + c

14) ∫ 2x2 dx / √𝒂 + 𝒃𝒙𝟑 = ∫ 2x2 dx * (a + bx3)-1/2 = 2/3b * (a + bx3)1/2/

½ = 4/3b * √𝑎 + 𝑏𝑥3 + c

16) ∫ dv / √𝟏 −𝒗

𝟐 = ∫ dv * (1-v/2)-1/2 = -2 ∫ dv * (1-v/2)-1/2 = -2 * (1-

v/2)1/2/ ½ = -4 * √1 −𝑣

18) ∫x2 + 4x – 10 dx / (x + 2)2 = ∫ x2 +4x -10 dx * (x+2)-2 = x +

14/(x+2) + c

20) ∫ √𝒙𝟒 − 𝒙𝟐 dx = ∫ (x4-x2)1/2 dx = √(𝑥2 − 1)3 / 3 + c

Casos especiales

2) ∫ (4x2-1) 5x dx = 5/8 (4x2-1)2 / 2 = 5/16 (4x2-1)2 + c

Integrales de las funciones exponenciales

2) ∫ 8x/2 * ½ dx = (8x/2 / ln8) + c

4) ∫ -3a5x * 5 dx = (-3a5x / lna) + c

6) ∫ bax^2 x dx = ½ *(bax^2 / lna) +c

8) ∫ 10x^2 + 1 x dx = ½ * (10x^2 + 1 / ln10) + c

10) ∫ dx / 74x = -¼ * 7-4x / ln7 = (-1 / (4*74x * ln7)) + c

12) ∫5e2t dt = ½ * 5e2t / lne = (5e2t / 2) + c

14) ∫ 5eay dy = 1/a * 5eay / lne = (5eay / a) + c

16) ∫𝒆√𝒙 / √𝒙 dx = ∫𝑒√𝑥 * x-1/2 dx = 2 𝑒√𝑥 + c

18) ∫𝒆√𝒙 dx = ∫ ex^1/2 dx = 2 * √𝑒𝑥 + c

20) ∫ (𝟐√𝒙 *𝒆√𝒙) dx / √𝒙 = (2 *( 2𝑒)√𝑥 ) / (ln2 + lne) + c

22) ∫ (e2x + 3)2 dx = ∫e4x^2 + 6e2x + 9 dx = ¼ e4x + 3e2x + 9x + c

24) ∫ (e(x/2) + 4) dx / ex = ∫ e(x/2) dx / ex + ∫ 4 dx / ex = (-2 / √𝑒𝑥 ) – (4

/√𝑒𝑥) + c

Integrales en que intervienen la tangente, cotangente, secante y

cosecante

2) ∫tg x3 x2dx = 1/3 ln |sec x3| +c

4) ∫3 ctg 2x dx = 3/2 ln |sen 2x| + c

6) ∫ ctg √𝒙 dx / √𝒙 = 2 ln |sen √𝑥| + c

8) ∫sec (x2 /3) x dx = 3/2 ln |sec(x2/3) + tg (x2/3)| + c

10) ∫ ax sec ax dx = 1/ lna * ln |sec(ax) + tg(ax)| +c

12) ∫-2 csc (3-2x) dx = ln |csc(3-2x) - ctg(3-2x)| + c

14) ∫sec (x/2) –tg (x/2) dx =∫sec (x/2) dx - ∫tg(x/2) dx =

2 ln |sec(x/2) + tg(x/2)| - 2 ln |sec(x/2)| + c

2) ∫ sen 2x dx / (3 + cos 2x) = -1/2∫ sen 2x dx / (3 + cos 2x) =

-1/2 ln |3 + cos 2x|+ c

4) ∫ csc2 u du / (3-ctg u) = ln |3-ctg u| + c

2) ∫ b dt / ctg(a –bt) = -∫ tg(a- bt) b dt = -ln |sec(a – bt)| + c

4) ∫ a dx / (√𝒙 𝒔𝒆𝒏 √𝒙) = 2a ∫ √𝑥 csc √𝑥 a dx = 2a ln |csc √𝑥 – ctg √𝑥|

6) ∫xex^2 dx / ctg ex^2 = ½ ∫ tg ex^2 xex^2 dx = ½ ln |sec ex^2| + c

Integrales que conducen a las funciones trigonométricas

2) ∫ cos (x/2) dx = 2∫cos(x/2) dx = 2 sen(x/2) + c

4) ∫ cos (1- x2) x dx = -1/2∫cos (1-x2) x dx = -1/2 sen (1-x2) +c

6∫ ∫2/3 sen (a –x/2) dx = (2/3)*(-2) ∫sen (a –x/2) dx =4/3 cos (a-

x/2) +c

8) ∫ csc2 (1- √𝒙) dx / √𝒙 = 2∫ csc2 (1- √𝑥) dx / √𝑥 = 2 ctg (1 - √𝑥) + c

10) ∫ sec e-x tg e-x e-x dx = -Sec e-x + c

Caso especial

2) ∫2 dx / 1 – cos 2x =2 ∫ (dx/ (1-cos 2x)) * ((1+cos 2x) /(1+cos2x))

dx = 2 (1/2) ∫(1 + cos 2x)/(1-cosx)2 = ∫ (1+ cos 2x)/ sen22x =

∫csc22x + ∫ ctg 2x * csc 2x = -ctg 2x – csc 2x + c

4) ∫ 5 dx / (1 – sen 2x) = 5 ∫ dx / (1- sen2x) = 5(1/2) (∫

1+sen2x/(cos22x) ) =5/2 ∫ sec22x dx + 5/2 ∫tg2x * sec 2x dx = 5/2 tg

2x + 5/2 sec2x + c

Integrales de las formas ∫𝒅𝒗

√𝒂𝟐−𝒗𝟐, ∫

𝒅𝒗

√𝒂𝟐+𝒗𝟐, ∫

𝒅𝒗

𝒗√𝒗𝟐−𝒂𝟐

427 xa

axarcsen

xarcsen

Casos Especiales:

Caso 1.-

222 12

xarcsen

221 ua

427 xa

19 2yy

22 cyarc 3sec

23 2xx

arcsen

122 cxarcsen 32

arctg 5

221 au

auarctg

1cauarctg

varcsen

carcsenex

tarcsen

Caso 2.-

Caso 3.-

2352 xx

544 2 xx

954121282

dxdxxxx

2225623

11513 x

arcsen

215112 x

xarctg

5224422

xarctg

22 9392

dxdxxx

arcsenx 3

22 1615161

161161

dxdxxx

cxarcsenx

arctgx 5

1254ln

254254 22222 x

51212129

cxarcsen

5412 21

varctg

222222

cxarctgxx 235129ln9

varcsenva

dvdvvva

222222

arcsenxx

3234 2

Integrales de las formas ∫𝒅𝒗

𝒗𝟐−𝒂𝟐, ∫

𝒅𝒗

𝒂𝟐−𝒗𝟐

2) ʃ x dx / 4x4 – 1 = 1/2 * ʃ x dx / 4x4 – 1=resultado 1/4√3 ln |(𝑥2 −

√3)/(𝑥2 + √3)| + c

4) ʃ2x dx / (25-36x2) = 1/6 * ʃ2x dx / (25-36x2) = (1/6)*(1/10)

ln|(5+6x2)/(5-6x2) = resultado

1/60 * ln|5+6x2 / 5-6x2 | +c

6) ʃdx/3-2x2 = 1/√2 * ʃdx/3-2x2 =resultado √6/ 12 ln |(√3 - √2 𝑥)/

(√3 + √2 𝑥)| + c

2 2 2 2

1 1 6ln

2 5 (x 2 1) 5 1 ( 1) ( 6) 2(

6 1 6ln

1 66) 1 6

dx dx dx x

x x x x x

10) ʃ du / (9-6u-3u2) = -ʃ du/(3u2 + 6u-9) = ʃdu/-(3u2-6u+9) -9 +9 =-

ʃdu/(3u-3)*(u+3) =

resultado= 1/12 ln| (3+u)/(1-u)| + c

12 ʃ(2-3z) dz/ 9-16z2 = ¼ *ʃ2 dz/ (9-16z2) – ¼ *ʃ3z dz /(9-16z2) =

resultado =

1/12 ln| (3+4z)/(3-4z)| + c

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

( 3) ( 3) (x 3) 3

4 5 (x 4 4) 5 4 ( 2) 9

( 2) 1int

1#1 ln 4 5

1int#2 3 3 (3)(

( 2) (3

x x dx vdv dvdx dx dv

x x x x v a v a v a

vdv x dxx x

v a x x

2 3 1 1) ln ln

1 1 1ln 4 5 ln

) 2 3 2 5

resu xl o Ct xdx

Integrales de la forma ∫𝒅𝒗

√𝒗𝟐+𝒂𝟐 𝒐 𝒃𝒊𝒆𝒏 ∫

𝒅𝒗

√𝒗𝟐−𝒂𝟐

2)∫𝑑𝑥

√𝑥2+2𝑥+5= ∫

𝑑𝑥

√(𝑥+1)2+4= 𝑙𝑛|𝑥 + 1 + √(𝑥 + 1)2 + 22| + 𝑐 =

𝑙𝑛|𝑥 + 1 + √(𝑥2 + 2𝑥 + 5)| + 𝑐

V=x+1 a=2 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

4) ∫(2y−1)dy

√2y2+4y+10= ∫

(2y−1)dy

√2(y2+2y+5)=

√2∫

(2y−1)dy

√(y2+2y+1+4)=

√2∫

(2y−1)dy

√(y+1)2+22)=

√2∫

(2y−1)dy

√(y+1)2+22)=

√2∫

((tanθ−1)−1)2secθ2dθ

2secθ=

√2∫(4tanθ − 3)secθdθ =

√2∫(tanθ)secθdθ −

√2∫ secθdθ =

√2secθ −

√2ln|secθ + tanθ| + c =

2√2√(y2+2y+5)

√(y2+2y+5)

2| + c

𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑦+1

√(𝑦+1)2+22 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

√(𝑦+1)2+22 𝑡𝑎𝑛𝜃 =

𝑦+1

2 √(𝑦 + 1)2 + 22 = 2𝑠𝑒𝑐𝜃 2𝑠𝑒𝑐𝜃2𝑑𝜃 = 𝑑𝑦

6) ∫(2𝑥+1)𝑑𝑥

√3𝑥2−5= ∫

(2𝑥+1)𝑑𝑥

√√3𝑥2−√52

= ∫2𝑥𝑑𝑥

√√3𝑥2−√52

+ ∫𝑑𝑥

√√3𝑥2−√52

3√3𝑥2 − 5 +

√3𝑙𝑛|√3𝑥 + √3𝑥2 − 5| + 𝑐

Integrales de la forma∫ √𝒂𝟐 + 𝒗𝟐 𝒅𝒗 Ó ∫ √𝒗𝟐 ± 𝒂𝟐𝒅𝒗

2) ∫ √𝟓 + 𝟑𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝑥

3− 𝑥2 +

6𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 [

] + 𝑐

De la forma ∫ √𝒂𝟐 − 𝒗𝟐𝒅𝒗 ; a= √5

3 , v=x, dv=dx

4) ∫ √𝟑 − 𝟐𝒙 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = (𝑥+1)

2√4 − (𝑥 + 1)2 + 2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 [

(𝑥+1)

2] + 𝑐

De la forma ∫ √𝒗𝟐 ± 𝒂𝟐𝒅𝒗 ; a= 2, v= (x+1), dv=dx

6) ∫ √𝟒𝒙𝟑 − 𝟒𝒙 + 𝟏𝟎 𝒅𝒙 = (𝑥−

2√(𝑥 −

8ln |(𝑥 −

√(𝑥 +1

4| + 𝑐

De la forma ∫ √𝒗𝟐 ± 𝒂𝟐𝒅𝒗 ; a=3

2, v=(𝑥 −

2), dv=dx

Integral de las potencias del seno y/o coseno.

Primer caso.

2) ∫1

2𝑠𝑒𝑛34𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 =

2∫ 𝑠𝑒𝑛34𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 =

4∫ 𝑠𝑒𝑛34𝑥 cos 4𝑥 4𝑑𝑥=

32𝑠𝑒𝑛44𝑥 + 𝑐 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠4𝑥 4𝑑𝑥

4)∫ 𝑠𝑒𝑛5 5𝑥

3 𝑐𝑜𝑠

34𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑠𝑒𝑛5 5𝑥

3 𝑐𝑜𝑠

3 𝑑𝑥 =

5∫ 𝑠𝑒𝑛5 5𝑥

3 𝑐𝑜𝑠

3𝑑𝑥 = (

6) 𝑠𝑒𝑛6 5𝑥

5𝑠𝑒𝑛6 5𝑥

3+ 𝑐

𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠5𝑥

3𝑑𝑥

6)∫1

3𝑐𝑜𝑠2 𝑥

2 𝑠𝑒𝑛

2 𝑑𝑥 =

3∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥

2 𝑠𝑒𝑛

2 𝑑𝑥 =

3∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥

2 (−𝑠𝑒𝑛

2 𝑑𝑥 = (−

3) 𝑐𝑜𝑠3 𝑥

9𝑐𝑜𝑠3 𝑥

2+ 𝑐 𝑑𝑣 = −𝑠𝑒𝑛

8)∫ 𝑐𝑜𝑠(2 − 𝑥) 𝑠𝑒𝑛(2 − 𝑥) 𝑑𝑥 = 1

2𝑐𝑜𝑠2(2 − 𝑥) + 𝑐

𝑑𝑣 = −𝑠𝑒𝑛(2 − 𝑥) − 1𝑑𝑥

= 𝑠𝑒𝑛(2 − 𝑥) 𝑑𝑥

10)∫(−2 tg 3𝑥 + 𝑠𝑒𝑐25𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥)𝑑𝑥 = −2 ∫ 𝑡𝑔3𝑥 +

∫ 𝑠𝑒𝑐25𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 =

3∫ 𝑡𝑔3𝑥 ∙ 3𝑑𝑥 +

5∫ 𝑠𝑒𝑐25𝑥 ∙ 5𝑑𝑥 −

2∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 ∙ 2𝑑𝑥 =

3ln|𝑐𝑜𝑠3𝑥| +

5𝑡𝑔5𝑥 −

4𝑠𝑒𝑛22𝑥 + 𝑐

𝑑𝑣 = 3𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 5𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ∙ 2𝑑𝑥

Segundo caso

2)∫ 𝑠𝑒𝑛3 𝑥

2𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

2𝑠𝑒𝑛

2𝑑𝑥 = ∫ (1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑥

2) 𝑠𝑒𝑛

2𝑑𝑥

=∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥

2𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥

2𝑠𝑒𝑛

2𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛

2𝑑𝑥 −

2 ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥

2(−𝑠𝑒𝑛

2𝑑𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠

3𝑐𝑜𝑠3 𝑥

2+ 𝑐

𝑑𝑣 =1

2𝑑𝑥 𝑑𝑣 = −𝑠𝑒𝑛

2𝑑𝑥

4)∫ 𝑐𝑜𝑠35𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠25𝑥 𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − 𝑠𝑒𝑛25𝑥)𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 =

∫ 𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛25𝑥𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 = 1

5∫ 𝑐𝑜𝑠5𝑥 ∙ 5𝑑𝑥 −

5∫ 𝑠𝑒𝑛25𝑥 𝑐𝑜𝑠5𝑥 ∙

5𝑑𝑥 = 1

5𝑠𝑒𝑛5𝑥 −

𝑑𝑣 = 5𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠5𝑥 ∙ 5𝑑𝑥

6)∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 (1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 −

∫ 𝑠𝑒𝑛4𝑥 𝑑𝑥 = 1

3𝑠𝑒𝑛3𝑥 −

8)∫ 𝑠𝑒𝑛33𝑥 𝑐𝑜𝑠53𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛23𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥𝑐𝑜𝑠53𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 −

𝑐𝑜𝑠23𝑥) 𝑐𝑜𝑠53𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑑𝑥 = 1

3∫ 𝑐𝑜𝑠53𝑥 (−𝑠𝑒𝑛3𝑥)3 𝑑𝑥 −

3∫ 𝑐𝑜𝑠73𝑥 (−𝑠𝑒𝑛3𝑥)3 𝑑𝑥 = −

18𝑐𝑜𝑠63𝑥 +

24𝑐𝑜𝑠83𝑥 + 𝑐

𝑑𝑣 = −𝑠𝑒𝑛3𝑥 ∙ 3𝑑𝑥 𝑑𝑣 = −𝑠𝑒𝑛3𝑥 ∙ 3𝑑𝑥

Tercer caso

2)∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 1

2𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 =

2∫ 𝑑𝑥 +

2∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2𝑑𝑥 =

2𝑥 +

𝑑𝑣 = 2𝑥 ∙ 2𝑑𝑥

4)∫ 𝑠𝑒𝑛4𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (1

2𝑐𝑜𝑠2𝑥)

2𝑑𝑥=∫ (

4− 2

4𝑐𝑜𝑠22𝑥) 𝑑𝑥=

4∫ 𝑑𝑥 −

2∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 +

4∫ 𝑐𝑜𝑠22𝑥 𝑑𝑥 =

4∫ 𝑑𝑥 − (

2) ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2𝑑𝑥 +

∫ (1

8𝑐𝑜𝑠4𝑥) 𝑑𝑥 =

4∫ 𝑑𝑥 − (

2) ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2𝑑𝑥 +

8∫ 𝑑𝑥 +

8𝑥 −

4𝑠𝑒𝑛2𝑥 +

𝑑𝑣 = 2𝑥 ∙ 2𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 4𝑥 ∙ 4𝑑𝑥

Cuarto caso

2)∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (1

2𝑠𝑒𝑛2𝑥)

3𝑑𝑥 = ∫

2𝑠𝑒𝑛2𝑥 (

4𝑠𝑒𝑛22𝑥) 𝑑𝑥

2∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)𝑑𝑥 =

2∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 2𝑑𝑥 −

2∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 (−𝑠𝑒𝑛2𝑥) 2𝑑𝑥 = −

32𝑐𝑜𝑠22𝑥 + 𝑐

𝑑𝑣 = 2𝑥 ∙ 2𝑑𝑥 𝑑𝑣 = (−𝑠𝑒𝑛2𝑥)2𝑑𝑥

Quinto caso

2)∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥

2𝑑𝑥 =∫

2[𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 −

2) + 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 +

2)] 𝑑𝑥 =

2∫ 𝑠𝑒𝑛

2𝑑𝑥 +

2∫ 𝑠𝑒𝑛

2𝑑𝑥 =

5∫ 𝑠𝑒𝑛

2𝑑𝑥 +

7∫ 𝑠𝑒𝑛

2𝑑𝑥 =

5𝑐𝑜𝑠

7𝑐𝑜𝑠

2+ 𝑐

𝑑𝑣 = 5𝑥

2𝑑𝑥 𝑑𝑣 =

2𝑑𝑥

4)∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 = ∫1

2[𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 4𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 4𝑥)] 𝑑𝑥 =

2∫ 𝑐𝑜𝑠(−3𝑥) 𝑑𝑥 +

2∫ 𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 =

3) ∫ 𝑐𝑜𝑠 (−3𝑥) − 3𝑑𝑥 +

6𝑠𝑒𝑛3𝑥 +

𝑑𝑣 = (−3𝑥) − 3𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 5𝑥 ∙ 5 aplicando cos(-A)=cosA

Integrales de las potencias de la tangente y cotangente

∫ 4𝑡𝑎𝑛𝑎𝑏𝑥𝑠𝑒𝑐2𝑎𝑏𝑥𝑑𝑥 = 4

𝑎𝑏

𝑡𝑎𝑛2𝑎𝑏𝑥

𝟐𝒂𝒃𝒕𝒂𝒏𝟐𝒂𝒃𝒙 + 𝒄

𝑣𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑐2𝑎𝑏𝑥

∫𝑐𝑡𝑔√𝑥𝑐𝑠𝑐2√𝑥

√𝑥𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑐𝑡𝑔√𝑥𝑐𝑠𝑐2√𝑥 · (𝑥)−

2 = −2𝑐𝑠𝑐2√𝑥

2 = −𝒄𝒕𝒈𝟐√𝒙 + 𝒄

𝑣𝑑𝑣 = 1

2(𝑥)−

∫ 𝑐𝑡𝑔𝑒2𝑥𝑐𝑠𝑐2𝑒2𝑥𝑒2𝑥 = 1

𝑐𝑡𝑔2𝑒2𝑥

𝟒𝒄𝒕𝒈𝟐𝒆𝟐𝒙 + 𝒄

𝑣𝑑𝑣 = 𝑐𝑠𝑐2𝑒2𝑥2

∫ 𝑡𝑎𝑛32𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥(𝑡𝑎𝑛22𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥(𝑠𝑒𝑐22𝑥 − 1)𝑑𝑥 =

∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥𝑠𝑒𝑐22𝑥𝑑𝑥-∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥𝑑𝑥 = 𝒕𝒂𝒏𝟐𝟐𝒙

𝟒−

𝟐𝐥𝐧|𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙| + 𝒄

∫ 𝑡𝑎𝑛53𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛33𝑥(𝑡𝑎𝑛23𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛33𝑥(𝑠𝑒𝑐23𝑥 − 1)𝑑𝑥 =

∫ 𝑡𝑎𝑛33𝑥𝑠𝑒𝑐23𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑡𝑎𝑛33𝑥𝑑𝑥

− ∫ 𝑡𝑎𝑛33𝑥𝑑𝑥 = − ∫ 𝑡𝑎𝑛3𝑥(𝑠𝑒𝑐23𝑥 − 1)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑡𝑎𝑛3𝑥𝑠𝑒𝑐23𝑥 +

∫ 𝑡𝑎𝑛3𝑥= 𝒕𝒂𝒏𝟒𝟑𝒙

𝟏𝟐−

𝒕𝒂𝒏𝟐𝟑𝒙

𝟔+ 𝐥𝐧|𝒔𝒆𝒄𝟑𝒙| + 𝒄

∫ 𝑐𝑡𝑔6𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑡𝑔4𝑥(𝑐𝑡𝑔2𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑡𝑔𝑥4𝑥(𝑐𝑠𝑐2𝑥 − 1)𝑑𝑥 =

∫ 𝑐𝑡𝑔4𝑥 𝑐𝑠𝑐2𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑡𝑔2𝑥(𝑐𝑠𝑐2𝑥 − 1)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑐𝑡𝑔2𝑥𝑐𝑠𝑐2𝑥𝑑𝑥 +

∫ 𝑐𝑡𝑔2𝑥𝑑𝑥 = −𝒄𝒕𝒈𝟓

𝒄𝒕𝒈𝟑

𝟑− 𝒄𝒕𝒈𝒙 − 𝒙 + 𝒄

∫(𝑡𝑎𝑛𝑥 + 3)𝟐 = ∫ 𝑡𝑎𝑛𝑥𝟐 + 2𝑡𝑎𝑛𝑥3 + 9 = 𝒕𝒂𝒏𝒙 − 𝒙 + 𝟔𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄𝒙| +

𝟗𝒙 + 𝒄

Sustitución trigonometrica

249 xx

dctgsen

cos16 24

sendctg

)2(3 22

cctg |csc|ln3

dxdxtgx

349|ln

722 xx

)7( 222

sec7cos

4cos44

Integración por partes

1.- dxx

xsendxx

2)2)(2(

4.- xdxln dxx

6.- xdxx ln2 dxx

x 2ln1ln

1.- xdxx cos2 xsenxdxsenxx 22

xdxxxsenxx coscos22

xsen 2

cxxx ln

senxdxdv

csenxxxsenxx 2cos22

4.- dxex x22 dxxeex xx 222

dxexeex xxx 2222

1.- arctgxdx

xxarctgx

5.- dxxArcSenx2

dxxxarcsenxx

xarcsenx

6.- xdxSenxSen3

cexeex xxx 2222

cxarcsenxx

arcsenxu

xdxxxxsen 3coscos3cos3

dxxxxxsen 4cos)2cos(2

13cos3

cxsenxsenxxsen 48

senxdxdv

arctgxu

cxxarctgx |1|ln2

Integración por sustitución algebraica

2.- xdxx 9 cmm

dmmmmdmmm3

2922935

1 22css arctan2)(2

4.- 1xe

arctan21

)9(4 32

cex 1arctan2

cxx 35

cx 936393

dpppdx

cxx arctan22

Integración por fracciones parciales

CASO 1

1.- 42x

)2()1()1)(2(´63

12)1)(2(

)1)(2(

zczzbzzzaz

si z=-2 si z=1 si z=0

)2)(2(22

cxxdxx

dx|2|ln

1|2|ln

22)2)(2(

12)1)(2(

|1|ln3|2|ln3||ln3

|1|ln3|2|ln3||ln

)1)(2(|ln3

CASO 2.-

)1(1)1(

)()1()1(18

)1(1)1(

xcxbxxaxx

Si x=0 si x=-1 si x=1

22 )2()2(8 cuubuauau

Si x=-2 si x=0 si x=1

)1(|ln|1|ln||ln

u |2|ln2||ln22

Integración por fracciones parciales

Si x=0 si x= i si x2= -4

)()1)((222 223 dcxxbaxxxx

Si x= 0 x= i si= 1

)2(411

arctgd

arctgxbxa

|4|ln21

)1)(()4)((

41)4)(1(

xdcxxbaxx

14)1(44

baiidb 40

arctgxarctgxx 23

4|4|ln

1||ln 22

)1()1(11

01)4(227

arctgxx

12|1|ln

arctgxx

12|1|ln

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