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dt
dvmxF )(
Trabajo y cinética
dt
dvmxF )(
Entonces:
dt
dx
dx
dvmxF )( Un truco conocido
Trabajo y cinética
dt
dvmxF )(
Entonces:
dt
dx
dx
dvmxF )( v
dx
dvmxF )(o
Trabajo y cinética
dvvmdxxF )( Versión diferencial
Trabajo y cinética
2
1
2
1
)(v
v
x
x
dvvmdxxF
21
2221 2
1
2
1)()( mvmvxUxU
dxxFxUdonde )()(:
dvvmdxxF )( Versión diferencial
Versión integral
Trabajo y cinética
222
211 2
1)(
2
1)( mvxUmvxU
21
2221 2
1
2
1)()( mvmvxUxU
•Hay una función ADITIVA de la velocidad y de la posición (Energía) que permanece constante
•El modulo de la velocidad es una función exclusiva del espacio. Basta saber donde esta una partícula ( y su energía inicial, para conocelo.
•Si recorremos un camino cerrado, cuando volvemos al punto original, nada ha cambiado (es decir la velocidad es la misma, la posición la misma, la física (las fuerzas) la misma y por lo tanto todo se repite, resultando en oscilaciones. En particular, no es demasiado difícil oscilar en un mundo no disipativo. Basta volver a pasar en algún momento por el punto de origen.
(x1,v1)
(x2,v2)
Potencial y cinética: Conservación de su suma
cteCineticaPotencialTUE
Reconciliando viejos y nuevos mundos
2
1
)(x
x
dxxFUxFU Que tiene que ver con
Presupone implícitamente que la fuerza es constante
F(x)
xFU
Si la fuerza es constante
xFxxFdxFUx
x
)( 12
2
1
Reconciliando viejos y nuevos mundos
2
1
)(x
x
dxxFUxFU Que tiene que ver con
332211 xFxFxFU
F(x)
x
F(x)¿Cuál es el valor
de este área en función
de x?
¿Cuánto vale en el limite?
n
x 0
nn xFxFxFxFU ...332211
Reconciliando viejos y nuevos mundos
2
1
)(x
x
dxxFUxFU Que tiene que ver con
x
F(x)
n
x 0nn xFxFxFxFU ...332211
F(x)
N
m
k(N/m)
x
La mitad del área de un rectángulo. Altura*Ancho/2
2
xxk
kx
2
)(22
1
2
1
xkkxdxdxxFU
x
x
x
x
Reconciliando viejos y nuevos mundos
2
1
)(x
x
dxxFUxFU Que tiene que ver con
x
F(x)
nn xFxFxFxFU ...332211
Lnx
n
x
0
n
ii xxF
1
)(
LEYENDO UN POTENCIAL
x
00 Fdx
dU
F
F
00 Fdx
dU
U(x)
F(x)
2
2kxUkxF
G(Superf) = -mg U(x)=???
Resorte = -kx ???)( xU
???E
???E
Dos potenciales conocidos
G(Superf) = -mg U(x)=mgx
Resorte = -kx 2
)(2kx
xU
2
2mvmgxE
22
22 mvkxE
U(x)
U(x)
¿Cuales son las diferencias fundamentales entre estos dos potenciales?
Dos potenciales conocidos
Xeq
¿A que altura llega la bocha?
mg
kdhmgh
kd
22
22
¿Que observablesdependen de alpha?
2
)( 2eqxxk
U(x)
)(senxmg
E
h
)()( senhrsenr
h
r
En un punto dado del espacio, una función no puede más que:
• Tener un máximo. (Equlibrio inestable)
• Tener un mínimo (Equlibrio estable)
• Ser constante. (Punto indiferente)
• Crecer o decrecer (Punto de aceleración)
A partir de una función potencial uno puede LEER el movimiento y conocer en pleno detalle todos sus aspectos cualitativos. Por lo tanto, el problema del movimiento en una dimensión, con fuerzas conservativas esta, esencialmente, resuelto. En lo que sigue extenderemos este problema a un mundo que será mas complejo por:1) La dimensionalidad del espacio (pasar de la línea al plano) lo cual introduce una relación entre la geometría y la dinámica.2) La introducción de fuerzas no conservativas que, veremos, no permiten utilizar una función temporal.
Movimiento genérico en la línea resulta de una yuxtaposición de estos operadores elementales.
El léxico de la dinámica en 1 dimensión
2)( xbxaxF
¿Como es el movimiento si (a y b > 0), si (a < 0 y b > 0), si (a > 0 y b < 0) si (a < 0 y b < 0)?
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canonicas de
movimiento. 2)( xbxaxF
b
a
b=0
?
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canonicas de
movimiento. 2)( xbxaxF
b
a
b=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento. 2)( xbxaxF
b
a
b=0
?
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento. 2)( xbxaxF
b
a
b=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento. 2)( xbxaxF
b
a
b=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento. 2)( xbxaxF
b
a
b=0
?
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento. 2)( xbxaxF
b
a
b=0
x=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento. 2)( xbxaxF
b
a
b=0
x=0x=-a/b
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento. 2)( xbxaxF
b
a
b=0
x=0x=-a/b
?
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento. 2)( xbxaxF
b
a
b=0
x=0x=-a/b
x=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento. 2)( xbxaxF
b
a
b=0
x=0x=-a/b
x=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento. 2)( xbxaxF
b
a
b=0
x=0x=-a/b
x=0
?
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento. 2)( xbxaxF
b
a
b=0
x=0x=-a/b
x=0
x=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento. 2)( xbxaxF
b
a
b=0
x=0x=-a/b
x=0
x=0 x=-a/b
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento. 2)( xbxaxF
b
a
b=0
x=0x=-a/b
x=0
x=0 x=-a/b
?
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento. 2)( xbxaxF
b
a
b=0
x=0x=-a/b
x=0
x=0 x=-a/b
x=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento: Moraleja 1 2)( xbxaxF
b
a
b=0
x=0x=-a/bx=0 x=-a/b
x=0Sistema Lineal, un único
comportamiento: Atractivo (Oscilaciones) o Expulsión
(Divergencia)
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento. Moraleja 2 2)( xbxaxF
b
a
b=0
x=0x=-a/b
x=0
x=0 x=-a/b
x=0
La estabilidad (atractivo o repulsivo) esta dado solo por el
termino
lineal (a).
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento. 2)( xbxaxF
b
a
b=0
x=0x=-a/b
x=0
x=0 x=-a/b
x=0
El comportamiento asintotico depende del termino con
mayor exponente
(b) (en este caso 2) Si
este es par, no todas las soluciones
son
acotadas.
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento. 2)( xbxaxF
b
a
b=0
-5 0 5-40
-30
-20
-10
0
10
-5 0 5-10
0
10
20
30
40
-5 0 5-40
-30
-20
-10
0
10
-5 0 5-10
0
10
20
30
40
F=0
Formas canónicas de movimiento: Una representación correcta y adecuada (entendiendo todo en un “golpe de
ojo”)
2)( xbxaxF
b
a
b=0
-5 0 5-20
0
20
40
-5 0 5-20
0
20
40
-5 0 5-40
-20
0
20
-5 0 5-40
-20
0
20
32)(
32 xbxaxU
)cos()()( xxxsenxF
¿Como es el movimiento en este campo de fuerzas?
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
¿Existen distintos estados “cualitativos” de movimiento?
)cos()()( xxxsenxF
¿Como es el movimiento en este campo de fuerzas?
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
¿Existen distintos estados “cualitativos” de movimiento?
)()( xsenxxU
)cos()()( xxxsenxF
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
)()( xsenxxU
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2
-1
0
1
2
3
4
5
¿Problema resuelto? ¿Encontramos todos los puntos de equlibrio?
)cos()()( xxxsenxF
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
)()( xsenxxU
De hecho este potencial tiene infinitos mínimos (con sus correspondientes barreras)
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
)cos()()( xxxsenxF
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
)()( xsenxxU
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2
-1
0
1
2
3
4
5
¿Que soluciones existen en este rango?
)cos()()( xxxsenxF
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
)()( xsenxxU
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2
-1
0
1
2
3
4
5
¿Que soluciones existen en este rango?
Energía menor que la barrera
Energía mayor que la barrera
)cos()()( xxxsenxF
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
)()( xsenxxU
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2
-1
0
1
2
3
4
5
¿Que soluciones existen en este rango?
Si esta es la posición
inicial, que sabemos de la
energía
)cos()()( xxxsenxF
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
)()( xsenxxU
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2
-1
0
1
2
3
4
5
¿Que soluciones existen en este rango?
La energía es mayor o igual
que el valor de U en xo.
Esto se debe al hecho de que T
nunca es negativa
U(x)
E=U(x)+T > U(x)
)cos()()( xxxsenxF
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
)()( xsenxxU
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2
-1
0
1
2
3
4
5
Cuales son las trayectorias cualitativas de estas dos masas?
UNA VEZ MAS VENTAJA PRACTICA Y CONCRETA En un punto dado del espacio, una función no puede más que:
• Tener un máximo. (Equlibrio inestable)
• Tener un mínimo (Equlibrio estable)
• Ser constante. (Punto indiferente)
• Crecer o decrecer (Punto de aceleración)
A partir de una función potencial uno puede LEER el movimiento y conocer en pleno detalle todos sus aspectos cualitativos. Por lo tanto, el problema del movimiento en una dimensión, con fuerzas conservativas esta, esencialmente, resuelto. En lo que sigue extenderemos este problema a un mundo que será mas complejo por:1) La dimensionalidad del espacio (pasar de la línea al plano) lo cual introduce una relación entre la geometría y la dinámica.2) La introducción de fuerzas no conservativas que, veremos, no permiten utilizar una función temporal.
Movimiento genérico en la línea resulta de una yuxtaposición de estos operadores elementales.
Diferencial de energía en varias (dos) dimensiones. La integral de la fuerza a lo largo de su dirección.
222
2
1
2 yx vmvmmv
T
Diferencial de energía en varias (dos) dimensiones. La integral de la fuerza a lo largo de su dirección.
222
2
1
2 yx vmvmmv
T
dt
vdm
dt
vdmdt
vdm
dt
dT yx)()(
2
1
2
)(22
2
Diferencial de energía en varias (dos) dimensiones. La integral de la fuerza a lo largo de su dirección.
222
2
1
2 yx vmvmmv
T
dt
vdm
dt
vdmdt
vdm
dt
dT yx)()(
2
1
2
)(22
2
yyxxy
yx
x vFvFdt
dvvm
dt
dvvm
dt
dT
Diferencial de energía en varias (dos) dimensiones. La integral de la fuerza a lo largo de su dirección.
222
2
1
2 yx vmvmmv
T
dt
vdm
dt
vdmdt
vdm
dt
dT yx)()(
2
1
2
)(22
2
yyxxy
yx
x vFvFdt
dvvm
dt
dvvm
dt
dT
xdFdyFdxFdtvFdtvFdT yxyyxx
Diferencial de energía en varias (dos) dimensiones. La integral de la fuerza a lo largo de su dirección.
222
2
1
2 yx vmvmmv
T
dt
vdm
dt
vdmdt
vdm
dt
dT yx)()(
2
1
2
)(22
2
yyxxy
yx
x vFvFdt
dvvm
dt
dvvm
dt
dT
xdFdyFdxFdtvFdtvFdT yxyyxx
dvvmdxxF )(O aun reordenando términos:
Diferencial de Trabajo(por definición) y aquí se
adivina la relevancia de esta cantidad.
Diferencial de Energía Cinetica
dvmvvm
d )2( 2
Diferencial de energía en varias (dos) dimensiones. La integral de la fuerza a lo largo de su dirección.
xdF
F
xdFdyFdxFdtvFdtvFdT yxyyxx
ydF
En general se puede resolver el problema en la dirección de movimiento. Esto es trivial (ha de hacerse una sola vez) cuando el movimiento es rectilíneo, independientemente de la dirección de la fuerzs. Cuando el movimiento es curvo el problema es iterativo porque para hacer esta proyección hace falta conocer la trayectoria para la cual hace falta conocer las fuerzas y así siguiendo…
La proyección de la fuerza que contribuye al trabajo (y de hecho, en este caso, al movimiento) porque el plano ejerce una fuerza igual y contraria con lo que todas la fuerzas resultante son paralelas a la dirección de movimiento.En un caso genérico, fuerzas transversales pueden contribuir al movimiento (modificando la dirección, sin realizar trabajo)
Primer manifestación de la direccionalidad: El signo
xdFdyFdxFdtvFdtvFdT yxyyxx
Un “campo” de fuerzas constante
(x1,v1)
(x2,v2)
Trayectoria forzada en un campo constante¿Cuál es el trabajo de esta fuerza?
Primer manifestación de la direccionalidad: El signo
xdFdyFdxFdtvFdtvFdT yxyyxx
Un “campo” de fuerzas constante
(x1,v1)
(x2,v2)
Trayectoria forzada en un campo constante¿Cuál es el trabajo de esta fuerza?
9.0)cos(ˆˆ FsdFFsdF
6.0)cos(ˆˆ FsdFFsdF 8.0)cos(ˆˆ FsdFFsdF
Mapas Escalares: La anatomía de la función abs(xy)
-50 0 50-50
0
50
-50 0 500
1000
2000
3000
-50 0 500
100
200
300
400
-500
50
-500
500
2000
4000
-50 0 50-50
0
50
-50 0 50
-50
0
50
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
1
2
3
4
5
6
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
1
2
3
4
5
6
Imagenes del mapa A lo largo de curvas En coordenadas polares
Gradiente, la dirección (y cantidad de cambio, de una función escalar)
-2-1
01
2
-2
-1
0
1
2-0.5
0
0.5
Mapas Escalares: La anatomía de la función x*exp(r2)
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Dos representaciones equivalentes de las “ternas” (x,y,f(x,y))
Las curvas de nivel, o las direcciones a lo largo de las cuales una función no cambia y aquellas, ortogonales, de máximo cambio.
Inferir la tendencia al cambio a partir de una función potencial
Inferir la tendencia al cambio a partir de una función potencial
Función Potencial y campo gradiente, dos conceptos hermanaos. El gradiente es el vector formado por el valor de cambio (con signo) en cada dirección. Apunta entonces en la dirección donde la función mas crece. La fuerza es inversa al gradiente y cambia el momento (alterando la tendencia a mantener la velocidad constante). Nótese que el momento evoluciona en dirección de los pozos de potencial. Nótese también que el movimiento no converge a los pozos (es decir, no se estaciona en un mínimo) porque la partícula tiene inercia. Un pozo suficientemente profundo “atrapa una particula” que oscila en este pozo.
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