Transformaciones en el Plano Complejo con … · Transformaciones en el plano complejo con...

Universidad Tecnológica Nacional

Facultad Regional Buenos Aires

UDB Matemática

Área de Matemática Aplicada

Laboratorio de Matemática

Transformaciones en el plano complejo con Mathematica

Ing. Alejandro Hayes

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Buenos Aires UDB Matemática

Laboratorio de Matemática Página 1 de 1 Ing. Alejandro Hayes

Índice: 1.Introducción.............................................................................................................................................1 2.Transformaciones Polinómicas...................................................................................................................1 2.1.Transformaciones de Homotecia-Rotacion – Translación ..........................................................................2 2.2. Polinomio de grado mayor.....................................................................................................................3 2.3. Ejercicios Propuestos............................................................................................................................4 3.Transformaciones Racionales....................................................................................................................5 3.1. Transformación Inversión.....................................................................................................................5 3.2.Transformación Homográfica o Bilineal...................................................................................................7 3.3.Otros Ejemplos....................................................................................................................................8 3.4. Ejercicios Propuestos...........................................................................................................................9 4.Transformaciones Trascendentes.............................................................................................................9 4.1.Transformación Exponencial................................................................................................................10 4.2.Transformación Logaritmo...................................................................................................................14 4.3.Ejercicio Propuesto....................................................................................................,........................14 5.Transformaciones Trigonometricas.........................................................................................................14 5.1.Ejercicio Propuesto.............................................................................................................................20 6.Referencias..........................................................................................................................................20

Transformaciones en el plano complejo con Mathemática

1. Introducción Sabemos de la teoría de la Variable compleja que una función de variable compleja es una transformación del plano xy al plano uv donde u y v son campos escalares de x y de y esto es:

),(),()( yxivyxuzf +=

Lo que nos interesa es poder visualizar como se transforma una curva descripta en forma Parametrica por:

txxγ con RDt ⊆∈ en el plano xy en otra dada por

tuuξ con RDt ⊆∈ en el plano uv.

Reemplazando en la expresión de )(zf nos queda:

))(),(())(),(())()(( tytxvitytxutyitxf +=+

)()()( tvitutf +=

Con la aparición del software de calculo y visualización se abren las puertas a poder graficar curvas que de otro modo nos llevarían mucho tiempo de operatoria algebraica o de reemplazo numérico y de graficación. Mathemática cuenta con instrucciones muy útiles para la manipulación de funciones de Variable Compleja .La Tabla 1 muestra algunas de ellas y al mismo tiempo muestra otras instrucciones para la visualización grafica .

ComplexExpand[z] Separa z en parte real e imaginaria asumiendo que todas las variables independientes son reales

Abs[z] Me devuelve el valor absoluto de z Arg[z] Me devuelve el argumento de z en valor principal

Re[z] Me da la parte real de z, pero si z es una expresión simbólica toma a cada variable como compleja.

Im[z] Me da la parte imaginaria de z, pero si z es una expresión simbólica toma a cada variable como compleja.

Conjugate[z] Calcula el complejo conjugado de z con las mismas consideraciones anteriores.

ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,tmax,tmin}] Realiza la grafica en 2D de la curva dada en forma Parametrica por )t(x e )(ty .

Show[p1,p2,...,pn] Muestra la superposicion de los graficos dados como salida de p1,p2,…,pn

2. Transformaciones Polinómicas

Sea ∑=

=→⊆n

kkf zazfCCDf

)(/: vamos a analizar algunos casos particulares:

2.1. Transformación de Homotecia – Rotación – Translación Trabajaremos directamente con un ejemplo pues se supone conocida la teoría. Sea izizfCCf 43)2()(/: −++=→ y queremos ver el conjunto imagen del contorno 4321 γγγγγ ∪∪∪= donde:

xγ veamos como lo hacemos con Mathemática:

P1xy = ParametricPlot@88t, -1<, 8t, 1<, 8-1, t<, 81, t<<, 8t, -2, 2<, AxesLabel ® 8x, y<,

PlotRange ® 88-2, 2<, 8-2, 2<<D;

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2x

Pxy = ParametricPlot@88t, -1<, 8t, 1<, 8-1, t<, 81, t<<, 8t, -1, 1<, AxesLabel ® 8x, y<,

PlotStyle ® Thickness@0.015D, PlotRange ® 88-2, 2<, 8-2, 2<<D;

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2x

Show@P1xy, PxyD;

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2x

z = x+ I y; f@z_D = H2+ IL z + 3 -4 I; u@x_, y_D = ComplexExpand@Re@f@zDDD 3+ 2 x - y v@x_, y_D = ComplexExpand@Im@f@zDDD -4 + x +2 y P1uv = ParametricPlot@88u@t, -1D, v@t, -1D<, 8u@1, tD, v@1, tD<, 8u@t, 1D, v@t, 1D<,8u@-1, tD, v@-1, tD<<, 8t, -2, 2<, AxesLabel ® 8u, v<, PlotRange ® AllD;

-2 2 4 6 8u

Puv = ParametricPlot@88u@t, -1D, v@t, -1D<, 8u@1, tD, v@1, tD<, 8u@t, 1D, v@t, 1D<, 8u@-1, tD, v@-1, tD<<,8t, -1, 1<, AxesLabel ® 8u, v<, PlotRange ® 880, 8<, 8-8, 0<<, PlotStyle ® Thickness@0.01DD;

1 2 3 4 5 6 7 8u

2.2. Polinomio de grado mayor. Veremos un ejemplos de funciones Polinómicas:

Sea 4z3z)z(f/CC:f 2 −+=→ y queremos ver el conjunto imagen del contorno 4321 γγγγγ ∪∪∪= donde:

xγ veamos como lo hacemos con Mathemática:

No hemos incluido la grafica de la region en el plano xy porque ya esta hecha en el ejemplo aterior. z = x+ I y; f@z_D = z^2 + 3 z - 4 ; u@x_, y_D = ComplexExpand@Re@f@zDDD -4 + 3 x +x2 - y2 v@x_, y_D = ComplexExpand@Im@f@zDDD 3 y+ 2 x y P1uv = ParametricPlot@88u@t, -1D, v@t, -1D<, 8u@1, tD, v@1, tD<, 8u@t, 1D, v@t, 1D<,8u@-1, tD, v@-1, tD<<, 8t, -2, 2<, AxesLabel ® 8u, v<, PlotRange ® All, PlotPoints ® 1000D;

-10 -8 -6 -4 -2 2 4u

Puv = ParametricPlot@88u@t, -1D, v@t, -1D<, 8u@1, tD, v@1, tD<, 8u@t, 1D, v@t, 1D<, 8u@-1, tD, v@-1, tD<<,8t, -1, 1<, AxesLabel ® 8u, v<, PlotRange ® All, PlotStyle ® Thickness@0.01D, PlotPoints ® 1000D;

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1u

2.3. Ejercicios propuestos. 1- Aplique la transformación de Homotecia – Rotación – Translación del ejemplo a las curvas descriptas por:

=+γ b) 19

=−γ

2- Considere la transformación polinomica del segundo ejemplo y aplíquela a las regiones del Ejercicio 1. 3- Considere la transformación 3z)i1(z)z(f/CC:f 23 +++=→ y aplíquela a una circunferencia del plano xy

que pase por el origen y tenga radio 1.

3. Transformaciones Racionales Sea

)z(p)z(f/CCD:f f =→⊆ donde )z(p y )z(q son polinomios en z , al igual que en el caso anterior

estudiaremos algunos casos particulares.

3.1. Transformación Inversión Sea

1)z(f/CCD:f f =→⊆ como primer ejemplo vamos a transformar el contorno rectangular de visto en los

ejemplos anteriores. z = x+ I y; f@z_D = 1êz; u@x_, y_D = ComplexExpand@Re@f@zDDD

xAbs@x + ä yD2 v@x_, y_D = ComplexExpand@Im@f@zDDD -

yAbs@x + ä yD2

P1uv = ParametricPlot@88u@t, -1D, v@t, -1D<, 8u@1, tD, v@1, tD<, 8u@t, 1D, v@t, 1D<,8u@-1, tD, v@-1, tD<<, 8t, -200, 200<, AxesLabel ® 8u, v<, PlotRange ® All, PlotPoints ® 1000D;

-1 -0.5 0.5 1u

Puv = ParametricPlot@88u@t, -1D, v@t, -1D<, 8u@1, tD, v@1, tD<, 8u@t, 1D, v@t, 1D<, 8u@-1, tD, v@-1, tD<<,8t, -1, 1<, AxesLabel ® 8u, v<, PlotRange ® All, PlotStyle ® Thickness@0.01D, PlotPoints ® 1000D;

-1 -0.5 0.5 1u

En la teoría se estudio la propiedad de esta transformación cuando actúa sobre circunferencias y sobre todo se vio que aquellas circunferencias que pasan por el origen en el plano xy que constituye un punto singular de la transformación se transforman en rectas que no pasan por el origen en el plano uv. Para ver esto vamos a transformar las circunferencias:

1yx: 22 =+γ 12

−δ veamos como queda cuyas representaciones en forma

Parametrica son: [ )π∈

γ 2,0ttsen)t(y

tcos)t(x: [ )π∈

+=δ 2,0t

2tsen)t(y

2tcos)t(x

z = x+ I y; f@z_D = 1êz; u@x_, y_D = ComplexExpand@Re@f@zDDD xAbs@x + ä yD2 v@x_, y_D = ComplexExpand@Im@f@zDDD -

yAbs@x + ä yD2

P1uv = ParametricPlot@8u@Cos@tD, Sin@tDD, v@Cos@tD, Sin@tDD<, 8t, 0, 2 Pi<, AxesLabel ® 8u, v<,PlotRange ® 88-1.5, 1.5<, 8-1.5, 1.5<<, PlotPoints ® 1000, PlotStyle® Thickness@0.01DD;

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5u

P2uv = ParametricPlot@8u@Sqrt@2D ê2 +Cos@tD, Sqrt@2D ê2 +Sin@tDD,v@Sqrt@2D ê2 +Cos@tD, Sqrt@2D ê2 +Sin@tDD<, 8t, 0, 2 Pi<, AxesLabel ® 8u, v<,PlotRange ® 8-3, 2<, PlotStyle ® Thickness@0.01D, PlotPoints® 1000D;

-2 -1 1 2u

3.2. Transformación Homográfica o bilineal Sea

i54z)i1(

i43z)i2()z(f/CD:f f +−+

++−=→ aplicada a una circunferencia que con centro en el origen, el resultado

que se obtiene es el siguiente. z = x+ I y; f@z_D = HH2- IL z + 3 +4IL ê HH1+ IL z - 4 + 5 IL; u@x_, y_D = ComplexExpand@Re@f@zDDD

8Abs@H-4 +5 äL + H1 + äL Hx +ä yLD2 -

6 xAbs@H-4 + 5 äL + H1+ äL Hx + ä yLD2 +

Abs@H-4 +5 äL + H1 + äL Hx+ ä yLD2 +7 y

Abs@H-4 + 5 äL + H1+ äL Hx + ä yLD2 +y2

Abs@H-4+ 5 äL + H1 + äL Hx + ä yLD2 v@x_, y_D = ComplexExpand@Im@f@zDDD -

31Abs@H-4+ 5 äL + H1 + äL Hx+ ä yLD2 -

5 xAbs@H-4 + 5 äL + H1 + äL Hx + ä yLD2 -

Abs@H-4 +5 äL + H1 + äL Hx+ ä yLD2 -20 y

Abs@H-4 + 5 äL + H1+ äL Hx + ä yLD2 -3 y2

Abs@H-4+ 5 äL + H1 + äL Hx + ä yLD2 P1uv = ParametricPlot@8u@Cos@tD, Sin@tDD, v@Cos@tD, Sin@tDD<, 8t, 0, 2 Pi<, AxesLabel ® 8u, v<,

PlotRange ® 88-0.1, 0.5<, 8-1, 0<<, PlotPoints ® 1000, PlotStyle ® Thickness@0.01DD;

-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5u

3.3. Otros Ejemplos Sea la transformación

z)z(f/C}i,i{C:f

2 +=→−− la aplicaremos a las siguientes curvas en C .

[ )π∈

β 2,0ttsen)t(y

tcos)t(x: 4321 γγγγγ ∪∪∪= con γ el rectángulo de ejemplos anteriores

[ )π∈

λ 2,0ttsen)t(y

tcos2)t(x: 2xy: =χ con 10x10 ≤≤− . Veamos como queda:

z = x+ I y; f@z_D = zê Hz^2+ 1L; u@x_, y_D = ComplexExpand@Re@f@zDDD

Abs@1 + Hx + ä yL2D2 +x3

Abs@1 + Hx+ ä yL2D2 +x y2

Abs@1 + Hx + ä yL2D2 v@x_, y_D = ComplexExpand@Im@f@zDDD

Abs@1 + Hx + ä yL2D2 -x2y

Abs@1 + Hx+ ä yL2D2 -y3

Abs@1 + Hx + ä yL2D2 P1uv = ParametricPlot@8u@Cos@tD, Sin@tDD, v@Cos@tD, Sin@tDD<, 8t, 0, 2 Pi<, AxesLabel ® 8u, v<,

PlotStyle ® Thickness@0.015D, PlotRange ® 8-0.1, 0.1<D;

-3 -2 -1 1 2 3u

-0.075

-0.025

P2uv = ParametricPlot@8u@2 Cos@tD, Sin@tDD, v@2 Cos@tD, Sin@tDD<, 8t, 0, 2Pi<, AxesLabel ® 8u, v<,

PlotStyle ® Thickness@0.01D, PlotPoints ® 1000, PlotRange ® 88-1, 1<, 8-0.2, 0.2<<D;

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1u

P3uv = ParametricPlot@88u@t, -1D, v@t, -1D<, 8u@1, tD, v@1, tD<, 8u@t, 1D, v@t, 1D<,8u@-1, tD, v@-1, tD<<, 8t, -1, 1<, AxesLabel ® 8u, v<, PlotStyle ® Thickness@0.01D,

PlotRange ® 88-1.5, 1.5<, 8-0.3, 0.3<<, PlotPoints ® 1000D;

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5u

P4uv = ParametricPlot@8u@t, t^2D, v@t, t^2D<, 8t, -10, 10<, AxesLabel ® 8u, v<,

PlotStyle ® Thickness@0.01D, PlotPoints ® 100, PlotRange® AllD;

-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6u

3.4. Ejercicios Propuestos

1- Considere la transformación: 6z4z

1z)z(f/CCD:f

+=→⊆ aplíquela a las regiones del punto 3.

2- Considere la transformación 4z

1z)z(f/CCD:f

+=→⊆ aplíquela a las regiones del punto 3.

4. Transformaciones Trascendentes

4.1.Transformación Exponencial Sea ze)z(f/CC:f =→ apliquémosla a las regiones del punto 3.3. z = x+ I y; f@z_D = Exp@zD; u@x_, y_D = ComplexExpand@Re@f@zDDD ãx Cos@yD v@x_, y_D = ComplexExpand@Im@f@zDDD ãx Sin@yD P1uv = ParametricPlot@8u@Cos@tD, Sin@tDD, v@Cos@tD, Sin@tDD<, 8t, 0, 2 Pi<, AxesLabel ® 8u, v<,

PlotStyle ® Thickness@0.01D, PlotPoints ® 1000D;

0.5 1 1.5 2 2.5u

1 2 3 4 5 6 7u

P3uv = ParametricPlot@88u@t, -1D, v@t, -1D<, 8u@1, tD, v@1, tD<, 8u@t, 1D, v@t, 1D<,8u@-1, tD, v@-1, tD<<, 8t, -10, 10<, AxesLabel ® 8u, v<, PlotPoints ® 1000,

PlotRange ® 88-4, 4<, 8-4, 4<<D;

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4u

PlotPoints ® 1000, PlotRange ® 88-4, 4<, 8-4, 4<<D;

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4u

Show@P3uv, P4uvD;

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4u

-100 -50 50 100 150u

4.2. Transformación Logaritmo Sea la transformación zln)z(f/CD:f f =→ apliquémosla a algunas regiones del punto anterior.

z = x+ I y; f@z_D = Log@zD; u@x_, y_D = ComplexExpand@Re@f@zDDD Log@Abs@x+ ä yDD v@x_, y_D = ComplexExpand@Im@f@zDDD Arg@x+ ä yD P1uv = ParametricPlot@8u@2 Cos@tD, Sin@tDD, v@2 Cos@tD, Sin@tDD<, 8t, 0, 2Pi<, AxesLabel ® 8u, v<,

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7u

PlotRange ® 880, 2<, 8-4, 4<<D;

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2u

PlotPoints ® 1000, PlotRange ® 880, 2<, 8-4, 4<<D;

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2u

Show@P2uv, P3uvD;

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2u

PlotStyle ® Thickness@0.01D, PlotPoints ® 100, PlotRange ® AllD;

-5 -2.5 2.5 5 7.5u

4.3. Ejercicio Propuesto Dada la Transformación

2ze)z(f/CC:f =→ aplíquela a una circunferencia de radio unidad con centro en el

origen.

5. Transformaciones Trigonometricas Sean las transformaciones zsen)z(f/CC:f =→ zcos)z(f/CC:f =→ ztg)z(f/CD:f f =→

Apliquémosla algunas de las curvas del punto 4. z = x+ I y; f@z_D = Sin@zD; u@x_, y_D = ComplexExpand@Re@f@zDDD Cosh@yD Sin@xD v@x_, y_D = ComplexExpand@Im@f@zDDD Cos@xD Sinh@yD P1uv = ParametricPlot@8u@Cos@tD, Sin@tDD, v@Cos@tD, Sin@tDD<, 8t, 0, 2 Pi<,

AxesLabel ® 8u, v<, PlotStyle® Thickness@0.01D,PlotPoints ® 1000D;

-0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75u

P2uv = ParametricPlot@8u@ 2 Cos@tD, Sin@tDD, v@2 Cos@tD, Sin@tDD<,8t, 0, 2 Pi<, AxesLabel ® 8u, v<,

-1 -0.5 0.5 1u

P3uv = ParametricPlot@88u@t, -1D, v@t, -1D<, 8u@1, tD, v@1, tD<,8u@t, 1D, v@t, 1D<, 8u@-1, tD, v@-1, tD<<,8t, -10, 10<, AxesLabel ® 8u, v<, PlotPoints ® 1000,

PlotRange ® 88-4, 4<, 8-4, 4<<D;

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4u

P4uv = ParametricPlot@88u@t, -1D, v@t, -1D<, 8u@1, tD, v@1, tD<,8u@t, 1D, v@t, 1D<, 8u@-1, tD, v@-1, tD<<, 8t, -1, 1<,AxesLabel ® 8u, v<, PlotStyle® Thickness@0.01D,PlotPoints ® 1000, PlotRange® 88-4, 4<, 8-4, 4<<D;

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4u

Show@P3uv, P4uvD;

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4u

P5uv = ParametricPlot@8u@t, t^2D, v@t, t^2D<,8t, -5, 5<, AxesLabel ® 8u, v<,

PlotStyle ® Thickness@0.01D, PlotPoints ® 100,

PlotRange ® AllD;

-3´10 10-2´10 10-1´10 10 1´10 102´10 103´10 10u

2´10 9

4´10 9

6´10 9

8´10 9

1´10 10

z = x+ I y; f@z_D = Cos@zD;

u@x_, y_D = ComplexExpand@Re@f@zDDD Cos@xD Cosh@yD v@x_, y_D = ComplexExpand@Im@f@zDDD -Sin@xD Sinh@yD P1uv = ParametricPlot@8u@Cos@tD, Sin@tDD, v@Cos@tD, Sin@tDD<, 8t, 0, 2 Pi<, AxesLabel ® 8u, v<,

0.6 0.8 1.2 1.4u

0.5 1 1.5u

PlotRange ® 88-4, 4<, 8-4, 4<<D;

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4u

P4uv = ParametricPlot@88u@t, -1D, v@t, -1D<, 8u@1, tD, v@1, tD<, 8u@t, 1D, v@t, 1D<,8u@-1, tD, v@-1, tD<<, 8t, -1, 1<, AxesLabel ® 8u, v<, PlotStyle ® Thickness@0.01D,PlotPoints ® 1000, PlotRange ® 88-4, 4<, 8-4, 4<<D;

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4u

Show@P3uv, P4uvD;

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4u

2´10 9 4´10 9 6´10 9 8´10 9 1´10 10u

-3´1010

-2´10 10

-1´10 10

1´10 10

2´10 10

3´10 10

z = x+ I y; f@z_D = Tan@zD; u@x_, y_D = ComplexExpand@Re@f@zDDD

Sin@2 xDCos@2 xD + Cosh@2 yD v@x_, y_D = ComplexExpand@Im@f@zDDD

Sinh@2 yDCos@2 xD + Cosh@2 yD P1uv = ParametricPlot@8u@Cos@tD, Sin@tDD, v@Cos@tD, Sin@tDD<, 8t, 0, 2 Pi<, AxesLabel ® 8u, v<,

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5u

-2 -1 1 2u

PlotRange ® 88-4, 4<, 8-4, 4<<D;

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4u

PlotPoints ® 1000, PlotRange ® 88-4, 4<, 8-4, 4<<D;

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4u

Show@P3uv, P4uvD;

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4u

-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6u

5.1. Ejercicio Propuesto Dada la transformación )1z(sen)z(f/CCD:f 2

f +=→⊆ . Aplicarla a un cuadrado de lado 2, centrado en el

origen de coordenadas.

6. Referencias

[1] Enrique Castillo, Andrés Iglesias, Jose Manuel Gutierrez, Elena Alkvarez, Angel Cobo:’’ Mathematica’’ Paraninfo 1995. [2] David Wunsch: ‘’ Variable Compleja con Aplicaciones Segunda Edicion’’ Addison Wesley 1997

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