TriloByte Statistical Software

TriloByte Statistical SoftwareTriloByte Statistical Software

Qualimetrics:PLS, NN a regresní modely

v řízení kvality

Karel Kupka, TriloByte, Pardubice, Czech Republic

Klasická regrese

X Y y = Xa

Robustní regrese

Predikce senzorického hodnocení plzeňského piva Predikce fyzikálních vlastností materiálů Predikce biologické a biochemické aktivity

Lp – odhady

LTS (least trimmed squares) odhady

LMS (least median of squares) odhady

M – odhady

BIR – odhady (Bounded Influence Regression)

Robustní regrese (1)Regresní přímka

Nejmenší čtverce Robustní M-odhad Welsh

Robustní regrese (2)Regresní polynom

Nejmenší čtverce Robustní BIR-odhad

Robustní regrese (3) Predikce vlastnosti oceli

Nejmenší čtverce Robustní M-odhad Welsh

Redukce dimenze – PCR (1)

ortogonalizace

hlavní komponenty

X Q Y

Snížení dimenzionality úlohy – snadnější interpretace Ortogonalizace maximálně zvyšuje stabilitu řešení Přesnější predikce

Redukce dimenze – PCR (2)

Hlavní komponenty – komprese informace do minima proměnných

Tok dat v QC/Technologii

PLS: Partial Least Squares:relace mezi vícerozměrnými datyNa rozdíl od klasické regrese, v PLS regresních modelech jsou X a Y zaměnitelné – lze tedy korektně predikovat Y z X stejně jako X z Y.

X Y

Metody kvalimetrie, možnosti PLSData vystupující v technologiích jakosti mají téměř vždy vícerozměrný

charakter, protože představují několik hodnot měřených současně nebo na jednom produktu. Metody analyzující taková data jako celek se proto nazývají vícerozměrné. Vycházejí z datových tabulek, které jsou obvykle k dispozici v excelu, nebo databázi. Tyto tabulky obsahují například vlastnosti vstupních surovin a okolností, naměřené, nebo nastavené hodnoty sledovaných veličin v různých fázích výrobního nebo obchodního procesu. Některé veličiny představují parametry jakosti. Nejjednodušší představa zahrnuje tabulky

(a) Vstupních dat (suroviny, zdroje, dodavatelé, vstupní přejímky),

(b) Procesních dat (výrobní podmínky, procesní parametry, mezioperační kontroly),

(c) Výstupních dat (specifikace, parametry kvality produktu, hodnocení odběratele).

X = TP + EY = UQ + F

Metody PLS jsou založené na syntéze principu příbuzném metodě hlavních komponent (PCA) a vícenásobné lineární regrese. Tato matematická metoda je využívána v ekonometrii, chemometrii, biometrii a v poslední době se objevují aplikace v kvalimetrii. Cílem metody je odhalit vztahy mezi vícerozměrnými daty v databázích a využít této znalosti k přibližnému výpočtu hodnot jedné skupiny veličin z druhé.

Metodika a metody PLS

Podstata Metody PLSTabulku naměřených hodnot p veličin (sloupců) s n řádky označme jako matici X(n x p), a odpovídající tabulku se stejným počtem řádků n ale s q veličinami označme Y(n x q), Abychom extrahovali maximum informace z p- a q- rozměrných matic do prostoru s nižší dimenzí k, rozložíme X a Y na ortogonální matice T (n x k) a U (n x k), s koeficienty P a Q

T (n x k), U (n x k), k min(p, q). Zajištění maximální relevance X-komponent pro Y, tyto transformace maximalizují kovariance mezi T a U. Dimenzionalita T a U je typicky menší než X a Y a sloupce T a U jsou ortogonální. To zlepší stabilitu modelu. Šum a irelevantní informace se koncentruje v „popelnicích“ E a F. Je-li k = p, pak E = 0.

Dekompozice U = TB (B je čtvercová diagonální matice) poskytuje nástroj pro predikci Y z X:

Y = TBQ

T se konstruuje z nových dat X. Protože T = XP–, Y = XP–BQ, a tedy P–BQ reprezentuje originální (obecně vychýlené a zkrácené – tedy stabilnější) regresní parametry modelu Y = XA.

X = TP + EY = TR + F

U = TBBQ = R

Kombinací tohoto a předchozích vztahů je zřejmý vztah (vnitřní lineární vazba mezi X a Y.

T = XP-

= +X TP

E

= +Y UQ

F

X YPREDIKCE

Možnosti robustních modifikací PLS

Classical

X0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Robust

y

Robustifikace kovarianční maticeRobustifikace metriky, neeikleudovská geometrie

Na rozdíl od klasické lineární regrese jsou v PLS X a Y rovnocenné, tedy zaměnitelné – je jedno, kterou matici označíme X a kterou Y. Proto lze predikovat Y z X stejně jako X z Y.

Je tedy PLS rovněž často používaným nástrojem pro lineární vícerozměrnou kalibraci.

X

Y

Vícerozměrná kalibrace

Látka 1 Látka 2 Látka 3 Látka 4

Koncentrace 1

Koncentrace 2

Koncentrace 3

Koncentrace 4

… … … …

0.394 0.383 0.351 0.337

… … … …

Chemické složení (koncentrace, pH) Spektrum (absorbance)

Vícerozměrná kalibrace v QI/QPVlhkost Teplota Průtok Tlak

4.48 188 45.2 5.82

… … … …

Surface Quality

Defor mation

Hard ness

Tensile Strength

0.394 0.0383 3.51 17.37

… … … …

Suroviny, technologie, podmínky Parametry produktu

E = X; F = Y

Krok 1. w ~ ETu (odhad X vah)

Krok 2. t ~ Ew (odhad X skórů)

Krok 3. q ~ FTt (odhad Y vah)

Krok 4. u = Fq (odhad Y skórů)

E = E – tT p; F = F – tT b q (oprava E,F)

Zkrácený postup iterativního výpočtu PLS

Některé aplikace billineárních modelů

Technologie: Procesní parametry Fyzikální vlastnostiTechnologie: Procesní parametry Fyzikální vlastnostiProces/chemické složení Sensoric/Quality parametryVstupní faktory Výstupní kval/kvant -itativní vlastnostiProcesní podmínky Výstupní kval/kvant -itativní vlastnosti

Toxicology: Composition/Structure ToxicityHealth: Chemical Structure BioeffectsPollution: Composition Origin/SourcePollution: Composition Human health effectsEnvironment: Environmental factors Species diversity

Jakost -

Řízení jakosti? Zlepšení jakosti? Měření jakosti - Kvantifikace! Porozumění vztahům! Sestavení fungujících modelů. Plánování jakosti.

Aplikace: Vlastnosti hliníkové slitiny

Chemické složení Fyzikální vlastnosti

X Y

Aplikace:Vlastnosti piva

Bi-Plot v PLSDekompozice TP a UQ se dají využít pro konstrukci společného grafuskórů a zátěží Bi-Plot, který umožní omezené posouzení data proměnných pro X i Y.

Bi-Plot v PLSIdentifikace obchodních příležitostí modifikací PLS v produkci piva

Hic Sunt

Leones

Design nového produktu - QP

Požadované vlastnosti, X

Predikované složení, Y

Y = TBQT = XP-

Neuronové sítě

Aplikace NN jako statistického predikčního modelu

Inspirace neuronové sítě

• Jádro• Dendrity-

dostředivé výběžky

• Axon-neurit• Synaptické

přípojky pro předání vzruchu

EM fotografie neuronu

Model neuronu a aktivační funkce

j

ijiji xwTy )*((*

( ) 1 pro x 0

(x) 0 pro x < 0

x

Nejjednodušší aktivační funkce

Rosemblatt 1962 – učící algoritmus PERCEPTRON složený z modelů neuronuve dvou vrstvách (vstupní a výstupní). Vstupní vrstva dostává data z okolí a výstupnívrstva posílá informace ze sítě ven.Každý vstupní neuron je přímo spojen se všemivýstupními (vstupy a výstupy jsou binární –1,1). Perceptron dokáže řešit úlohulineárně oddělitelné klasifikace.

Pro lineárně neoddělitelné klasifikace pomocí perceptronů nefunguje

Některé další typy aktivační funkce

Logistická aktivační funkce

1

1 exp( )n

Jednovrstvá neuronová síť

Vstupní veličina xi je po normalizaci vážena vahou wji a v neuronu transformována aktivační funkcí σj+1, i (z) = 1/(1 + e – z), kde z je lineární kombinace vstupních veličin, zi = a0 + Σaijzi-1,j. Váhy wji představují vazbu mezi vstupní hodnotou a neuronem.

z = xi.wij

σj+1, i (z) = 1/(1 + e – z)

zi = a0 + Σaij zi-1,j

Vícevrstvé neuronové sítě

Mc Clelland a Rumelhart 1986 trénování vícevrstvých ANN pomocí Backpropagation-BP (zpětné šíření). Možno řešit problémy lineárně neoddělitelné klasifikace.

Postup použití NN

Volba vhodné struktury sítě (architektura)

Trénování sítě na změřených datech (učení)

Predikce pomocí NN

Návrh a trénování NN

Počet skrytých vrstev- pro většinu problémů stačí jedna- zvětšování počtu vede k výraznému nárůstu počítačové náročnosti Počet neuronů ve skryté vrstvě- rámcové pravidlo, že postačuje přirozený logaritmus počtu vstupů Architektura- nejběžnější je plně propojená dopředná síť, logistická AF Velikost trénovací množiny- postačující pro zobecnění a zaplnění prostoru dat- při menším počtu dojde ke kopírování všech informací (interpolace)- Možnost použití crossvalidace Počet vstupů- odstranění parasitních proměnných je nezbytné Standardizace vstupů- standardizace zlepšuji rychlost učení

Optimalizace NNMinimalizace součtu čtverců odchylek

ppp fyK 2)( )exp(1

1

pjpj h

a

Vstup do výstupní vrstvy (uvažuje se pouze jeden výstup) je vážený součet všech aktivačních funkcí ve tvaru

M

jpjjp aWg

1

*

)exp(1

1

pp g

f

Predikce

Cílem je nalézt váhy wji j = 1,…M, i = 1,…m, a Wj j = 1…M. Jde tedy o celkem M*(m+1) parametrů. To je vzhledem ke tvaru kritéria K řešitelné pomocí derivačních algoritmů nelineární regrese.Pokud označíme aktivační funkci symbolem F(.), lze kriteriální podmínku K pro určení vah vyjádřit ve tvaru

m

ipiji

M

jj

n

pp xwFWFyK

1

2

11

))]*(*([

Pro řešení optimalizační úlohy pro Wij lze použít jednoduchou iterativní metoduzaloženou na výpočtu gradientu, kdy pro přírůstek platí

j

p

p

p

pj

jj W

g

g

f

f

KW resp.

W

KW

****

jtj

tj WWW 1

Postup při optimalizaci metodou BP

Aplikace NN pro predikci optických vlastností pigmentu

Ln2 Zr(2-x) Mx O7

Ln = lanthanoids M = Cr or V x = 0.05 to 0.2 T = 1400 or 1500˚C

L*a*b*dE*

}barevné koordináty

Aplikace NN pro modelování kvality piva (1)

Plzeňský pivovar

X ... Chemie + technologie

Y ... Subjektivní vlastnosti

Predikční schopnostmodelu X -> Y

X ... Chemie + technologie

Y ... Subjektivní vlastnosti

Aplikace NN pro modelování kvality piva (2)

Predikční schopnostmodelu Y -> X

X ... Chemie + technologie

Y ... Subjektivní vlastnosti

Aplikace NN pro modelování kvality piva (3)

Neuronové sítě a časové řady

Model časové řady

Jednorozměrný-xi = g(x1, x2, ... ,xi-2, xi-1)

Vícekrokový-(xi, ..., xi+m) = g(x1, x2, ... ,xi-2, xi-1)

Vícerozměrný-xi = h(x1, x2, ... ,xi-2, xi-1, C)

ARARMAARIMAARCHGARCH

Predikce kvality média, JE Dukovany

Discovery and data analysis system

SOFTWARE ...

LITERATURA ...

LITERATURA ...

Vývoj, výzkum, podpora...

TriloByte Statistical SoftwareCQR, D&R

Na shledanou na

ReQuEst

30. 1 – 1. 2. 2007

Jakost - Quality

20. – 21. 3. 2007

PRAHA OSTRAVA