View
3
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Niyazi YURTSEVEN
PRİMİTİF ELEMANLAR VE BİR BAĞINTILI LİE CEBİRLERİNİN İZOMORFİZMLERİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ADANA,2007
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
PRİMİTİF ELEMANLAR VE BİR BAĞLANTILI LİE CEBİRLERİNİN İZOMORFİZMLERİ
Niyazi YURTSEVEN
YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI
Bu Tez 27… / 09… / 2007 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği / Oyçokluğu İle Kabul Edilmiştir.
İmza: ………………… İmza: ………………… İmza: ………………
Yrd. Doç. Dr. Ela AYDIN Prof. Dr. Naime EKİCİ Yrd. Doç. Dr. Ersin KIRAL DANIŞMAN ÜYE ÜYE
Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında Hazırlanmıştır.
Kod No:
Prof. Dr. Aziz ERTUNÇ
Enstitü Müdürü İmza ve Mühür
Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ,şekil ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.
I
ÖZ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
PRİMİTİF ELEMANLAR VE BİR BAĞINTILI LİE CEBİRLERİNİN İZOMORFİZMLERİ
Niyazi YURTSEVEN
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Danışman: Yrd.Doç.Dr. Ela AYDIN Yılı : 2007, Sayfa: 38 Jüri : Prof.Dr. Naime EKİCİ Yrd.Doç.Dr. Ela AYDIN Yrd.Doç.Dr. Ersin KIRAL
L , bir K cismi üzerinde serbest üreteç kümesi A olan bir serbest Lie cebiri
olsun. a , L ’nin sıfırdan farklı bir elemanı ve aa , L ’de a tarafından üretilen ideal
olmak üzere Laa
Lie cebirinin serbest olması için gerek ve yeter koşul, a ’nın
primitif olmasıdır.
Ayrıca ,u v L olmak üzere, u
L ve v
L bölüm cebirleri izomorfik
olacak şekilde u ve v elemanları verilmiştir. Bununla birlikte u
L ve v
L
cebirleri izomorfik iken u vu v olacak şekilde bir otomorfizminin olamayacağı
gösterilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Serbest Lie Cebirleri, Primitif Eleman, Bölüm Cebiri,
Otomorfizm
II
ABSTARCT
MSc THESIS
PRIMITIVE ELEMENTS AND ON ISOMORPHISM OF LİE ALGEBRAS WITH ONE DEFINING RELATION
Niyazi YURTSEVEN
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIEDS SCIENCES
UNIVERSITY OF ÇOKUROVA
Danışman: Asist.Prof.Dr. Ela AYDIN Yılı : 2007, Pages:38 Jury : Prof.Dr. Naime EKİCİ Yrd.Doç.Dr. Ela AYDIN Yrd.Doç.Dr. Ersin KIRAL
Let L be a free Lie algebra over a field K with the set A of free generators.
For every nonzero element a of L let aa be the ideal of L generated by the
element a . The Lie algebra Laa
is free if and only if a is a primitive element of
the Lie algebra L .
Let ,u v LL , we construct two elements u and v such that the quotiet algebra
uL and
vL are isomorphic. Also we show that there is no automorphism of
L such that u vu v
Key Words: Free Lie Algebras, Primitive Element, Quotient Algebra,
Automorphism
III
TEŞEKKÜR
Bu çalışmanın hazırlanması sırasında bilgi ve tecrübeleriyle beni aydınlatan,
çalışmanın her aşamasında yardımlarını esirgemeyen, değerli zamanlarını ayırarak
çalışmanın tamamlanmasını sağlayan, bilgisi ve kişiliğiyle örnek aldığım saygı değer
danışmanım Yrd.Doç. Dr. Ela AYDIN’a sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca
değerli hocam Prof. Dr. Naime EKİCİ’ye ve tüm Matematik Bölümü akademik
personeline bu çalışmanın oluşmasında yardımlarını esirgemedikleri için çok
teşekkür ederim. Bugüne kadar desteklerini esirgemeyen her zaman yanımda olan
sevgili aileme teşekkürlerimi sunarım.
IV
İÇİNDEKİLER SAYFA
ÖZ……………………………………………………………………………………..I
ABSTRACT...………………………………………………………………………..II
TEŞEKKÜR…………………………………………………………………………III
İÇİNDEKİLER……………………...………………………………………………IV
1. GİRİŞ………………………………………………………………………………1
2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER…………………………………………….....3
2.1. Temel Yapılar…………………………………………………………………3
2.2. Serbest Lie Cebirleri…………………………………………………………..8
2.3. Serbest Lie Cebirlerinin Otomorfizmleri…………………………………….12
2.4. Evrensel Enveloping Cebir…………………………………………………..14
3. SERBEST LİE CEBİRLERİNİN PRİMİTİF ELEMANLARI…………………..16
4. BİR BAĞINTILI LİE CEBİRLERİNİN İZOMORFİZMLERİ………………….31
KAYNAKLAR……………………………………………………………………...36
ÖZGEÇMİŞ………………………………………………………………………....38
1.GİRİŞ Niyazi YURTSEVEN
1
1.Giriş
L , bir serbest Lie cebiri olsun. La L olmak üzere eğer a elemanı L ’nin bir
serbest üreteç kümesi tarafından içeriliyorsa a ’ya L ’nin bir primitif elemanı denir.
Primitif elemanlar serbest Lie cebirlerinde son derece önemlidirler. Çalışmamızın
üçüncü bölümünde serbest Lie cebirlerinde primitif elemanlarla ilgili yapılmış
çalışmalara değinilmiştir. (G.P.Kukin,1970)’ de La La0 iken a , L ’nin a
tarafından üretilen ideali olmak üzere a
LLaL Lie cebiri bir serbest cebir midir?
sorusuna cevap aramıştır.‘‘ aL cebirinin serbest olması için gerek ve yeter koşul
a ’nın L ’nin primitif elemanı olmasıdır’’ ifadesinin doğruluğunu kanıtlamıştır.
P.M.Cohn(Cohn,1964) tarafından sonlu ranklı bir serbest Lie cebirinin tüm
otomorfizmler grubunun t otomorfizmler tarafından üretildiği gösterilmiştir. Ama
bu teoremin özellikle algoritmik problemlerin çözümleri için daha uygun olan diğer
bir ispatı (G.PKukin,1970) tarafından verilmiştir.
Bu bölümde yer alan ‘‘Sonlu ranklı bir serbest Lie cebirinin
t otomorfizmleri bu cebirin otomorfizm grubunu üretir’’ ve ‘‘ aL ’nın serbest Lie
cebiri olması için gerek ve yeter şart a ’nın L Lie cebirinin primitif elemanı
olmasıdır’’ ifadeleri (W.Magnus, A.Karros, D.Solitar,1966)’in kitabından grup
teorisinde iyi bilinen ifadelerdir.
Teorem 3.1.4’ün ispatındaki algoritma, bir bağıntılı bir Lie cebirinin serbest
olup-olmadığı problemini K cismi üzerendeki cebirsel denklem sisteminin çözümü
problemine indirger.
Çalışmamızın dördüncü bölümünde ise bir bağıntılı Lie cebirlerinin
otomorfizmlerine yer verilmiştir.
Bir bağıntılı gruplar için (Mc.Cool, Pietrowski,1971.) tarafından örnekler
verilmiştir. Daha sonra (Brunner,1976) ikişerli eşdeğer olmayan bağıntılar ile bir
bağıntılı izomorfik grupların bir sonsuz serisini oluşturmuştur. Serbest Lie cebirleri
için benzer sonuç (Kukin,1970)’den elde edilmiştir. (Shpilrain ve Yu,2002)’de
1.GİRİŞ Niyazi YURTSEVEN
2
benzer sonucun rankı 2 olan serbest birleşmeli cebirler için de geçerli olduğunu
göstermiştir.
L , sonlu üreteçli Lie cebiri olsun. u ve v , L ’nin sırasıyla u ve v
tarafından üretilen idealleri olmak üzere, L ’nin u
L ve v
L izomorfik olacak
şekilde u ve v elemanlarına örnek verilmiştir. Ayrıca u
L ve v
L cebirleri
izomorfik iken uu v olacak şekilde bir otomorfizminin olamayacağı
gösterilmiştir. (V.shpilrain,A.A.Mikhalev,U.U.Umirbaev,2004)
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Niyazi YURTSEVEN
3
2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER:
Bu kısımda , birleşmeli cebirler, Lie cebirleri, serbest Lie cebirleri ile ilgili
temel tanım ve teoremleri vereceğiz. Bu çalışmamız boyunca aksi belirtilmedikçe
cebirlerin tamamını bir K cismi üzerinde kabul edeceğiz.
2.1.Temel Yapılar
Tanım 2.1.1: A , bir vektör uzayı olsun. AAAm AA: bilineer bir dönüşüm olmak
üzere Am, ikilisine bir cebir denir. yxm , yerine ‘‘ xy ’’ yazacağız. Burada m ’ ye
A üzerinde bir çarpım denir. A bir vektör uzayı olduğundan alt uzaylarından
bahsedebiliriz. AB A, A ’nın bir alt uzayı olsun. Eğer her Byx B, için xy BB
oluyorsa B ’ye A ’nın bir alt cebiri denir.
Tanım 2.1.2: A , bir cebir olsun. Eğer her Azyx A,, için
zxyyzx
oluyorsa A ’ya birleşmeli(asosyatif) cebir denir.
Örnek 2.1.1: V , bir vektör uzayı olsun. V ’den V ’ye olan tüm lineer dönüşümlerin
kümesini VEnd ile gösteririz. VEnd kümesi, bir vektör uzayı olup her
ba, VEnd için Vv V olmak üzere, vbavab a olarak tanımlayalım. VEnd ,
bu çarpımla birleşmeli bir cebirdir.
Örnek 2.1.2: ,KM n K cismi üzerindeki nn n tipindeki matrislerin kümesi olmak
üzere KM n kümesi bilinen matris çarpımı işlemiyle birleşmeli bir cebirdir.
Her lineer dönüşüme bir matris karşılık getiren dönüşüm bir izomorfizm olup
KMVEnd nM dır.
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Niyazi YURTSEVEN
4
Tanım 2.1.3: L , bir cebir olsun. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanıyor ise L ’ye bir Lie
cebiri denir.
:1L Her Lx L için, 00xx
:2L Her Lzyx L,, için , 00xyzzxyyzx
( 2L ’ye Jacobi özdeşliği denir.)
Ayrıca her Lyx L, için 00yxyx olduğundan 00yyyxxyxx ve
dolayısıyla
yxxy yx
elde edilir. Bu koşul antikomütatiflik koşulu olup, koşulu her Lyx L, için
sağlanacağından xxxx xx ve 02 0xx olup eğer cismin karakteristiği 2’den farklı ise
00xx olur ve koşulu 1L koşuluna denktir. koşuluna bağlı olarak Jacobi
özdeşliği aşağıdaki gibi yazılabilir:
00xyzzxyyzx
00zxyyzxxyz
00yzxxyzzxy
Sonuç olarak L , bir Lie cebiri iken Lzyx L,, olmak üzere
xyzzxyyzx zy
olduğundan bir Lie cebiri asosyatif(birleşmeli) olmayan bir cebirdir. Asosyatifliği
engelleyen Jacobi özdeşliğidir.
Bundan sonra L Lie cebirinin cebir çarpımını her Lyx L, için yx, ile
göstereceğiz ve bu çarpıma x ile y ’nin komütatörü (braket çarpımı) diyeceğiz.
Örnek 2.1.3: VEnd vektör uzayı üzerinde her VEndba E, için
baba ,, a dönüşümünü, baabba ba, olarak tanımlayalım. VEnd , ,
çarpımı ile bir Lie cebiridir.
Çünkü:
:1L Her VEnda En için 0, 0aaaaaa dır
:2L Her VEndcba E,, için
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Niyazi YURTSEVEN
5
baabcaccabcbbcabacacbcba bcabccb ,,,,,,,,,
cbaabbaabcbaccaaccabacbbccbbca bbcaabcca
00cbacabbacabcbacbcaacbcabacbabccbabca
dır.
O halde VEnd , , braket çarpımı ile bir Lie cebiridir. Bu Lie cebirine lineer
dönüşümlerin cebiri denir ve Vgl ile gösterilir.
Örnek 2.1.4: K cismi üzerindeki nn n matrislerin KM n uzayını ele alalım.
KM n üzerinde , çarpımını KMBA nM, için
ABBABA ABBA,
olarak tanımlarsak KM n bir Lie cebiri olur. Bu Lie cebirine matris Lie cebiri denir
ve Kgln ile gösterilir.
Örnek 2.1.5: 3R uzayında çarpım işlemini aşağıdaki gibi tanımlayalım.
0,0,11c , 0,1,02c , 1,0,03c birim vektörler ve 111 ,, zyxA ,
222 ,, zyxB3RR olmak üzere
222
111
321
det
zyx
zyx
eee
BA
olarak tanımlayalım. 3R vektör uzayı bu çarpımla(vektörel çarpım) bir Lie cebiridir.
Tanım 2.1.4: L , K üzerinde bir Lie cebiri olsun. Eğer M , L ’ nin bir alt cebiri ve
LM , M ise M ’ ye L ’ nin bir ideali denir ve M < L ile gösterilir. Lie
cebirlerindeki yx, xy, özelliğinden dolayı eğer M , L ’nin bir ideali ise
LM , M ve ML, M olup bir Lie cebirinde bir sol ideal aynı zamanda bir
sağ ideal olduğunu elde ederiz.
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Niyazi YURTSEVEN
6
Tanım 2.1.5: L , K üzerinde bir Lie cebiri ve M < L olsun. ML bölüm cebirini
ML :Mx M Lx L ile tanımlarız. ML ’deki toplama ve çarpma işlemlerini,
Mx M My M yx y M
MyMx MM , yx, M
olarak tanımlayalım. M , L ’nin bir ideali olup bu işlemler iyi tanımlıdır ve ML , bu
işlemler altında kapalıdır.
MxMx MM , xx, M M olup M , ML ’nin sıfır elemanıdır.
ML ’nin Jacobi özdeşliğini sağladığı da gösterilebilir. Böylece ML , bir Lie cebiri
olur ve bu cebire bölüm cebiri denir.
Not 2.1.1: A , bir asosyatif cebir olsun. A ’yı kullanarak bir Lie cebirini aşağıdaki
şekilde elde edebiliriz:
A üzerinde her Ayx A, için yxxyyx yx, çarpımını tanımlayalım. A , bu
çarpımla bir Lie cebiridir. Bu Lie cebirini LieA veya A ile gösteririz. Her Lie
cebiri, A bir asosyatif cebir olmak üzere LieA formundaki bir Lie cebirinin alt
cebiridir.
Not 2.1.2: Bir Lie cebirini kullanarak asosyatif bir cebir elde edilebiliriz:
L , bir Lie cebiri olsun. Her x L için, xad L : L L dönüşümünü her
y L için yxadL yx, olarak tanımlayalım. Bu dönüşüme x -tarafından
belirlenen adjoint dönüşüm denir. Eğer hangi Lie cebirinde çalışıldığı belli ise xad L
yerine sadece adx yazılır.
Vgl ’de birim dönüşüm ve xadL : Lx L tarafından doğrulan alt cebiri
yani, 1 ile xadL : Lx L kümesini içeren en küçük alt cebiri adL ile gösterelim.
Bu durumda adL , asosyatif cebirdir.
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Niyazi YURTSEVEN
7
Tanım 2.1.6: L ve M , aynı K cismi üzerinde iki Lie cebiri olsun.
Eğer : L M lineer dönüşümü her x , y L için,
yx, yx yx ,
oluyorsa ’ye bir Lie homomorfizmi denir. Eğer , birebir ve örten ise
izomorfizmdir. L ’den L ’ye olan bir izomorfizme de L ’nin bir otomorfizmi denir.
Örnek 2.1.6: Çok önemli homomorfizmlerden birisi adjoint homomorfizmdir. L , bir
Lie cebiri olsun. LglLad gl: dönüşümü her yx, L için yadx yx, olarak
tanımlayalım. Lie çarpımının bilineerlik özelliğinden, adx dönüşümü her Lx L için
lineerdir. Yine aynı nedenle adxx a dönüşümü de lineerdir. Her Lyx L, için,
adxadyadyadxyxad oo aa,
olduğunu sağlatarak ad dönüşümünün bir homomorfizm olduğunu gösterebiliriz.
Aşağıdaki teoremin ispatı (Graff , 2000)’de bulunabilir.
Teorem 2.1.1: L ve M aynı K cismi üzerinde iki Lie cebiri ve : L M bir
homomorfizm olsun. O zaman aşağıdakiler doğrudur.
1. L M , çek < L ve çekL L
2. H , K < L ve K < H ise KH
KL HL
3. H < K , K < L ise H < KH K , KH K < K ve
HKH K
KHH
K dır.
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Niyazi YURTSEVEN
8
2.2. Serbest Lie Cebirleri
Tanım 2.2.1: X herhangi bir küme, F bir Lie cebiri ve i : X F bir dönüşüm
olsun. Her B Lie cebiri ve her : X B dönüşümü için i olacak şekilde
bir tek : F B Lie homomorfizmi varsa iF , çiftine X üzerinde serbest Lie
cebiri denir.
X üzerindeki serbest Lie cebiri aşağıdaki şekilde inşa edilir.
Her pozitif n tam sayısı için nX kümesi aşağıdaki gibi tanımlanır:
1X X , nX U1
1
1
1
n
p
pnp XX
XM U1n
nX olsun. ba, XM için a pX , b qX ve ba, qp XX X
olacak şekilde p ve q tam sayıları vardır. n p q olsun. O zaman
ba, qp XX X , ’ deki nX ’ nin bileşenlerinden biridir. ba, ’ nin
pnp XX pX ’ den nX ’ ye olan kanonik injeksiyon altındaki görüntüsünü ab ile
gösterelim. Böylece ba, XM için ab çarpımı yukarıdaki gibi tanımlansın.
a pX olacak şekildeki p tam sayısına a ’ nın uzunluğu denir ve al ile
gösterilir. Uzunluğu 2 olan elemanlar için al cl ve bl cl olmak üzere
c ab yazılır.
cl abl al bl
dir. K bir cisim olsun. K üzerinde bazın XM olan bir vektör uzayı, XM ’ deki
elemanların K -lineer kombinasyonlarından oluşur. XM ’ deki çarpma, bu vektör
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Niyazi YURTSEVEN
9
uzayının tamamına genişletilebilir. Böylece K üzerinde sonlu boyutlu olmayan ve
birleşmeli olmayan serbest bir cebir elde edilmiş olur. Bu cebire XN diyelim.
A , XN ’ in aşağıdaki formdaki bütün elemanları tarafından üretilen bir
ideali olsun.
aQ aa
cbaJ ,, bca cab abc
O zaman XFA
XN , X üzerinde serbest Lie cebiridir. X ’ e XF için
bir serbest üreteç kümesi denir. XF ’ in inşa edildiği küme belli ise XF ’ in
yerine kısaca F yazarız.
Tanım 2.2.2: Bir H XM Hall kümesi aşağıdaki şekilde tanımlanır;
1. X H ve X ’ e bir tam sıralama verilmiş olsun.
2. H XM2
, yx, X ve x y olacak şekildeki xy elemanlarını
içersin.
3. H XMm
, m 1,...,2,1 1n için tanımlanmış ve uzunluğu koruyan bir
sıralama verilmiş olsun. Yani, vu, xM ve ul vl ise u v yazalım.
Aynı uzunlukta olan elemanları istediğimiz şekilde sıralayalım. O zaman,
n 3 için H I XMn
, cab şeklindeki elemanları içerir. Burada,
a b , b c , ab c ve a ,b , c , ab U1
1
1
1
n
k
k XMH
X , H XM2
, XMH 3M ,…, H XMn
,…
H XMn
nH diyelim. O zaman
H U1n
nH kümesi XF ’ in bir bazıdır.
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Niyazi YURTSEVEN
10
1H , 2H , 3H ,… Kümelerine Hall kümeleri denir. H U1n
nH bazına da XF ’ in
Hall bazı denir.
Tanım 2.2.3: K , bir cisim ve X bir küme olsun. X ’deki harflerin
kxxxw ...21x , 00k , Xxi X şeklindeki bir sonlu dizisine, bir kelime denir.
XW ’de X kümesindeki elemanların yan yana çarpımıyla oluşan kelimelerin
kümesi olsun. A ile bazı XW olan serbest K modülü gösterelim. A ’daki çarpım
XW kümesini A ’nın alt yarı grubu ve A ’yı cebir yapacak şekilde tek türlü
belirlenir. XW ’te boş kelime 1 ile gösterilecektir. Bu durumda A , serbest üreteç
kümesi X olan ve 1 birim elemanına sahip bir serbest birleşmeli cebirdir.
Şimdi boş olmayan X kümesi üzerindeki bir serbest L Lie cebirini
düşünelim. A da X üzerindeki serbest birleşmeli cebir olsun. Komütatör işlemiyle
A ’nın A ile gösterilen bir Lie cebiri olduğunu biliyoruz. Serbest Lie cebirlerinin
evrensellik özelliğinden XXi X: birim dönüşümü, ALi AA: homomorfizmine
genişletilebilir. i ,injektif olup A cebiri X tarafından üretilen bir serbest Lie
cebiridir. O halde L A ’nın bir alt cebirine izomorf olup AL A olarak
düşünülebilir. (Bahturin,1987)
Gruplar teorisinde iyi bilinen teoremlerden biriside Nielsen-Schreier
tarafından ispatlanan bir serbest grubun her alt grubunun da serbest olduğunu
gösteren teoremdir. Bunun benzeri olan sonuç serbest Lie cebirleri için de elde
edilmiştir. Bir serbest Lie cebirinin her alt cebirinin serbest olduğu A.I.Shirshov
(Shirshov,1953) tarafından gösterilmiştir. Ayrıca bu teoremin ispatı
(Bahturin,1987)’de de bulunabilir.
Tanım 2.2.4: L bir Lie cebiri olsun, A ia : Ii I , L ’ nin elemanlarının bir ailesi
olsun. I üzerinde kurulan serbest Lie cebirine If diyelim. : i ia olacak
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Niyazi YURTSEVEN
11
şekilde If ’ dan L ’ nin içine olan bir Lie homorfizmi varsa ve örten ise A ’ ya
L ’nin bir üreteç kümesi denir. Eğer bijektif ise L serbest Lie cebiridir ve A ,
L ’ nin serbest üreteç kümesidir. Eğer A sonlu bir küme ise L ’ ye sonlu üretilmiş
Lie cebiri denir.
Bu tanıma göre serbest Lie cebirinin iki üreteç kümesinin kardinalitesi
aynıdır. F ’ nin bir serbest üreteç kümesinin kardinalitesine F ’ nin rankı denir.
Tanım 2.2.5: F , X nxx ,...,1 kümesi tarafından üretilen serbest Lie cebiri olsun.
Hall bazının elemanlarına regüler kelimeler, kiiii
xxxx ,...,321
şeklindeki bir
kelimeye bir monomial ve monomiallerden oluşan bir polinoma Lie polinomu denir.
Tanım 2.2.6: L , X tarafından üretilen bir serbest Lie cebiri ve Y L olsun. Eğer
Y , ürettiği alt cebirin bir serbest üreteç kümesi ise Y kümesine bağımsız küme denir.
Diğer bir ifade ile eğer Y ’nin elemanları arasında sıfırdan farklı bir bağıntı yoksa Y
bağımsız bir kümedir.
Tanım 2.2.7: X kümesi tarafından A birleşmeli cebirinin üzerindeki bilinen
uzunluk fonksiyonu l ve Aa A için a ile l fonksiyonuna göre a içindeki en
yüksek dereceli monamiallerin toplamını gösterelim. a A için a ’ nın içerdiği en
büyük uzunluklu elemanın uzunluğuna derece denir ve adeg ile gösterilir. l
fonksiyonuna göre a içindeki en yüksek dereceli monomiale a ’nın leading(en
yüksek dereceli) terimi denir ve a% ile gösterilir. a a% ise a homojendir.
Tanım 2.2.8: LY L olsun. her Yy Y için y% elemanı, u u Y yY y% kümesi
tarafından üretilen alt cebire ait değilse Y kümesine indirgenmiş küme denir.
Aşağıdaki teoremin ispatı (Kukin, 1992) tarafından verilmiştir.
Teorem 2.2.1: L ’nin her indirgenmiş alt kümesi bağımsızdır.
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Niyazi YURTSEVEN
12
Tanım 2.2.9: L , X kümesi tarafından serbestçe üretilen Lie cebiri olsun. X ’in
eleman sayısına L ’nin rankı denir ve bunu rankL ile gösteririz.
2.4. Serbest Lie Cebirlerinin Otomorfizmleri
L , X tarafından üretilen serbest Lie cebiri olsun.
Tanım 2.3.1: I , bir indis kümesi ve Y iy : Ii I , L ’ nin herhangi bir alt
kümesi olsun. Aşağıdaki dönüşümüne L ’nin bir t dönüşümü denir.
:0i
y a0i
ypii
yyf ,...,1
, piii ,...,, 10 I , 00
iy a iy , i I \ 0i
Burada pii
yyf ,...,1
, bir Lie polinomudur. H , L 'nin Hall bazı olmak üzere Lu L
için, Ki Ki ve Hhi H olmak üzere
iihu ihih
şeklindeki bir eleman bir Lie polinomudur. ih ’lerin her birine bir monomial denir.
Y ve ıY , XL ’in iki alt kümesi ve ıYYt ıY: bir t dönüşümü olsun.
Y , XL ’in serbest üreteç kümesi ise t dönüşümü bir otomorfizmdir.
Şimdi L ’nin sonlu ranklı olması durumunda herhangi bir otomorfizmin sonlu
adımda elde edilebileceğini gösteren teoremi verelim.
Teorem 2.3.1: L ’nin her otomorfizmi X kümesine ardışık olarak
t dönüşümlerinin uygulanmasıyla elde edilir.
Teoremin ispatı (Cohn,1964)’te bulunabilir. Yani, sonlu ranklı bir serbest Lie
cebirinin her otomorfizmi sonlu sayıda t dönüşümü uygulanarak oluşturulabilir.
Bunun nedeni L ’nin sonlu üreteçli olmasıdır.
Örnek 2.3.1: L , cbaX ,, tarafından üretilen serbest Lie cebiri olsun.
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Niyazi YURTSEVEN
13
cbbaat ,:1 baa
bb b
cc c
olarak tanımlanan dönüşümü ele alalım. dcbba db,a , eb e ve fc f
diyelim ve aşağıdaki dönüşümü uygulayalım.
dcbbadcbbaat dbbdb ,,:1 aaaa
cdeccbbabebb ,,, debbbeb a
cfcc cfc
olmak üzere fed ,, ile ccded ,,, d kümeleri cebir için üreteç kümeleridir.
Aynı zamanda aşağıdaki teoremle t dönüşümlerinin üreteç kümeleri
arasındaki bağı belirlediğini de söyleyebiliriz.
Teorem 2.3.2: L , sonlu bir X kümesi tarafından üretilen bir serbest Lie cebiri
olsun. Eğer Y , L ’nin bir serbest üreteç kümesi ise Y kümesi L ’nin bir üreteç
kümesine denktir. Burada denkliğin anlamı Y ’nin t dönüşümleri ile bir serbest
üreteç kümesinden elde edilebilir olmasıdır. Sonuç olarak L ’nin bir Y serbest üreteç
kümesinin X kümesine denk olduğu söylenebilir. Bunu Y ~ X ile göstereceğiz.
Bu teoremin ispatına da (Cohn,1964)’ten ulaşılabilir.
Örnek 2.3.2: L , serbest üreteç kümesi cbaX ,, olan serbest Lie cebiri olsun.
cbaat ,: cba ,b cba ,b
b b ccbcabccba ,,,,, abb
c c c ccbcacbbac ,,,, abba
dönüşümünü uygulayalım.
3X cba ,b , ,,,, ccbcab a ccbcacbbac ,,,, abba
2X cba ,b , ,b c
1X cba ,b , ccba ,, , c
olmak üzere X ~ 1X ~ 2X ~ 3X elde edilir. 1X ~ X , 2X ~ X , 3X ~ X dir .
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Niyazi YURTSEVEN
14
Tanım 2.3.3: Y , boş olmayan bir küme ve mi ,...,2,1,1 için iu 0 , iv 0 ,
iu , iv LL olsun. mi ,...,2,1,1 iken iu iv olacak şekilde XL ’in bir
otomorfizmi varsa iu iv olacak şekilde YXL Y ’ nin bir otomorfizmi
vardır. iu , iv elemanları, otomorfizmi altında denktir, iu , iv ’ nin
otomorfizmi altında denkliğine stably denkliği denir.
2.4 Evrensel Enveloping Cebir
Tanım 2.4.1: F , bir Lie cebiri olsun. Aşağıdaki koşulları sağlanması durumunda
birim elemanlı ve birleşmeli FU cebirine F ’nin evrensel enveloping cebiri denir.
.1 F ’den FU ’ye kanonik homomorfizm denilen bir F: FU
homomorfizmi vardır.
.2 K cismi üzerindeki birim elemanlı her B birleşmeli cebiri ve her
: F B homomorfizmi için olacak şekilde bir tek : FU B
homomorfizmi vardır.
F B
FU
F , X üzerinde bir serbest Lie cebiri ise X tarafından üretilen serbest
asosyatif(birleşmeli) cebir, F ’nin evrensel enveloping cebiridir.
Serbest cebirlerin evrensel özelliği nedeniyle X kümesi tarafından üretilen XA
serbest asosyatif cebiri XL ’in evrensel enveloping cebiridir. Yani
XAXLU A ’dir. XAXLi A: kanonik dönüşümü X ’in birim
dönüşümünün genişlemesi olan bir homomorfizmdir.
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Niyazi YURTSEVEN
15
Eğer R , XL ’nin bir ideali ise I , XA ’de R ’yi içeren en küçük ideal
olmak üzere I
XA,
RXL
’nin evrensel enveloping cebiridir.
Tanım 2.4.2: M , değişmeli bir grup olsun. Aşağıdaki koşulların sağlanması
durumunda 'M ye bir sol K modül denir. Her ba, K ve yx, M için,
1. ax M
2. xba b bxax b
3. xab bxa
4. yxa y ayax a
5. x.1 x
Teorem 2.4.2(Poincare-Birkhoff-Witt, 1993): L , K üzerinde bir serbest Lie cebiri
olsun. Eğer L , bir serbest K modül ve E , L ’nin iyi sıralı bir bazı ise o zaman
: L LU kanonik dönüşümü injektif olup LU ,1 ve neee ...21 ,
neee ee ...21 , 11n formundaki monomialler tarafından üretilen bir serbest
K modüldür.
3.SERBEST LİE CEBİRLERİNİN PRİMİTİF ELEMANLARI Niyazi YURTSEVEN
16
3. SERBEST LİE CEBİRLERİNİN PRİMİTİF ELEMANLARI
L , naaaA ,,, 21 K serbest üreteç kümesi ile K cismi üzerinde bir serbest Lie
cebiri olsun. a L olmak üzere eğer a elemanı L ’nin serbest üreteçlerinin bir
kümesi tarafından içeriliyor ise a ’ya L ’nin bir primitif elemanı denir. L’nin her sıfır
olmayan a elemanına aL = aL cebirini karşılık getirelim. aL , üreteçleri
naaa ,...,, 21 ve bağıntısı a = 0 olan Lie cebiridir. Bu bölümde tek bağıntılı aL Lie
cebiri bir serbest Lie cebiri midir? sorusunun cevabını arayacağız .‘‘ aL cebirinin
serbest Lie cebiri olması için gerek ve yeter koşulun a ’ nın , L’ nin primitif
elemanı olmasıdır ’’ ifadesinin doğruluğunu göstereceğiz .
Teorem 3.1.4’ün ispatı, temel cisim üzerinde cebirsel denklemlerin bir sistemini
inşa etmek için L cebirinin verilen bir elemanı için izin verilen bir algoritma belirtir.
Bu sistem çözüme sahipse a , bir primitif elemandır. Diğer hallerde değildir.
Sonlu üretilen Lie cebirinin bütün otomorfizmlerinin grubunu tanımlayıp
algoritmik problemlerin çözümü için teorem3.1.1’ in başka bir ispatını vereceğiz.
K cismi üzerinde L bir serbest Lie cebiri ve A = naa ,...,1 L
cebirinin serbest üreteçlerinin kümesi olsun.
i < j iken ia > ja olacak şekilde A kümesini sıralayalım.
Tanım 3.1.1: F , X üzerinde serbest Lie cebiri olsun. X kümesine lineer bir
sıralama vermiş olalım. X ’in elemanlarını uzunluğu 1 olan regüler kelimeler olarak
isimlendirelim. Uzunluğu n ’den küçük olan kelimeleri sıralamış olduğumuzu kabul
edelim. O zaman X uzunluğu n olan bir uvw u kelimesine aşağıdaki koşulları
sağlıyorsa bir regüler kelime denir.
i) u ve v regüler kelimelerdir,
ii) vu v ,
iii) 21uuu u ise vu v2 dir
3.SERBEST LİE CEBİRLERİNİN PRİMİTİF ELEMANLARI Niyazi YURTSEVEN
17
L cebirinin bütün elemanlarını naa ,...,1 üreteçleri üzerindeki regüler
kelimelerin lineer toplamları formunda yazılmış olduğunu varsayabiliriz.
1L ile X = ,....,...,1 nxx serbest üreteçlerin sayılabilir kümesi ile K cismi
üzerinde serbest Lie cebirini gösterelim . Yukarıdaki gibi i < j iken ix > jx ve
1L cebirinin bütün elemanlarını 1,..., ,...kx x regüler kelimelerinin lineer toplamı
olarak yazabiliriz .
Eğer f kxx ,...,1 1L ve kcc ,...,1 L ise
f ,...,
,...,
1
1
c
x
k
k
c
x ile, L’nin f kcc ,...,1 elemanını gösterelim . f kxx ,...,1 ’
ya f kcc ,...,1 ’nın taşıyıcısı denir.
a LL için deg a ile a elemanının derecesini göstereceğiz(Yani a ’nın
ifadesindeki en uzun regüler kelimenin uzunluğunu kastediyoruz). a elemanının en
büyük dereceli homojen bileşenine a ’nın en yüksek(büyük) dereceli kısmı denir ve a
ile gösterilir.
...aa ... , 00 ve KK şeklinde iken , bir regüler kelime ve ’dan
sonra gelen toplamdaki regüler kelimeler ’dan sözlük sıralamasına göre daha küçük
olan regüler kelimelerin lineer kombinasyonlarından meydana gelir.
a elemanının leading terimi olup bunu a% ile göstereceğiz. regüler
kelimesindeki parantezleri kaldırdığımız zaman bu kelimeyi de at
ile göstereceğiz.
at
’ya a% ’nın birleşmeli taşıyıcısı(associative carrier) denir
İddia 3.1.1 (A.I.Shirshov,1953 ): Eğer L ’ nin elemanlarının W = ic , i I
kümesi bağımsız değilse , bir 0i
c elemanının en yüksek dereceli parçası 0i
c0i
,
ici , i I \ 0i kümesi tarafından üretilen alt cebire aittir.
3.SERBEST LİE CEBİRLERİNİN PRİMİTİF ELEMANLARI Niyazi YURTSEVEN
18
İddia 3.1.2(A.I.Shirshov,1962): L ’ nin a elemanı b idealine aitse a
elemanının en yüksek dereceli teriminin birleşmeli taşıyıcısı at
, b elemanının bt
birleşmeli taşıyıcısını bir alt kelime gibi içerir.
Eğer a b ise, bt
at
dır.
İddia 3.1.3: Bir sonlu üretilmiş L serbest Lie cebiri Hopfiandır. ( L , her öz bölüm
cebirine izomorfik değildir.) . Bu iddia , L ’ nin nilpotentliğinin genellenmiş bir
sonucudur ve bir genel teorem (A.I.Mal’tsev ,1960) tarafından ispatlanmıştır. İddia
3.1.3 , L ’ nin a üreteçlerinin kümesi L nin serbest üreteçlerinin kümesi
anlamındadır.
Tanım 3.1.2: ib ; Ii I , L ’nin bir alt kümesi olsun.
1
ib = ib i I \ 0i , 1
oib =
0ibib + g 1jb ,…, pjb
K , 0 ve g , ib , i I \ 0i kümesinin bir polinomu
olmak üzere , ib ; Ii I kümesinin
: ib1
ib , i I dönüşümü t - dönüşümü diye adlandırılır.
Tanım 3.1.3: g g pjj
bb ,...,1
elemanının g pxx ,...,1 taşıyıcısı
t - dönüşümünün taşıyıcısı diye adlandırılır ve supp ile gösterilir.
Tanım 3.1.4: ib ; Ii I , bu küme tarafından üretilen B alt cebirin serbest
üreteçlerinin kümesi ise ib ; Ii I kümesinin bir t - dönüşümüne B alt cebirin
bir otomorfizmi karşılık gelir. Bu otomorfizm t - otomorfizmi diye adlandırılır.
3.SERBEST LİE CEBİRLERİNİN PRİMİTİF ELEMANLARI Niyazi YURTSEVEN
19
W = ic , Ni ,...,11 , L nin elemanlarının bir kümesi olsun.
W ic i : ic W ile W kümesinin elemanlarının en yüksek dereceli kısmının
kümesini tanımlayalım.
wl ic
A
x
i
deg1
x
de11
ve 00deg 0
Lemma 3.1.1: W , L nin üreteçlerinin bir sonlu kümesi olsun. En çok wl kadar
t dönüşümlerinin uygulanması ile W kümesi her bir elemanının derecesi en çok 1
olan W kümesine dönüştürülebilir.
İspat: W, 1 den daha fazla dereceli elemanları içersin , aksi halde kanıt açıktır. W ,
bağımsız olsun . Bunun bir çelişki olduğunu göstereceğiz . Hipotezden dolayı W
kümesi , L cebirini üretir . Bu nedenle aşağıdaki bağıntılar doğrudur:
if bir dereceli terimleri içermesin .
ia 1
1
j
N
j
1
j
N
11
jc + if Ncc ,...,1 , i = n,...,1 dir
if Ncc ,...,1 , i N,...,1 kümesinin elemanlarının en az birinin sıfırdan
farklı olduğunu göstereceğiz.
Bütün elemanların sıfır olması durumunda eşitliğinde en yüksek dereceli
terimleri karşılaştırırsak W kümesinin lineer bağımlı olduğunu ya da her ia nin
kiicc ,...,
1 elemanları cinsinden yazılabileceğini elde ederiz.
0if Ncc ,...,1 00 olsun. 0if Ncc N,...,1 elemanını,
0if Ncc N,...,1 k
s
k
gs
k
g1
naa ,...,1 olarak alalım ve kg naa ,...,1 , kd
dereceli 0i
f ’ ın homojen terimidir. 1d ... sd dir.
3.SERBEST LİE CEBİRLERİNİN PRİMİTİF ELEMANLARI Niyazi YURTSEVEN
20
Açıktır ki her kg naa ,...,1 elemanı Ncc N,...,1 de bir polinomdur.Yani
kg naa ,...,1 h Ncc N,...,1
0if Ncc N,...,1 k
s
k
hs
k
h1
Ncc N,...,1 , kh Ncc N,...,1 0 , sk ,...,1,1
0if Ncc ,...,1 elemanının en yüksek dereceli kısmı sd 1 olduğundan
sh Ncc N,...,1 dir. W kümesi hipotezden bağımsızdır . Fakat ,
0ia 0
1
i
j
N
j
i
j
N
11
jc + 0if Ncc ,...,1 eşitliğinde sol kısım 1 dereceye sahiptir .
Bu yüzden , sh Ncc N,...,1 elemanı jc j kümesi üzerinde benzer terimlere
sahiptir ya da W lineer bağımlıdır. Yine bu çelişkidir.
İddia 3.1.1’ den , 0j
c0j
ın bazı elemanları W \0j
c0j
kümesi ile üretilen
alt cebire aittir.
0jc
0j , g polinomu içinde görünmeyen bir üreteç olmak üzere
0jc
0j = g Ncc N,...,1 olsun .
1
ic = ic , i j , 1
0jc
0jc - g Ncc ,...,1 şeklindeki
t dönüşümü l W sayısını küçülterek, her üretecin derecesini en az 1
yapar dolayısı ile l W ’ nun en küçük değeri n olur.
Açıklama 3.1.1 : W = Ncc ,...,1 , L cebirinin üreteçlerinin kümesi olsun .
Adeg ic 1, Ni ,...,11 iken Ncc ,...,1 , W nun maksimal lineer bağımsız
alt kümesidir. Açıktır ki nN n tane t dönüşümleri ile W kümesi
0,...0,,...,1 Ncc kümesine dönüştürülebilir. ii 0 iken
ia i
n
i
i
n
1
ic eşitliğini göz önüne alalım ve t dönüşümlerini
tanımlayalım :
3.SERBEST LİE CEBİRLERİNİN PRİMİTİF ELEMANLARI Niyazi YURTSEVEN
21
1iicc
1ic 1ii i
i
n
i
ic i
n
11
ic
Buradaki t dönüşümleri ; 0,...0,,...,1 Ncc 0,...,0,,...,1 naa
Lemma3.1.1’ in kanıtından ve son açıklamadan L nin serbest üreteçlerinin her W
kümesi t dönüşümleri ile naa ,...,1 kümesine dönüştürülebilir.
Teorem 3.1.1(P.M.Cohn,1964): Sonlu ranklı bir serbest Lie cebirlerinin
t otomorfizmleri bu cebirin otomorfizm grubunu üretir.
Tanım 3.1.5: Bir serbest Lie cebirinin a elemanı eğer L nin serbest üreteçlerinin
kümesi tarafından içeriliyorsa a ’ya L ’ nin bir primitif elemanı denir.
Teorem 3.1.2: aL ’ nın serbest Lie cebiri olması için gerek ve yeter şart a ’ nın L
Lie cebirinin primitif elemanı olmasıdır.
İspatın yeterlilik kısmı açıktır. Fakat gereklilik kısmını yapabilmemiz için
aşağıdaki önermeye ihtiyacımız vardır.
Önerme 3.1.1: Lba L, olsun. L ’de a ve b idealleri çakışırsa a ile b
lineer bağımlıdır.
İspat : Eğer a ve b ’ den en az biri sıfır ise sonuç açıktır. a ve b den hiç
birisinin sıfır olmadığını kabul edelim. Bu durumda , en yüksek dereceli terimler a~
ve b~
sıfırdan farklıdır. İddia3.1.2’den a b olduğundan at
kelimesi bt
kelimesini alt kelime gibi içerir.(yani at
ve bt
çakışır ).
3.SERBEST LİE CEBİRLERİNİN PRİMİTİF ELEMANLARI Niyazi YURTSEVEN
22
Baz özelliklerinden, a~ = b~
olarak elde ederiz. a b nin en yüksek
dereceli kısmı a~ dan küçüktür. Ancak, a b a ve iddia3.1.2’ den ,
at
bt
elemanı at
elemanını alt kelime gibi içerir. O halde a~ b~
b a~
dır . Buradan , a~ 11 b~
ve a b olur.
Teoremin varsayımı gereğince aL Lie cebiri serbesttir . aaa LLL ,2 L olmak
üzere
2
a
a
L
Lcebirinin boyutunu 2dim
a
a
L
L ile gösterelim.
dim 2a
a LL 11n olduğunu görmek kolaydır, İddia3.1.3’ten aL
nın rankı , 11n den büyük değildir. Bununla beraber aL ’ nın rankı 11n ’ e
eşittir ve aL ’ da 11 ,..., 1ncc gibi 11n tane serbest üreteçli kümesi
vardır. a primitif olduğundan a ’ yı L nin a naa ,...,1 serbest üreteç
kümesine tamamlayabiliriz.
aL aL naa ,...,2
2a
a LL Sp naa ,...,2 dir.
Lemma 3.1.1’den ve Açıklama 3.1.1’e göre naa ,...,1 ,
burada ia aL
tt,...,1 t dönüşümleri ile 0,,... 11 1ncc kümesine dönüştürülebilir.
L ’ deki ia , ni ,...,11 elemanlarının öngörüntülerini ia
elemanlarından seçelim ve tt,...,1 t dönüşümlerini bu kümeye uygulayalım.
L ’ nin serbest üreteçlerinin nyy ,...,1 kümesini elde ederiz.
h : aLL aL doğal epimorfizmi ile , iy ’ ler ic ’ lere
dönüştürüldü .
3.SERBEST LİE CEBİRLERİNİN PRİMİTİF ELEMANLARI Niyazi YURTSEVEN
23
1,...,1 11 ni , 00ny .
Böylece , ny a ve ny a olduğundan ny = a dir .
nyL ’ i göz önüne alırsak ,
nyL serbest Lie cebiridir . 1.izomorfizm
teoreminden
nn ya
yL
aL
nyL ve aL serbest olduğundan, iddia3.1.3’e göre serbest üreteçleri 11n tanedir
Böylece ,
nya 0 bulunur ve
ny = a olur.
Önerme3.1.1’den ny a olup a , L nin bir primitif
elemanıdır .
Lemma 3.1.2: d d 1 dereceli her 1b primitif elemanı L nin
nbb ,...,1 serbest üreteç kümesinde bulunur ve iA bdeg d ,
ni ,...,22 dır.
İspat: Verilen 1b primitif elemanını içeren L nin serbest üreteçlerinin bütün
kümelerini göz önüne alalım. Bu kümelerden vi vi1 için iA bdeg d ve iv
n için iA bdeg d olmak üzere en küçük 0wl ’ ı verecek şekildeki
0W nvv bbbb ,...,,,..., 11 1 kümesini seçelim . Eğer v = n ise , lemma sağlanır .
v n ye bakalım . ni ni1 iken ibi elemanları , diğer jb j tarafından
üretilen alt cebire aittir. Bununla beraber Lemma 3.1.1’ in ispatından 1b1 elemanları ,
nbb n,...,2 ile üretilen alt cebire aittir. 1g nxx ,...,2 , birinci dereceden
terimleri içermezken ibi elemanı ,
3.SERBEST LİE CEBİRLERİNİN PRİMİTİF ELEMANLARI Niyazi YURTSEVEN
24
ibi = i
n
i
i
n
1
ibi + 1g nbb n,...,2
şeklindedir.
eşitliğinde en yüksek dereceli terimleri karşılaştıralım ;
Eğer nv bb nv ,...,1 elemanlarının bazıları 1g nbb n,...,2 nın argümanlarından
meydana geliyorsa Lemma 3.1.1’in ispatında olduğu gibi , İddia 3.1.1’ e göre
nbb n,...,1 arasında bir çelişki elde ederiz . nv bb nv ,...,1 , elemanları aynı sebeple sıfır
olmayan katsayıları ii
i
1
ibi de bulunmayabilir .
11 : 10 WW W = nbb n,...,1
1 , 1
1deg bA d t dönüşümü uygularsak
1sup 1p in argümanları arasında nv xx ,...,11 bulunmayabilir . 1
1b yerine kolaylık
olsun diye 1b yazacağız . Şimdi 2 durum olabilir :
1 niv ni ibi elemanları , 1W1 kümesinin kalan elemanları tarafından
üretilen alt cebire aittir .
ibi = jij
j
i
jb j + 2g nbb n,...,1 , 22 , t dönüşümüyle 1W ’ i
2W = nivv bbbbbb ,...,,...,,,...,,1
12
1
1 1 kümesine dönüştürürüz . 2W kümesine 11 ’
in ters t dönüşümü uyguladığımızda nv xx ,...11 1sup 1p in argümanları arasında
bulunmayabilir .
l W l 0W olacak şekilde , 1b ’ i içeren L ’ nin serbest
üreteçlerinin
W nivv bbbbb ,...,,...,,,...,1
11 1 kümesini elde ederiz . Bu da 0W ın alınışı
ile çelişir .
3.SERBEST LİE CEBİRLERİNİN PRİMİTİF ELEMANLARI Niyazi YURTSEVEN
25
2 niv ni iken ibi elemanlarının hiçbiri 1W1 ’ nin kalan elemanları
tarafından üretilen alt cebire ait değildir .
Lemma3.1.1 ile vbb v,...,1 elemanlarının birisi 0ib 0i alabiliriz 1W1 kalan
elemanlarını ürettiği alt cebire aittir . Bu elemanın 1W1 \ 0ib 0i kümesinin
elemanları cinsinden ifadesinde , nv bb nv ,...,1 görünmez . l 1W l 2W iken
222 : 21 WW W t dönüşümü uygularsak yine iki durum olabilir . Durum 2 ye
parelel durum , sonlu sayıda uygulamayla oluşabilir . Durum1’ e parelel durum , 0W
seçimi ile çelişkiye indirgenebilir .
Böylece lemmanın ispatı tamamlanmış olur .
Önerme 3.1.2: W = Ncc ,...,1 , L ’nin üreteçlerinin sonlu kümesi ,
iA cdegmax = d d 1 olsun. l W sayısını azaltacak ve gAdeg d
olacak şekilde bir psup g Nxx ,...,1 t dönüşümü vardır .
İspat: 11 , 1c üzerinde birim olmayan ve l W sayılarını azaltan W kümesinin
bir t dönüşümü olsun . Lemma 3.1.1 den , W kümesinin uygun bir indisi için
t gibi bir dönüşüm vardır . 11 : 1c 1c + 1gN
N
cc
xx
,...,
,...,
2
2 olsun . Eğer gxdeg
d ise , önerme sağlanır . 1deg gx d için , Ncc N,...,1 elemanları arasında
trivial olmayan bir bağıntı elde ederiz . O halde l W yi azaltan 22 : 2c 2c +
2gN
N
cc
xx
,...,
,...,
3
3 bir t dönüşümü vardır . Eğer 2deg gx d ise önerme sağlanır .
Aksi halde 321 ,, xxx 3sup 3p ün argümanları arasında olmayacak şekilde bir 33
t dönüşümü buluruz . Sonuçta , ii dp ix disupdeg dönüşümünü
oluştururuz veya 11NN : 11 11 NN cc + 11NgN
N
c
x , t dönüşümünü buluruz .
1deg 1Nx g 1 d dir .
3.SERBEST LİE CEBİRLERİNİN PRİMİTİF ELEMANLARI Niyazi YURTSEVEN
26
Şimdi A kümesinde L cebirine dönüşümünü ni ,...,1,1 iken
: ia ib = ib naa ,...,1 olarak yazalım . W = ibi ni ,...,1, 1 kümesini göz
önüne alalım . d = i
max iA bdeg ve ii belirli olmayan katsayı olsun . is , d den
küçük uzunluklu ve jx kümesi üzerindeki mümkün olan bütün regüler
kelimelerden biri iken , g nxx ,...,2 = i
N
i
i
N
1
is şeklinde tanımlayalım .
1b1 = gn
n
bb
xx
,...,
,...,
2
2
yazıldığında (A.I.Shirshov,1959)’ te ki algoritmayı kullanarak , L nin iki elemanını
çarpımını bazı cinsinden yazma yolunu kullanarak bütün isn
n
bb
xx
,...,
,...,
1
1 elemanları ,
L nin bir bazı cinsinden yazılabilir . eşitliği K cismi üzerinde lineer denklem
sistemi ile değiştirilebilir.
jf Naa :1 ,... = jw , kj ,...,11 …
jw , 1b1 deki regüler kelimelerin katsayılarıdır . Eğer bu denklem sistemi
Naa ,...,1 çözümüne sahipse W = nbb ,...,1 kümesinden
1W = nbbb ,...,, 21
1 kümesine geçebiliriz . Burada 1
1b = gb g1n
n
bb
xx
,...,
,...,
2
2 dir.
Eğer ’deki denklem sistemi tutarsızsa, 2b2 elemanına aynı sırayı uygularız . Eğer
her ibi için sistemine benzer olan denklem sistemi tutarsızsa dönüşümü ,
L ’ nin bir otomorfizmine genişletilemez . Eğer bazı denklem sistemleri bir çözüme
sahipse , 1W kümesine geçeriz ve l 1W l W olur . Sonunda
t dönüşümleriyle l kW sayısını azaltmayacağımız kW kümesini elde ederiz .
Eğer kW bir dereceli n tane lineer bağımsız elemandan oluşuyor ise
dönüşümü L nin bir otomorfizmine genişletilebilir .
3.SERBEST LİE CEBİRLERİNİN PRİMİTİF ELEMANLARI Niyazi YURTSEVEN
27
Teorem 3.1.3: L nin serbest üreteçlerinin : ii ba ib naa ,...,1 ni ,...,1,1
dönüşümünün L nin bir otomorfizmine genişletilebilir olup olmadığını belirleyen bir
algoritma vardır .
Açıklama 3.1.2: Benzer bir yöntem ile B alt cebirin üreteçlerinin keyfi sonlu bir
kümesinden B ’ nin serbest üreteçlerinin kümesine geçilebilir .
Şimdi aşağıdaki özellikler ile L nin üreteçlerinin bir W kümesini inşa edelim .
1 W = Ncc ,...,1 sonlu bir küme ,
2 iA cdegmax = d ,
Lemma 3.1.1 ve önerme 3.1.2 den , bu yapıyı 1W = 0,...,0,.,...,1 naa ’ dan
başlatabiliriz . l kW sayısını azaltan kk t dönüşümünün kullanımı ile
taşıyıcının derecesi d olur .
A= naa ,...,1 , L serbest Lie cebirinin üreteçlerinin başlangıç kümesiydi .
j
i1
j
i1 0 iken jb =
j
i
n
i1
1
j
i1
n
11
ia , nj ,...,1,1
olsun .
Açık olarak L ’nin 1 dereceli her serbest kümesi ji1j
i1 katsayılarının uygun
bir seçimi için formundadır.
B , K cisminin keyfi elemanı iken ,
2na =
1nb + 2
n
i
njij
2n
i jnj
1ib
1jb
ifadesini göz önüne alalım .
Lemma 3.1.2’ den derecesi 2 olan her primitif eleman 2n
a formundadır .
ve nı uygun seçimi için .
l = 1,2 için 2l
a = 2l
b
3.SERBEST LİE CEBİRLERİNİN PRİMİTİF ELEMANLARI Niyazi YURTSEVEN
28
nl ,...,1,1 , 2l
a = 1l
b + 2li
njij
2l
i jnj
1ib
1jb ,
yazalım .
j
i2
j
i2 0 iken ,
2jb = ji
n
i2
1
j
i2
n
112i
a nj ,...,4,33
Lemma 3.1.1 ve Önerme 3.1.2 ye göre L nin serbest üreteçlerinin keyfi bir
kümesi formundadır.(elemanlarının derecesi 22 ) . 2W = 212 ,...., nbb ve
elemanlarının derecesi d olan L nin serbest üreteçlerinin keyfi bir kümesinin
dW = dd nbb ,...,1 formunda olduğunu varsayalım .
M m , v ile , serbest üreteçleri m olan bir serbest Lie cebirinde
derecesi m olan monomiallerin oluşturduğu modülün rankını gösterelim .
Küçük uzunluklu kelime küçük indisli olacak şekilde vs1 , vs 2 ,…,
v
vmMs ,
dizisini veya nxx ,...,1 nin m den küçük eşit uzunluklu regüler kelimelerini göz
önüne alalım .
Oluşturduğumuz yapıdaki katsayıların sayısını hesaplamak için Witt’s
formülünü kullanabiliriz.
11nda = ndb + 41
1,1
1
nd
i
ndM
ni
nd
i
,ndd 1111
11n
11n
isdnd
n
bb
xx
11
11
,...,
,..., yazalım .
(A.I.Shirshov,1959) algoritmasına göre idb elemanlarını , ia kümesi
üzerindeki regüler kelimelerden oluşan baz cinsinden yazılabildiğini varsayalım . O
halde ,Lemma 3.1.2 ile d +1 den küçük eşit dereceli her primitif eleman
11nda formunda olduğunu elde ederiz .
11lda = ldb + 1
1,1
1
1
, 1111
11
dl
i
ldM
ni
dl
i
11l
isdld
l
bb
xx
11
11
,...,
,..., 2,11l , 11lda = ldb
ve
3.SERBEST LİE CEBİRLERİNİN PRİMİTİF ELEMANLARI Niyazi YURTSEVEN
29
j
lda
11 0 iken , nj ,...,33 için
11jdb = j
id
n
i
1
1
1
1
n
1
j
id 11ida
yazalım .
d +1 den küçük eşit dereceli elemanlardan oluşan L ’nin serbest
üreteçlerinin keyfi bir kümesi 11dW 111 ,..., 11 ndd bb formundadır. Şimdi
L ’nin bir a elemanı verildiğinde primitif olup olmadığını belirlemeliyiz .
aAdeg d olsun . Eğer d 1 ise a , primitifdir .
11d olsun. L ’nin d ’den küçük dereceli serbest üreteçlerinin keyfi bir kümesi
11dW şeklindedir. O halde d dereceli keyfi bir eleman
nda 11ndb + nd
i
nd
i
11n
is 111
11
,...,
,...,
ndd
n
bb
xx şeklindedir.
NM sss ,....,,....,1 , ia ’ nin regüler kelimeleri olsun . M ndM , ,
N nddM ,11 olsun .
nda elemanını , if , ve ’nın bilinen polinomları iken
nda i
M
i
fM
f1
is i
N
Mi
fN
fM 1
is
formunda yazacağız ,
a elemanını ,
a i
M
i
wM
w1
is iw K
şeklinde yazacağız .
Eğer ,
Miwf
NMif
ii
i
,...,1,
,...,1,0
3.SERBEST LİE CEBİRLERİNİN PRİMİTİF ELEMANLARI Niyazi YURTSEVEN
30
denklem sistemi , jisj
is , mp
kl
mp
kl sabitleri ile her s için j
is
j
is 0
iken , K cismi üzerinde tutarlı ise o halde a elemanı primitiftir aksi halde
değildir .Böylece ispat tamamlanır .
Teorem 3.1.4: Serbest Lie cebirlerinin verilen bir elemanının primitif eleman olup
olmadığı problemini aldığımız cisim üzerindeki cebirsel denklemleri bir
sisteminin tutarlılığına indirgeyen ve verilen bir elemana göre belirlenen bir
algoritma vardır .
Eğer jisj
is ,mp
kl
mp
kl , K cisminin elemanı ise , sisteminden her
s 00jisj
i için teorem 3.1.2’ ye göre
aL , 1111 ,..., 111 dnd bb serbest üreteç kümesi ile Lie cebiridir .
Sonuç : Teorem 3.1.4’ ün ispatındaki algoritma , bir bağıntılı bir Lie cebirinin
serbest olup-olmadığı problemini K cismi üzerindeki cebirsel denklem
sisteminin çözümü problemine indirger.
Benzer sonuçlar (A.I.Shirshov,1954) ve (A.I.Shirshov,1954) makalelerinde
değişmeli ve değişmeli olmayan cebirler için elde edilmiştir.
4.BİR BAĞINTILI LİE CEBİRLERİNİN İZOMORFİZMLERİ Niyazi YURTSEVEN
31
4. BİR BAĞINTILI LİE CEBİRLERİNİN İZOMORFİZMLERİ
L , sonlu üreteçli bir Lie cebiri olsun. u ile v , L ’nin sırasıyla u ve v
tarafından üretilen idealleri olmak üzere, L ’nin u
L ve v
L izomorfik olacak
şekilde u ve v elemanlarına örnek verilmiştir. Ayrıca , u
L ve v
L izomorfik
iken uu v olacak şekilde bir otomorfizminin olamayacağı gösterilmiştir.
(McCool ve Pietrowski,1971) tarafından bu çeşit bir bağıntılı gruplar için
örnekler inşa edildi. Sonra (Brunner ,1976) ikişerli eşdeğer olmayan bağıntılar ile bir
bağıntılı izomorfik grupların bir sonsuz serisini oluşturdu. Serbest Lie cebirleri için
benzer sonuç (Kukin,1970) tarafından elde edildi. (Shpilrain ve Yu,2003) benzer
sonucun rankı 2 olan serbest birleşmeli cebirler için geçerli olduğunu gösterdi .
L nxxx ,...,, 21 ile, nxxx ,...,, 21 tarafından üretilen serbest Lie cebirini
göstereceğiz. Burada nxxxLL ,..., 21L ve R , 'L nin bir ideali olmak üzere
RxxxL n,...,, 21 bölüm cebirine uygulanabilen ve izomorfizmi koruyan elementer
dönüşümlerin 3 tipini inceleyelim:
(1) Yeni Bir Değişken Sunumu:
R = R + w iken R
xxxL n,...,, 21 yerine R
yxxxL n ,,...,, 21 alalım.
w , nxxxfyw ,...,, 21fy tarafından üretilen idealdir ve nxxxf ,...,, 21 , L’ nin
keyfi elemanıdır.
(2) Değişken Yok Edilmesi:
Eğer nxxxfyg ,...,,, 21f formunda ve nm xxxLff ,...,,,..., 211 L iken
gffyxxxL
m
n
,,...,,,...,
1
21 formunda bir cebire sahipsek, bu cebir yerine
m
n
ffxxxL
,...,...,
1
21 yazarız.
4.BİR BAĞINTILI LİE CEBİRLERİNİN İZOMORFİZMLERİ Niyazi YURTSEVEN
32
(3) Değişkenleri Yeniden Adlandırılması:
nii ,...,1 keyfi farklı indisler iken nxx ,...,1 değişkenleri yerine nii xx ,...1 yazalım.
Aşağıdaki teorem Tietze teoremindeki gibi aynı yolla ispatlanabilir.
Teorem 4.1.1: m
n
fffxxxL
,...,,...,
21
21 ve k
n
hhhxxxL
,...,,,...,
21
21 nin izomorfik
olabilmeleri için gerek ve yeter koşul 31 dönüşümlerinin bir dizisinin
uygulanması ile cebirlerin birinden diğerinin elde edilmesidir.
Bu teoremin sonucu olarak aşağıdakileri söyleyebiliriz:
m
n
fffxxxL
,...,,...,
21
21 ve k
n
gggxxxL
,...,,,...,
21
21 izomorfik cebirler
olmak üzere kff ,...,1 ve kgg ,...,1 idealleri nxxxL ,...,, 21 ’ nin bir otomorfizmi
altında denk olmak zorunda değildir. Bunların denkliği daima stably denkliğidir.
Sonuç 4.1.1: m
n
fffxxxL
,...,,...,
21
21 ve k
n
gggxxxL
,...,,,...,
21
21 cebirleri
izomorfik ise o halde nnm xxff 211 ,...,,,..., ve nnk xxgg 211 ,...,,..., idealleri
nxxL 21 ,..., ’nin bir otomorfizmi altında denktir.
Teorem 4.1.2: K bir cisim, zyxLL ,,L serbest üreteçlerin zyx ,, kümesi ile K
üzerinde bir serbest Lie cebiri olsun.
zyyxxu ,,,x , yxzyxv ,,,x olarak alalım. L nin u ve v idealleri
sırasıyla u ve v elemanları tarafından üretilmiş olsun. O zaman
vL
uL olduğu halde vu v olacak şekilde bir otomorfizm yoktur.
İspat:
31 tietze dönüşümlerini kullanırsak
zyyxxzyxL
uL
,,,,,
4.BİR BAĞINTILI LİE CEBİRLERİNİN İZOMORFİZMLERİ Niyazi YURTSEVEN
33
zyyxxyxt
tzyxL,,,,,
,,,
nxxftg ,...,, 1f biçiminde ve nm xxLff ,...,,... 11 L iken
m
n
m
n
ffxxL
gfftxxL
,...,,...
,,...,,...
1
1
1
1 olup yxtg ,xt ,
mffzyyxx ,...,,,, 1 olduğunu düşünelim.
zytxyxt
tzyxLu
L,,,,
,,,
wRR
tyzyyxxyxtR
zyyxtw
,,,,,,
,,,
yzytt
tzyLu
L,,,
,,
1 tietze w yerine yxt ,x yazıldı.
v
Lyxzyx
zyxLu
L,,,
,,
xt x yazıldı
d , 4,1 41 vdudzdydxdL serbest Lie cebirlerinde standart
fonksiyon derecesi olsun. f~
ile L’ nin bir f elemanının en yüksek dereceli terimini
gösterelim.
Eğer L, L, ’nin bir otomorfizmi ise u~
, L cebirinin ikinci türetilmiş alt
cebiri LLLLL ,,,2 ’ ye aittir
zyyxxu ,,,
zyyxx ,,,
2~ Lu LL~~
olduğunu gösterdik.
4.BİR BAĞINTILI LİE CEBİRLERİNİN İZOMORFİZMLERİ Niyazi YURTSEVEN
34
2,,,~
,,,
Lyxzyv
yxzyxv
L
x o halde 2Lu LL fakat 2~ Lv L olup vu v bulunur.
czbyax cba ,, olsun
cba ~,~
,~ lineer bağımsız ise bacbLu~
,~,~,~~
L~
adadxdud ddd ~
cba ~,~
,~ lineer bağımlı olsun. Eğer ba~
,~ lineer bağımsız ise
adbadbad dd~
,~, .
Eğer KK, iken bac~~~ b~
a~ ise bacc bac alalım.
adbacbbacb d~
,~,~,~
,,,
KK iken ba~~ b~
ise bdad d dir.
baa baa alalım. ba~
,~ , lineer bağımsız olduğundan önceki gibi
bacbu~
,~,~,~~
,~
ve adud d .
KK, iken bac~~~ b~
a~ ise bacc baacc olmak üzere
bacbu~
,~,~,~~~
dir ve bdadud dd~
dir.
, Lie cebirinin bir otomorfizmi olduğundan ca ca , elemanları sıfır değildir. Böylece
, L nin her otomorfizmi için 2~
Lu LL~
olduğu gösterildi.
zyyxxu ,,,
= zyyxx ,,,
= zyyxx ,,,
a
= cbbaa ,,,
Her iki durumda (lineer bağımlı ve lineer bağımsızlık durumlarında
adud d~
olduğundan vu v dir.
4.BİR BAĞINTILI LİE CEBİRLERİNİN İZOMORFİZMLERİ Niyazi YURTSEVEN
35
Önerme 4.2.1:K bir cisim olsun. KyxLL ,,L üzerinde yx, kümesi tarafından
üretilen serbest Lie cebiri olsun. yxyyxxu ,,,,x
yxyxxv ,,,x olsun.
u ve v , u ve v tarafından üretilen L nin idealleri olsun. O halde ,v
Lu
L
dir ve vu v olacak şekilde L nin bir otomorfizmi yoktur.
İspat: Tieze dönüşümlerini uygularsak
yxyyxxyxL
uL
,,,,,
yxtyxyyxx
tyxL,,,,,,
,,
ytytttytx
tyxL,,,,,,
,,
ytytt
tyL,,,
,
yxyxx
Lyxyxx
yxL,,,,,,
,
iki üreteçli lie cebirlerinin bütün otomorfizmlerinin lineer olduğu iyi bilinir.Bu
nedenle , L ’nin her otomorfizmi için vdudud dd 45 . Dolayısıyla
vu v olacak şekilde L ’nin bir otomorfizmi yoktur.
Sonuç 4.2.1:Bir bağıntılı izomorfik u
L ve v
L Lie cebirleri vardır öyle ki
izomorfizm , L ’nin herhangi bir otomorfizmi tarafından belirlenemez ya da buna
denk olarak 'L nin u idealini v ’ ye götüren bir otomorfizmi yoktur.
İspat : L , u ve v teorem 4.1.2 veya önerme 4.2.1 deki gibi olsun. (Shirshov ,1962)
sıfır olmayan a ve b elemanları ile üretilen bir serbest Lie cebirindeki a ve b
idealleri denk olursa o halde, Kab Ka . Bunu teorem 4.1.1 ile birleştirsek sonuç
sağlanır.
36
KAYNAKLAR
BRUNNER A.M., (1976). A group with an infinitive number of Nielsen inequivalent
one-relator presentations, J.Algebra 42, 81-84.
COHN P.M., (1964). Subalgebras of free associative algebras,Proc.London
Math.soc.,(893),14 ,618-632.
DRENSKY V. and YU J.T., (2003). Primitive elements of free metabelian algebras
of rank two, Internat. J. Algebra and Comput., vol. 13, No.1.
KUKİN G.P., (1970). Primitive Elements of Free Lie Algebras, Algebra; Logika,
Vol.9.No.4 , 458-472. English translation: Algebra and Logic 9 (1970), 275-
284.
LYNDON R. and SCHUPP P., (2001). Combinatorial Group Theory, Reprint of the
1977 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin.
MAGNUS W., (1963). Über diskontinuierliche Gruppen mit einer definierder
Relation, J.Reine Angew. Math. 163 , 141-165.
MAGNUS W., KARRASS A. and D.SOLİTAR D.,(1996). Combinatorial group
theory, Interscience, New-York.
MAL’TSEV A.I., (1960). On algebras with identical defining relations, Mat. Sb. , 26
,19-33.
McCOOL J. and A.PIETROWSKI A., (1971). On free products with amalgamation
of two infinite cyclic groups.J.Algebra243,198-223.
MIKHALEV A.A., SHPİLRAİN V., UMIRBAEV U.U.,(2004). On Isomorphism of
Lie Algebras with One Defining Relation. IJAC 14(3): 389-393.
REUTENAUER C.,(1993). Free Lie algebras ,Clarendan press,Oxford
SHIRSHOV A.I., (1953). Subalgebras of free Lie algebras,Math.Sb.,33 ,441-452.
SHIRSHOV A.I., (1954). Subalgebras of free commutative and free anti-
commutative algebras, Mat.Sb. , 34 , No.1, 81-88.
SHIRSHOV A.I., (1959). On free Lie rings, Math. Sb. , 45 , 113-122.
SHIRSHOV A.I., (1962). Some algorithmic problems for algebras, Sibisk. Mat.
Zh. 3 ,No.1, 132-137.
SHIRSHOV A.I., (1962). Some algoritmic problems for Lie algebras, Sibirsk.
Matem. Zh. , 3, 292-296.
37
SHPİLRAİN V. and YU J.T., (2003). Factor algebras of free algebras: on a
problem of G.Bergman. Bulletin of the London Math. Soc., Cambridge
universty press 35:706-710.
WHİTEHEAD J.H.C., (1936). On certain sets of elements in free
group,Proc.London. Math. Soc. , 41 , 48-56.
38
ÖZGEÇMİŞ
1979 yılında Malatya’da doğdum. İlk,orta ve lise öğrenimimi Malatya’da
tamamladım. 1997-2001 yıllarında İnönü Üniversitesi Eğitim Fakültesi Matematik
Bölümü’nde lisans eğitimimi tamamladım. 2003 yılında bölümde yüksek lisansa
başladım. Maltepe Merkez Anadolu Lisesi’nde matematik öğretmeni olarak görev
yapmaktayım.
Recommended