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• Cada experimento aleatorio tiene asociado un espacio muestral .
• Los eventos incluidos en ese espacio muestral no son números, en general.
• Por ejemplo si el experimento es efectuar un análisis de sangre para saber si se
está enfermo, los posibles resultados son = {sano, enfermo}
• Estos resultados, como ven, no son números, sin embargo podemos asignarles
valores números y así obtener una variable llamada VARIABLE ALEATORIA.
• Es variable porque los números (resultados) varían y es aleatoria porque su
valor depende de un experimento aleatorio.
VARIABLE ALEATORIA
EJEMPLO
• Consideremos el experimento aleatorio “arrojar dos monedas
equilibradas y observar la secuencia de caras y cruces obtenidas”
• El espacio muestral asociado a este experimento es:
= {CARA-CARA ; CARA-CRUZ ; CRUZ-CARA ; CRUZ-CRUZ}
• Son entonces 4 eventos igualmente posibles.
• Ahora vamos a definir la variable aleatoria X de la siguiente manera:
X = “cantidad de caras obtenidas”
• Entonces ahora, al evento CARA-CARA le asignaremos el número
2, pues hay dos caras, al evento CARA – CRUZ el número 1 y así
sucesivamente.
VARIABLE ALEATORIA
• Por lo tanto podemos definir a la variable aleatoria como
la asignación de números reales a los eventos de un
experimento aleatorio, su símbolo será X oY.
• Una variable aleatoria puede ser discreta o continua.
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
• Una vez que hemos definido la variable aleatoria X, vamos a asignarle a cada valor su respectiva probabilidad, por ejemplo ¿Cuál es la probabilidad de que X sea igual a 2? Esto significa la probabilidad de obtener dos caras, es decir
P(X = 2) = P(CARA-CARA) = ¼ = 0,25
• Haciendo lo mismo para cada valor de X tendremos
X P(X)
0 1/4
1 1/2
2 1/4
1
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Ésta tabla representa una distribución de probabilidad, como ven, la suma de las
probabilidad es igual a 1. Esa propiedad se llama Ley de cierre.
Es una distribución de probabilidad porque la probabilidad 1 se “distribuye” entre
todos los valores de X
EJEMPLO
Inasistencias 0 1 2 3 4 5
Cantidad alumnos 14 7 3 2 1 1 28
Frec. relativa 0,50 0,25 0,11 0,07 0,04 0,04 1
Inasistencias (X) 0 1 2 3 4 5
P(X) 0,50 0,25 0,11 0,07 0,04 0,04 1
P(tener dos inasistencias)
P(tener a lo sumo una falta)
P(asistencia perfecta)
P(al menos tres faltas)
P(al menos una falta)
ESPERANZA MATEMÁTICA• Así como en la unidad 2 y 3 hemos calculado medidas de resumen
para las variables estudiadas también podemos obtenerlas para una
variable aleatoria.
• Las medidas de resumen de una variable aleatoria X podemos
sintetizarlas en una medida de posición llamada ESPERANZA
MATEMÁTICA y una de dispersión llamada VARIANZA.
• La esperanza es el valor esperado de una variable aleatoria, es la
media de la variable, su fórmula es
𝜇 = 𝐸 𝑥 =
𝑖=1
𝑛
𝑥 ∙ 𝑝(𝑥)
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
•Un variable aleatoria es continua cuando puede
tomar infinitos valores en un intervalo
cualquiera
UNA DISTRIBUCIÓN ESPECIAL
•Muchas variables aleatorias continuas siguen un
comportamiento cuya gráfica es similar a la
siguiente
0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 90,00 100,00
puntaje
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35fr
ecuencia
rela
tiva
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
• Esta distribución tiene la característica de ser simétrica y si además
cumple con otras condiciones existe un modelo matemático que
representa a esta distribución y se denomina DISTRIBUCIÓN
NORMAL
DISTRIBUCIÓN NORMAL
• Esta curva representa una distribución de probabilidad y cumple con las
siguientes características:
1. La variable aleatoria X es continua.
2. El campo de variación de X es de −∞ 𝑎 ∞
3. El área total bajo la curva es 1.
4. La curva es simétrica, esto significa que la media, mediana y modo coinciden
en el mismo valor.
5. Sus parámetros son y
0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 90,00 100,00 110,00
Variable
0,00
0,01
0,02
0,03
De
nsid
ad
Función de densidad
Esta curva es el modelo ideal, y
responde a la expresión matemática
𝑓 𝑥 =1
𝜎 2𝜋𝑒−12𝑥−𝜇𝜎
2
-4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
Variable
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400D
en
sid
ad
Normal(0,1): p(evento)=0,1075
-4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
Variable
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400D
en
sid
ad
Normal(0,1): p(evento)=0,9821
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