Valószínuségszámítás és statisztika a...

Valószínuségszámítás és statisztika afizikában

2019. március 12.

Eloszlásokjellemzése

MomentumokMomentumok

Generátorfüggvény

Perkoláció véletlenhálózatban

Karakterisztikusfüggvény

Medián éskvantilisMedián

Kvantilis

Módusz

MOMENTUMOK, GENERÁTORFÜGGVÉNY, KARAKTERISZTIKUSFÜGGVÉNY

Kvantilis

Módusz

Momentumok általános definíciója

Momentumok

Definíció: A X valószínuségi változó k-adik momentuma:

⟨Xk⟩ = ⟨xk

∫−∞

xkρX(x)dx.

A X valószínuségi változó k-adik centrális momentuma:

µk ∶= ⟨(X − ⟨X⟩)k⟩ = ⟨(x − ⟨x⟩)k

∫−∞

(x − ⟨x⟩)kρX(x)dx.

• Mi X elso momentuma?

• Mi X második centrális momentuma?

Kvantilis

Módusz

Momentumok

⟨Xk⟩ = ⟨xk

∫−∞

xkρX(x)dx.

µk ∶= ⟨(X − ⟨X⟩)k⟩ = ⟨(x − ⟨x⟩)k

∫−∞

• Mi X elso momentuma?

Kvantilis

Módusz

Momentumok

⟨Xk⟩ = ⟨xk

∫−∞

xkρX(x)dx.

µk ∶= ⟨(X − ⟨X⟩)k⟩ = ⟨(x − ⟨x⟩)k

∫−∞

• Mi X elso momentuma? A várható érték!

Kvantilis

Módusz

Momentumok

⟨Xk⟩ = ⟨xk

∫−∞

xkρX(x)dx.

µk ∶= ⟨(X − ⟨X⟩)k⟩ = ⟨(x − ⟨x⟩)k

∫−∞

Kvantilis

Módusz

Momentumok

⟨Xk⟩ = ⟨xk

∫−∞

xkρX(x)dx.

µk ∶= ⟨(X − ⟨X⟩)k⟩ = ⟨(x − ⟨x⟩)k

∫−∞

• Mi X második centrális momentuma? A szórásnégyzet!

Kvantilis

Módusz

Definíció: Ha X diszkrét valószínuségi változó, mely nem negatívegész számokat vehet fel a

P(X = 0) = p0, P(X = 1) = p1, ⋯ P(X = k) = pk, ⋯

eloszlással, akkor a hozzá tartozó generátorfüggvény:

GX(z) ∶=∞∑k=0

azaz formálisan GX(z) = ⟨zX⟩.

Kvantilis

Módusz

Generátorfüggvény és momentumok

• Ha G(z) ∶=∞∑k=0

pkzk, akkor

• Mi lesz G(1)?• Hogyan lehet pk-t a G(z) segítségével kifejezni?• Hogyan lehet a ⟨X⟩ = ⟨k⟩ várható értéket G(z) segítségével

kifejezni?

Kvantilis

Módusz

• Ha G(z) ∶=∞∑k=0

pkzk, akkor

• Mi lesz G(1)?• Hogyan lehet pk-t a G(z) segítségével kifejezni?• Hogyan lehet a ⟨X⟩ = ⟨k⟩ várható értéket G(z) segítségével

kifejezni?Generátorfüggvény és momentumok

G(1) = 1,

pk =1k!

dkG(z)dzk

⟨X⟩ = ⟨k⟩ =∞∑k=0

kpk =dG(z)

dz∣z=1

= G′(1),

⟨Xn⟩ = ⟨kn

⟩ =∞∑k=0

knpk = [z∂

G(z)∣z=1

Kvantilis

Módusz

A várható érték és szórás kifejezése a generátorfüggvény segítségével:

⟨X⟩ = ⟨k⟩ =∞∑k=0

kpk =dG(z)

dz∣z=1

= G′(1),

σ2(X) = ⟨X2

⟩ − ⟨X⟩2= [z

G(z)∣z=1

−G′(1)2

∂z] zG′

(1)∣z=1

−G′(1)2

= G′′(1) +G′

(1) −G′(1)2.

Kvantilis

Módusz

eloszlás a� � a

momentumok ⇔ generátorfüggvény

Az összes momentum ismerete egyenlo az eloszlás ismeretével!

Kvantilis

Módusz

GenerátorfüggvényPéldák

Példa

Korábban láttuk, hogy a binomiális eloszlás számos fontos problémánálfelbukkan, (pl. valszám vizsgát sikeresen lerakó hallgatók száma,véletlen gráf fokszámeloszlása, stb.).→ Mi lesz a binomiális eloszlás generátorfüggvénye?

Bernoulli problémája Binomiális eloszlás I. Várható érték Szórás Binomiális eloszlás II. ¼

Kvantilis

Módusz

Példa

Korábban láttuk, hogy a binomiális eloszlás számos fontos problémánálfelbukkan, (pl. valszám vizsgát sikeresen lerakó hallgatók száma,véletlen gráf fokszámeloszlása, stb.).→ Mi lesz a binomiális eloszlás generátorfüggvénye?

P(X = k) = pk = (Nk)pk

(1 − p)N−k,

GX(z) =N

∑k=0

(Nk)pk

(1 − p)N−kzk=

∑k=0

(Nk)(pz)k

(1 − p)N−k=

(pz + 1 − p)N= (1 − p(1 − z))N .

Bernoulli problémája Binomiális eloszlás I. Várható érték Szórás Binomiális eloszlás II. ¼

Kvantilis

Módusz

Példa

Korábban láttuk, hogy a binomális eloszlást nagy N-ek eseténPoisson–eloszlással szoktuk közelíteni.→ Mi lesz a Poisson–eloszlás generátorfüggvénye?

Poisson–eloszlás I. Poisson–eloszlás II. ¼

Kvantilis

Módusz

Példa

Korábban láttuk, hogy a binomális eloszlást nagy N-ek eseténPoisson–eloszlással szoktuk közelíteni.→ Mi lesz a Poisson–eloszlás generátorfüggvénye?

P(X = k) = pk =λke−λ

GX(z) =∞∑k=0

λke−λ

∞∑k=0

(λz)ke−λ

k!= e−λeλz

∞∑k=0

(λz)ke−λz

k!´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

= eλ(z−1).

Poisson–eloszlás I. Poisson–eloszlás II. ¼

Kvantilis

Módusz

Összeg generátorfüggvénye

• Ha X és Y független, akkor miként lehet a Z = X + Y változógenerátorfüggvényét kifejezni a X és Y generátorfüggvényeivel?

Összeg eloszlása ¼

Kvantilis

Módusz

p(Z)k =∑i

p(X)i p(Y)k−i ,

→ GZ(z) =∑k

p(Z)k zk=∑

ip(X)i p(Y)k−i zk

=∑k∑

ip(X)i p(Y)k−i zizk−i

GZ(z) =∑i

p(X)i zi∑

jp(Y)j zj

= GX(z)GY(z).

Kvantilis

Módusz

p(Z)k =∑i

p(X)i p(Y)k−i ,

→ GZ(z) =∑k

p(Z)k zk=∑

ip(X)i p(Y)k−i zk

=∑k∑

ip(X)i p(Y)k−i zizk−i

GZ(z) =∑i

p(X)i zi∑

jp(Y)j zj

= GX(z)GY(z).

Ha X1,X2, ...,Xn független valószínuségi változók és Y = X1 + X2 +⋯ + Xn,akkor Y generátorfüggvénye:

GY(z) = GX1+X2+⋯+Xn(z) = ⟨zX1+X2+⋯+Xn⟩ = ⟨zX1 zX2⋯zXn⟩ =

⟨zX1⟩ ⟨zX2⟩⋯ ⟨zXn⟩ = GX1(z)GX2(z)⋯GXn(z).

Kvantilis

Módusz

Több dimenziós eset

Generátorfüggvény több dimenzióban

Definíció: Ha a X valószínuségi változó komponensei nem negatívegész számokat vehetnek fel, a

P(X = k) = P(X1 = k1,X2 = k2, ...,Xn = kn) = pk1,k2,...,kn

eloszlással, akkor a hozzá tartozó generátorfüggvény:

GX(z) = GX(z1, z2, ..., zn) ∶=∞∑k1=0

∞∑k2=0

⋯∞∑kn=0

pk1,k2,...,kn zk11 zk2

2 ⋯zknn .

Kvantilis

Módusz

Több dimenziós esetMomentumok

Momentumok és G(z)

Az i-edik komponens várható értéke:

⟨Xi⟩ =∞∑k1=0

∞∑k2=0

⋯∞∑kn=0

kipk1,k2,...,kn =∂G(z)∂zi

∣z=1.

A magasabb momentumok és a szórás:

⟨(Xi)r⟩ =

∞∑k1=0

∞∑k2=0

⋯∞∑kn=0

kri pk1,k2,...,kn = [zi

∂zi]

G(z)∣z=1,

σ2(Xi) = ⟨X2

i ⟩ − ⟨Xi⟩2= [zi

∂zi]

G(z)∣z=1

− [∂G(z)∂zi

∣z=1

∂2G(z)∂z2

+∂G(z)∂zi

∣z=1

− [∂G(z)∂zi

∣z=1

Kvantilis

Módusz

Perkoláció véletlen hálózatban

Ez az alfejezet semmilyen formában nem kerül számonkérésre...

De egy érdekes példát mutat generátorfüggvények alkalmazására.

Kvantilis

Módusz

Ez az alfejezet semmilyen formában nem kerül számonkérésre...

De egy érdekes példát mutat generátorfüggvények alkalmazására.

Kvantilis

Módusz

• Összefüggo komponens egy hálózatban: olyan rész hálózat,melyben a kapcsolatokon (éleken) keresztül eljuthatunk akármelyikcsomópontból (csúcsból) akármelyik másik csomópontba.

• Óriás komponens: aminek s1 mérete a teljes rendszerméret, Nmellett sem elhanyagolható, s1

N > 0 akkor is, ha N →∞.

• Óriás komponens jelenléte vagy hiánya drasztikusan megváltoztatjaa hálózat viselkedését.

• Mikor jelenik meg/tunik el az óriás komponens?↕

• PERKOLÁCIÓ

Kvantilis

Módusz

• PERKOLÁCIÓ

Kvantilis

Módusz

• PERKOLÁCIÓ

Kvantilis

Módusz

• PERKOLÁCIÓ

Kvantilis

Módusz

Perkoláció szabályos rácson

• egy rácspont (vagy él) betöltött p valószínuséggel,

• a kritikus pc-nél megjelenik a perkoláló klaszter.

(Barabási A.-L. fóliáiról) ¼

Kvantilis

Módusz

Pl. a véletlen csúcs (vagy él) meghibásodások felfoghatók úgy, mint egy„inverz” perkolációs folyamat.

(Barabási A.-L. fóliáiról) ¼

Kvantilis

Módusz

Perkoláció véletlen hálózatbanCélkituzés

Hol van a perkoláció kritikus pontja egy véletlen hálózatban?

Feltevéseink:

• ismerjük a fokszámeloszlást:p(k) = P( egy v.v. csúcsnak k kapcsolata van ),

• a kritikus pontot a „széttöredezett” fázis felol közelítjük:a hálózat még elég ritka és elég véletlen ahhoz, hogy lokálisanfa–szeru legyen.

Kvantilis

Módusz

Perkoláció és generátorfüggvények

Bevezetünk néhány diszkrét eloszlást:

H (k)m

p(k) k • p(k) = P(v.v csúcsnak k élevan ). (Ezt hívjákfokszámeloszlásnak).

• I(k) = P(v.v. csúcs egy kméretu komponensben van).

• H(k) = P(v.v. él egyik végénegy k méretu komponensvan).

• Hm(k) = P(v.v. m darab élekegyik végein találhatókomponensek összmérete k).

Kvantilis

Módusz

Alapötlet:

→ I(k) = p(0)H0(k − 1) + p(1)H1(k − 1) + p(2)H2(k − 1) + ...

+p(m)Hm(k − 1) + ... =∞∑m=0

p(m)Hm(k − 1)

Vesszük mindkét oldal generátorfüggvényét:

GI(x) =∞∑k=0

∞∑m=0

p(m)Hm(k − 1)xk =

=∞∑k=0

∞∑m=0

p(m) 1(k − 1)!

dk−1

dxk−1GH,m(x)∣

Kvantilis

Módusz

Alapötlet:

→ I(k) = p(0)H0(k − 1) + p(1)H1(k − 1) + p(2)H2(k − 1) + ...

+p(m)Hm(k − 1) + ... =∞∑m=0

p(m)Hm(k − 1)

GI(x) =∞∑k=0

∞∑m=0

p(m)Hm(k − 1)xk =

=∞∑k=0

∞∑m=0

p(m) 1(k − 1)!

dk−1

dxk−1GH,m(x)∣

Kvantilis

Módusz

Alapötlet:

→ I(k) = p(0)H0(k − 1) + p(1)H1(k − 1) + p(2)H2(k − 1) + ...

+p(m)Hm(k − 1) + ... =∞∑m=0

p(m)Hm(k − 1)

GI(x) =∞∑k=0

∞∑m=0

p(m)Hm(k − 1)xk =

=∞∑k=0

∞∑m=0

p(m) 1(k − 1)!

dk−1

dxk−1GH,m(x)∣

Kvantilis

Módusz

• A GH,m(x) kifejezheto GH(x)-el:

H (k)mH(k)

⇒ GH,m(x) = [GH(x)]m

→ GI(x) =∞∑k=0

∞∑m=0

p(m) 1(k − 1)!

dk−1

dxk−1GH,m(x)∣

∞∑k=0

∞∑m=0

p(m) 1(k − 1)!

dk−1

dxk−1[GH(x)]m∣

=∞∑m=0

p(m) [GH(x)]m x = xG(GH(x)),

ahol G(x) a p(k) fokszámeloszlás generátorfüggvénye.

Kvantilis

Módusz

• A GH,m(x) kifejezheto GH(x)-el:

H (k)mH(k)

⇒ GH,m(x) = [GH(x)]m

→ GI(x) =∞∑k=0

∞∑m=0

p(m) 1(k − 1)!

dk−1

dxk−1GH,m(x)∣

∞∑k=0

∞∑m=0

p(m) 1(k − 1)!

dk−1

dxk−1[GH(x)]m∣

=∞∑m=0

p(m) [GH(x)]m x = xG(GH(x)),

ahol G(x) a p(k) fokszámeloszlás generátorfüggvénye.

Kvantilis

Módusz

• I(k) = P(v.v csúcs egy k méretu komponensben van).

→ Egy v.v csúcs komponensének várható mérete:

⟨S⟩ = G′I(1) = [xG(GH(x)]′∣x=1 = G(GI(1)) +G′(1)G′

H(1) == 1 + ⟨k⟩G′

ahol G′(1) = ⟨k⟩ a fokszám várható értéke.

• Hogyan lehetne G′H(1)-et meghatározni?

Kvantilis

Módusz

⟨S⟩ = G′I(1) = [xG(GH(x)]′∣x=1 = G(GI(1)) +G′(1)G′

H(1) == 1 + ⟨k⟩G′

Kvantilis

Módusz

⟨S⟩ = G′I(1) = [xG(GH(x)]′∣x=1 = G(GI(1)) +G′(1)G′

H(1) == 1 + ⟨k⟩G′

Kvantilis

Módusz

• G′H(1) meghatározásához egy újabb eloszlást kell bevezetnünk:

q(k) = P(v.v él egyik végén k továbbiélekre lehet tovább menni).

• Ötlet:

→ H(k) = q(0)H0(k − 1) + q(1)H1(k − 1) + q(2)H2(k − 1) + ...

+q(m)Hm(k − 1) + ... =∞∑m=0

q(m)Hm(k − 1)

Megint vesszük mindkét oldal generátorfüggvényét.

Kvantilis

Módusz

• Ötlet:

→ H(k) = q(0)H0(k − 1) + q(1)H1(k − 1) + q(2)H2(k − 1) + ...

+q(m)Hm(k − 1) + ... =∞∑m=0

q(m)Hm(k − 1)

Kvantilis

Módusz

• Ötlet:

→ H(k) = q(0)H0(k − 1) + q(1)H1(k − 1) + q(2)H2(k − 1) + ...

+q(m)Hm(k − 1) + ... =∞∑m=0

q(m)Hm(k − 1)

Kvantilis

Módusz

• Ötlet:

→ H(k) = q(0)H0(k − 1) + q(1)H1(k − 1) + q(2)H2(k − 1) + ...

+q(m)Hm(k − 1) + ... =∞∑m=0

q(m)Hm(k − 1)

Kvantilis

Módusz

GH(x) =∞∑k=0

∞∑m=0

q(m)Hm(k − 1)xk =

=∞∑k=0

∞∑m=0

q(m) 1(k − 1)!

dk−1

dxk−1GH,m(x)∣

=∞∑k=0

∞∑m=0

q(m) 1(k − 1)!

dk−1

dxk−1[GH(x)]m∣

=∞∑m=0

q(m) [GH(x)]m x = xGq(GH(x))

G′H(1) = Gq(GH(1)) +G′

q(1)G′H(1) = 1 +G′

q(1)G′H(1)

→ G′H(1) = 1

1 −G′q(1)

Kvantilis

Módusz

• Visszahelyettesítve:

⟨S⟩ = 1 + ⟨k⟩G′H(1) = 1 + ⟨k⟩

1 −G′q(1)

→ A kritikus pont:G′

q(1) = 1

• A Gq(x)-t ki tudjuk fejezni a fokszámeloszlás segítségével:q(k) = P(v.v él egyik végén k + 1 fokszámú csúcs),

P(él végén k fokszámú csúcs) = kNk

∑k′ k′Nk′= kp(k)∑k′ k′p(k′)

= kp(k)⟨k⟩

→ q(k) = k + 1⟨k⟩

p(k + 1)

Gq(x) = 1⟨k⟩

∞∑k=0

(k + 1)p(k + 1)xk = 1⟨k⟩

∞∑l=1

lp(l)xl−1 = G′(x)⟨k⟩

Kvantilis

Módusz

⟨S⟩ = 1 + ⟨k⟩G′H(1) = 1 + ⟨k⟩

1 −G′q(1)

q(1) = 1

= kp(k)⟨k⟩

→ q(k) = k + 1⟨k⟩

p(k + 1)

Gq(x) = 1⟨k⟩

∞∑k=0

(k + 1)p(k + 1)xk = 1⟨k⟩

∞∑l=1

Kvantilis

Módusz

⟨S⟩ = 1 + ⟨k⟩G′H(1) = 1 + ⟨k⟩

1 −G′q(1)

q(1) = 1

= kp(k)⟨k⟩

→ q(k) = k + 1⟨k⟩

p(k + 1)

Gq(x) = 1⟨k⟩

∞∑k=0

(k + 1)p(k + 1)xk = 1⟨k⟩

∞∑l=1

Kvantilis

Módusz

⟨S⟩ = 1 + ⟨k⟩G′H(1) = 1 + ⟨k⟩

1 −G′q(1)

q(1) = 1

= kp(k)⟨k⟩

→ q(k) = k + 1⟨k⟩

p(k + 1)

Gq(x) = 1⟨k⟩

∞∑k=0

(k + 1)p(k + 1)xk = 1⟨k⟩

∞∑l=1

Kvantilis

Módusz

• A G′q(1) a másodszomszédok számának várható értékével áll

nagyon szoros kapcsolatban.

• Bevezetjük:

mq (k)

qm(k) = P(m darab v.v. élek egyikvégein összesen k további élekrelehet továbbmenni).

n2(k) = P(egy v.v. csúcs másodszomszédainak száma k).

→ n2(k) = p(0)q0(k) + p(1)q1(k) + p(2)q2(k) + ...

+p(m)qm(k) + ... =∞∑m=0

p(m)qm(k)

(Megint vesszük mindkét oldal generátorfüggvényét).

Kvantilis

Módusz

• Bevezetjük:

mq (k)

→ n2(k) = p(0)q0(k) + p(1)q1(k) + p(2)q2(k) + ...

+p(m)qm(k) + ... =∞∑m=0

p(m)qm(k)

Kvantilis

Módusz

• Bevezetjük:

mq (k)

→ n2(k) = p(0)q0(k) + p(1)q1(k) + p(2)q2(k) + ...

+p(m)qm(k) + ... =∞∑m=0

p(m)qm(k)

Kvantilis

Módusz

• Bevezetjük:

mq (k)

→ n2(k) = p(0)q0(k) + p(1)q1(k) + p(2)q2(k) + ...

+p(m)qm(k) + ... =∞∑m=0

p(m)qm(k)

Kvantilis

Módusz

Gn,2(x) =∞∑k=0

∞∑m=0

p(m)qm(k)xk =

=∞∑k=0

∞∑m=0

p(m) 1k!

dxkGm,q(x)∣

x=0xk =

=∞∑k=0

∞∑m=0

p(m) 1k!

dxk[Gq(x)]m∣

x=0xk =

=∞∑m=0

p(m) [Gq(x)]m = G(Gq(x))

z2 = ⟨n2⟩ = G′n,2(1) = G′(1)G′

q(1) = ⟨k⟩G′q(1)

→ G′q(1) = z2

⟨k⟩= z2

Kvantilis

Módusz

A perkoláció kritikus pontja

• Ez alapján a komponensméret várható értéke

⟨S⟩ = 1 + ⟨k⟩1 −G′

q(1)= 1 + ⟨k⟩

1 − z2/ ⟨k⟩=

= 1 + ⟨k⟩2

⟨k⟩ − z2= 1 +

z1 − z2

• Ez a következoket jelenti:

z1 > z2 → pici, izolált klaszterek

z1 = z2 → KRITIKUS PONT!

z1 < z2 → óriás komponens

Kvantilis

Módusz

A perkoláció kritikus pontja

• Ez alapján a komponensméret várható értéke

⟨S⟩ = 1 + ⟨k⟩1 −G′

q(1)= 1 + ⟨k⟩

1 − z2/ ⟨k⟩=

= 1 + ⟨k⟩2

⟨k⟩ − z2= 1 +

z1 − z2

• Ez a következoket jelenti:

z1 > z2 → pici, izolált klaszterek

z1 = z2 → KRITIKUS PONT!

z1 < z2 → óriás komponens

Kvantilis

Módusz

Perkoláció az Erdos–Rényi–modellben

• Mit kapunk pl. Erdos–Rényi–féle véletlen gráfra?

• A fokszámeloszlás binomiális, ami jól közelíthetoPoisson-eloszlással:

p(k) = (Nk)pk

(1 − p)N−k≃

⟨k⟩k

k!e−⟨k⟩,

→ G(x) = e⟨k⟩(z−1)

Gq(x) =G′

(x)⟨k⟩

= e⟨k⟩(z−1)= G(x),

azaz a kritikus pontra, azt kapjuk, hogy

G′q(1) = G′

(1) = ⟨k⟩ = 1.

(Ez egy híres eredmény, ami teljes precizitással, az általunkhasznált közelíto feltevések nélkül is bebizonyítható).

Kvantilis

Módusz

p(k) = (Nk)pk

(1 − p)N−k≃

⟨k⟩k

k!e−⟨k⟩,

→ G(x) = e⟨k⟩(z−1)

Gq(x) =G′

(x)⟨k⟩

= e⟨k⟩(z−1)= G(x),

G′q(1) = G′

(1) = ⟨k⟩ = 1.

Kvantilis

Módusz

p(k) = (Nk)pk

(1 − p)N−k≃

⟨k⟩k

k!e−⟨k⟩,

→ G(x) = e⟨k⟩(z−1)

Gq(x) =G′

(x)⟨k⟩

= e⟨k⟩(z−1)= G(x),

G′q(1) = G′

(1) = ⟨k⟩ = 1.

Kvantilis

Módusz

Kvantilis

Módusz

Karakterisztikus függvény

Hogyan lehetne általánosítani a generátorfüggvényt folytonoseloszlásokra?

Kvantilis

Módusz

Definíció: egy X folytonos valószínuségi változó karakterisztikusfüggvénye:

ϕ(t) ∶= ⟨eitX⟩ = ⟨eitx

∫−∞

eitxρ(x)dx.

A generátorfüggvény általánosításának felel meg:Ha X diszkrét és nem negatív egészeken fut végig, akkor

ρ(x) =∞∑k=0

P(X = k)δ(x − k) =∞∑k=0

pkδ(x − k),

→ ϕ(t) =

∫−∞

eitx∞∑k=0

pkδ(x − k)dx =∞∑k=0

pkeitk= G(z = eit

Kvantilis

Módusz

Definíció: egy X folytonos valószínuségi változó karakterisztikusfüggvénye:

ϕ(t) ∶= ⟨eitX⟩ = ⟨eitx

∫−∞

eitxρ(x)dx.

A generátorfüggvény általánosításának felel meg:Ha X diszkrét és nem negatív egészeken fut végig, akkor

ρ(x) =∞∑k=0

P(X = k)δ(x − k) =∞∑k=0

pkδ(x − k),

→ ϕ(t) =

∫−∞

eitx∞∑k=0

pkδ(x − k)dx =∞∑k=0

pkeitk= G(z = eit

Kvantilis

Módusz

Karakterisztikus függvény és momentumok

A ρ(x) suruségfüggvény és az összes momentum meghatározható akarakterisztikus függvény segítségével:

ρ(x) =1

∫−∞

e−itxϕ(t)dt,

⟨Xn⟩ = ⟨xn

⟩ =1in

∂nϕ

∂tn∣t=0

= [1i∂

ϕ(t)∣t=0.

A ρ(x) egyenleténél kihasználtuk, hogy

∫−∞

e−itxϕ(t)dt =1

∫−∞

e−itx∞

∫−∞

eitx′ρ(x′)dx′dt =

∫−∞

eit(x′−x)dt

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶δ(x′−x)

ρ(x′)dx′ = ρ(x).

Kvantilis

Módusz

Karakterisztikus függvény és momentumok

eloszlás a� � a

momentumok ⇔ karakterisztikus függvény

Az összes momentum ismerete egyenlo az eloszlás ismeretével!

Kvantilis

Módusz

Összeg karakterisztikus függvénye

• Ha X és Y függetlenek, akkor mi lesz a Z = X + Y változókarakterisztikus függvénye?

Kvantilis

Módusz

• Ha X és Y függetlenek, akkor mi lesz a Z = X + Y változókarakterisztikus függvénye?

ρZ(x) =∞

∫−∞

ρX(x − y)ρY(y)dy

→ ϕZ(t) =∞

∫−∞

dyρX(x − y)ρY(y)eitx=

ϕZ(t) =∞

∫−∞

dyρX(x − y)ρY(y)eit(x−y)eity=

ϕZ(t) =∞

∫−∞

dzρX(z)eitz∞

∫−∞

dyρY(y)eity= ϕX(t)ϕY(t).

Kvantilis

Módusz

Összeg karakterisztikus függvénye a karakterisztikus függvényekszorzata:Ha X1,X2, ...,Xn független valószínuségi változók és Y = X1 + X2 +⋯ + Xn,akkor Y karakterisztikus függvénye:

ϕY(t) = ZX1+X2+⋯+Xn(t) = ⟨eit(X1+X2+⋯+Xn)⟩ = ⟨eitX1 eitX2⋯eitXn⟩ =

⟨eitX1⟩ ⟨eitX2⟩⋯ ⟨eitXn⟩ = ϕX1(t)ϕX2(t)⋯ϕXn(t).

χ2 -eloszlás ¼

Kvantilis

Módusz

Összeg karakterisztikus függvénye a karakterisztikus függvényekszorzata:Ha X1,X2, ...,Xn független valószínuségi változók és Y = X1 + X2 +⋯ + Xn,akkor Y karakterisztikus függvénye:

ϕY(t) = ZX1+X2+⋯+Xn(t) = ⟨eit(X1+X2+⋯+Xn)⟩ = ⟨eitX1 eitX2⋯eitXn⟩ =

⟨eitX1⟩ ⟨eitX2⟩⋯ ⟨eitXn⟩ = ϕX1(t)ϕX2(t)⋯ϕXn(t).

χ2 -eloszlás ¼

Kvantilis

Módusz

MEDIÁN ÉS KVANTILIS

Kvantilis

Módusz

Hol van egy eloszlás közepe?

• Általában a várható értéket szoktuk az eloszlás „közepének”gondolni...

• Ez a ⟨x⟩-re szimmetrikus ρ(x) esetén teljesen OK, pl. normáliseloszlás:

xρ( )

σσµ

µ =2, =1

=7, =2

−2 0 2 4 6 8 10 12 14

Kvantilis

Módusz

• Elofordulnak azonban olyan eloszlások is, ahol ρ(x) erosenaszimmetrikus.

• Pl. Tegyük fel, hogy egy eloadó 200 csokit oszt ki 50 hallgató köztkülönbözo módokon:

• mindenkinek 4-et,• teljesen véletlenszeruen, (minden egyes csokinál

véletlenszeruen kiválaszt egy hallgatót, függetlenül az elozoválasztásoktól),

• a ZH pontszám alapján elért helyezés szerint-az elso 5 hallgató 20 csokit kap fejenként,-a 6. helyezéstol a 10.-ig 10-et fejenként,-a 11. helyezéstol a 20.-ig 4-et fejenként,-a 21. helyezéstol a 31.-ig 1-et fejenként.

• A 4 legstréberebb hallgatónak ad 50-50 csokit

(Az egy hallgatónak adott csokik számának várható értéke mindenesetben 200/50=4).

Kvantilis

Módusz

• Az elso két esetben az eloszlás (közel) szimmetrikus és a várhatóérték tényleg az eloszlás „közepén van”:

xρ( )

0 10 20 30 40 50

Kvantilis

Módusz

• A másik két esetben viszont egy „tipikus” hallgató kevesebb csokivalrendelkezik mint az átlag:

xρ( )

0 10 20 30 40 50

Kvantilis

Módusz

Medián

Az erosen aszimmetrikus eloszlások esetén ahol nagy kiugró értékekfordulnak elo, a várható érték helyett sokszor szemléletesebb az eloszlásmediánja.

Medián

Definíció: egy eloszlás mediánja az az m érték, ahol azeloszlásfüggvény F(x = m) = 1

2 .Szemléletes jelentése:

- az eloszlás közepén van abból a szempontból, hogy annakvalószínusége, hogy X < m illetve, hogy X > m egyaránt 1

- ha elég nagy számú mintát veszünk az eloszlásból, akkor nagyjábólugyanannyi lesz alatta mint felette.

Kvantilis

Módusz

Medián

Elofordulhatnak olyan esetek, amikor pontosítani kell a definíción:

• Ha F(x) = 12 teljesül egy egész [x1, x2] szakaszon keresztül, akkor

m = (x1 + x2)/2 a szakasz közepén van.

Kvantilis

Módusz

Medián

Elofordulhatnak olyan esetek, amikor pontosítani kell a definíción:

• Ha F(x) „átugorja” az 12 értéket, azaz F(x) = 1

2 -nek nincsmegoldása, akkor van egy x0, melyre P(X < x0) <

12 és

P(X > x0) <12 . Ilyenkor m = x0.

Kvantilis

Módusz

MediánPéldák

Példa

A csokoládé osztogatós példánál a medián:

xρ( )

0 10 20 30 40 50

Kvantilis

Módusz

MediánPéldák

Példa

Mi az exponenciális eloszlás mediánja?

F(x) = 1 − e−λx, ρ(x) = λe−λx

Kvantilis

Módusz

MediánPéldák

Példa

Mi az exponenciális eloszlás mediánja?

F(x) = 1 − e−λx, ρ(x) = λe−λx

Suruségfüggvény alapján:

ρ(x)dx =∞

ρ(x)dx =m

λe−λxdx =∞

λe−λxdx =12

→ [−e−λx]

0= [−e−λx

]∞m= 1 − e−λm

= e−λm=

→ m =1λln 2

Eloszlásfüggvény alapján:

F(x = m) = 1 − e−λm=

→ e−λm=

→ m =1λln 2

Kvantilis

Módusz

MediánPéldák

Példa

A lognormális eloszlásnál:

xρ( )

µ=0, σ=0.3

µ=0, σ=1.5

0 1 2 3 4 5

Kvantilis

Módusz

Medián és várható érték

• Ha a suruségfüggvény szimmetrikus ⟨X⟩-re, akkor m = ⟨X⟩.Miért?

Kvantilis

Módusz

Medián és várható érték

• Ha a suruségfüggvény szimmetrikus ⟨X⟩-re, akkor m = ⟨X⟩.Ilyenkor a szimmetria miatt

⟨x⟩

∫−∞

ρ(x)dx =∞

⟨x⟩ρ(x)dx =

Kvantilis

Módusz

Kvantilis

A medián definícióját általánosíthatjuk úgy, hogy az eloszlásfüggvény,F(x) értékkészletét két nem egyforma nagyságú tartományra osztjukszét:

Kvantilis

Definíció: egy eloszlás p-ed rendu kvantilise az az Qp érték, melyreF(x = Qp) = p.Fontos kvantilisek:

- a Q 12

a medián,

- a Q 14

az alsó kvartilis, a Q 34

a felso kvartilis.

A Q 34−Q 1

4az interkvartilis terjedelem ami pl. a szóráshoz hasonlóan

azt jellemzi, hogy milyen széles egy eloszlás.

Kvantilis

Módusz

Kvantilis

- a Q 12

a medián,

- a Q 14

a felso kvartilis.

A Q 34−Q 1

Kvantilis

Módusz

Kvantilis

- a Q 12

a medián,

- a Q 14

a felso kvartilis.

A Q 34−Q 1

Kvantilis

Módusz

Kvantilis

- a Q 12

a medián,

- a Q 14

a felso kvartilis.

A Q 34−Q 1

Kvantilis

Módusz

Definíció: az eloszlás egy módusza a suruségfüggvény, ρ(x), egylokális maximumhelyének felel meg.

• Unimodális eloszlás: ρ(x)-nek csak egy maximumhelye van. (Pl.normális-eloszlás).

• Bimodális, trimodális, stb. eloszlás: ρ(x)-nek két, három, stb. lokálismaximumhelye van.

Kvantilis

Módusz

Definíció: az eloszlás egy módusza a suruségfüggvény, ρ(x), egylokális maximumhelyének felel meg.

• Unimodális eloszlás: ρ(x)-nek csak egy maximumhelye van. (Pl.normális-eloszlás).

• Bimodális, trimodális, stb. eloszlás: ρ(x)-nek két, három, stb. lokálismaximumhelye van.

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia

Korrelációsegyüttható

KORRELÁCIÓ

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia

KorrelációBevezetés

• Mit jelenthet két valószínuségi változó közti korreláció?

• Pl. X mint a valszám ZH-ra készülés intenzitása, Y meg a kapottpontszám.

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia

• Ha a ketto független, akkor nincs korreláció és a tanulásmennyisége semmilyen hatással nincs a kapott pontszámra.

• Ha nem függetlenek és van némi korreláció akkor több pontraszámítunk sok tanulás esetén, kevesebbre kevés tanulás esetén,legalábbis az átlagos esethez viszonyítva.

→ Jó ötletnek tunik a (X − ⟨X⟩)(Y − ⟨Y⟩) szorzatot vizsgálni, hiszenha X és Y egyforma irányban térnek el az átlaghoz képest, akkorez a szorzat mindig pozitív lesz.

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia

Korreláció és kovariancia

Definíció: A X és Y valószínuségi változók kovarianciája:

Cov(X,Y) ∶= ⟨(X − ⟨X⟩)(Y − ⟨Y⟩)⟩ =

∬ (x − ⟨x⟩) (y − ⟨y⟩)ρ(x, y)dxdy,

ahol ρ(x, y) a X és Y együttes suruségfüggvénye.Alternatív ekvivalens formulája:

Cov(X,Y) = ⟨(X − ⟨X⟩)(Y − ⟨Y⟩)⟩ = ⟨XY − X ⟨Y⟩ − Y ⟨X⟩ + ⟨X⟩ ⟨Y⟩⟩ =

⟨XY⟩ − ⟨X⟩ ⟨Y⟩ − ⟨Y⟩ ⟨X⟩ + ⟨X⟩ ⟨Y⟩ = ⟨XY⟩ − ⟨X⟩ ⟨Y⟩ .

Tulajdonságai:

• Ha X és Y független, akkor ⟨XY⟩ = ⟨X⟩ ⟨Y⟩, emiatt Cov(X,Y) = 0.

• A X saját magával vett kovarianciája a variancia, más néven aszórásnégyzet: Cov(X,X) =Var(X) = σ2

Szorzat várható értéke ¼

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia

Cov(X,Y) ∶= ⟨(X − ⟨X⟩)(Y − ⟨Y⟩)⟩ =

∬ (x − ⟨x⟩) (y − ⟨y⟩)ρ(x, y)dxdy,

⟨XY⟩ − ⟨X⟩ ⟨Y⟩ − ⟨Y⟩ ⟨X⟩ + ⟨X⟩ ⟨Y⟩ = ⟨XY⟩ − ⟨X⟩ ⟨Y⟩ .

Tulajdonságai:

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia

Cov(X,Y) ∶= ⟨(X − ⟨X⟩)(Y − ⟨Y⟩)⟩ =

∬ (x − ⟨x⟩) (y − ⟨y⟩)ρ(x, y)dxdy,

⟨XY⟩ − ⟨X⟩ ⟨Y⟩ − ⟨Y⟩ ⟨X⟩ + ⟨X⟩ ⟨Y⟩ = ⟨XY⟩ − ⟨X⟩ ⟨Y⟩ .

Tulajdonságai:

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia

• Max. mekkora lehet a kovariancia abszolút értéke?

∣Cov(X,Y)∣ ≤ σ(X)σ(Y).

Bizonyítás:Eloször azt látjuk be, hogy

∣⟨XY⟩∣ ≤√

⟨X2⟩√

⟨Y2⟩.

Tetszoleges a számra (Y − aX)2≥ 0, ezért

0 ≤ ⟨(Y − aX)2⟩ = ⟨Y2

− 2aYX + a2X2⟩ = ⟨Y2

⟩ − 2a ⟨YX⟩ + a2⟨X2

Helyettesítsünk be a = ⟨XY⟩⟨X2⟩ értéket:

0 ≤ ⟨Y2⟩ −

⟨XY⟩2

⟨X2⟩→ 0 ≤ ⟨Y2

⟩ ⟨X2⟩ − ⟨XY⟩

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia

∣⟨XY⟩∣ ≤√

⟨X2⟩√

⟨Y2⟩.

0 ≤ ⟨(Y − aX)2⟩ = ⟨Y2

− 2aYX + a2X2⟩ = ⟨Y2

⟩ − 2a ⟨YX⟩ + a2⟨X2

0 ≤ ⟨Y2⟩ −

⟨XY⟩2

⟨X2⟩→ 0 ≤ ⟨Y2

⟩ ⟨X2⟩ − ⟨XY⟩

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia

∣⟨XY⟩∣ ≤√

⟨X2⟩√

⟨Y2⟩.

0 ≤ ⟨(Y − aX)2⟩ = ⟨Y2

− 2aYX + a2X2⟩ = ⟨Y2

⟩ − 2a ⟨YX⟩ + a2⟨X2

0 ≤ ⟨Y2⟩ −

⟨XY⟩2

⟨X2⟩→ 0 ≤ ⟨Y2

⟩ ⟨X2⟩ − ⟨XY⟩

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia

∣⟨XY⟩∣ ≤√

⟨X2⟩√

⟨Y2⟩.

0 ≤ ⟨(Y − aX)2⟩ = ⟨Y2

− 2aYX + a2X2⟩ = ⟨Y2

⟩ − 2a ⟨YX⟩ + a2⟨X2

0 ≤ ⟨Y2⟩ −

⟨XY⟩2

⟨X2⟩→ 0 ≤ ⟨Y2

⟩ ⟨X2⟩ − ⟨XY⟩

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia

A ∣⟨XY⟩∣ ≤√

⟨X2⟩√

⟨Y2⟩ tételt használjuk a X − ⟨X⟩ és Y − ⟨Y⟩ változókra:

∣⟨(X − ⟨X⟩) (Y − ⟨Y⟩)⟩∣ = ∣Cov(X,Y)∣ ≤

⟨(X − ⟨X⟩)2⟩

⟨(Y − ⟨Y⟩)2⟩ =

σ(X)σ(Y).

→ Ha a kovarianciát leosztjuk a szorások szorzatával, egy −1 és 1közé eso számot kapunk!

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia

A ∣⟨XY⟩∣ ≤√

⟨X2⟩√

⟨Y2⟩ tételt használjuk a X − ⟨X⟩ és Y − ⟨Y⟩ változókra:

∣⟨(X − ⟨X⟩) (Y − ⟨Y⟩)⟩∣ = ∣Cov(X,Y)∣ ≤

⟨(X − ⟨X⟩)2⟩

⟨(Y − ⟨Y⟩)2⟩ =

σ(X)σ(Y).

→ Ha a kovarianciát leosztjuk a szorások szorzatával, egy −1 és 1közé eso számot kapunk!

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia

Korrelációs együttható

Definíció: A X és Y korrelációs együtthatója:

C(X,Y) =Cov(X,Y)

σ(X)σ(Y)=

⟨(X − ⟨X⟩)(Y − ⟨Y⟩)⟩

σ(X)σ(Y)=

⟨XY⟩ − ⟨X⟩ ⟨Y⟩

σ(X)σ(Y).

(Ezt szokták Pearson-korrelációnak hívni).Tulajdonságai:

• Legfeljebb 1 abszolútértéku: −1 ≤ C(X,Y) ≤ 1

• Ha X és Y független, akkor C(X,Y) = 0.

• Egy X valószínuségi változó önmagával vett korrelációsegyütthatója C(X,X) =

Cov(X,X)σ2(X) = 1.

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia

C(X,Y) =Cov(X,Y)

σ(X)σ(Y)=

⟨(X − ⟨X⟩)(Y − ⟨Y⟩)⟩

σ(X)σ(Y)=

⟨XY⟩ − ⟨X⟩ ⟨Y⟩

σ(X)σ(Y).

Cov(X,X)σ2(X) = 1.

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia

C(X,Y) =Cov(X,Y)

σ(X)σ(Y)=

⟨(X − ⟨X⟩)(Y − ⟨Y⟩)⟩

σ(X)σ(Y)=

⟨XY⟩ − ⟨X⟩ ⟨Y⟩

σ(X)σ(Y).

Cov(X,X)σ2(X) = 1.

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia

C(X,Y) =Cov(X,Y)

σ(X)σ(Y)=

⟨(X − ⟨X⟩)(Y − ⟨Y⟩)⟩

σ(X)σ(Y)=

⟨XY⟩ − ⟨X⟩ ⟨Y⟩

σ(X)σ(Y).

Cov(X,X)σ2(X) = 1.

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia

C(X,Y) =Cov(X,Y)

σ(X)σ(Y)=

⟨(X − ⟨X⟩)(Y − ⟨Y⟩)⟩

σ(X)σ(Y)=

⟨XY⟩ − ⟨X⟩ ⟨Y⟩

σ(X)σ(Y).

Cov(X,X)σ2(X) = 1.

Korreláció

Bevezetés

Kovariancia

Korrelációs együtthatóPéldák

Példák

Nézzük meg a korrelációs együttható értékét különbözo pontfelhokesetén, ahol X és Y a pontok vízszintes és függoleges koordinátáinakfelelnek meg:

Valószínuségszámítás és statisztika a...

Documents

Adatelemzés és adatbányászat MScsmid/0_iitweb/oktatas/dw/statisztikai_alapok.pdf · - eloszlások, s űrűség függvények - interpolációk, extrapolációk - regresszió analízis

Hangváltozások és gyakorisági eloszlásokmnytud.arts.unideb.hu/feherk/fehrk-hangvalt_gyak_eloszl.pdf · Hangváltozások és gyakorisági eloszlások Fehér Krisztina . Nyelvelmélet

Texor Műanyagipari Kereskedelmi és Szolgáltató Kf · TEXOR KFT. Telephely: 4002 Debrecen - Apafa, Hrsz:263 5 Levelezési cím: 4014 Debrecen-Pallag, Pf: 6 Telefon: +36/52/348-214,

Valószínűségszámítás 1. jegyzet matematikusoknak és …math.bme.hu/~pet/valszam/vsz1jzetb-t.pdf · 2015. 8. 26. · Valószínűségszámítás 1. jegyzet matematikusoknak

Gyakorló feladatok alapok - kkft.bme.hukkft.bme.hu/attachments/article/46/Kisterv gyakorlo_alapok_20160210.pdf · 3 Eloszlások Normális eloszlás 1. példa Egy 12.35 várható

Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanhal.elte.hu/~pallag/valszam/Eloadas_11.pdf · Adat, minta, statisztikus sokaság Adatok Adattípusok Adatgyujtés˝ Statisztikus

Próbák áttekintése - mrobert/segedanyagok/Valszam/hioptezis.pdf-os táblázat A bevándorlók Nem zavarják Jövedelem kö2örnbös 37 08 45 32 20 6 103 zavarják össz 110 48

SZAKPEDADÓGIAI KÖRKÉP III.metodika.btk.elte.hu/file/TAMOP_BTK_BMK_4.pdf · Czakó Dóra, Eck Júlia, Kárpáti Andrea, Pallag Andrea, Schilling Árpád, Szíjártó Imre, Zombori

Valószínuségszámítás˝ – FELADATOKmath.bme.hu/~vetier/2016_tavasz/Feladatok___honlapra.pdfVegyes feladatok 8 10. Nevezetes eloszlások 9 11. További feladatok 13 12. Várható

Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a ﬁzikában 2019. február 12. Technikai

cs.bme.hu/valszam Tárgyhonlap: Mészáros Szabolcs

Ajánlott irodalommath.bme.hu/~pet/valszam/utemVsz1_2016f9.pdf-vel kez- H 12-14 K 12-14 K 14-16 P 10-12 dod˝ o hét˝ Bálint Péter Vágó Lajos Pete Gábor Bálint Péter Szept

Valószín ség-számítás és - sze.huraczev/Valszam/Valszam_mat_stat.pdf · 13.Valószínuségi változó függvényének eloszlása˝ 16. lecke 13.1.Diszkrét valószínuségi

Valószín ség-számítás és - sze.huharmati/valszam/Valszam_mat_stat.pdf · Technikai megjegyzések a jegyzet használatához. Ez a tananyag egy elektronikus jegyzet. 2013-ban,

STATISZTIKA II. Empirikus eloszlások elemzése Előadó: Prof. Dr. Besenyei Lajos

Kvantijegyzet MSc 2013 v1 - ESTIEM Wiki...5 I. Valószín űségszámítási alapok 1 Axiómák, alaptételek Kombinatorika Geometriai val.sz. Val.szám. tételek Elméleti eloszlások

Tartalomjegyzék - math.bme.humath.bme.hu/~pet/valszam/rathbvsz1.pdf · 9. Többdimenziós együttes eloszlások 27 10.Normális eloszlás 30 11.De Moivre–Laplace centrális határeloszlástétel

Valszam Mat Stat

cs.bme.hu/valszam Tárgyhonlap: Mészáros Szabolcsbbarbara/valszam2020/ea3.pdfÁltalánosan, azonos kísérletekből hány “siker”?Jelölés: Binomiális eloszlás, v. é. Állítás:

Majoros Szabolcs Stabilis eloszlások és alkalmazásuk a ...web.cs.elte.hu/.../bsc_matelem/2016/majoros_szabolcs.pdfMajoros Szabolcs Stabilis eloszlások és alkalmazásuk a pénzügyekben