Variables aleatorias continuas - MdP · 2019-12-18 · Y en general cualquier característica que...

Variables aleatorias

continuas

VARIABLE ALEATORIA VARIABLE ALEATORIA UNIFORMEUNIFORME

DefiniciónDefinición

Se dice que una variable X tiene una distribución

uniforme en el intervalo [a;b] si la fdp de X es:

1si a b

f(x)= b-ax

≤ ≤

Demostrar que la FDA está dada por

0 si x < a

F(x)= si a x b

1 si x > b

x a

b a

−≤ ≤

−

f(x)= b-a

0 en otro caso

RepresentaciónRepresentación gráficagráficavariable aleatoria uniformevariable aleatoria uniforme

f(x)

1

b a−

F(x)

1

a b

fdp

a b xx

FDA

EjemploEjemploLos trenes de cierta línea de subterráneos corren cada media

hora entre la medianoche y las seis de la mañana. ¿ Cuál es

la probabilidad de que un hombre que entra a la estación a

una hora al azar, durante ese período tenga que esperar por

lo menos 20 minutos?

¿Cuál es la variable aleatoria y cuál es su distribución?

La probabilidad sólo depende de la longitud del intervalo y no

de la ubicación del mismo.

Características numéricasCaracterísticas numéricas

Demostrar que si X tiene distribución

uniforme en [a;b], entonces:

( )2

b-aa+bE(x)= V(x)=

2 12

Distribución exponencialDistribución exponencial

Se utiliza generalmente cuando se miden tiempos de

espera.

Ejemplos de este tipo de distribuciones son: el tiempo

que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse

(datación de fósiles o cualquier materia orgánica

mediante la técnica del carbono 14) o el tiempo que

puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la

llegada de un paciente.

1.8

2.0

= 2.0 = 2.0 = 2.0 = 2.0

Distribución exponencialDistribución exponencial

α

Se dice que X, que toma todos los valores no negativos,

tiene una distribución exponencial, con parámetro 0α >

Si su fdp está dada por:- si x 0

f(x)0 si x < 0

xe αα ≥=

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

= 2.0 = 2.0 = 2.0 = 2.0 = 1.0 = 1.0 = 1.0 = 1.0 = 0.5 = 0.5 = 0.5 = 0.5 = 0.2 = 0.2 = 0.2 = 0.2

αααα

Verificar que es una legítima fdp:Verificar que es una legítima fdp:

�0 0 0

( )x

bx

b

ef x dx e dx lím dx

αα α

αα

−∞ ∞

−

→ ∞

= = =−∫ ∫ ∫

� �

0

1 1

bx

x

b b

elím lím e

ααα

α

−−

→ ∞ → ∞

= − + = −

La FDA está dada por:

1 si x 0F(x)

0 si x<0

xe α− − ≥=

F(x)

1

x

Demostrar las características numéricas de la función

exponencial:2

1 1( ) V ( x ) =E x

α α=

EjemploEjemplo

La distribución de vida durante la cual cierta

marca de computadora funciona eficazmente,

es decir, el tiempo en horas, de duración

hasta la primera falla, es exponencial con una

vida media de 360 hs. ¿ Cuál es la vida media de 360 hs. ¿ Cuál es la

probabilidad de que una computadora

funcione eficazmente:

a) Menos de 180 hs? b) Más de 720 hs?

c)Si tres de tales computadoras son elegidas al

azar para pruebas de duración. ¿Cuál es la

probabilidad de que una dure a lo sumo, 180

hs, otra dure entre 180 y 720 hs y otra, al

hs, otra dure entre 180 y 720 hs y otra, al

menos 720 hs?

d)¿Cuál es la probabilidad de que de tres

computadoras, al menos dos funcionen

eficazmente después de 720 hs?

Propiedad fundamental de la

distribución exponencial

• La distribución exponencial no tiene memoria :

• Poseer información de que el elemento que consideramos ha sobrevivido un tiempo S (hasta el momento) no modifica tiempo S (hasta el momento) no modifica la probabilidad de que sobreviva t unidades de tiempo más. La probabilidad de que el elemento falle en una hora (o en un día, o en segundo) no depende del tiempo que lleve funcionando. Demostración

Sin duda la distribución continua de probabilidad más importante,

por la frecuencia con que se encuentra y por sus aplicaciones

teóricas, es la distribución normal, gaussiana o de Pierre Simon de Laplace

Distribución normalDistribución normal

normal, gaussiana o de Laplace- Gauss. Fue descubierta

y publicada por primera vez en 1733 por De Moivre. A la misma

llegaron, de forma independiente, Laplace (1812) y Gauss (1809), en relación con la teoría de los

errores de observación astronómica y física .

Pierre Simon de Laplace(1749(1749--1827)1827)

Karl F. Gauss(1777(1777--1855)1855)

Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco.

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie (tallas, pesos, diámetros, perímetros,...).

Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por unmismo grupo de individuos, puntuaciones de examen, ...

Razones principales para su estudioRazones principales para su estudio

1) Numerosos fenómenos pueden aproximarse mediante

esta distribución:

fármaco.

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores

Como la binomial o la de Poisson se aproximan a la normal. Distribuciones

binomiales con n >10 y (np > 5) y (n(1-p) > 5).

2) Se usa para aproximar distribuciones de variables discretas:

3) Proporciona la base de la inferencia estadística por su

relación con el tlc

Distribución NormalDistribución Normal

Se dice que x que toma todos los valores reales, tiene

una distribución normal, si su fdp está dada por:2

1

21f ( x ) c o n - < x <

2

x

e

µ

σ

σ π

− −

= ∞ ∞2

0y

σ π

µ σ− ∞ < < ∞ >

NotaciónNotación

( )2, su fdp está dada por x N µ σ ⇔∼

21

21f ( x ) c o n - < x <

2

0

x

e

y

µ

σ

σ π

µ σ

− −

= ∞ ∞

− ∞ < < ∞ > 0yµ σ− ∞ < < ∞ >

Ejercicio: verificar que es una fdp legítima.

2

21 12 2

1 1

2 2

xt

e dx e dt

µ

σ σσ π σ π

− −∞ ∞ −

−∞ −∞= =∫ ∫

21

2

n o s e p u e d e o b t e n e rd e f o r m a f i n i t a I n t e g r a l d e P o i s s o n

1 12 1

2 2

t

e d t ππ π

∞ −

− ∞= =∫

��� ��

Principales características de la Principales características de la distribución Normaldistribución Normal

• Es una curva uniforme con ordenadas siempre positivas,

definida para todo real x. Tiene forma de campana, es decir,

es monótona creciente hacia ambos lados del máximo, y es

asintótica al eje de las abscisas

•Es simétrica con respecto de la recta x=µ donde coinciden

la mediana (Me) y la moda (Mo ).

Para x = ±∞ , el límite f(x) =0.

•La función tiene un máximo en x = µ. Los puntos de inflexión

tienen como abscisas los valores µ ± σ. Verificar esta

propiedad.

Características de la distribución NormalCaracterísticas de la distribución Normal

Puntos

de

inflexión

−−−− ∞∞∞∞ + ∞∞∞∞σσσσ σσσσµµµµ - σσσσ µµµµ + σσσσ

µµµµ, Mo, Me

Distribución normal con µµµµ =0 para varios valores σσσσ

0.8

1.2

1.6

σ=0.25

σ=0.5

σ=1

p(x)

0

0.4

-2.50 -1.50 -0.50 0.50 1.50 2.50

x

σ=5 σ=5

10=σ

Curvas normales con distintas medias y desviaciones estándarCurvas normales con distintas medias y desviaciones estándar

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

N(µ, σ): Interpretación

geométrica

• La media se puede interpretar como un factor de traslación.factor de traslación.

• Y la desviación típica

como un factor de escala, grado de dispersión,…

Características numéricasCaracterísticas numéricas

Demostrar que:

2( ) ( )E x y V xµ σ= = 2( ) ( )E x y V xµ σ= =