View
3
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Vector
►Nicelik Kavramı
1. Skaler Nicelikler Yön ve doğrultudan söz edilmez. Sayısal değeri ve birimi ile ifade edilir. Kütle, sürat, enerji, sıcaklık, iş, elektrik yükü, zaman,
hacim…
2. Vektörel NiceliklerBaşlangıç noktası, yönü ve doğrultusu, büyüklüğü ve
birimi ile ifade edilmesi gereken büyüklüklerdir. Hız, kuvvet, ivme, yer değiştirme, ağırlık…
Mekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büyüklükler:
Convert 40 m/s into kilometers per hour.
40--- x ---------- x -------- = 144 km/h m
s
1 km
1000 m
3600 s
1 h
The meter (m) 1 m = 1 x 100 m
1 Gm = 1 x 109 m 1 nm = 1 x 10-9 m
1 Mm = 1 x 106 m 1 mm = 1 x 10-6 m
1 km = 1 x 103 m 1 mm = 1 x 10-3 m
KT 7
• Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler.
• Vektörler harfin üzerine kısa bir ok çizilerek gösterilir.
• Bu şekilde gösterilen vektörün şiddeti “A” ile ifade edilir.
A
Vektorün Şiddeti veya büyüklüğ:
2 2R x y
LK
Aynı yönlü ve büyüklükleri eşit olan iki vektör birbirine eşittir. Başlangıç noktalarının aynı olması şartı aranmaz.
KK
ABBAR
R= A+B (şiddetlerin toplamı)
A
B
C
D
DCBAE
E
siny
R
y
x
R
y = R sin
x = R cos cosx
R
tany
x R2 = x2 + y2
x = ?
y = ?400 m
30oE
N
tany
x
240-N kuvvet uygulayarak 280 açı ile yere düşen arkadaşını kaldıran çocuk x- ve y-eksenlerinde ne kadar kuvvet uygulamamıştır.?
280
F = 240 N
F Fy
Fx
Fy
Fx = -|(240 N) cos 280| = -212 N
Fy = +|(240 N) sin 280| = +113 N
i,j notation:
F = -(212 N)i + (113 N)j
300-N kuvveti 320 açıyla uygulayan kişi xve y eksenlerinde kaç N kuvvet uygular?
320
F = 300 N
FFy
Fx
Fy
Fx = -|(300 N) cos 320| = -254 N
Fy = -|(300 N) sin 320| = -159 N
32o
32o
i,j notation:
F = -(254 N)i - (159 N)j
Ccos*ab2bac 22 SinC
c
SinB
b
SinA
a
Sinüs Kanunu Kosinüs kanunu
sin.
cos.
FF
FF
y
x
Skaler gösterim:
Kartezyen vektör gösterimi
• Bir kuvvetin bileşenleri, kartezyen birim vektörler cinsinden ifade edilebilir. x ve y eksenlerinin doğrultularını belirtmek için sırasıyla i ve j kartezyen birim vektörleri kullanılır. Bu vektörler, boyutsuz birim uzunluktadır ve yönleri (ok ucu), pozitif veya negatif x ve y eksenini işaret etmesine bağlı olarak, artı veya eksi işareti ile gösterilir. jFiFF yx
ˆˆ
jFiFF
jFiFF
jFiFF
yx
yx
yx
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
333
222
111
Aynı düzlemdeki kuvvetlerin bileşkeleri
KT 22
Aynı düzlemdeki kuvvetlerin bileşkeleri
321 FFFFR
VEKTÖREL TOPLAM
SKALER TOPLAM
KT 23
Örnek 3:
F’= F*cosϴ= 500*(4/5) = 400N Fx= F’*sinβ =400*(-3/5) = -240N
Fy=F’*cosβ =400*(4/5) = 320N Fz= F*sinϴ = 500*(3/5)= 300N
Yada verilen F=500 N kuvvetinin x,y,z bileşenlerini bulunuz.
İki vektörün Skaler Çarpımı
A ve B gibi iki vektörün skaler çarpımı, skaler bir nicelik olup, bu iki vektörün büyüklükleri ile arasındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir.
A ve B nin skaler (veya nokta) çarpımı
A .B = A. B. Cosθ (7.4)
burada
θ: A ile B arasındaki açı
A: A nın büyüklüğü
B: B nin büyüklüğü
A ve B nin birimleri farklı olabilir.
B.Cosθ B nin A üzerindeki izdüşümü
A.B A nın büyüklüğüyle, B nin A üzerindeki izdüşümü ile çarpımı
(7.4) eşitliği yerdeğiştirebilir (komutatif)
A.B = B.A (7.5)
θ
B
A
A.B=A.B cosθ
B. Cosθ
KT 32
Skaler Çarpım
cosBABA
0ˆˆ0ˆˆ1ˆˆ1ˆˆ
090cos)1)(1(ˆˆ10cos)1)(1(ˆˆ
jkkikkjj
jiii oo
İki vektörün Skaler ÇarpımıSkaler çarpım, çarpmanın dağılma özelliğine uyar.
A. (B+C) = A.B + A.C (7.6)
i, j ve k birim vektörleri, bir sağ koordinat sisteminin sırasıyla pozitif x, y ve z
eksenlerinde yer alır.
k.k=1
i.k=0
olur. A ve B vektörleri, bileşenleri cinsinden
A = Axi + Ayj + Azk B = Bxi + Byj + Bzk
olarak ifade edilir. A ve B skaler çarpımı
A.B = AxBx + AyBy+ AzBz
ifadesine indirger. A=B özel durumunda
A.A = Ax2 + Ay
2 + Az2 = A2
olur.
jjii
.ˆ.ˆ
kjji
.ˆ.̂
A.B=0 (θ=900) A.B=A.B (θ=0) A.B=-A.B (θ=1800) 900< θ<1800 olduğunda skaler çarpım negatiftir.
Skaler Çarpım
A and B vektörleri A=2i+3j ve B=-i+2j olarak veriliyor.
a) A.B skaler çarpımını bulunuz.
b) A ve B arasındaki θ açısını bulunuz.
a) A.B= (2i+3j). (-i+2j) = -2i.i + 2i.2j - 3j.i + 3j.2j = -2+6=4
b) A .B = A. B. Cosθ den
Sabit bir kuvvet tarafından yapılan iş
xy-düzleminde hareket eden bir parçacık F=(5i+2j) N luk sabit bir kuvvetin
etkisi ile d=(2i+3j)m lik yerdeğiştirme yapıyor.
(a) Kuvvetin büyüklüklerini W = F.d hesaplayınız.
(b) W = F.d tarafından yapılan işi hesaplayınız.
0 0
13322222 yx AAA
5212222 yx BBB
65
4
513
4.cos
AB
BA
01 3,6006.8
4cos
A=3i+j-k, B=-i+2j+5k ve C=2j-3k olarak verilen üç
vektör için C.(A-B) yi bulunuz.
kjikjikjiBA ˆ6ˆˆ4ˆ5ˆ2ˆˆˆˆ3
0.16)18()2(0ˆ6ˆˆ4.ˆ3ˆ2).( kjikjBAC
Skaler çarpımın tanımını kullanarak, aşağıdaki vektör çiftleri arasındaki açıları bulunuz.
Ödev a) =3i-2j ve, = 4i-4j
Ödev b) =-2i+4j ve =3i-4j+2k
c) =i-2j+2k ve, = 3j+ 4k
c)
A
A
A
B
B
B
)259
86(cos
.cos 11
AB
BA
θ=82,30
Vektörel Çarpım İki vektörün vektörel çarpımı yine bir vektör verir. Bu çarpım vektörü diğer iki vektörü bulunduran düzleme dik yöndedir. Yönü sağ el kuralı ile bulunur. Vektörlerin çarpım sırası önemlidir.
jk i , ijk , kij
jik , ikj , kji , 190sinjiji
0kk , 0jj , 00siniiii
cinsinden, vektörlerbirim ardakoordinatlKartezyen
-- -
kVUVUjVUVUiVUVUVU
VUkVUiVUjVUjVUkVUjVUi
V
U
j
V
U
i
VVV
UUU
kji
VU
kVjViVkUjUiUVU
xyyxzxxzyzzy
xyyzzxzxyxxzzy
y
y
x
x
zyx
zyx
zyxzyx
Kartezyen koordinatlarda birim vektörler cinsinden,
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆy z x yx z
x y z
y z x yx z
x y z
A A A AA AA A A
B B B BB BB B B
i j k
A B i j k
veya
kVUVUjVUVUiVUVU
iVUjVUiVUkVUjVUkVUVU
xyyxzxxzyzzy
yzxzzyxyzxyx
-
ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 ; 2 A i j B i j A B
ˆ ˆ ˆ ˆ(2 3 ) ( 2 )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 2 2 3 ( ) 3 2
ˆ ˆ ˆ0 4 3 0 7
A B i j i j
i i i j j i j j
k k k
Skaler üçlü çarpım determinant formda da yazılabilir:
Bu çarpıma skaler üçlü çarpım denir. Vektörler kartezyen formda ifade
edilirse;
1. Satır
2. Satır
3. Satır
2. Application of vector multiplication
zzyyxx BABABAABBA cos
sin , ABBA
BBB
AAA
kji
BA
zyx
zyx
BA
BA
a) Work
rdFdW
dFFdW
cos
b) Torque Fr
rv
v
sinrr
c) Angular velocity
1) Dot product
2) Cross product
- Example
Recommended