Vector

►Nicelik Kavramı

1. Skaler Nicelikler Yön ve doğrultudan söz edilmez. Sayısal değeri ve birimi ile ifade edilir. Kütle, sürat, enerji, sıcaklık, iş, elektrik yükü, zaman,

hacim…

2. Vektörel NiceliklerBaşlangıç noktası, yönü ve doğrultusu, büyüklüğü ve

birimi ile ifade edilmesi gereken büyüklüklerdir. Hız, kuvvet, ivme, yer değiştirme, ağırlık…

Mekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büyüklükler:

Convert 40 m/s into kilometers per hour.

40--- x ---------- x -------- = 144 km/h m

s

1 km

1000 m

3600 s

1 h

The meter (m) 1 m = 1 x 100 m

1 Gm = 1 x 109 m 1 nm = 1 x 10-9 m

1 Mm = 1 x 106 m 1 mm = 1 x 10-6 m

1 km = 1 x 103 m 1 mm = 1 x 10-3 m

KT 7

• Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler.

• Vektörler harfin üzerine kısa bir ok çizilerek gösterilir.

• Bu şekilde gösterilen vektörün şiddeti “A” ile ifade edilir.

A

Vektorün Şiddeti veya büyüklüğ:

2 2R x y

LK

Aynı yönlü ve büyüklükleri eşit olan iki vektör birbirine eşittir. Başlangıç noktalarının aynı olması şartı aranmaz.

KK

ABBAR

R= A+B (şiddetlerin toplamı)

A

B

C

D

DCBAE

E

siny

R

y

x

R

y = R sin

x = R cos cosx

R

tany

x R2 = x2 + y2

x = ?

y = ?400 m

30oE

N

tany

x

240-N kuvvet uygulayarak 280 açı ile yere düşen arkadaşını kaldıran çocuk x- ve y-eksenlerinde ne kadar kuvvet uygulamamıştır.?

280

F = 240 N

F Fy

Fx

Fy

Fx = -|(240 N) cos 280| = -212 N

Fy = +|(240 N) sin 280| = +113 N

i,j notation:

F = -(212 N)i + (113 N)j

300-N kuvveti 320 açıyla uygulayan kişi xve y eksenlerinde kaç N kuvvet uygular?

320

F = 300 N

FFy

Fx

Fy

Fx = -|(300 N) cos 320| = -254 N

Fy = -|(300 N) sin 320| = -159 N

32o

32o

i,j notation:

F = -(254 N)i - (159 N)j

Ccos*ab2bac 22 SinC

c

SinB

b

SinA

a

Sinüs Kanunu Kosinüs kanunu

sin.

cos.

FF

FF

y

x

Skaler gösterim:

Kartezyen vektör gösterimi

• Bir kuvvetin bileşenleri, kartezyen birim vektörler cinsinden ifade edilebilir. x ve y eksenlerinin doğrultularını belirtmek için sırasıyla i ve j kartezyen birim vektörleri kullanılır. Bu vektörler, boyutsuz birim uzunluktadır ve yönleri (ok ucu), pozitif veya negatif x ve y eksenini işaret etmesine bağlı olarak, artı veya eksi işareti ile gösterilir. jFiFF yx

ˆˆ

jFiFF

jFiFF

jFiFF

yx

yx

yx

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

333

222

111

Aynı düzlemdeki kuvvetlerin bileşkeleri

KT 22

Aynı düzlemdeki kuvvetlerin bileşkeleri

321 FFFFR

VEKTÖREL TOPLAM

SKALER TOPLAM

KT 23

Örnek 3:

F’= F*cosϴ= 500*(4/5) = 400N Fx= F’*sinβ =400*(-3/5) = -240N

Fy=F’*cosβ =400*(4/5) = 320N Fz= F*sinϴ = 500*(3/5)= 300N

Yada verilen F=500 N kuvvetinin x,y,z bileşenlerini bulunuz.

İki vektörün Skaler Çarpımı

A ve B gibi iki vektörün skaler çarpımı, skaler bir nicelik olup, bu iki vektörün büyüklükleri ile arasındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir.

A ve B nin skaler (veya nokta) çarpımı

A .B = A. B. Cosθ (7.4)

burada

θ: A ile B arasındaki açı

A: A nın büyüklüğü

B: B nin büyüklüğü

A ve B nin birimleri farklı olabilir.

B.Cosθ B nin A üzerindeki izdüşümü

A.B A nın büyüklüğüyle, B nin A üzerindeki izdüşümü ile çarpımı

(7.4) eşitliği yerdeğiştirebilir (komutatif)

A.B = B.A (7.5)

θ

B

A

A.B=A.B cosθ

B. Cosθ

KT 32

Skaler Çarpım

cosBABA

0ˆˆ0ˆˆ1ˆˆ1ˆˆ

090cos)1)(1(ˆˆ10cos)1)(1(ˆˆ

jkkikkjj

jiii oo

İki vektörün Skaler ÇarpımıSkaler çarpım, çarpmanın dağılma özelliğine uyar.

A. (B+C) = A.B + A.C (7.6)

i, j ve k birim vektörleri, bir sağ koordinat sisteminin sırasıyla pozitif x, y ve z

eksenlerinde yer alır.

k.k=1

i.k=0

olur. A ve B vektörleri, bileşenleri cinsinden

A = Axi + Ayj + Azk B = Bxi + Byj + Bzk

olarak ifade edilir. A ve B skaler çarpımı

A.B = AxBx + AyBy+ AzBz

ifadesine indirger. A=B özel durumunda

A.A = Ax2 + Ay

2 + Az2 = A2

olur.

jjii

.ˆ.ˆ

kjji

.ˆ.̂

A.B=0 (θ=900) A.B=A.B (θ=0) A.B=-A.B (θ=1800) 900< θ<1800 olduğunda skaler çarpım negatiftir.

Skaler Çarpım

A and B vektörleri A=2i+3j ve B=-i+2j olarak veriliyor.

a) A.B skaler çarpımını bulunuz.

b) A ve B arasındaki θ açısını bulunuz.

a) A.B= (2i+3j). (-i+2j) = -2i.i + 2i.2j - 3j.i + 3j.2j = -2+6=4

b) A .B = A. B. Cosθ den

Sabit bir kuvvet tarafından yapılan iş

xy-düzleminde hareket eden bir parçacık F=(5i+2j) N luk sabit bir kuvvetin

etkisi ile d=(2i+3j)m lik yerdeğiştirme yapıyor.

(a) Kuvvetin büyüklüklerini W = F.d hesaplayınız.

(b) W = F.d tarafından yapılan işi hesaplayınız.

0 0

13322222 yx AAA

5212222 yx BBB

65

4

513

4.cos

AB

BA

01 3,6006.8

4cos

A=3i+j-k, B=-i+2j+5k ve C=2j-3k olarak verilen üç

vektör için C.(A-B) yi bulunuz.

kjikjikjiBA ˆ6ˆˆ4ˆ5ˆ2ˆˆˆˆ3

0.16)18()2(0ˆ6ˆˆ4.ˆ3ˆ2).( kjikjBAC

Skaler çarpımın tanımını kullanarak, aşağıdaki vektör çiftleri arasındaki açıları bulunuz.

Ödev a) =3i-2j ve, = 4i-4j

Ödev b) =-2i+4j ve =3i-4j+2k

c) =i-2j+2k ve, = 3j+ 4k

c)

A

A

A

B

B

B

)259

86(cos

.cos 11

AB

BA

θ=82,30

Vektörel Çarpım İki vektörün vektörel çarpımı yine bir vektör verir. Bu çarpım vektörü diğer iki vektörü bulunduran düzleme dik yöndedir. Yönü sağ el kuralı ile bulunur. Vektörlerin çarpım sırası önemlidir.

jk i , ijk , kij

jik , ikj , kji , 190sinjiji

0kk , 0jj , 00siniiii

cinsinden, vektörlerbirim ardakoordinatlKartezyen

-- -

kVUVUjVUVUiVUVUVU

VUkVUiVUjVUjVUkVUjVUi

V

U

j

V

U

i

VVV

UUU

kji

VU

kVjViVkUjUiUVU

xyyxzxxzyzzy

xyyzzxzxyxxzzy

y

y

x

x

zyx

zyx

zyxzyx

Kartezyen koordinatlarda birim vektörler cinsinden,

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆy z x yx z

x y z

y z x yx z

x y z

A A A AA AA A A

B B B BB BB B B

i j k

A B i j k

veya

kVUVUjVUVUiVUVU

iVUjVUiVUkVUjVUkVUVU

xyyxzxxzyzzy

yzxzzyxyzxyx

-

ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 ; 2 A i j B i j A B

ˆ ˆ ˆ ˆ(2 3 ) ( 2 )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 2 2 3 ( ) 3 2

ˆ ˆ ˆ0 4 3 0 7

A B i j i j

i i i j j i j j

k k k

Skaler üçlü çarpım determinant formda da yazılabilir:

Bu çarpıma skaler üçlü çarpım denir. Vektörler kartezyen formda ifade

edilirse;

1. Satır

2. Satır

3. Satır

2. Application of vector multiplication

zzyyxx BABABAABBA cos

sin , ABBA

BBB

AAA

kji

BA

zyx

zyx

BA

BA

a) Work

rdFdW

dFFdW

cos

b) Torque Fr

rv

v

sinrr

c) Angular velocity

1) Dot product

2) Cross product

- Example