View
277
Download
6
Category
Preview:
Citation preview
ZADACI ZA PISMENI DEO MATURSKOG ISPITA IZ MATEMATIKE (školska 2015/2016.godina)
I R A Z R E D
I.1 P O L I N O M I
1. Neki polinom pri deljenju sa x - 1 daje ostatak 2, a pri deljenju sa x + 2 daje ostatak -7. Odrediti
ostatak deljenja ovog polinoma sa x2 + x - 2.
[ Rešenje: R(x) = 3x - 1 ]
2. Odrediti parametre a i b tako da polinom P(x) = 6x4 - 7x3 + ax2 + 3x + 2 bude deljiv sa x2 - x +
b.
[ Rešenje: a = -7, b = -1 ili a = -12, b = -2 ]
I.2 RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI
3. Uprostiti izraz:
+−
++
+−
+ xy2
yx:
xyxy
yx2
xyyx
22
[ Rešenje: yx
1+
; x ≠ -y, x, y ≠ 0 ]
4. Uprostiti izraz:
−−
−⋅
−+−−
+−
xy
x1y1
xyxxyyx2
yyxxyx
23223
2
32
2
[ Rešenje: xy
1x + ; x ≠ -y, x, y ≠ 0 ]
5. Uprostiti izraz:
+
−+
⋅−
−+−+−−
−1a
21a
aa1
11a2a
a:1aaa
1a4223
2
[ Rešenje: 2
1a2 + ; |a| ≠ 1 ]
6. Uprostiti izraz:
++−
+
+
++
ab21b
ba
b2aba:
bbaa2
222
[ Rešenje: - a; a, b ≠ 0 ]
7. Uprostiti izraz: ( )2aa34
12a12a32
a4a22a
6a32
22 +−
++−
+−
−+
[ Rešenje: a6
1 ; a ≠ 0, a ≠ -2 ]
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 2
8. Uprostiti izraz: x4a
a2a3axx6x2
14x2
12x6x222 −
+−−+
⋅
−−
+
[ Rešenje: x2a
1+
; x ≠ 2, x ≠ 3, 2ax ≠ ]
9. Uprostiti izraz:
−−−
−
−−
−+
+ y4x2y4x1:
y2xyy
y4xy4
xy2xx2
22
22
2222
[ Rešenje: 2
y2x − ; x, y ≠ 0, y2x ≠ ]
10. Uprostiti izraz:
−++
+−
++
bc2acb1:
cb1
a1:
cb1
a1 222
[ Rešenje: ( )acb
bc22−+
; b, c, a ≠ 0, b ≠ -c ]
11. Uprostiti izraz: ( )
xy1
xy4yx:x1
y1
yx:
x1
yx 2
23
2
+
+−
+−
+
[ Rešenje: xy1 ; x, y ≠ 0, x≠ -y ]
12. Uprostiti izraz: ( )
( )4z2z2z4z2z2z:
2z1
8z124z
2zz62z
23
23
3
2
2 −+−+++
−−
−−+
+−+
−
[ Rešenje: 2z
1+
; |z| ≠ 2 ]
13. Uprostiti izraz:
+−
+
−
+−
+c2m
mc2
c2mmc2
mc8m
c81 33
3
[ Rešenje: mc2
m−
; c ≠ 0, c2m ≠ ]
14. Uprostiti izraz:
−+
++
−
−+
−y4x
y31:y2xyx21
yxyx31 22
2
[ Rešenje: ( )yx
y2x2−− ; x ≠ y, y2x ≠ ]
15. Uprostiti izraz: 1m
41mm2m2
m1m2
mm2
3
2
22 −+
−+
⋅
−
−−
[ Rešenje: ( )1m
m42−
; m ≠ 0, m ≠ 1 ]
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 3
16. Uprostiti izraz: ( )a3a18a271a27
1:1a3a9a27
1a9a61
1a9 233232
2+−⋅
++−−
−+−+
[ Rešenje: 9a2; 31a ≠ ]
17. Uprostiti izraz:
−+
⋅
+−
+++
−++
+3a23a2
1a21a4
3a22a3
9a12a4a3a2
2
2
[ Rešenje: ( )( )3a21a25a4a4 2
−+−+ ;
23a ≠ ]
18. Uprostiti izraz: yx
3yxy2x
yx2:yx
yxyxyx
x3yx
322
22
33 +⋅
+++
+++
⋅−
+−
[ Rešenje: yx
9−
; |x| ≠ y ]
19. Uprostiti izraz: 4x4x
2x2:2x
4x2x8x
x32x
32x6x3
2
2
3 +++
+
++⋅
−+
−+−
[ Rešenje: 9; x ≠ 1, 2x ≠ ]
20. Uprostiti izraz:
−
−+
++
−+−
−−+
++++
2x23
2x23
1x5:
2x2x2x210xx2
2x2x2x26x3
223
2
23
[ Rešenje: 2
2x + ; |x| ≠ 1, 2x ≠ ]
21. Uprostiti izraz: aa
2xx2x:
4x4x4x
:1a
2xx2x2
23
2
223
++−−
−++
+−−+
[ Rešenje: a; x ≠ ±1, x ≠ ±2, a ≠ -1, a ≠ 0 ]
22. Uprostiti izraz: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )5a4a1
4a3a1
3a2a1
2a1a1
1aa1
+++
+++
+++
+++
+
[ Rešenje: ( )5aa5+
, a ≠ -5, -4, -3, -2, -1 ]
23. Uprostiti izraz: 3
baba3
bab3a
1:
ab
1
1
ab
1
1
ab
ba
ab
ba
A−
−+
+−
−
−−
++
−
+=
[ Rešenje: A = 1; a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ ±b ]
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 4
24. Izračunati vrednost izraza:
bc2acb
1
abccba
:
cb1
a1
cb1
a1
R 222 −++
−−
++
+−
= , za a = 0,02; b = -11,05; c = 1,07
[ Rešenje: R = 0,1 ]
25. Izračunati vrednost izraza:
−+
+⋅
+−
+−
+⋅
++
bab
baa
ab
b2a
bab
a2ba
2ab
ba
2 , za a = 0,75; 31
1b =
[ Rešenje: 168625
− ]
26. Izračunati vrednost izraza: ( ) ( )
+−−⋅
+−
+−
mx2xm1
1
xm1
1
xm1
1 22
2
2, ako je
1m1
x−
= , m ≠ 1
[ Rešenje: ( )1m2m3
− ]
I.3 LINEARNE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE
27. Data je jednačina: 2a1x
4a2aa
8ax3
23 −−
=++
−−
a) Rešiti po x datu jednačinu i diskutovati rešenja.
b) Odrediti parametar a, tako da rešenje jednačine bude pozitivno.
[ Rešenje: a) a ≠ 2; 1) a = -1, 0∙x = 0 - neodredjena; 2) a ≠ -1, 1a
4x
+= ; b) a ∈ (-1, 2) ∪ (2, +∞)]
28. Odrediti parametar a, tako da sledeće jednačine imaju ista rešenja
a3x
3ax −=
− i
a9xa13x2
3a3xa2x
22
22
−−
−=+−
[ Rešenje: a = 1; a ≠ 0, a ≠ 3, x ≠ ±3a ]
29. Rešiti jednačinu |x + 1| - |x| + 3 |x - 1| - 2 |x - 2| = x + 2
[ Rešenje: x = -2 ۸ x ≥ 2 ]
30. Rešiti po x nejednačinu a42x
2x31
ax +
>−
+ i diskutovati rešenja u zavisnosti od vrednosti
parametra a.
[ Rešenje:1) 21
a = , nema rešenja; 2) 21
a0 << , ( )( )a213
a12x
−−
> ; 3) 21
a0a >∨< , ( )( )a213
a12x
−−
< ]
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 5
31. Rešiti i diskutovati sistem jednačina: 1a
byb
ax=
−+
− ۸ 1by
ax
=+
[Rešenje:1)а–b ≠ 0 и a+b ≠ 0,bа
аx2
−= ,
bаby
2
−−= ; 2) a–b = 0,nema reš; 3)a+b = 0, ( )
− y,yb
ba ]
32. Rešiti sistem jednačina 12y2x
15zx
32zy2
1−=
+++
−+−
−+
62y2x
35zx
52zy2
2−=
++−
−+−
−+
62y2x
15zx
22zy2
5=
++−
−++
−+
[ Rešenje: x = 1, y = -1, z = 5 ]
II R A Z R E D
II.1 STEPENOVANJE I KORENOVANJE
1. Uprostiti izraz: baba:
abba
baba
22
1122 1
11
22
−−
+⋅
++ −−−
−−
−−
[ Rešenje: - ab; a, b ≠ 0, a ≠ ±b ]
2. Uprostiti izraz: yxyx
2yx
xyyxyx
11
1111 1
11
11 1
−−
−−−−−
−−
−−−
−−
++
++
[ Rešenje: 2x; xy ≠ 0, x ≠ ±y ]
3. Uprostiti izraz: ( )1baab
1ba:1abba
1babaab1ab
11
33
122
33
11
1 2
−++
++−
⋅−+
−−
−
−−
−
−−
−
[ Rešenje: 1; ab ≠ 0, a ≠ ±b ]
4. Uprostiti izraz: xxxx
x2
xxx1
1
24
31
4
−
−
−
−
−−
+−−−
[ Rešenje: x
x23
4+− ; x ≠ 0, x ≠ ±1 ]
5. Uprostiti izraz: ( )x211x2x4
xx44x
xx2464x 2
21
2
21
6
−+
−+−
⋅++
−−−−−
−
[ Rešenje: 1 + 2x; x ≠ 0, x ≠ 21 ]
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 6
6. Uprostiti izraz: ( )( )
−−
−++⋅
+++− −
−−
−−
cbaabc:
bc2acb1
cbacba
1222
11
11
[ Rešenje: ( )2
acba −− ; abc ≠ 0, b + c ≠ 0, a ≠ b + c, a + b + c ≠ 0 ]
7. Uprostiti izraz: baba:
abba
baba
22
1122 1
11
22
−−
+⋅
++ −−−
−−
−−
[ Rešenje: ( )ba
ab2+
− ; ab ≠ 0, a ≠ ±b ]
8. Uprostiti izraz:
−
−+
−
++
− −−−
−
− 121
122
212
212
xx
x
x
x
x
x
[ Rešenje: 1 ]
9. Uprostiti izraz: 4 12
24 31 xx
x1x
xx −−
−− −⋅−
⋅− , x > 1
[ Rešenje: x ]
10. Uprostiti izraz: xx
1:xxxx
1x2 −++
+
[ Rešenje: x – 1, x ≠ 1 ]
11. Uprostiti izraz: x
21x1x:
1xx1x
5,05,1
5,0
21 −+
−+
++−
[ Rešenje: x + 1, x ≠ 1 ]
12. Uprostiti izraz: 1x1xxx
xx1x 41
21
4121
2143+⋅
++
⋅+−
[ Rešenje: x ]
13. Uprostiti izraz: yyx2x
yxyx
yxyxyxx
yx21414121
4141
2121
21414121
412143 +−⋅
++
⋅+−
[ Rešenje: ( )44
444
yxyxy
−
+, x ≠ y ]
14. Uprostiti izraz:
−+
⋅
−
++
babaab
babbaa
2
[ Rešenje: 1; a, b > 0, a ≠ b ]
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 7
15. Uprostiti izraz:
++
−
−+
+
−+
xyxy
xyxy
xy2yx
xyx1yx
[ Rešenje: xx , x, y > 0, x ≠ y ]
16. Uprostiti izraz: 3bc
3bcbccabcabc 4
4 24 32
+
++
+
++
[ Rešenje: bc , a, b, c > 0 ]
17. Uprostiti izraz: ( ) ( )( ) 1a21a1a
1a21a1a222
222
−+−−−
−+−−+
[ Rešenje: 1a1a
−+
, |a| > 1 ]
18. Izračunati vrednost izraza: z1z
1z2
2
−−
−, za
+=m1
m21
z , m > 0
[ Rešenje: m2
1m −, za 0 < m ≤ 1;
2m1 −
, za m > 1 ]
19. Uprostiti izraz: 1ax
:axax
axaxax
ax2
2
22−
+−−
−+
−++−
, x > a > 0
[ Rešenje: 1 ]
20. Uprostiti izraz: ( )
−
−+
⋅
−+
−+
− 1x1x1x1
x1x1x1 , -1 ≤ x < 1
[ Rešenje: 2x ]
21. Uprostiti izraz: ( ) ( ) 1a1a1a1a
1a1a:
1a1
1a1
1a1a
1
12
−+−+−−⋅+
−−
+
+−−− , a > 1
[ Rešenje: 1a2 − ]
II.2 KOMPLEKSNI BROJEVI
22. Izračunati R(z), ako je R(x) = (x - x2 + 2x3) (2 - x + x2) i 2
3i1z
+−= .
[ Rešenje: R(z) = 7 ]
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 8
23. Izračunati: ( ) ( )( ) ( )i2i23
i1i21z 23
22
+−+−−+
=
[ Rešenje: i106
3538z += ]
24. Izračunati: ( ) ( )( ) ( )i1i1
1ii1z 66
88
−−+−++
=
[ Rešenje: i2z = ]
25. Izračunati: ( )( )i21i1i3z−+
+=
[ Rešenje: i53
54z += ]
26. Izračunati: ( )
−−+
=i12
3i1z
12
[ Rešenje: 641
z −= ]
27. Dati su kompleksni brojevi z1 = 3 + 2i i z2 = 2 + i. Odrediti kompleksan broj
z = x + yi, ako je: 53
zzRe2
=
, ( ) 1zzIm 1 −=⋅ .
[ Rešenje: i21
25z += ]
28. Dati su kompleksni brojevi z1 = 3 + 2i i z2 = 2 + i. Odrediti kompleksan broj
z = x + yi, ako je: 53
zzIm2
=
, ( ) 1zzRe 1 −=⋅ .
[ Rešenje: i1z +−= ] 29. Rešiti jednačinu: ( ) ( )3i1zi1 1028 +−=+−
[ Rešenje: 3i44z0 += , 3i44z1 −−= ]
II.3 KVADRATNE JEDNAČINE. VIETOVE FORMULE. KVADRATNE FUNKCIJE I NEJEDNAČINE
30. Rešiti po x jednačinu 1x
babaxa2
bax
=+
−−−
++
, a, b ∈ R i diskutovati rešenja u zavisnosti od
vrednosti parametara a i b.
[ Rešenje: a ≠ ±b, x ≠ 0; 1) b = 0 ⇒ x = a; 2) b ≠ 0, a = 3b ⇒ x = 4b; 3) b ≠ 0, a ≠ 3b ⇒
b2ba
x22
1−
= , x2 = a + b ]
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 9
31. U kvadratnoj jednačini (5k – 1)x2 - (5k + 2)x + 3k – 2 = 0 odredite parametar k ∈ R tako da rešenja
budu dvostruka.
[ Rešenje: 352k2k =∨= ]
32. У једначини x2 - 7x + 2m – 4 = 0 одредити вредност реалног параметра m за које ће
једначина имати: 1. оба решења позитивна, 2. реална решења супротног знака.
[ Rešenje: 1. 8
65m2 ≤< ; 2. m < 2 ]
33. Odrediti parametar m u jednačini x2 - 3mx + m2 = 0 tako da rešenja zadovoqavaju relaciju x12 +
x22 = 112.
[ Rešenje: m1,2 = ± 4 ] 34. Ne rešavajući kvadratnu jednačinu (m + 2)x2 – 2(m + 1)x + m = 0, odrediti vrednost parametra m
tako da njena rešenja zadovoqavaju uslov x12 + x2
2 = 9
10 .
[ Rešenje: 21m1m −=∨= ]
35. Odrediti parametar m u jednačini x2 - x + m - 1 = 0 tako da rešenja zadovoqavaju relaciju x13 +
x23 = 7.
[ Rešenje: m = - 1 ] 36. Ne rešavajući kvadratnu jednačinu (m - 1)x2 + (m + 1)x + m + 1 = 0, odrediti vrednost parametra
m tako da njena rešenja zadovoqavaju uslov x13 + x2
3 = x12x2
2.
[ Rešenje: 1m3m −=∨= ] 37. Дата је једначина x2 - 8x + 12 = 0. Не решавајући ову једначину, sastaviti квадратну
једначину са решењима x1
x1
1 + i x1
x2
2 + .
[ Rešenje: 12x2 – 104x + 185 = 0 ] 38. Data je jednačina x2 - 2(k + 1)x + 3k + 2 = 0, k je realan parametar.
a) Za koju vrednost parametra k su rešenja realna?
b) Naći vezu izme|u x1 i x2 nezavisnu od k.
v) Odrediti ceo broj k, tako da zbir rešenja date jednačine bude jednak zbiru njihovih kubova.
[ Rešenje: a)
+∞
+∪
−∞−∈ ,
251
251
,k ; b) 2x1x2 - 3(x1 + x2) + 2 = 0; v) k = ±1 ]
39. Rešiti sistem jednačina x2 - 3xy + y2 = -5 ۸ x2 - xy + y2 = 7
[ Rešenje: (2, 3), (-2, -3), (3, 2), (-3, -2) ]
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 10
40. Data su dva skupa parabola: y = x2 - (k - 3)x + k - 1 i k1
kx4kxy 2 −+−= . Odrediti dve
parabole iz ova dva skupa, tako da one imaju minimum u istoj tački. Naći tu tačku.
[ Rešenje: y = x2 - x + 3 i 4
15x4x4y 2 +−= ;
411
,21
T ]
41. Data je kvadratna funkcija y = (k - 2)x2 - 2kx + 2k - 3, k je realan parametar.
a) Za koje vrednosti parametra k je funkcija negativna za svako x?
b) Odrediti vrednost parametra k, tako da je zbir recipročnih vrednosti kvadrata nula funkcije
jednak 2.
[ Rešenje: a) k ∈ (-∞, 1); b) k1 = 1, 4
15k2 = ]
42. Za koje vrednosti parametra k je nejednakost taчна за свако x:
x2 + (3k + 1)x + 5k > (k + 1)x2 + 5kx + 7k
[ Rešenje:
−−∞−∈
22
21,x ]
43. Rešiti nejednačinu: 33x4x3x2x
2
2<
+−−+−
[ Rešenje: ( ) ( )+∞∪
∪∞−∈ ,32,
231,x ]
44. Rešiti nejednačinu: 12x3x2x3x
2
2≥
+++−
[ Rešenje: ( ) ( ]0,12,x −∪−∞−∈ ]
45. Rešiti nejednačinu: 13x2x
13xx22
2>
−−−+
[ Rešenje: ( ) ( )2,15,x −∪−∞−∈ ]
46. Rešiti sistem nejednačina: 21x
8x7x312
2<
++−
<
[ Rešenje: ( )6,1x ∈ ]
47. Rešiti sistem nejednačina: 21
9x6xxx0
2
2≤
+−+
≤
[ Rešenje: [ ]1,9x −−∈ ]
48. Rešiti nejednačinu: 04x
3x4x2
2
<−
+−
[ Rešenje: ( ) ( ) ( )3,21,12,3x ∪−∪−−∈ ]
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 11
49. Za koje vrednosti realnog parametra m rešenja x1 i x2 jednačine x2 + (2m + 2)x + m = 0
zadovoqavaju relaciju 8x1
x1
22
21
>+
[ Rešenje: ( )2,00,21x ∪
−∈ ]
50. Za koje vrednosti realnog parametra m rešenja x1 i x2 jednačine x2 + (m + 3)x + m + 21 = 0
zadovoqavaju relaciju 1xx
xx
1
2
2
1 <+
[ Rešenje: ( ) ( )6,921,x −∪−∞−∈ ]
51. Rešiti nejednačinu: x23x
12xx2
≥−
−−
[ Rešenje: ( )3,x ∞−∈ ]
52. Rešiti nejednačinu: 26x5x
3x2 ≥
+−−
[ Rešenje:
∈ 2,23
x ]
II.4 IRACIONALNE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE
53. Rešiti jednačinu 3x7x3x1 2 +−=−
[ Rešenje: 21x = ]
54. Rešiti jednačinu 8x31x3x2 −=−−+
[ Rešenje: 27x = ]
55. Rešiti jednačinu 1x1x25x4 −+−=+
[ Rešenje: x = 5 ]
56. Rešiti jednačinu x59x3
6x3 −=
−+−
[ Rešenje: x = -3 ]
57. Rešiti jednačinu 275x232x5x22x =−+++−+−
[ Rešenje: x = 15 ] 58. Rešiti jednačinu 03x22x1x 333 =−−−+−
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 12
[ Rešenje: x = 1 ∨ x = 2 ∨ 23x = ]
59. Rešiti nejednačinu 3x4x5x2 −<+−
[ Rešenje: [ )5,4x ∈ ]
60. Rešiti nejednačinu x12xx2 <−−
[ Rešenje: [ )+∞∈ ,4x ]
61. Rešiti nejednačinu x810x3x2 −<−−
[ Rešenje: ( ]
∪−∞−∈
1374,52,x ]
62. Rešiti nejednačinu x16xx2 −>++−
[ Rešenje: ( ]3,1x −∈ ]
63. Rešiti nejednačinu 5x14x5x2 −>−−
[ Rešenje: ( ]
+∞∪−∞−∈ ,
5392,x ]
64. Rešiti nejednačinu 2x46xx3 2 −>++−
[ Rešenje: [ ]2,2x −∈ ]
65. Rešiti nejednačinu ( )1x21x2x3 2 −≥−−
[ Rešenje: [ ]5,131
,x ∪
−∞−∈ ]
66. Rešiti nejednačinu x2xx5 2 −<−
[ Rešenje: ( ]5,421
,0x ∪
∈ ]
II.5 EKSPONENCIJALNE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE
67. Rešiti jednačinu
=⋅
−−
225,0
4125,0x
8x2
[ Rešenje: 3
38x = ]
68. Rešiti jednačinu
=
−++
35
259
35 911x2x1x 2
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 13
[ Rešenje: 2x27
x 21 =∨−= ]
69. Rešiti jednačinu 39 2x81x3 −− =
[ Rešenje: 72x = ]
70. Rešiti jednačinu ( ) 4 75 3x4x3x4x
327 =
−
+
[ Rešenje: x = 10 ]
71. Rešiti jednačinu 33 xxx 24125,042 =⋅⋅
[ Rešenje: x = 3
∉−−≠ N
51;
51x ]
72. Rešiti jednačinu 3525 2x3x2 +⋅= −−
[ Rešenje: x = 2 ]
73. Rešiti jednačinu 082124 5x1x5xx 22 =+⋅− −−−−−
[ Rešenje: 49x3x =∨= ]
74. Rešiti jednačinu 3 x + 2 + 9 x + 1 = 810
[ Rešenje: x = 2 ]
75. Rešiti jednačinu 210164 2x2x ⋅=+ −−
[ Rešenje: x = 11 ∨ x = 3 ]
76. Rešiti jednačinu ( ) 06252 4x2x4xx 22 =−⋅− −+−−+
[ Rešenje: 25x = ]
77. Rešiti jednačinu 10234 2x1x2xx 22 =⋅− −+−−+
[ Rešenje: 23x = ]
78. Rešiti jednačinu 0162564 x 3xx =+− +
[ Rešenje: x = 1 ∨ x = 3 ]
79. Rešiti jednačinu 016271284964 xxx =⋅+⋅−⋅
[ Rešenje: x = 1 ∨ x = 2 ]
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 14
80. Rešiti jednačinu 0418635912 xxx =⋅+⋅−⋅
[ Rešenje: x = -1 ∨ x = 2 ] 81. Rešiti jednačinu 365812163 xxx ⋅=⋅+⋅
[ Rešenje: 21
x0x =∨= ]
82. Rešiti jednačinu 32x-3 – 9x-1 + 272x/3 = 675
[ Rešenje: x = 3 ]
83. Rešiti jednačinu 52x – 7x – 52x∙35 + 7x∙35 = 0
[ Rešenje: x = 0 ]
84. Rešiti jednačinu 4x – 3x-1/2 = 3x+1/2 – 22x-1
[ Rešenje: 23x = ]
85. Rešiti jednačinu 53537 3x4x2x1x ++++ −=−⋅
[ Rešenje: x = -1 ]
86. Rešiti jednačinu 2334 3x425
x223
x22x2 ++++ −=−
[ Rešenje: 41x −= ]
87. Rešiti jednačinu 4545 3x2
51x2
33x2
54x2
+=−−−+
[ Rešenje: x = 3 ] 88. Rešiti nejednačinu ( ) ( )( )64,025,1 x12x1 +− <
[ Rešenje: x ∈ (25, +∞) ]
89. Rešiti nejednačinu 173 x
x2x2
2
≥
−
[ Rešenje: x ∈ (0,2] ]
90. Rešiti nejednačinu 931 x1
2x
>
−
+
[ Rešenje: ( )4,11,34x ∪
−−∈ ]
91. Rešiti nejednačinu
⋅>+
21
3221 xx2
[ Rešenje: x ∈ (0, +∞) ]
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 15
92. Rešiti nejednačinu 12
132
12xx2 −
≥+ +
[ Rešenje: ( ) { }12,x ∪−∞−∈ ]
II.6 LOGARITMOVANJE. LOGARITAMSKE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE
93. Izračunati log3 5, ako je log6 2 = a i log6 5 = b.
[ Rešenje: a1
b5log3 −= ]
94. Izračunati log35 28, ako je log14 7 = a i log14 5 = b.
[ Rešenje: baa228log35 +
−= ]
95. Izračunati ba
log3
ab , ako je logab a = t (a, b > 0, ab ≠ 1).
[ Rešenje: 6
3t5ba
log3
ab−
= ]
96. Izračunati logc x, ako je loga x = p, logb x = q i logabc x = r.
[ Rešenje: qrprpq
pqrxlogc −−= ]
97. Rešiti jednačinu log4 (x + 2)∙logx 2 = 1
[ Rešenje: x = 2 ]
98. Rešiti jednačinu 11xlogxlogxlog 822 =++
[ Rešenje: x = 8 ]
99. Rešiti jednačinu 3
20x2logxlog2xlog 282 =+−
[ Rešenje: x = 4 ]
100. Rešiti jednačinu 0xlog40xlog14xlog x43
x162
x5,0 =⋅+⋅−
[ Rešenje: 22
x4x =∨= ]
101. Rešiti jednačinu ( ) ( ) 172log12log x7
x7 =−+−
[ Rešenje: x = 3 ]
102. Rešiti jednačinu ( ) 11x2log218xlog =++−
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 16
[ Rešenje: x = 12 ]
103. Rešiti jednačinu ( ) ( )12log194log2log 2x2x ++=++ −−
[ Rešenje: x = 2 ∨ x = 4 ]
104. Rešiti jednačinu 11x1x
log1x7x
log2 22 =+−
+−−
[ Rešenje: x = -17 ]
105. Rešiti jednačinu 30log13x2log5xlog =+−+−
[ Rešenje: x = 6 ]
106. Rešiti jednačinu ( ) 340xlog
11xlog3
=−
++
[ Rešenje: x = 48 ]
107. Rešiti jednačinu 3logxlog2log 71497 =+
[ Rešenje: 121x = ]
108. Rešiti jednačinu 3logxlogxlog 51255 =+
[ Rešenje: 3 31x = ]
109. Rešiti jednačinu ( ) ( ) ( ) 42xlog2xlog2xlog 2,03
55 =−+−+−
[ Rešenje: x = 3 ]
110. Rešiti jednačinu ( ) 88xlogx4log
2
22
21 =+
[ Rešenje: x = 2-7 ∨ x = 2 ]
111. Rešiti jednačinu 1444 xlog1xlog1xlog 552
5 =+− +−+
[ Rešenje: x = 5 ]
112. Rešiti jednačinu x10x xlog1 =+
[ Rešenje: 101x = ∨ x = 10 ]
113. Rešiti jednačinu ( )( ) ( )1x1001x 1xlog +=+ +
[ Rešenje: x = -0.9 ∨ x = 99 ]
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 17
114. Rešiti jednačinu 10x xlog53
5xlog+
+=
[ Rešenje: x = 10-5 ∨ x = 103 ]
115. Rešiti jednačinu ( ) 5x1xlog5 =−
[ Rešenje: 51x = ∨ x = 25 ]
116. Rešiti jednačinu 10x 1xlog4
7xlog+
+=
[ Rešenje: x = 10-4 ∨ x = 10 ]
117. Rešiti jednačinu 9x3 xlog3log 3x =⋅
[ Rešenje: x = 3 ∨ 3x 251±−
= ]
118. Rešiti jednačinu ( ) 5x 1xlog 2x2 =−
[ Rešenje: 26x = , uslov: x > 1 ]
119. Rešiti nejednačinu 21
xlog1xlog1
2
4 ≤+−
, x > 0
[ Rešenje: [ )+∞∪
∈ ,2
21,0x ]
120. Rešiti nejednačinu ( ) 03x4xlog 23x <+−−
[ Rešenje: ( )4,22x +∈ ]
II.7 T R I G O N O M E T R I J A
121. Dokazati da je 33
2cos
32
coscos2 222 =
−+
++⋅ απ
απ
α .
122. Ako je 1212tg
−+
=α i 2
1tg =β , pri čemu je
∈
2,0 πα i
∈
2,0 πβ , dokazati da je
4πβα =− .
123. Ako je α + β + γ = π, dokazati da je 2
cos2
cos2
cos4sinsinsin γβαγβα =++ .
124. Dokazati da je ( ) ( ) 01cossin3cossin2 4466 =++⋅−+⋅ αααα .
125. Dokazati da je sin 47° + sin 61° - sin 11° - sin 25° = cos 7°, ako znamo da je ( )154118sin −=° .
126. Dokazati da je 2
sin2
sin2
sin41coscoscos γβαγβα +=++ , za α + β + γ = π.
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 18
127. Dokazati da je ααα
ααα cos21coscos2
3cos2coscos12 =
−++++ .
II.8 TRIGONOMETRIJSKE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE
128. Rešiti jednačinu: 2sin4 x – 2cos4x – 1 = 0 na intervalu [-π, π].
[ Rešenje: 3
2x1
π−= ,
3x2π
−= , 3x3π
= , 3
2x4
π= ]
129. Rešiti jednačinu: 3xcos
6xsin21 =−
[ Rešenje: πk6x1 = ∨ ππ n123x2 += , k, n ∈ Z ]
130. Rešiti jednačinu: 2xsin
xcos1xsin
=+
[ Rešenje: πk2x = , k ∈ Z ]
131. Rešiti jednačinu: 13x2cos2xcos
2xsin4xsin2 2 +=++
[ Rešenje: ππ k23x1 += ∨ ππ n2
32
x2 += , k, n ∈ Z ]
132. Rešiti jednačinu:
+=
+
2x
2sin
2xsin32x2
23cos ππ
[ Rešenje: πkx1 = ∨ ππ n26x2 +±= , k, n ∈ Z ]
133. Rešiti jednačinu: sin3x + cos2x = 1
[ Rešenje: πkx1 = , ( ) πm4
113arcsin1x n2 +
−−= , k, m ∈ Z ]
134. Rešiti jednačinu: xcosxsin27
xcosxsin 44 =+
[ Rešenje: ( )2
k12
1x n ππ+−= , k ∈ Z ]
135. Rešiti jednačinu: x2sin23
xcosxsin2 22 =+
[ Rešenje: ππ k4x1 += ∨ πn
21arctgx2 += , k, n ∈ Z ]
136. Rešiti jednačinu: 2x
cos4xcos3x2cos 2=−
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 19
[ Rešenje: ππ k23
2x +±= , k ∈ Z ]
137. Rešiti jednačinu: 2xcos5xcosxsin4xsin3 22 =+−
[ Rešenje: ππ k24x1 += ∨ πn3arctgx2 += , k, n ∈ Z ]
138. Rešiti jednačinu: 1xcosxsin32xsin3xcos 22 =++
[ Rešenje: πkx1 = ∨ ππ n3x2 +−= , k, n ∈ Z ]
139. Rešiti jednačinu: 2xcos3xsin −=+
[ Rešenje: ππ k2127
x1 +−= ∨ ππ n212
11x2 += , k, n ∈ Z ]
140. Rešiti jednačinu: 1xcos2xsin2 =−
[ Rešenje: ππ k2125
x1 += ∨ ( )ππ 1n212x2 ++= , k, n ∈ Z ]
141. Rešiti jednačinu: sin2 x (tg x + 1) = 3 sin x (cos x - sin x) + 3
[ Rešenje: ππ k4
x1 +−= , ππ m3
x2 += , ππ n3
x3 +−= , k, m, n ∈ Z ]
142. Rešiti jednačinu: ( )
−=−+ x2
6cos5x2cos3x2sin
2 π
[ Rešenje: ππ k125x +−= , k ∈ Z ]
143. Rešiti jednačinu: 32 cos6 x - cos 6x = 1
[ Rešenje: πk41arccos
21
x1 +
−±= , ππ n
2x2 += , k, n ∈ Z ]
144. Rešiti jednačinu: x4cos25
xcosx3cos
xsinx3sin
+=+
[ Rešenje: ππ k6
x1 +−= ∨ ππ n6
x2 += , k, n ∈ Z ]
145. Rešiti jednačinu: xcos2xsinx2sinxsinx4sin21 2=+
[ Rešenje: ππ k2
x += , k ∈ Z ]
146. Rešiti nejednačinu: log2 (cos 2x + 3 sin x + 1) < 1
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 20
[ Rešenje:
+−∈ πππ k2,k2
6x ∨
++∈ ππππ n2
67,n2x , k, n ∈ Z ]
III R A Z R E D
III.1 POLIEDRI I OBRTNA TELA
1. Osnova pravog paralelepipeda je paralelogram sa stranicama a i b i oštrim uglom α. Ako je manja
dijagonala paralelepipeda jednaka većoj dijagonali osnove, izračunati zapreminu paralelepipeda.
[ Rešenje: αα cosabsinab2V ⋅⋅= ] 2. Основа četvorostrane пирамиде је romb čiji je оштaр угao α, a kraća dijagonala d. Izračunati
površinu piramide ako sve bočne strane te piramide zaklapaju isti ugao β sa osnovom.
[ Rešenje:
+=
βα
cos11
2ctgd2
1P 2 ]
3. Osnovna ivica pravilne trostrane piramide jednaka je a, a bočna strana nagnuta je prema ravni
osnove pod uglom ϕ. Naći površinu i zapreminu te piramide.
[ Rešenje: ( )ϕ
ϕcos
1cos4
3aP2 +
= ; 24tgaV
3 ϕ= ]
4. U pravilnu trostranu piramidu upisana je pravilna trostrana prizma čija je gornja osnova paralelni
presek piramide, a donja osnova pripada osnovi piramide. Osnovna ivica piramide je 12cm, a
visina je 15cm. Površina omotača prizme je 120cm2. Odrediti odnos zapremina prizme i piramide.
[ Rešenje: I Rešenje: V1 : V2 = 2 : 9; II Rešenje: V1 : V2 = 4 : 9 ] 5. Nagib bočne strane pravilne trostrane zarubqene piramide prema ravni osnove iznosi 60°. Ivica te
osnove je a i površina piramide P. Izračunati osnovnu ivicu druge osnove.
[ Rešenje: 3P4
a3b 2 −= ]
6. Odrediti zapreminu pravilne četvorostrane zarubqene piramide ako je veća osnovna ivica a, manja
osnovna ivica b, a oštar ugao bočne strane 60°.
[ Rešenje: ( )6
ba2V33 −
= ]
7. U pravu kupu poluprečnika r i visine 2rH = upisana je kocka, tako da joj jedna strana le`i u
osnovi kupe, a ostala četiri temena pripadaju omotaču kupe. Odrediti razmeru zapremina kupe i
kocke.
[ Rešenje: V1 : V2 = 4π : 3 ]
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 21
8. Dat je pravougli trapez sa osnovicama 10cm i 6cm i oštrim uglom od 60°. Izračunati zapreminu i
površinu tela koje nastaje rotiranjem datog trapeza oko du`eg kraka.
[ Rešenje: ( )cm96368P 2+= π ; V = 392π cm3 ]
9. Pravougli trapez osnovica a = 9cm i b = 4cm i sa du`im krakom 13cm rotira oko ose paralelne
visini, koja je u ravni trapeza i ne seče ga. Rastojanje ose je 1cm od temena pravog ugla trapeza.
Izračunati površinu i zapreminu nastalog tela.
[ Rešenje: P = 342π cm2; V = 688π cm3 ]
10. Jednakokraki trapez čije su osnovice 20cm i 8cm i krak 10cm rotira oko ose koja pripada njegovoj
ravni, a ne seče ga. Osa je paralelna većoj osnovici trapeza i na rastojanju je 2,5cm od nje.
Izračunati površinu i zapreminu nastalog tela.
[ Rešenje: P = 528π cm2; V = 1328π cm3 ]
11. Jednakostranični trougao stranice a rotira oko prave koja sadr`i jedno njegovo teme i paralelna je
naspramnoj stranici trougla. Izračunati površinu i zapreminu dobijenog obrtnog tela.
[ Rešenje: π3a2P 2= ; 2aV
3π= ]
12. Jednakostranični trougao ABC stranice a rotira oko prave koja sadr`i teme A i paralelna je visini
koja sadr`i teme B. Izračunati površinu i zapreminu dobijenog rotacionog tela.
[ Rešenje: a3P 2π= ; 3a41V 3π= ]
13. Romb sa dijagonalama 4dm i 3dm rotira oko visine koja prolazi kroz središte romba. Naći
zapreminu tako dobijenog tela.
[ Rešenje: V = 4898π cm3 ]
14. U sferu čija je površina P = 100π cm2 upisan je vaqak čiji osni presek ima površinu 48cm2. Naći
površinu i zapreminu vaqka.
[ Rešenje: P1 = 66π cm2, V1 = 72π cm3; P2 = 80π cm2, V2 = 96π cm3 ] 15. U sferi poluprečnika R upisan je pravilan tetraedar. Odrediti zapreminu tetraedra.
[ Rešenje: 3R278V 3= ]
16. Naći poluprečnik upisane i opisane lopte oko tetraedra stranice a.
[ Rešenje: 12
6ar = ; 4
6aR = ]
17. Oko lopte zapremine 36π cm3 opisana je prava zarubqena kupa, koja ima poluprečnik jedne baze
jednak 4cm. Izračunati površinu i zapreminu te kupe.
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 22
[ Rešenje: cm8
481P 2π= , cm
8481V 3π
= ] 18. У лопти полупречника R = 8cm уписана је купа, чија је висина једнака пречнику основе.
Израчунати површину и запремину купе.
[ Rešenje: ( )cm5125
1024P 2+=π
, cm37565536V 3π
= ] 19. Data je lopta poluprečnika R. Oko lopte opisan je vaqak i jednakostranična kupa. Odrediti u kom
odnosu su zapremine ovih tela.
[ Rešenje: 9:6:4V:V:V KVL = ] 20. Nad krugom poluprečnika 5cm postavqeni su na istoj strani uspravni vaqak i uspravna kupa. Ta
dva tela imaju jednake površine i jednake zapremine. Izračunati zapreminu onog dela kupe koji
pripada vaqku.
[ Rešenje: cm27
1900V 3π= ]
III.2 D E T E R M I N A N T E
21. Rešiti jednačinu: 011132x94x2
=
[ Rešenje: x1 = 3 ∨ x2 = 2 ]
22. Rešiti jednačinu: 051x111
x11=−−
[ Rešenje: x1 = -3 ∨ x2 = 3 ]
23. Rešiti jednačinu: 01x1
12x1112x=
−−+−
−−
[ Rešenje: x1 = 0 ∨ x2 = 1 ]
24. Rešiti jednačinu: 0xx21362x
3x84=+
+
[ Rešenje: x1 = -1 ∨ x2 = -3 ]
25. Rešiti jednačinu: 0xx21361
3x82=
−
+−
[ Rešenje: x1 = 1 ∨ x2 = -3 ]
26. Rešiti jednačinu: 0x11312x
3x24=
−+
+−
[ Rešenje: x1 = 1 ∨ x2 = -3 ]
27. Rešiti jednačinu: 0x311
1x21111
=−
−
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 23
[ Rešenje: x1 = 1 ∨ x2 = 2 ] 28. Rešiti sistem jednačina:
22
xz65
zy=
+−
+ ∧ 0
4x5z6
3x2y
=+
+−
∧ 3
z221
2x7
6y −=
−−
+
[ Rešenje: (x, y, z) = (2, 1, -1) ] 29. U zavisnosti od realnog parametra m diskutovati rešenja sistema:
(m + 1)x + y + z = 0 ∧ x + (m + 1)y + z = 0 ∧ x + y + (m + 1)z = 0
[ Rešenje: D = m2 (m + 3); 1) m ≠ 0, m ≠ -3 ⇒ x = y = z = 0; 2) m = 0 ⇒ (x, y, z) = (-y - z, y, z);
3) m = -3 ⇒ (x, y, z) = (z, z, z) ]
30. U zavisnosti od realnog parametra m diskutovati rešenja sistema:
4x + 8y + (m + 3)z = - 2 ∧ (m + 2)x + 6y + 3z = 1 ∧ x + 2my + mz = - 1
[ Rešenje: 1) m ≠ 1, m ≠ -3 ⇒ (x, y, z) = ( )
−−− m12,
1m21,
1m1 ; 2) m = 1 ⇒ sistem nema
rešenja; 3) m = -3 ⇒ (x, y, z) =
−−
2t161,t,
2t41 , t ∈ R ]
31. U zavisnosti od realnog parametra m diskutovati rešenja sistema:
x + (m + 2)y - z = 0 ∧ (m + 2)x + y - z = 1 ∧ x + y – (m + 2)z = m + 3
[ Rešenje: 1) m ≠ -1, m ≠ -4 ⇒ (x, y, z) =
++
+−
1m2m,
1m1,0 ; 2) m = -1 ⇒ sistem nema rešenja;
3) m = -4 ⇒ (x, y, z) =
+
−−
31t3,t,
31t3 , t ∈ R ]
32. U zavisnosti od realnog parametra m diskutovati rešenja sistema:
x - y - mz = 1 ∧ mx + 3y + 3z = -1 ∧ mx + y + mz = 1 - m
[ Rešenje: 1) m ≠ ±1 ⇒ (x, y, z) = ( ) ( )
++
−++−
+−
1m34m,
1m33m2m,
1mm2 2
; 2) m = -1 ⇒ sistem nema
rešenja; 3) m = 1 ⇒ (x, y, z) =
−− t,t
21,
21 , t ∈ R ]
33. U zavisnosti od realnog parametra a diskutovati rešenja sistema:
ax + y + z = 1 ∧ x + ay + z = 2 ∧ x + y + az = -3
[ Rešenje: 1) a ≠ 1, a ≠ -2 ⇒ (x, y, z) =
−−
−− 1a3,
1a2,
1a1 ; 2) a = 1 ⇒ sistem nema rešenja; 3) a
= -2 ⇒ (x, y, z) =
−− t,
35t3,
34t3 , t ∈ R ]
III.3 V E K T O R I
34. Vektori n2ma += i n4m5b −= su stranice pravougaonika, pri čemu je 1|n||m| == . Izračunati
( )n,m∠ , du`inu dijagonale pravougaonika i ugao ϕ izme|u dijagonala.
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 24
[ Rešenje: ( )3
n,m π=∠ ;
332 ππϕ ∨= ; 72d = ]
35. Date su koordinate temena trougla ABC (A(-1, 3, 1), B(3, 4, -2), C(5, 2, -1)). Odrediti ∠ABC.
[ Rešenje:
−=∠
31arccosABC ]
36. Izračunati površinu trougla odre|enog vektorima b3a2 − i b2a3 + , ako je 2|a| = , 3|b| = ,
4|ba| =+ .
[ Rešenje: 41539P = ]
37. Израчунати површину троугла ако су дате координате његових темена:
A(2, - 3, 4), B(1, 2, - 1), C(3, - 2, 1)
[ Rešenje: 25P ABC =∆ ]
38. Odrediti ugao izme|u vektora ba + i ba2 − i zapreminu paralelepipeda konstruisanog nad
vektorima ba + , ba2 − i c , ako je 1|b||a| == , ( )54b,acos =∠ , ( )
31cba =⋅× .
[ Rešenje: 4π
ϕ = ; V = 1 ]
39. Zadati su vektori )1,1,1(a = , )1,2,2(b = i )6,3,1(c −= . Odrediti vektor d , normalan na a i b ,
tako da je 16dc =⋅ . Zatim izračunati zapreminu paralelepipeda odre|enog vektorima a , b i d i
visinu koja odgovara strani ( )d,a .
[ Rešenje: )0,8,8(d −= ; V = 16; 36h = ]
40. Dati su vektori )1,2,1(a −= , )3,1,2(b = i )0,1,0(c = .
a) Napisati vektor c kao linearnu kombinaciju vektora a i ba ×
b) Naći t tako da vektor )2,t,1(d = bude komplanaran sa vektorima ba × i ca × .
[ Rešenje: a) ( )ba151a
31c ×+= ; b)
21t −= ]
41. Tačke A(2, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 6), D(2, 3, 8) su temena piramide. Израчунати запремину
piramide i visinu koja odgovara osnovi ABC.
[ Rešenje: V = 14; 14H = ] III.4 PRAVA U RAVNI
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 25
42. Temena na osnovici jednakokrakog trougla su A(-2, 2) i B(4, 8), a du`ina kraka trougla iznosi
25 . Naći koordinate trećeg temena i površinu trougla.
[ Rešenje: C1(-3, 9), C2(5, 1); P = 24 ]
43. Jedno teme trougla je A(3, -4), a dve visine pripadaju pravama hc: 7x - 2y - 1 = 0 i
hb: 2x - 7y - 6 = 0. Odrediti jednačine njegovih stranica.
[ Rešenje: AB: 2x + 7y + 22 = 0, AC: 7x + 2y - 13 = 0, BC: x - y + 2 = 0 ]
44. Naći jednačinu prave p, koja sadr`i presečnu tačku pravih a: 9x - 4y - 19 = 0 i
b: 9x + 16y + 1 = 0, a paralelna je sa pravom q: 4x - 5y + 20 = 0.
[ Rešenje: 12x - 15y -35 = 0 ]
III.5 K R U G
45. Naći jednačinu kru`nice koja sadr`i presek kru`nica k1: x2 + y2 - 10x - 6y + 17 = 0 i
k2: x2 + y2 - 8x - 4y + 11 = 0, i datu tačku A(10, -1).
[ Rešenje: k: (x - 7)2 + (y - 5)2 = 45 ]
46. Za koji ugao treba da rotira prava p: x - 7y + 59 = 0 oko svoje tačke M(-3, y) da bi postala
tangenta kru`nice k: x2 + y2 + 4x - 2y - 20 = 0.
[ Rešenje: α = 45° ∨ α = 135° ]
47. Iz tačke P(-3, 6) konstruisane su tangente na kru`nicu k: x2 + y2 + 4x + 2y - 20 = 0. Napisati
njihove jednačine.
[ Rešenje: 4x – 3y + 30 = 0 ∧ 3x + 4y – 15 = 0 ]
48. Iz tačke P(0, 8) konstruisane su tangente na kru`nicu k: x2 + y2 - 6x + 4 = 0. Napisati njihove
jednačine.
[ Rešenje: 2x – y + 8 = 0 ∧ 2x + y – 8 = 0 ]
49. Naći ugao pod kojim prava p: 3x + 4y - 13 = 0 seče kru`nicu k: x2 + y2 + 9x - 7y + 20 = 0.
[ Rešenje: α = 45° ]
50. Naći ugao pod kojim prava p: x - 3y - 5 = 0 seče kru`nicu k: x2 + y2 - 2x + 6y + 5 = 0.
[ Rešenje: α = 45° ]
51. Naći ugao izme|u prave p: 3x - y = 1 i kru`nice k: x2 + y2 + 4x - 6y - 7 = 0.
[ Rešenje: α = 45° ]
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 26
52. Naći ugao pod kojim se seku kru`nice k1: x2 + y2 + 8x - 9 = 0 i k2: x2 + y2 + 9x - 7y + 20 = 0.
[ Rešenje: α = 45° ]
III.6 E L I P S A
53. Napisati jednačine tangenti elipse 2x2 + 3y2 = 35 koje su normalne na pravu
3x – 8y - 24 = 0.
[ Rešenje: 8x + 3y ± 35 = 0 ]
54. Napisati jednačine tangenti elipse x2 + 2y2 = 54 koje su normalne na pravu x + y - 4 = 0.
[ Rešenje: x - y ± 9 = 0 ]
55. Napisati jednačinu one tangente elipse x2 + 3y2 = 28 koja sa pravom x - 5y - 20 = 0 gradi ugao od
45°.
[ Rešenje: 3
14x32y ±−= ]
56. Iz tačke A(2, 7) konstruisane su tangente na elipsu x2 + 4y2 = 100. Naći jednačine tih tangenti i
površinu trougla ograničenog tangentama i dodirnom tetivom.
[ Rešenje: P = 25 ]
57. U elipsu x2 + 4y2 = 36 je upisan kvadrat. Naći njegovu površinu.
[ Rešenje: 5
144P = ]
58. Odrediti uglove pod kojima se seku prava p: x + y - 2 = 0 i elipsa x2 + 3y2 = 12.
[ Rešenje: α = 45°, β = 90° ]
III.7 H I P E R B O L A
59. Napisati jednačine tangenti hiperbole 9x2 - 4y2 = 32 koje su paralelne sa pravom
9x + 2y - 1 = 0.
[ Rešenje: 9x + 2y ± 16 = 0 ]
60. Napisati jednačine tangenti hiperbole 5x2 - 7y2 = 13 koje su normalne na pravu
7x + 10y + 28 = 0.
[ Rešenje: 9x + 2y ± 16 = 0 ]
61. Iz tačke A(1, -10) konstruisane su tangente na hiperbolu 4x2 - y2 = 32. Naći jednačinu tetive koja
spaja tačke dodira tih tangenti i hiperbole.
[ Rešenje: 2x + 5y - 16 = 0 ]
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 27
62. Odrediti ugao pod kojim se seku krive e: 3x2 + 4y2 = 84 i h: 3x2 - 4y2 = 12 i jednačine tangenti u
jednoj presečnoj tački.
[ Rešenje: α = 90°, presečne tačke: (4, 3), (4, -3), (-4, 3), (-4, -3);
tangente u (-4, 3): x + y + 1 = 0, x – y + 7 = 0 ]
63. Na tangenti elipse 4x2 + 5y2 = 20, koja je konstruisana u tački
>− 0y,
35M elipse, le`i tetiva
hiperbole 4x2 - y2 = 36. Naći du`inu te tetive.
[ Rešenje: 28AB = ]
III.8 P A R A B O L A
64. Naći jednačinu tetive parabole y2 = 4x, koja je tačkom
−1,
25P prepolovqena.
[ Rešenje: 2x + y - 4 = 0 ]
65. Napisati jednačine zajedničkih tangenti krivih x2 + y2 - 2x - 9 = 0 i y2 = 4x.
[ Rešenje: x - 3y + 9 = 0, x + 3y + 9 = 0 ]
66. Data je prava a: 4x - 3y + 9 = 0.
a) Napisati jednačinu parabole y2 = 2px koja dodiruje pravu a;
b) Na dobijenoj paraboli odrediti tačku P koja je najbli`a pravoj 4x + y + 4 = 0;
v) Odrediti odstojanje tačke P od prave a.
[ Rešenje: a) y = 16x; b)
−2,
41P ; v)
516d = ]
67. Prava 2x + y - 12 = 0 seče parabolu y2 = 4x. Odrediti:
a) ugao izme|u tangenti parabole u tačkama preseka;
b) jednačinu tangente parabole koja je paralelna sa datom pravom;
v) jednačinu kru`nice opisane oko trougla čija su temena presečne tačke date prave i parabole, i
presek tangenata povučenih na parabolu u tim tačkama.
[ Rešenje: a) α = 45°; b) 4x + 2y + 1 = 0; v) 2
12527y
23x
22
=
++
− ]
III.9 MATEMATIČKA INDUKCIJA
68. Dokazati da za ∀n∈N va`i jednakost ( )( )6
1n21nnn321 2222 ++
=++++ 2
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 28
69. Dokazati da za ∀n∈N va`i jednakost 4n2
n2n3n
1201
121
61
2 +=
++++++ 2
70. Dokazati da je 3⋅52n+1 + 23n+1 deqivo sa 17 za ∀n∈N.
71. Dokazati da je 22n+1 - 9n2 + 3n - 2 deqivo sa 54 za ∀n∈N.
III.10 BROJNI NIZOVI. ARITMETIČKI I GEOMETRIJSKI NIZ. BROJNI REDOVI
72. Odrediti aritmetički niz za koji je: 5a1 + 10a5 = 0 i S4 = 14.
[ Rešenje: 8, 5, 2, -1, -4, . . . ]
73. Odrediti aritmetički niz za koji je: S2 – S4 + a2 = 1 i S3 + a3 = 17.
[ Rešenje: 2,1110,
1131,
1152,
1173 ]
74. U aritmetičkom nizu dato je: a2 + a5 – a3 = 10 i a1 + a6 = 17. Izračunati prvi član i diferenciju.
[ Rešenje: a1 = 1, d = 3 ]
75. Rešiti jednačinu: 3 + 7 + 11 + . . . + x = 210.
[ Rešenje: x = 39 ]
76. Rešiti jednačinu: 1 + 9 + 17 + . . . + x = 370.
[ Rešenje: x = 73 ]
77. Izračunati prvi član i količnik geometrijskog niza ako je: b5 – b1 = 15 i b4 – b2 = 6
[ Rešenje: -16, -8, -4, -2, . . . ili 1, 2, 4, 8, . . . ]
78. Odrediti geometrijski niz ako je: b2 + b5 – b4 = 10 i b3 + b6 – b5 = 20
[ Rešenje: 1, 2, 4, 8, . . . ]
79. Odrediti geometrijski niz ako je: b1 + b2 + b3 = 62 i b1 ∙ b2 ∙ b3 = 1000
[ Rešenje: 50, 10, 2, 52 , . . . ili 2, 10, 50, 250, . . . ]
80. Odrediti geometrijski niz ako je: b1 + b5 = 1285 i b2 ∙ b4 = 6400
[ Rešenje: b1’ = 5, q’ = ± 4; b1” = 1280, q” = 41
± ]
81. Ako svaki od četiri broja, koji čine aritmetičku progresiju, uvećamo redom za 5, 6, 9 i 15 dobićemo
geometrijsku progresiju. Naći te brojeve.
[ Rešenje: 3, 6, 9, 12 ]
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 29
82. Dimenzije pravouglog paralelepipeda čine geometrijski niz. Površina osnove je 108cm2, a površina
tela je 888cm2. Izračunati dimenzije tela.
[ Rešenje: 9, 12, 16 ]
83. Odrediti aritmetički i geometrijski niz ako su im prvi članovi jednaki 1, peti članovi su me|usobno
jednaki, a drugi član aritmetičkog niza je za 12 veći od trećeg člana geometrijskog niza.
[ Rešenje: an: 1, 21, 41,..., 20n - 19,...; bn': 1, 3, 9,..., 3n-1 ,...; bn": 1, -3, 9, -27,..., (-3) n-1,... ]
84. Izračunati graničnu vrednost
21
41
211
32
98
342
limn
1n
n
n ++++
++++ −
∞→ 2
2
[ Rešenje: 3 ]
85. Naći zbir beskonačnog reda ( )( ) 22 ++−
++⋅
+⋅
+⋅ 1n32n3
11071
741
411
[ Rešenje: 31 ]
86. U jednakostranični trougao stranice a upisan je novi jednakostranični trougao čija su temena
središta stranica prvog trougla. U ovaj trougao upisan je novi na isti način, i tako redom u
beskonačnost. Naći zbir obima i zbir površina ovih trouglova.
[ Rešenje: SO = 6a; 3
3aS2
P = ]
IV R A Z R E D
IV.1 GRANIČNA VREDNOST FUNKCIJE
1. Izračunati graničnu vrednost x48xx8
lim2
4x −
−→
[ Rešenje: 6 ]
2. Izračunati graničnu vrednost ( )49x
3x24lim 27x −
−−→
[ Rešenje: 141
− ]
3. Izračunati graničnu vrednost x4
x1x1lim
0x
−−+→
[ Rešenje: 41 ]
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 30
4. Izračunati graničnu vrednost 416x
11xlim2
2
0x −+
−+→
[ Rešenje: 4 ]
5. Izračunati graničnu vrednost ( )xcos1
x2tg1x2tg1xlim
0x −+−−
→
[ Rešenje: -4 ]
6. Izračunati graničnu vrednost
+− −
+∞→ 3x21x2
lim2x3
x
[ Rešenje: e-6 ]
7. Izračunati graničnu vrednost xsinx
xsintgxlim 20x
−→
[ Rešenje: 21 ]
8. Izračunati graničnu vrednost x
xxlim
+∞→
[ Rešenje: 1 ]
9. Izračunati graničnu vrednost xlim xsin
0x→
[ Rešenje: -1 ]
10. Izračunati graničnu vrednost ( )x1ln1xsinelim
x
0x +−+
→
[ Rešenje: 2 ]
11. Izračunati graničnu vrednost xx3
xxsinelim 52
x
0x +−
→
[ Rešenje: 31 ]
IV.2 IZVODI FUNKCIJA
12. Naći prvi izvod funkcije ( )1xxlny 2 ++=
[ Rešenje: 1x
1y2 +
=′ ]
13. Naći prvi izvod funkcije xcos1xcos1lny
+−
=
[ Rešenje: xsin
1y =′ ]
14. Naći prvi izvod funkcije x1x1arcctgy
−+
=
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 31
[ Rešenje: x1
1y 2+−=′ ]
15. Naći prvi izvod funkcije x1
xarcctgy2−
=
[ Rešenje: x1
1y2−
=′ ]
16. Naći prvi izvod funkcije xax2
x2aarcctgy2−
−=
[ Rešenje: xax
1y2−
=′ , (0 < x < a) ]
17. Naći prvi izvod funkcije earcsine1ey xx2x +−=
[ Rešenje: e1e2y x2x −=′ ]
18. Naći prvi izvod funkcije arctgx21
x1x1ln
41y −
−+
=
[ Rešenje: x1
xy 4
2
−=′ ]
19. Naći prvi izvod funkcije ( )axln2a
axxarctgy 22 +−=
[ Rešenje: axarctgy =′ ]
20. Naći prvi izvod funkcije 1x4arctg1x4y −−−=
[ Rešenje: x2
1x4y −=′ ]
IV.3 ISPITIVANJE FUNKCIJA
21. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije ( )( )3x1xx4xy
2
−−−
=
22. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije x4
x4y 2−=
23. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije 1x
1x2xy 2
2
++−
=
24. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije 4xxx3y
2
−−
=
25. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije 1x
4xx4y2
−−−
=
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 32
26. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije x3
xy 2
3
−=
27. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije 4xx3xy
2
++
=
28. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije 1xx3y
2
−+
=
29. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije x
xln2y −=
30. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije xlnxy =
31. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije xlnxy 2=
32. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije ( ) ex1y x 22 −⋅+=
33. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije exy x⋅=
34. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije xey
x=
IV.4 NEODRE\ENI INTEGRALI
35. Izračunati integral ( )∫
−
−
xx6
dx4x2
[ Rešenje: C3
3xarcsinxx6 2 +−
−−− ]
36. Izračunati integral ( )∫+ x1x
arctgxdx22
[ Rešenje: Cx1
xln2
xarctgx
arctgx2
2+
++−− ]
37. Izračunati integral ( )( )∫
+− 1x1xxdx
2
[ Rešenje: ( ) C1x2
11x1xln
41
++
−+− ]
38. Izračunati integrale ( )∫= dxxlnsinJ1 i ( )∫= dxxlncosJ2
[ Rešenje: ( ) ( )( ) Cxlncosxlnsin2x
J1 +−= ; ( ) ( )( ) Cxlncosxlnsin2x
J2 ++= ]
39. Izračunati integral ∫−
− dxx1
xxarccos2
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 33
[ Rešenje: ( ) Cx1xarccos21 22 +−+− ]
40. Izračunati integral ∫+
− dxx1
arctgxx2
[ Rešenje: ( ) ( ) Carctgx21
x1ln21 22 +−+ ]
41. Izračunati integral ∫ dxxctgx2sin
4
[ Rešenje: Cxcosxcos
1xcosln 2
24 +−+ ]
42. Izračunati integral ∫ ⋅ dxxctgx2sin 4
[ Rešenje: Cxsin
1xsinlnxsin 2
42 +−− ]
43. Izračunati integral ∫ dxx
xln3
[ Rešenje: Cx41
x2xln
22 +−− ]
44. Izračunati integral ∫ dxxln2
[ Rešenje: ( ) C2xln2xlnx 2 ++− ] 45. Izračunati integral ∫ dxxsinex
[ Rešenje: ( ) C2
xcosxsinex+
− ]
46. Izračunati integral ∫ dxxcosex
[ Rešenje: ( ) C2
xcosxsinex+
+ ]
47. Izračunati integral ( )∫ −⋅ dx1xlnx 2
[ Rešenje: ( ) ( ) Cx21
1xln1x21 222 +−−− ]
48. Izračunati integral ∫+−
⋅ dxx1x1lnx2
[ Rešenje: Cx31
x1ln31
x1x1ln
3x 22
3+−−−
+− ]
49. Izračunati integral ∫++
dx1xcos4xcos
xsin2
[ Rešenje: C1xcos4xcos2xcosln 2 +++++− ]
50. Izračunati integral ∫−− xlnxln41x
dx2
[ Rešenje: C5
xln2arcsin ++ ]
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 34
51. Izračunati integral dxx4x
8x2x93
2
∫−
−−
[ Rešenje: C2xln42xln3xln2 +++−+ ] IV.5 ODRE\ENI INTEGRALI
52. Izračunati površinu površi ograničene linijama y2 = 2x + 1 i y = x - 1.
[ Rešenje: 3
16P = ]
53. Izračunati površinu dela ravni ograničenog pravom y = x i parabolom y = 2 - x2.
[ Rešenje: P = 4,5 ] 54. Izračunati površinu dela ravni koji ograničavaju parabole 7x2 - 9y + 9 = 0 i
5x2 - 9y + 27 = 0.
[ Rešenje: P = 8 ] 55. Izračunati površinu površi ograničene linijama x2 + y2 = 4 i y2 = 3x ( )2x0 ≤≤ .
[ Rešenje: 3
34P +=
π ]
56. Izračunati du`inu luka krive ( )3x3xy −= , x ∈ [0, 3].
[ Rešenje: 32l = ]
57. Izračunati zapreminu tela odre|enog rotacijom luka y= sin2x, x ∈ [0, π] oko ose Ox.
[ Rešenje: 8
3V2π= ]
58. Izračunati zapreminu tela odre|enog rotacijom luka krive x1
1y 2+= , x ∈ [0,1] oko Ox ose.
[ Rešenje: 48
V2 ππ += ]
IV.6 KOMBINATORIKA
59. (a) Iz grupe od 7 muškaraca i 4 `ene treba odabrati 6 osoba tako da me|u njima budu bar 2 `ene.
Na koliko načina se to mo`e učiniti?
(b) Rešiti jednačinu 3:1V:V 1x5
x4 =−
[ Rešenje: (a) 371; (b) x = 10 ] 60. (a) Koliko ima različitih četvorocifrenih brojeva deqivih sa 5, zapisanih pomoću cifara 0, 1, 2, 3, 4,
5 ako se cifre ne ponavqaju, a koliko ako se cifre ponavqaju.
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 35
(b) Rešiti jednačinu V157
C 1x3
1x4x
++− =
[ Rešenje: (a) 108, 360; (b) x = 10 ] 61. (a) Odrediti broj prirodnih brojeva, većih od 10 000 koji se mogu formirati od cifara 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, tako da im cifre budu različite.
(b) Rešiti nejednačinu ( )( ) 90
1!1x3!1x3≥
+− , x ∈ N.
[ Rešenje: (a) 10 800; (b) x ∈ {1, 2, 3} ] 62. Dat je skup E = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Odrediti sve različite prirodne brojeve veće od 1 000, koji se mogu
formirati od elemenata skupa E, tako da cifre budu različite.
[ Rešenje: 1 500 ] 63. Odrediti broj različitih prirodnih brojeva, manjih od 100 000 koji se mogu formirati od cifara 0, 1, 2,
3, 4, 5.
[ Rešenje: 7 775 ] 64. Dat je skup S = š0, 1, 2, 3, 4}.
(a) koliko se različitih petocifrenih prirodnih brojeva mo`e formirati od elemenata skupa S, tako da
se u njima cifre ne ponavqaju;
(b) koliko ima parnih brojeva odre|enih u zadatku pod (a)?
[ Rešenje: (a) 96; (b) 60 ] 65. Dat je skup S = š0, 1, 2, 3, 4, 5}.
(a) odrediti broj različitih šestocifrenih prirodnih brojeva mo`e formirati od elemenata skupa S;
(b) odrediti broj parnih prirodnih brojeva odre|enih u zadatku pod (a)?
[ Rešenje: (a) 600; (b) 312 ] 66. Koliko ima sedmocifrenih brojeva obrazovanih od cifara 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, ne uzimajući u obzir,
razume se, one koji počinju nulom (ili nulama)?
[ Rešenje: 90 ] IV.7 BINOMNA FORMULA
67. Za koju vrednost x u razvijenom obliku binoma
+
−2
12
1xx
n
je zbir trećeg i petog člana 135,
ako je zbir binomnih koeficijenata poslednja tri člana 22.
[ Rešenje: n = 6, x = -1 ∨ x = 2 ]
68. Odrediti za koje je x šesti član razvoja binoma ( ) ( )
+ −− 5 3log2x310 xlog
n
22 jednak 21, ako su
binomni koeficijenti drugog, trećeg i četvrtog člana razvoja redom prvi, treći i peti član aritmetičke
progresije.
Zadaci za pismeni deo maturskog ispita iz matematike 36
[ Rešenje: n = 7, x = 0 ∨ x = 2 ]
69. U razlaganju binoma
−
aa
2aa 3
32
n
naći član koji ne sadr`i a, ako je odnos binomnih
koeficijenata petog i trećeg člana 1 : 2.
[ Rešenje: B3 = 40 ]
70. Zbir binomnih koeficijenata drugog i trećeg člana u razvoju binoma
− 6
5 2n
x21
x jednak je 153.
Naći član koji ne sadr`i x.
[ Rešenje: n = 17, k = 12, B13 = 17⋅91⋅2-10 ]
Recommended