ZÁKLADY EKONOMETRIE 4. cvičení METODOLOGICKÝ POSTUP ŘEŠENÍ EKONOMETRICKÉHO PROBLÉMU

1

ZÁKLADY EKONOMETRIE

4. cvičeníMETODOLOGICKÝ POSTUP ŘEŠENÍ

EKONOMETRICKÉHO PROBLÉMU

2

1. Náhodná složka

2. G-M předpoklady

3. Vlastnoti bodové odhadové funkce

3

Náhodná složka

Gauss-Markovy předpoklady:

E(u) = 0

Náhodné vlivy se vzájemně vynulují

E(u uT) = σ2 In

Konečný a konstantní rozptyl = homoskedasticita

→ Porušení: Heteroskedasticita

Náhodné složky jsou sériově nezávislé

→ Porušení: Autokorelace

X je nestochastická matice – E(XTu) = 0

Veškerá náhodnost je obsažena v náhodné složce

X má plnou hodnost k

matice X neobsahuje žádné perfektně lineárně závislé sloupce pozorování vysvětlujících proměnných

→ Porušení: Multikolinearita

4

Vlastnosti bodové odhadové funkce - Malý výběr

Počet pozorování n < 30

Nevychýlený = nestranný odhad:E (b) = βb – získáme z více výběrových vzorků

pokud E(b) > β – odhady jsou nadhodnoceny, E(b) < β – odhady jsou podhodnoceny

Vydatný odhad: standardní chyba regresního koeficientu sb musí být minimální ze všech jiných postupů - to způsobuje, že intervalové odhady jsou nejmenší. Jako nevychýlený odhad může sloužit více statistik, z nichž nejvhodnější je ta, která má minimální rozptyl.

5

Nestrannost odhadu

ß

f(b)

Nestrannost

b

6

Vydatnost odhadu

ß

f(b)

Vydatnost

b

7

Vlastnosti bodové odhadové funkce - Velký výběr

počet pozorování n ≥ 30

Konzistentní – bodový odhad b je konzistentním odhadem, jestliže jeho hodnota s rostoucím počtem pozorování n konverguje ke skutečnému=populačnímu parametru

Asymptoticky nestranný – je to slabší vlastnost, (pokud je odhad konzistentní, tak je i asymptoticky nestranný)

Asymptotická vydatnost – rozptyl konverguje k nule rychleji než s použitím jiné odhadové funkce

limn

p

b

lim ( )n

p E

b

8

Asymptotická nestrannost

ß

f(b) n=200

n=500

Asymptotická nestrannost

E(b)

9

Asymptotická vydatnost

ß

f(b)

n=500

n=200

Asymptotická vydatnost

b

10

Konzistence

β

f(b)

n=1000

n=200

Konzistence

b

n=500

Příklad

Vraťme se k příkladu z minulého cvičení, podívejme se, zda je odhad nestranný?

Víme, že v celé populaci platí závislost:

Proveďte simulaci – 500krát odhadněte model.

Jaká byla nejvyšší hodnota odhadu parametru β?

A jaká byla nejnižší hodnota?

Soubor: 1.cviceni_LRM_s_resenim.xlsx

11

5 10Y X u

12

Možná otázka do závěrečného testu

Odvození bodové odhadové funkce a její vlastnosti (rozdělit pro malé a velké výběry).

Princip metody MNČ.

Gaussovy-Markovovy předpoklady

13

Metodologický postup

1. Specifikace modelu

2. Odhad parametrů (tj. kvantifikace)

3. Verifikace

4. Aplikace

14

1. Specifikace modelu

Orientace v dané ekonomické problematice

Určení proměnných

Určení vzájemných vazeb mezi proměnnými

Formulace hypotéz – v podobě algebraických vztahů (tj. jedné či více rovnic)

Specifikace náhodných vlivů

15

Specifikace modelu

1. Ekonomický model Stanovení základní hypotézy (tj. které proměnné

použijeme, jak budou působit, jejich intenzita, apod.) Slovní vyjádření

2. Ekonomicko-matematický model převedení slovního vyjádření do podoby

jedné rovnice (jednorovnicový model)soustavy rovnic (vícerovnicový model)

3. Ekonometrický model zahrnutí faktoru nejistoty v podobě náhodné složky

16

Náhodná složka u

modely obvykle pracují s 3 či 4 vysvětlujícími proměnnými – působení ostatních nepodstatných vlivů je zahrnuto v náhodné složce

o náhodné složce se předpokládá, že má normální rozdělení se střední hodnotou 0 a rozptylem σ2

u ~ N(0; σ2)

17

Matematická vs. ekonometrická fce

Matematická funkce:1 vysvětlující proměnná:

y = f (x)více vysvětlujících proměnných:

y = f (x1, x2, …)Ekonometrická funkce:1 vysvětlující proměnná:

y = f (x) + uvíce vysvětlujících proměnných:

y = f (x1, x2, …) + u

18

Druhy proměnných v modelu

Endogenní• tj. vysvětlované, závisle proměnné• hodnoty jsou generovány systémem či modelem

Exogenní• tj. vysvětlující, nezávisle proměnné• působí na zkoumaný systém, samy systémem nejsou

ovlivňovány• jejich hodnoty jsou determinovány mimo systém

Predeterminované • Exogenní + endogenní-zpožděné

19

Metodologický postup

1. Specifikace modelu

2. Odhad parametrů (tj. kvantifikace)

3. Verifikace

4. Využití

20

2. Odhad parametrů

Využití disponibilní (tj. výběrové) informace z dat

Použití vhodné odhadové techniky

21

Metodologický postup

1. Specifikace modelu

2. Odhad parametrů (tj. kvantifikace)

3. Verifikace

4. Využití

22

3. Verifikace

Aneb jak se odhadnutý model shoduje s teorií a napozorovanými daty

Ekonomická (jestli proměnné modelu mají správný směr a intenzitu)Statistická (ověření přesnosti a významnosti výsledků)Ekonometrická (zda byly dodrženy podmínky pro použití dané odhadové techniky a statistických testů)

23

Metodologický postup

1. Specifikace modelu

2. Odhad parametrů (tj. kvantifikace)

3. Verifikace

4. Využití

24

4. Využití

Kvalitativní a kvantitativní analýza minulého vývoje

Předpovědi (predikce, prognózy)

Volba hospodářské politikyanalýza různých scénářů

simulační experimenty

25

Příklad 1 – eko1.xls

Odhadněte závislost maloobchodního obratu na disponibilním příjmu a cenovém indexu.

Y – maloobchodní obrat potřeb pro domácnost v mld. CZK

X1 – disponibilní příjem v mld. CZK

X2 – cenový index

Proveďte predikci bodovou a intervalovou. Ověřte, zda je model vhodný k predikci.

26

Příklad 2 – data.in7

Odhadněte závislost spotřeby (CONS) na disponibilním důchodu (INC).

ProveďteSpecifikaci

Kvantifikaci

Verifikaci

Aplikaci

Použijte datový soubor data.in7

27

A. Specifikace

CONS – endogenní proměnná (vysvětlovaná)

INC – exogenní proměnná (vysvětlující)

Forma závislosti:

CONSt = β0 + β1INCt +ut

Ekonomický předpoklad:S růstem důchodu, roste spotřeba – kladné znaménko u koeficientu β1,

β1 náleží do intervalu (0,1) – v dlouhodobém horizontu platí: nemůžu spotřebovat více, než vydělám

28

B. Kvantifikace

Pomocí výběru n = 159, budeme odhadovat model

CONSt = b0 + b1INCt + et

CONSt^ = b0 + b1INCt

Použijeme PcGive a MNČ1b ( ) yT T X X X

29

B. Kvantifikace

30

B. Kvantifikace

Odhadnutý regresní model:

CONSt = -181,27 + 1,186 INCt +et

CONSt^ = -181,27 + 1,186 INCt

Intervalový odhad parametrů

1 /2 0,975( 1) (157) 2,042,t n k t

1 /2 1 /2( 1) ( 1) ,i bi i i i biP b s t n k b s t n k

1 1 1 /2( 1) 1,186 0,034*2,042bb s t n k

1 1,117;1,255

31

C. Verifikace ekonomická

b1 náleží do intervalu (0,1) ? – nesplňuje!Absolutní pružnost

Zvýší-li se důchod (INC) o jednu jednotku, tzn. o jednu miliardu, zvýší se spotřeba (CONS) v průměru o 1,186 miliard, ceteris paribus

Relativní pružnost

Bere se vždy vzhledem k nějakému datu, v %!Např. pro období 1954-2, Y = 884,528, X = 894,831,

qx= 1,1865*884,528/894,831 = 1,173Zvýší-li se v druhém čtvrtletí roku 1954 disponibilní důchod o jedno %, poté se spotřeba zvýší v průměru o 1,173%.

1ˆ /b dY dX

1x

dY X Xq b

dX Y Y

32

C. Verifikace statistická

Standard Error Standardní chyba regresních koeficientů podle následujícího vztahu

Slouží k určení významnosti parametrů, k intervalovým odhadům

s je odhad σ – u nás ve výstupu je to sigma

2 1( ) ( )Tb s S X X

e eT

sn k

33

Verifikace statistická – významnost proměnných

T-statistika, t-value, t-prob t statistika slouží k určení významnosti jednotlivých parametrů v modelu.

H0: βj = 0 ... Nevýznamná proměnná

H1: βj ≠ 0 ... Významná proměnná

Obecně pro t-statistiku platí

popř. p-hodnota ≤ α → zamítám hypotézu H0 o nevýznamnosti proměnné v modelu, proměnná je tedy významná popř. p-hodnota > α → nepodařilo si mi zamítnout hypotézu H0 o nevýznamnsoti proměnné v modelu, proměnná je nevýznamná

Na hladině významnosti 5 % zamítáme nulovou hypotézu o nevýznamnosti proměnné INC. Proměnná disponibilní důchod je v modelu významná.

j jj

bj

bt

s

.j

jbj

b coefficentt

s st error

1 /2*jt t

1 /2*jt t

34

C. Verifikace statistická

Pro úrovňovou konstantu neprovádíme statistické vyhodnocení, ale vždy ji ponecháme v modelu.

Part. R2 – parciální (dílčí) korelační koeficientUrčuje, jak daná proměnná vysvětluje závislou proměnnou bez ohledu na ostatní exogenní proměnné

35

C. Verifikace statistická

Koeficient vícenásobné determinace R2 Hodnotí celkovou kvalitu modelu, určuje, jak se model shoduje s daty

Rozptyl Y = Vysvětlený rozptyl + nevysvětlený rozptylRozptyl empirických hodnot

n – 1 stupně volnostiv obrázku a + b

Rozptyl vyrovnaných hodnot .. k – 1 stupně volnostiv obrázku a

Reziduální rozptyl (RSS=NSČ) .. n – k stupně volnostiv obrázku b

2( )iCSC y y 2ˆ( )iVSC y y

2ˆ( )i iNSC y y Y

Y

YY

X

a

b

36

C. Verifikace statistická

Vícenásobný koeficient determinace , pokud 1 – dokonalý model

Korigovaný koeficient vícenásobné determinace

Používá se pro srovnávání více modelů s jiným počtem vysvětlujících proměnných

2 2 11 1

( 1)

nR R

n k

2 0,1R 2 1

VSC NSCR

CSC CSC

37

C. Verifikace statistická – významnost modelu

F-poměr testuje statistickou významnost modelu (využívá se Fischerovo rozdělení)

Používá se pokud máme v modelu dvě a více exogenní proměnné.

H0: R2 statisticky nevýznamné, β0 = β1 =... βj = 0

H1: R2 statisticky významné, βj ≠ 0

F > F(k – 1, n – k – 1)* … odmítáme H0 ve prospěch H1.

[0.000] - počítá nám p-value

[číslo] ≤ α → zamítám hypotézu H0, model je tedy významný

[číslo] > α → nepodařilo se mi zamítnout hypotézu H0, model je tedy nevýznamný

Protože máme v modelu pouze jednu exogenní proměnnou nemusíme vyhodnocovat statistickou významnost modelu

2

2

( 1).

1

R n kF

R k

38

C. Verifikace statistická – zbylý výstup

Sigma – Odhad směrodatné chyba (odchylka) náhodné složky u

RSS - residua sum of squares, aneb naše NSČ – je to vlastně hodnota naší účelovou funkci, kterou minimalizujeme.

Log-likelihood – věrohodnostní poměr – alternativa metody minimálních čtverců, je metoda maximální věrohodnosti

39

C. Verifikace ekonometrická

Ověřuje splnění podmínek pro použití MNČ

Testuje se heteroskedasticita, autokorelace, mulikolinearita

DW – Durbin-Watson – testuje autokorelaci prvního řádu, budeme řešit později !!!

40

D. Aplikace

Predikce apod. , ukládání vyrovnaných hodnot, reziduí...

Predikce – dosazení konkrétních hodnot do regresní funkce

1953 1ˆ 181,27 1,186*908,212 895,534CONS

Závěry plynoucí z analýzy

Koeficient u proměnné INC nesplňuje ekonomický předpoklad, protože je větší než 1.

Z pohledu statistické verifikace je model v pořádku.

K tomu, abychom statistickou verifikaci mohli považovat za „právoplatnou“, potřebujeme ověřit, zda byly splněny podmínky pro použití MNČ

Toto řešení tedy není úplné, je potřeba doplnit ekonometrickou verifikaci a model se nezdá příliš vhodný z důvodu nesplnění ekonomických předpokladů.

41

42

Predikce

1. Predikce bodová a intervalová

2. Ex ante a ex post

43

Predikce

Cílem predikce (předpovědi) je kvantitativní odhad endogenní proměnné mimo interval pozorování s využitím minulé i současné informace

Ex-ante - podmíněná

Ex-post - pseudopředpověď

44

Predikce Ex-Ante

Podmíněná volbou vysvětlující proměnnévysvětlující proměnnou máme buď zadanou, nebo zadanou ve formě procentuálního nárůstu

Predikce může být bodová

nebo intervalová Y

Y

45

Predikce Ex-post

Vyřadím určitý počet pozorování z modelu, poté odhadnu model, předpovím pozorování a zkontroluji s jejich skutečnou hodnotou.

Chyba odhadu H0: Chyba není statisticky významná(model je vhodný k predikci)

H1: Chyba je statisticky významná

Testujeme pomocí t-statistiky