Projekt z Ekonometriemtakac.com/publication/2008/takac_ekono.pdf · fakulta matematiky, fyziky a informatiky univerzity komensk´eho v bratislave Projekt z Ekonometrie Bratislava

fakulta matematiky, fyziky a

informatiky univerzity komenskeho

v bratislave

Projekt z Ekonometrie

Bratislava 2008Simona Stefanovicova, Martin Takac

Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky, Univerzita Komenskeho v Bratislave

Ekonomicka a financna matematika

Modelovanie mortality od znecistenia

Semestralna praca

Martin Takac, Simona Stefanovicova

Bratislava 2008

Obsah

1 Teoreticky uvod 21.1 Testy normality chyb v modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Testy na heteroskedasticitu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Kriteria na odhalenie multikolinearity . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Testovanie signifikancie parametrov . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Testovanie linearnych hypotez . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Testovanie signifikancie modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Testovanie submodelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Zakladne informacie o datach a modeli 12

3 Vychodiskovy model 143.1

”Pracovne” hypotezy o modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Odhady parametrov v prvotnom modeli . . . . . . . . . . . . . 153.3 Whiteov test heteroskedascity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Goldfeld-Quandtov test heteroskedascity . . . . . . . . . . . . 233.5 Breusch-Paganov test heteroskedasticity . . . . . . . . . . . . 27

4 Testy linearnych hypotez o modeli 294.1 Testovanie hypotezy o koeficientoch . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Testovanie pomocou submodelu . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5 Zaver 32

6 Prılohy 336.1 Popisne statistiky pouzitych premennych . . . . . . . . . . . . 336.2 Korelacna matica pouzitych premennych . . . . . . . . . . . . 39

1 Teoreticky uvod

Ciel’om nasho projektu je vytvorit’ regresny model a testovat’ splnenie Gauss- Markovovych podmienok a roznych hypotez o nom

Vseobecny regresny model

yi = β0 + β1xi1 + β2xi2 + . . . + βk−1xik−1 + ε (*)

Gauss - Markovove podmienky(Basic Assumption)

1. Model je platny.

2. Stredna hodnota chyb modelu je 0, t.j.

E(ε) = 0. (1)

3. Chyby v modeli vykazuju homoskedasticitu a parovu nakorelovanost’,t.j.

V ar(ε) = σ2I. (2)

4. X je nestochasticka (stlpce matice X su stochasticky nekorelovane schybami v modeli), t.j.

E(XTε) = 0. (3)

5. Nahodne chyby maju normalne rozdelenie

ε ∼ N(0, σ2I) (4)

Veta: 1.1. (Gauss - Markovova veta)

1. Za platnosti modelu (*) a platnosti Gauss - Markovovych podmienok (1

- 4) je odhad β zıskany metodou najmensıch stvorcov najlepsi linearnynevychyleny odhad parametra β.

2. Za platnosti modelu (*) a platnosti Gauss - Markovovych podmienok (1

- 5) je odhad β zıskany metodou najmensıch stvorcov efektivny nevy-chyleny odhad parametra β.

2

1.1 Testy normality chyb v modeli

Na testovanie normality nahodnych chyb v modeli sa pouzıva test Jarque -Bera.

H0 : ε ∼ N(0, σ2I) H1 :nahodne chyby nemaju normalne rozdelenie

Testovacia statistika:

JB = n

[β1

6+

β2

24

]∼ χ2

2

kde√

β1 = skewness

β2 = kurtosis

H0 zamietame, ak JB > χ295%(2).

3

1.2 Testy na heteroskedasticitu

Majme model (*) s predpokladom E(ε) = 0.O heteroskedasticite hovorıme, ak platı V ar(ε) = σ2Ω, kde Ω je kladnedefinitna matica.Vo vsetkych z uvedenych testov je H0 formulovana

H0 : v modeli nie je heteroskedasticita H1 : v modeli je heteroskedas-ticitaTesty na odhalenie heteroskedasticity:

1. Whitov test

4

(a) No Cross TermsPomocna regresia

e2 = X∗α + η (5)

kdeX∗ = [1,x1, . . .xk−1,x

21, . . . ,x

2k−1]


W = n.R2 ∼ χ2p

(b) Cross TermsPomocna regresia

e2 = X∗α + η (6)

kdeX∗ = [1,x1, . . .xk−1,x

21, . . . ,x

2k−1,xi.xj]


W = n.R2 ∼ χ2p

V oboch prıpadoch H0 zamietame, ak W > χ295%(p).

2. Goldfeld - Quandtov testPouzıva sa, ak predpokladame, ze niektora premenna sposobuje het-eroskedasticitu.

• Data zoradıme podl’a vel’kosti podl’a podozrivej premennej.

• Rozdelıme data do troch skupın.

• Strednu cast’ vynechame, v prvej a tretej urobıme pomocne regre-sie a odhadneme disperzie

σ21 =

RSS1

n1 − k

σ22 =

RSS2

n2 − k,

kde

5

n1 = pocet dat v prvej skupine

n2 = pocet dat v druhej skupine

k = pocet parametrov v povodnom modeli


GQ =σ2

2

σ21

∼ Fn2−k,n1−k

H0 zamietame, ak GQ > F95%(n2 − k, n1 − k).

3. Breusch - Paganov testPredpokladame, ze disperziu ovplyvnuje spolocne niekol’ko premennych(ozn. z1, . . . , zp).

• Vytvorıme pomocnu premennu

BPi =e2

i

RSSn

• Urobıme pomocnu regresiu

BPi = α0 + α1z1 + α2z2 + . . . + αkzk + η


BP =1

2ESS ∼ χ2

p

kdeESS = vysvetl’ujuca suma srvorcov v pomocnej regresiiH0 zamietame, ak BP > χ2

95%(p).

V prıpade heteroskedasticity v modeli zostava nevychylenost’ odhadu β

zıskany metodou najmensıch stvorcov zachovana.

V ar(β) = (XTX)−1XTσ2ΩX(XTX)−1

Na odhad XTσ2ΩX sa pouzıva

( XTσ2ΩX) =

n∑

i=1

e2i xix

Ti

6

Whitov odhad kovariancnej matice vyzera

V ar(β) = (XTX)−1( XTσ2ΩX)(XTX)−1

Na testovanie hypotez tvaru

H0 : Rq×kβ = rq×1 H1 : Rq×kβ 6= rq×1

sa v prıpade heteroskedasticity pouzıva Waldov test

W = (Rβ − r)T(R

Var(β)RT)−1(Rβ − r) ∼ χ2q

1.3 Kriteria na odhalenie multikolinearity

1. Cislo podmienenosti matice XTXAk je cislo podmienenosti matice XTX(= λmax

λmin

) > 30, v modeli jemultikolinearita.

2. Korelacny koeficient medzi vysvetl’ujucimi premennymiAk korelacie maju vysoku hodnotu, v modeli je multikolinearita.

3. Regresia na ostatne premenneV prıpade, ze nam v pomocnych regresiach jednotlivych premennychna ostatne vyjde signifikantnost’ regresie, v modeli je multikolinearita.

4. Variancny inflacny faktor V IFi

V IFi =1

1 − R2i

Ak ma V IFi vel’ku hodnotu ( > 5), v modeli je multikolinearita.

Ak v modeli odhalıme multikolinearitu, mame dve moznosti riesenia:situacie

1. Preformulovat’ model

2. Pouzit’ hrebenovu regresiuParameter β = arg min(y − Xβ)T(y −Xβ) − cβTβ

7

1.4 Testovanie signifikancie parametrov

Za predpokladu normality nahodnych chyb testujeme signifikanciu parametrov

H0 : βi = 0 H1 : β 6= 0

pomocou t - statitiky.Testovacia statistika:

T =βi

sd(βi)∼ tn−k

kde

βi = odhad zıskany metodou najmensıch stvorcov

sd(βi) = odhad standardnej odchylky

n = pocet dat

k = pocet parametrovH0 zamietame, ak |T | > t97.5%(n − k).

8

9

1.5 Testovanie linearnych hypotez

Za predpokladu normality nahodnych chyb testujeme linearne hypotezy nasle-dovne:

H0 : Rq×kβ = rq×1 H1 : Rq×kβ 6= rq×1


F =

(Rbβ−r)T(R(XTX)−1RT)−1(Rbβ−r)q

RSSn−k

∼ Fq,n−k

H0 zamietame, ak F > F95%(q, n − k).

10

1.6 Testovanie signifikancie modelu

Za predpokladu normality nahodnych chyb testujeme signifikanciu modelu:

H0 : β1 = β2 = . . . = βk−1 = 0 H1 : H0 neplatı

pomocou testov na linearnu hypotezu, pricom

R =

0 1 0 . . . 00 0 1 0 . . ....

... . . .. . . 0

0 0 . . . 0 1

, r =

00...0

q = k - 1


F =

(Rbβ−r)T(R(XTX)−1RT)−1(Rbβ−r)k−1RSSn−k

∼ Fk−1,n−k

H0 zamietame, ak F > F95%(k − 1, n − k).

1.7 Testovanie submodelu

Majme povodny model. Z neho zıskame odhady β. Taktiez mame k dispozıciiRSS (rezidualnu sumu stvorcov). Chceli by sme skumat’ hypotezu

H0 : Rβ = r q-rovnıc

Zostrojıme model s restrikciou a dostaneme novy odhad β∗, RSS∗.Potom mame testovaciu statistiku:F = RSS∗

−RSSRSS

n−kq

∼ Fn−k,q

Hypotezu H0 zamietame, ak F > F95%(n − k, q).

11

2 Zakladne informacie o datach a modeli

Ciel’ nasho projektu je modelovat’ na vek prisposobenu mortalitu (v Amer-ickych mestach) pomocou nasledujucich vysvetl’ujucich premennych

city nazov mestaJanTemp priemerne januarove teploty FarenheitJulyTemp priemerne julove teploty (vo Farenheitoch) FarenheitRelHum relatıvna vlhkost’ percentaRain rocny uhrn zrazok palceMortality na vek prisposobena mortality skalarEducation priemerna vzdelanost’ rokyPopDensity hustota obyvatel’ov pocet l’udı / km2

NonWhite relatıvny pocet nebelochov percentaWC reatıvny pocet robotnıkov bielej rasy percentaPop populacia kusypophouse pocet l’udı na domacnost’ kusyincome priemerny rocny plat USDHCPot znecistenie ovzdusia uhl’ovodıkmi mg v 1lNOxPot znecistenie ovzdusia oxidom dusicnatym mg v 1lSO2Pot znecistene ovzdusia oxidom siricitym mg v 1l

Na vek prisposobena mortalitaVek je asi najdolezitejsı faktor, ktory ovplyvnuje umrtnost’. Aby sme

mohli porovnavat’ umrtnost’ medzi krajinami, musıme zotriet’ rozdiely medzivekovym rozdelenım obyvatel’stva v krajinach. Prave za tymto ucelom sapouzıva na vek prisposobena mortalita (Age Adjusted Mortality) a je defino-vana

AgeAdjustedMortality =

n∑

a=1

iapa

n∑

a=1

pa

× 100000, kde

• ia je miera umrtnosti vekovej skupiny a,

• Pa je vel’kost’ populacie a-tej vekovej skupiny,

12

• n je pocet vekovych skupın (casto ich je 16, kazda s rozsahom 5 rokov).

13

3 Vychodiskovy model

V nasom prvotnom modeli budeme mortalitu modelovat’ pomocou premen-nych:

Education, NonWhite, Income, HCPot, NOxPot, SO2Pot.

Vychodiskovy model:

Mortality ∼ β0 + β1NonWhite + β2Education + β3Income + β4HCPot

β5NOxPot + β6SO2Pot + ε

3.1”Pracovne” hypotezy o modeli

Pri tvorbe modelu sme si stanovili pracovne hypotezy, ktorych platnost’budeme d’alej overovat’.

Logicky nam vychadzaju tieto hypotezy

• so zvysovanım percentualneho podielu nebelosskeho obyvatel’stva v pop-ulacii by sa mala mortalita zvysovat’ v dosledku odlisnej fyziologie nebe-lochov a moznych pretrvavajucich rasistickych a diskriminacnych naladmedzi obyvatel’mi;

• pri vyssıch platoch sa zvysuje zivotna uroven obyvatel’stva, zdravotnastarostlivost’, prıstupnost’ k liekom a to by podl’a nas malo viest’ knizsej mortalite;

• zvysenie vzdelanosti vedie k vacsım platom, a tu mozno uplatnit’ nasuvyssie uvedeu hypotezu;

• znecistenie ovzdusia sposobuje zhorsenie kvality zivota, co by maloviest’ k zvyseniu na vek prisposobenej mortality;

14

3.2 Odhady parametrov v prvotnom modeli

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 1097.101 74.39533 14.74690 0.0000NONWHITE 3.532387 0.574268 6.151115 0.0000

EDUCATION -15.80899 7.434028 -2.126571 0.0382INCOME -0.001101 0.001331 -0.827653 0.4116HCPOT -0.876087 0.454065 -1.929431 0.0591

NOXPOT 1.589532 0.940067 1.690871 0.0968S02POT 0.170180 0.128254 1.326894 0.1903

R-squared 0.673514 Mean dependent var 941.1731Adjusted R-squared 0.635843 S.D. dependent var 62.42133

S.E. of regression 37.66844 Akaike info criterion 10.20652Sum squared resid 73783.39 Schwarz criterion 10.45300

Log likelihood -294.0922 F-statistic 17.87863Durbin-Watson stat 1.915023 Prob(F-statistic) 0.000000

0

2

4

6

8

10

12

14

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

Series: RESID

Sample 1 60

Observations 59

Mean -1.21e-13

Median 2.026399

Maximum 84.83812

Minimum -86.73064

Std. Dev. 35.66689

Skewness 0.067954

Kurtosis 3.165032

Jarque-Bera 0.112362

Probability 0.945368

Uz v korelacnej matici vidiet’ vysoku linearnu zavislost’ skupiny pre-mennych HCPOT, NOXPOT, S02POT. Zahrnutım tychto premennychvznika v modeli multikolinearita. Preto sa pokusime identifikovat’ premennesposobujuce multikolinearitu a vylucime ich z modelu.

Zostrojıme tri pomocne regresie:

HCPOT ∼ α0 + α1NOXPOT + α2S02POT + ε (R1)

15

Odhady metodou najmensıch stvorcov

NOX 2.070044 0.034888 59.33428 0.0000S02POT -0.210708 0.025512 -8.259052 0.0000

C 2.396052 1.938264 1.236184 0.2215




Zaver: Premenna HCPOT sa da vel’mi dobre vyjadrit’ pomocou zvysnychpremennych.

NOXPOT ∼ α0 + α1HCPOT + α2S02POT + ε (R2)



HCPOT 0.475385 0.008012 59.33428 0.0000S02POT 0.104942 0.011625 9.027126 0.0000

C -1.035672 0.931169 -1.112227 0.2707




Zaver: Premenna NOX sa da vel’mi dobre vyjadrit’ pomocou zvysnychpremennych.

S02POT ∼ α0 + α1NOXPOT + α2HCPOT + ε (R3)

16



HCPOT -2.585440 0.313043 -8.259052 0.0000NOXPOT 5.607073 0.621136 9.027126 0.0000

C 24.90574 6.037490 4.125181 0.0001




Zaver: Premenna S02POT sa neda vel’mi dobre vyjadrit’ pomocou zvysnychpremennych (R2 = 0.621215).

Teda skusime z modelu vypustit’ premennu NOXPOT.Poznamka: Premenne NOXPOT a HCPOT su silno korelovane kvoli tomu,ze sa do ovzdusia dostavaju sucasne ako produkty spal’ovania a priemyselnejvyroby.

Po vynechanı premennej NOXPOT nas pracovny model bude vyzerat’nasledovne:

Mortality ∼ β0 + β1NonWhite + β2Education + β3Income + β4HCPot

β5SO2Pot + ε

17



C 1105.799 75.50766 14.64487 0.0000NONWHITE 3.695052 0.575996 6.415065 0.0000

EDUCATION -16.88636 7.535452 -2.240922 0.0292INCOME -0.001108 0.001354 -0.818749 0.4166HCPOT -0.115234 0.061851 -1.863093 0.0680S02POT 0.328455 0.089200 3.682219 0.0005




P-hodnota pri parametri INCOME naznacuje, ze β3 je nesignifikantnyparameter. Preto ho z modelu vylucime.

Dostavame model:

Mortality ∼ β0 + β1NonWhite + β2Education + β3HCPot + β4SO2Pot + ε



C 1103.646 74.66715 14.78088 0.0000NONWHITE 3.696264 0.571327 6.469610 0.0000

EDUCATION -20.03902 6.596846 -3.037667 0.0036HCPOT -0.121095 0.060619 -1.997636 0.0507S02POT 0.321873 0.087206 3.690940 0.0005




18

Normalita rezıduı

0

2

4

6

8

10

12

-80 -40 0 40 80

Series: RESID

Sample 1 60

Observations 60

Mean -1.12e-13

Median 0.353628

Maximum 90.13176

Minimum -88.91262

Std. Dev. 36.71556

Skewness 0.185064

Kurtosis 3.314943



Skumajme pridanie d’alsej vysvetl’ujucej premennej do modelu:

• pridanie WC - parameter je nesignifikantny (vid’ prıloha Tabul’ka (6.1)),

• pridanie POP - parameter je nesignifikantny (vid’ prıloha Tabul’ka(6.1)),

• pridanie POPHOUSE - parameter je nesignifikantny (vid’ prılohaTabul’ka (6.1)),

• pridanie POPDENSITY - parameter je nesignifikantny (vid’ prılohaTabul’ka (6.1)),

• pridanie RELHUM - parameter je nesignifikantny (vid’ prıloha Tabul’-ka (6.1)),

• pridanie JULYTEMP - parameter je nesignifikantny (vid’ prılohaTabul’ka (6.1)),

• pridanie JANTEMP - parameter je signifikantny.

Mortality ∼ β0 + β1NonWhite + β2Education + β3HCPot

β4SO2Pot + β5JANTEMP + ε

19



C 1140.671 73.07795 15.60897 0.0000NONWHITE 4.590304 0.657818 6.978077 0.0000


JANTEMP -1.508804 0.616520 -2.447293 0.0177




Z tabul’ky si mozeme vsimnut’, ze premenna HCPOT je nesignifikantna,pricom uz v predchadzajucom modeli bola na hranici zamietnutia. Nesig-nifikancia nebola sposobena multikolinearitou (vid’. Tabul’ka (6.1))

Vynechanım premennej HCPOT dostavame nasledovny model:

Mortatilty ∼ β0 + β1NonWhite + β2Education

β3SO2Pot + β4JANTEMP + ε



C 1161.692 66.62196 17.43708 0.0000NONWHITE 4.714142 0.631847 7.460892 0.0000

EDUCATION -21.02681 5.967849 -3.523348 0.0009S02POT 0.216739 0.078142 2.773652 0.0076

JANTEMP -1.713179 0.544012 -3.149157 0.0026




20

• pridanie RAIN - parameter je signifikantny.

Vysledny model

Mortatilty ∼ β0 + β1NonWhite + β2Education

β3SO2Pot + β4JANTEMP + β5RAIN + ε



C 1037.169 83.69093 12.39285 0.0000NONWHITE 4.321546 0.631379 6.844613 0.0000

EDUCATION -13.67612 6.563160 -2.083770 0.0419S02POT 0.274285 0.079215 3.462525 0.0011

JANTEMP -1.647633 0.524408 -3.141893 0.0027RAIN 1.125498 0.486050 2.315604 0.0244




Normalita rezıduı

0

2

4

6

8

10

12

14

-80 -40 0 40 80

Series: RESID

Sample 1 60

Observations 60

Mean 1.50e-13

Median -1.378287

Maximum 100.8740

Minimum -80.17746

Std. Dev. 33.38136

Skewness 0.408995

Kurtosis 3.723096



21

3.3 Whiteov test heteroskedascity

F-statistic 1.808739 Probability 0.083827Obs*R-squared 16.17657 Probability 0.094688


C 85497.74 41262.28 2.072055 0.0435NONWHITE -88.94133 94.27876 -0.943387 0.3501

NONWHITE2 3.389295 2.490578 1.360847 0.1798EDUCATION -14284.23 7552.639 -1.891290 0.0645

EDUCATION2 628.5565 348.4785 1.803717 0.0774S02POT -12.49928 11.18615 -1.117389 0.2693

S02POT2 0.025538 0.045093 0.566340 0.5737JANTEMP -223.2045 138.3630 -1.613180 0.1131

JANTEMP2 2.837456 1.719373 1.650285 0.1053RAIN 56.31228 104.4643 0.539058 0.5923

RAIN2 -0.696136 1.300710 -0.535197 0.5949


S.E. of regression 1709.997 Akaike info criterion 17.89051Sum squared resid 1.43E+08 Schwarz criterion 18.27448


22

3.4 Goldfeld-Quandtov test heteroskedascity

Pozrime si, ako vyzeraju grafy zavislosti jednotlivych regresorov od residuı.

-120

-80

-40

0

40

80

120

8.8 9.2 9.6 10.0 10.8 11.6 12.4

EDUCATION

RE

SID

23

-120

-80

-40

0

40

80

120

10 20 30 40 50 60 70

JANTEMP

RE

SID

-120

-80

-40

0

40

80

120

0 10 20 30 40 50 60 70

RAIN

RE

SID

24

-120

-80

-40

0

40

80

120

0 50 100 150 200 250 300

S02POT

RE

SID

Na poslednom obrazku si mozeme vsimnut’, ze dispezia sa znizuje sovzrastajucim znecistenım.

Preto SO2Pot je kandidatom na vytvaranie heteroskedasticity. Zotried’medata podl’a tejto premennej. Spravıme teraz dva linearne regresne modely.Prvy z prvych 20 dat, druhy z poslednych 20 dat.

Prvych 20 dat:

25


C 1162.689 131.0250 8.873794 0.0000S02POT 2.340530 1.376635 1.700183 0.1112

EDUCATION -30.67021 10.35679 -2.961363 0.0103NONWHITE 7.122130 1.011008 7.044587 0.0000

JANTEMP -1.268644 0.731290 -1.734803 0.1047RAIN 1.094927 0.571712 1.915172 0.0761




Poslednych 20 dat:


C 955.4670 108.3441 8.818819 0.0000S02POT 0.348925 0.094836 3.679257 0.0025


JANTEMP -1.684246 0.844507 -1.994355 0.0660RAIN 1.032172 0.729078 1.415722 0.1787




F =RSS2

RSS1

n1 − k

n2 − k= 1.1334 < 2.217197 = F95%(18, 18)

Zaver: V modeli nie je heteroskedasticita.

26

3.5 Breusch-Paganov test heteroskedasticity

Z modelu, kde chceme testovat’ heteroskedasticitu, vypocıtame vektor BP.

BP = nresid2

rss

a testujeme nasledovnu regresiu:

BP ∼ α0 + α1S02POT



C 1.314795 0.277948 4.730369 0.0000S02POT -0.005855 0.003360 -1.742412 0.0867




1

2ESS =

1

2RSS

(1

1 − R2− 1

)= 4.0635 > 3.841459 = χ95%(1)

Zaver: V modeli je heteroskedasticita.Preto spravıme aj odhad MNS s Whitovym odhadom kovariacnej matice

27

White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covari-ance


C 1037.169 95.34852 10.87766 0.0000S02POT 0.274285 0.058723 4.670799 0.0000


JANTEMP -1.647633 0.525610 -3.134704 0.0028RAIN 1.125498 0.438891 2.564414 0.0131




28

4 Testy linearnych hypotez o modeli

4.1 Testovanie hypotezy o koeficientoch

Testujme nasledovnu hypotezu

H0 : β3 = 0.3 H1 : β3 6= 0.3

Vieme, ze

t =β3 − 0.3

std.(β)=

0.274285− 0.3

3.462525= −0.0074267

Ked’ze | − 0.0074267| < 2.004879 = t97.5%(54), takze H0 nezamietame.No jeden test nam nevylucil homoskedasticitu,tak budeme to testovat’ aj

Waldovym testom:

W = (β3 − 0.3)2 ∗ 0.058723−2 = 0.19176 < 3.841459 = χ95%(1)

Teda ani Waldovym testom hypotezu H0 nezamietame.

4.2 Testovanie pomocou submodelu

V tejto casti budeme skumat’ nas model podrobnejsie.

Rozdelme maticu planu nasledovne: X =

(X1

X2

), kde X1 su staty, kde

priemerna januarova teplota bola pod priemernou teplotou (jantemp < 34).Matica planu X2 obsahuje staty, kde priemerna januarova teplota je nadpriemernou teplotou (jantemp > 34).

Potom odhady metodou najmensıch stvorcou s maticou planu X1 su:

29


C 952.3111 120.5031 7.902796 0.0000S02POT 0.301646 0.104946 2.874301 0.0071


JANTEMP -1.669416 1.665427 -1.002395 0.3237RAIN 1.383637 0.710983 1.946092 0.0605




Potom odhady metodou najmensıch stvorcou s maticou planu X2 su:


C 1229.749 165.1928 7.444327 0.0000S02POT 0.189494 0.165711 1.143524 0.2707


JANTEMP -1.253748 1.171597 -1.070118 0.3015RAIN 0.732723 0.895016 0.818670 0.4258




Testujme nasledovnu hypotezu:

H0 : stacı povodny model H1 : povodny model nestacı

F =RSS∗ − RSS

RSS

n − 2k

k=

65744.59 − (42420.70 + 19523.23)

(42420.70 + 19523.23)

60 − 12

6

= 0.49085 < 3.75712 = F95%(48, 6)

30

Zaver: H0 nezamietame, teda stacı povodny model.Skusime to odtestovat’ aj Waldovym testom.Zostrojme modelkde P je binarna premenna, ktora je 1, pokial’ priemerna januarova

teplota je < 34 a je rovna 0 inak.Potom dostavame nasledovny model:

Mortality ∼ β0 + β1NonWhite + β2Education + β3HCPot

β4SO2Pot + β5JANTEMP + β6P

β7PSO2Pot + β8PJANTEMP + β9PNonWhite

β10PEducation + β11PHCPot + ε

Potom skumame hypotezu:

H0 : β6 = 0; β7 = 0; β8 = 0; β9 = 0; β10 = 0; β11 = 0

Normalized Restriction (= 0) Value Std. Err.

C(7) -266.5603 182.7481C(8) 0.124229 0.128926C(9) 22.10241 15.28975

C(10) 0.944085 1.590042C(11) -0.485389 2.272173C(12) 0.712130 1.023407

Vysledok regresie:

Test Statistic Value df ProbabilityF-statistic 0.537309 (6, 48) 0.7772Chi-square 3.223855 6 0.7803

Zaver: Stacı povodny model.

31

5 Zaver

Na mortalitu maju vplyv pomer nebelosskeho obyvatel’stva k celkovemu poc-tu obyvatel’ov, vzdelanie, mnozstvo oxidu skriciteho v ovzdusı, januaroveteploty a uhrn zrazok.

Nase”pracovne” hypotezy o modeli sa potvrdili.

Ak sa zvysi percento nebelosskej populacie, mortalita stupne. Tento faktmoze byt’ sposobeny na jednej strane roznou fyziologiou, tym i nachylnost’ouk roznym chorobam, na druhej strane spolocenskou atmosferou. Hoci su datazıskane z americkych zdrojov, v USA stale pretrvavaju rasisticke a diskrim-inacne nalady. Nebelosi mozu mat’ vacsı problem pri uplatnenı a zıskanılepsieho zamestnania.

S rastom vzdelanosti rastie pravdepodobnost’ najdenia si lepsie platenehozamestnania. Vyssı plat implikuje lepsie zivotne podmienky, moznost’ kvalit-nejsej zdravotnej starostlivosti a ucinnejsıch liekov. Co v konecnom dosledkuvedie k znızeniu mortality.

So zvysovanım znecistenia ovdzusia sa zvysuje i nachylnost’ k alergiam,pl’ucnym ochoreniam a klesa kvalita zivotneho priestoru. To moze viest’ kzvyseniu umrtnosti.

Cım vyssie su januarove teploty, tym teplejsie zimy l’udia zazıvaju. Primiernych zimach sa ochorenia az tak vel’mi nesıria. Mierne zimy teda mozuimplikovat’ znızenie mortality.

Opacny efekt ma vyssı uhrn zrazok. Ak viac prsı, vlhkost’ pomaha rozm-nozovaniu bakteriı a vırusov. Za nasledok moze byt’ v konecnej faze rastmortality.

32

6 Prılohy

6.1 Popisne statistiky pouzitych premennych

Popisne statistiky premennej education

0

2

4

6

8

10

12

9 10 11 12

Series: EDUCATION

Sample 1 60

Observations 60

Mean 10.97333

Median 11.05000

Maximum 12.30000

Minimum 9.000000

Std. Dev. 0.845299

Skewness -0.219266

Kurtosis 2.211483



Popisne statistiky premennej wc

0

2

4

6

8

10

12

14

16

35 40 45 50 55 60

Series: _WC

Sample 1 60

Observations 60

Mean 46.41500

Median 45.60000

Maximum 62.20000

Minimum 33.80000

Std. Dev. 5.031421

Skewness 0.443027

Kurtosis 4.074585



Popisne statistiky premennej nonwhite

33

0

2

4

6

8

10

12

0 10 20 30 40

Series: _NONWHITE

Sample 1 60

Observations 60

Mean 11.87000

Median 10.40000

Maximum 38.50000

Minimum 0.800000

Std. Dev. 8.921148

Skewness 1.102651

Kurtosis 3.761424



Popisne statistiky premennej hcpot

0

10

20

30

40

50

0 100 200 300 400 500 600

Series: HCPOT

Sample 1 60

Observations 60

Mean 37.85000

Median 14.50000

Maximum 648.0000

Minimum 1.000000

Std. Dev. 91.97767

Skewness 5.452604

Kurtosis 34.76308



Popisne statistiky premennej jantemp

0

2

4

6

8

10

12

10 20 30 40 50 60

Series: JANTEMP

Sample 1 60

Observations 60

Mean 33.98333

Median 31.50000

Maximum 67.00000

Minimum 12.00000

Std. Dev. 10.16890

Skewness 0.936525

Kurtosis 3.900900



34

Popisne statistiky premennej income

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

28000 32000 36000 40000 44000 48000

Series: INCOME

Sample 1 60

Observations 59

Mean 33246.66

Median 32452.00

Maximum 47966.00

Minimum 25782.00

Std. Dev. 4473.095

Skewness 1.244568

Kurtosis 4.861685



Popisne statistiky premennej julytemp

0

2

4

6

8

10

12

64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86

Series: JULYTEMP

Sample 1 60

Observations 60

Mean 74.58333

Median 74.00000

Maximum 85.00000

Minimum 63.00000

Std. Dev. 4.763177

Skewness 0.133264

Kurtosis 2.911693



Popisne statistiky premennej pop

0

4

8

12

16

20

24

0 2000000 4000000 6000000 8000000

Series: POP

Sample 1 60

Observations 59

Mean 1438037.

Median 914427.0

Maximum 8274961.

Minimum 124833.0

Std. Dev. 1541736.

Skewness 2.815097

Kurtosis 11.66686



35

Popisne statistiky premennej mortality

0

2

4

6

8

10

12

14

800 850 900 950 1000 1050 1100

Series: MORTALITY

Sample 1 60

Observations 60

Mean 940.3487

Median 943.6850

Maximum 1113.160

Minimum 790.7300

Std. Dev. 62.21863

Skewness 0.095596

Kurtosis 3.050759



Popisne statistiky premennej nox

0

10

20

30

40

50

0 50 100 150 200 250 300

Series: NOX

Sample 1 60

Observations 60

Mean 22.60000

Median 9.000000

Maximum 319.0000

Minimum 1.000000

Std. Dev. 46.35537

Skewness 5.030952

Kurtosis 30.66535



Popisne statistiky premennej noxpot

0

10

20

30

40

50

0 50 100 150 200 250 300

Series: NOXPOT

Sample 1 60

Observations 60

Mean 22.60000

Median 9.000000

Maximum 319.0000

Minimum 1.000000

Std. Dev. 46.35537

Skewness 5.030952

Kurtosis 30.66535



36

Popisne statistiky premennej s02pot

0

5

10

15

20

25

30

0 50 100 150 200 250 300

Series: S02POT

Sample 1 60

Observations 60

Mean 53.76667

Median 30.00000

Maximum 278.0000

Minimum 1.000000

Std. Dev. 63.39047

Skewness 1.863667

Kurtosis 6.164096



Popisne statistiky premennej pophouse

0

2

4

6

8

10

12

14

2.6 2.8 3.0 3.2 3.4

Series: POP_HOUSE

Sample 1 60

Observations 60

Mean 3.246167

Median 3.265000

Maximum 3.530000

Minimum 2.650000

Std. Dev. 0.181398

Skewness -1.650478

Kurtosis 6.417565



Popisne statistiky premennej popdensity

0

4

8

12

16

20

2000 4000 6000 8000 10000

Series: POPDENSITY

Sample 1 60

Observations 60

Mean 3876.050

Median 3567.000

Maximum 9699.000

Minimum 1441.000

Std. Dev. 1454.102

Skewness 1.344763

Kurtosis 6.200284



37

Popisne statistiky premennej rain

0

2

4

6

8

10

12

14

10 20 30 40 50 60

Series: RAIN

Sample 1 60

Observations 60

Mean 38.38333

Median 38.00000

Maximum 65.00000

Minimum 10.00000

Std. Dev. 11.51578

Skewness -0.148366

Kurtosis 3.808473



Popisne statistiky premennej relhum

0

4

8

12

16

20

40 45 50 55 60 65 70 75

Series: RELHUM

Sample 1 60

Observations 60

Mean 57.66667

Median 57.00000

Maximum 73.00000

Minimum 38.00000

Std. Dev. 5.369931

Skewness 0.231529

Kurtosis 6.841923



38

6.2 Korelacna matica pouzitych premennych

NONWHITE WC EDUCATION HCPOT INCOME JANTEMP JULYTEMP MORTALITYNONWHITE 1.000000

WC -0.057233 1.000000EDUCATION -0.208875 0.486066 1.000000

HCPOT -0.026188 0.167578 0.291363 1.000000INCOME -0.100769 0.365947 0.507480 0.327506 1.000000

JANTEMP 0.459224 0.207744 0.108194 0.362473 0.198084 1.000000JULYTEMP 0.602237 -0.012766 -0.269484 -0.356892 -0.190628 0.322146 1.000000

MORTALITY 0.646556 -0.289346 -0.508087 -0.184866 -0.283297 -0.015952 0.321828 1.000000NOX 0.019121 0.129406 0.229116 0.983747 0.311683 0.334225 -0.334492 -0.084568

NOXPOT 0.019121 0.129406 0.229116 0.983747 0.311683 0.334225 -0.334492 -0.084568POP 0.115758 0.217839 0.196904 0.529621 0.318484 0.240140 0.021503 0.058614

POPHOUSE 0.352736 -0.346844 -0.389103 -0.489183 -0.295453 -0.325241 0.257080 0.368016POPDENSITY -0.006793 0.253279 -0.236246 0.112698 -0.002990 -0.076006 -0.008833 0.252121

S02POT 0.159657 -0.063471 -0.228976 0.278600 0.067583 -0.093775 -0.071386 0.419118RELHUM -0.119360 0.014788 0.185670 -0.026388 0.127690 0.085522 -0.441397 -0.101074

RAIN 0.302765 -0.114071 -0.472978 -0.494548 -0.362312 0.058566 0.472257 0.433114

NOX NOXPOT POP POPHOUSE POPDENSITY S02POT RELHUM RAINNOX 1.000000

NOXPOT 1.000000 1.000000POP 0.546274 0.546274 1.000000

POPHOUSE -0.449478 -0.449478 -0.314287 1.000000POPDENSITY 0.158495 0.158495 0.334101 -0.166725 1.000000

S02POT 0.406287 0.406287 0.366117 -0.010260 0.421677 1.000000RELHUM -0.052976 -0.052976 -0.143277 -0.143657 -0.149404 -0.116476 1.000000

RAIN -0.459604 -0.459604 -0.234544 0.199056 0.083886 -0.130963 -0.117773 1.000000

39


C 1120.150 75.95486 14.74757 0.0000NONWHITE 3.725593 0.570663 6.528534 0.0000


WC -1.258024 1.127337 -1.115926 0.2694




Tabul’ka 1: Nesignifikancia premennej WC


C 1106.218 76.45555 14.46878 0.0000NONWHITE 3.668127 0.584358 6.277189 0.0000


POP 1.79E-06 4.10E-06 0.435954 0.6646




Tabul’ka 2: Nesignifikancia premennej POP

40


C 1123.575 150.0078 7.490109 0.0000NONWHITE 3.728997 0.614580 6.067549 0.0000


POPHOUSE -5.421277 35.28766 -0.153631 0.8785




Tabul’ka 3: Nesignifikancia premennej POPHOUSE


C 1071.092 79.45243 13.48092 0.0000NONWHITE 3.773965 0.573286 6.583039 0.0000


POPDENSITY 0.004500 0.003848 1.169692 0.2473




Tabul’ka 4: Nesignifikancia premennej POPDENSITY

41


C 1074.012 87.10071 12.33069 0.0000NONWHITE 3.726404 0.575968 6.469814 0.0000


RELHUM 0.635138 0.947628 0.670239 0.5056




Tabul’ka 5: Nesignifikancia premennej RELHUM


C 1304.894 133.1638 9.799166 0.0000NONWHITE 4.259216 0.717754 5.934089 0.0000

EDUCATION -26.69371 6.382094 -4.182595 0.0001S02POT 0.225414 0.085811 2.626880 0.0111

JULYTEMP -1.800711 1.363173 -1.320970 0.1920




Tabul’ka 6: Nesignifikancia premennej JULYTEMP

42


C -448.3818 137.7880 -3.254143 0.0019NONWHITE -2.641489 1.306790 -2.021357 0.0481

EDUCATION 30.53310 12.34274 2.473769 0.0165S02POT 0.639628 0.161614 3.957756 0.0002

JANTEMP 4.359364 1.125129 3.874545 0.0003




Tabul’ka 7: Regresia HCPOT na ostatne vysvetl’ujuce premenne

43

Documents

Projekt z Ekonometriemtakac.com/publication/2008/takac_ekono.pdf · fakulta matematiky, fyziky a informatiky univerzity komensk´eho v bratislave Projekt z Ekonometrie Bratislava