теорема пифагора, закирова карина, фпо 1

Теорема Пифагора

Закирова Карина Наиловна

Основные определенияТреугольник - это многоугольник, имеющий три стороны и три угла.

Треугольник называется прямоугольным, если угол одной из его вершин равен 90°.

Сторона, которая лежит напротив этой вершины, называется гипотенузой, а две другие - катетами.

Историческая справкаПо мнению историка математики

Морица Кантора в Древнем Египте во времена царя Аменемхета I (около XXIII век до н. э.) было известно о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, 5 — его использовали гарпедонапты — «натягиватели верёвок».

Общепринято, что доказательство соотношения дано древнегреческим философом Пифагором (570—490 до н. э.).

Геометрическая формулировкаТеорема Пифагора может быть выражена

как геометрический факт о том, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Верно и обратное утверждение: треугольник, сумма квадратов длин двух сторон которого равна квадрату длины третьей стороны, является прямоугольным.

Алгебраическая формулировка

В прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны a и b, а длина гипотенузы — c, выполнено соотношение:

a² + b² = c²

Теорема ПифагораГеометрическая и алгебраическая формулировки теоремы

эквивалентны, но вторая формулировка проще: второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

Итоговая формулировка теоремы Пифагора звучит так:

“Сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.”

Доказательства

В научной литературе зафиксировано не менее 367 доказательств теоремы Пифагора, что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата.

Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия), метод площадей, существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

Наглядное представление

a b c3 4 5

1 1 √2

6 8 10

12 5 13

Примеры пифагоровых троек

Мнемоническое правило

“Пифагоровы штаны во все стороны равны”