теорема виета

Выполнила: Вараксина Е.В, учитель математики МОУ МГМЛ

ТЕОРЕМА ВИЕТАТЕОРЕМА ВИЕТА

Историческая справка. Формулировка теоремы. Применение теоремы Виета. Теорема, обратная теореме Виета. Применение теоремы, обратной теореме Виета. Попробуй! Проверь решение. Следствия из теоремы. Тест Ответы к тесту. Подведем итоги.

.

ВИЕТ, Вьет (Viete) Франсуа (1540, Фонтене-ле-Конт, - 13.12.1603, Париж), французский математик. По профессии юрист. В 1591 ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами. Ему принадлежит установление единообразного приёма решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степеней. Среди открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и

коэффициентами уравнений.

Для приведенного квадратного уравнения (т.е. такого, коэффициент при x2 в котором равен единице) x2 + px + q = 0 сумма корней равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q: x1 + x2 = p,

x1x2 = q.

В случае неприведенного квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0:

x1 + x2 = -b / a, x1x2 = c / a.

“Если звезды зажигают, значит, это кому-нибудь нужно”

В. В. Маяковский

Зачем же нужна теорема Виета ?.

С ее помощью можно: найти сумму и произведение корней квадратного

уравнения, не решая его (устно №497);

зная один из корней, найти другой (устно № 500);

определить знаки корней уравнения (устно №499);

подобрать корни уравнения, не решая его (устно №501).

Если числа m и n таковы,

что m+n=-р, а mn=g, то эти числа являются корнями уравнения х2+рх+g=0.

ЗАДАНИЕ:Составить квадратное уравнение, имеющее корни 8 и 7.Решение:

1 способ Составить произведение (х-8)(х-7)=0, откуда получаем уравнение

х2-15х+56=0;

2 способИспользовать теорему Виета:Х2-(8+7)х+8*7=0, откуда получаем то же уравнение Х2-15х+56=0.

ПОПРОБУЙ!

Составьте двумя способами квадратное уравнение, имеющее корни:

а) 11 и 4; б)-4 и -5; в)-10 и 2; г)-1 и 15.

Составьте двумя способами квадратное уравнение, имеющее данные корни, и преобразуйте его так, чтобы все коэффициенты уравнения были целыми числами:

а)3 и 1/3; б)1/2 и 2/3; в)-1/3 и 1/4 .

ПРОВЕРЬ РЕШЕНИЕ 1 С П О С О Б

Задание 1

А) (х-11)(х-4)=0, Б) (х+4)(х+5)=0, х2-15х+44=0. х2+9х+20=0.

В) (х+10)(х-2)=0, Г) (х+1)(х-15)=0, х2+8х-20=0. х2-14х-15=0.

Задание 2

А) (х-3)(х-1/3)=0, Б) (х-1/2)(х-2/3)=0, х2-10/3х+1=0, х2-7/6х+1/3=0, 3х2-10х+3=0. 6х2-7х+2=0.

В) (х+1/3)(х-1/4)=0, х2+1/12х-1/12=0 12х2+х-1=0.

2 С П О С О Б

Задание 1

А) х2-(11+4)х+11*4=0, Б) х2-(-4-5)х+(-4)(-5)=0 х2-15х+44=0. х2+9х+20=0.

В) х2-(-10+2)х+(-10)2=0, г) х2-(15-1)х+(-1)15=0, х2+8х-20=0. х2-14х-15=0

Задание 2

А) х2-(3+1/3)х+3*1/3=0, б) х2-(1/2+2/3)х+1/2*2/3=0 х2-10/3х+1=0, х2-7/6х+1/3=0, 3х2-10х+3=0. 6х2-7х+2=0.

В) х2-(-1/3+1/4)х+1/4(-1/3)=0, х2+1/12х-1/12=0, 12х2+х-1=0.

СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ

. Если а + b + с = 0, то один из корней уравнения равен 1. Второй легко найти с помощью теоремы Виета.

Если а - b + с = 0, то один из корней квадрат ного уравнения равен - 1

ВАРИАНТ 1 1. Выберите среди квадратных уравнений приведенное. Зх2 - 7х + 6 = 0 (5), х2 - Зх - 2 = 0 (1), -х2 - 2х + 1 = 0 (4).

2.Для уравнения 7х2 + 14х - 21 =0 приведенным является

х2 + 2х - 3 = 0 (5),-х2 -2х + 3 = 0 (6),

7х2 + 14x-21 = 0 (7).

3.Сумма корней уравнения х2 - 5х - 6 = 0 равна- 6 (2),- 5 (3), 5 (4).

ВАРИАНТ 2

1. Выберите среди квадратных уравнений приведенное.

4х2 - 17х +1 = 0 (5),х2 + 8х – 2 = 0 (1),-х2 - х + 1 = 0 (4)?

2. Для уравнения 8х2-24х+ 16= 0 приведенным является

х2 - Зх + 2 = 0 (6), -х2 +3х - 2 = 0 (5), - 8х2 + 24х - 16 = 0 (7).

3. Сумма корней уравнения х2 + 8х -7 = 0 равна-7 (2),- 8 (0), 8 (4).

4. Произведение корней уравнения

х2 + х - 2 = 0 равно -1 (2), 2 (1), -2 (0).5. Какое из уравнений

имеет корни противоположныхзнаков?

х2 - 0,4х -1=0 (-),х2 + 4х + 0,2= 0 (+),х2 - Зх + 48 = 0 (*) ?

4. Произведение корней уравнения

х2 -2 х - 3 = 0 равно -3 (3), 4 (1), -2 (0).5. Какое из уравнений

имеет корни противоположныхзнаков

х2 + 57х + 15,1 = 0 (-),х2 -4,1х + 3,5 = 0 (+),х2 - 18х - 0,48 = 0 (.) ?

В результате должны получиться

годы жизни Франсуа Виета:

1540 - 1603

“ Нельзя быть математиком, не будучи

поэтом в душе”

К. Вейерштрасс

Теорему Виета тебе

Я запомнить легко помогу:

Сумма корней минус р,

Произведение g

Учебник “Математика-8.Алгебра.Функции. Анализ данных”. Г.В.Дорофеев.”Просвещение”2008.

www.biograf.ru. www.tonnel.ru.